清华大学杨顶辉数值分析第6次作业
《数值分析》第六章答案
习题61．求解初值问题y x y +=' )10(≤≤x 1)0(=y取步长2.0=h ，分别用Euler 公式与改进Euler 公式计算，并与准确解xe x y 21+-=相比较。
解： 1) 应用Euler 具体形式为 )(1i i i i y x h x y ++=+，其中i x i 2.0= 10=y 计算结果列于下表i i x i y )(i x y i i y x y -)( 1 0.2 1.200000 1.242806 0.042806 2 0.4 1.480000 1.583649 0.103649 3 0.6 1.856000 2.044238 0.188238 4 0.8 2.347200 2.651082 0.303882 5 1.0 2.976640 3.436564 0.4599242) 用改进的Euler 公式进行计算，具体形式如下： 10=y)()(1i i i D i y x h y y ++=+ )()(11)(1D i i i C i y x h y y +++++= )(21)(1)(11c i D i i y y y ++++= 4,3,2,1,0=i计算结果列表如下i i x i y )(1D i y + )(1c i y + i i y x y -)( 0 0.0 1.000000 1.200000 1.280000 0.000000 1 0.2 1.240000 1.528000 1.625600 0.002860 2 0.4 1.576800 1.972160 2.091232 0.006849 3 0.6 2.031696 2.558635 2.703303 0.012542 4 0.8 2.630669 3.316803 3.494030 0.020413 5 1.0 3.405417 0.0311473. 对初值问题1)0(=-='y y y)0(>x ，证明用梯形公式所求得的近似值为ii hh y ih y )22()(+-=≈ ),2,1,0( =i并证明当0→h 时，它收敛于准确解ix e y -=，其中ih x i =为固定点。
清华大学高等数值分析(李津)所有作业答案合集
20130917题目求证：在矩阵的LU 分解中，111n n Tn ij i j j i j L I e e α-==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑证明：在高斯消去过程中，假设0jj a ≠ ，若a=0，可以通过列变换使得前面的条件成立，这里不考虑这种情况。
对矩阵A 进行LU 分解，()()()()()1111111L M n M M M n ---=-=∙∙-………… ，其中()1n Tn ij i j i j M j I e e α=+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑ ，i e 、j e 为n 维线性空间的自然基。
()M j 是通过对单位阵进行初等变换得到，通过逆向的变换则可以得到单位阵，由此很容易得到()M j 的逆矩阵为1n Tn ij i j i j I e e α=+⎛⎫- ⎪⎝⎭∑。
故111n n T n ij i j n j i j L I e e I α-==+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏∑上式中的每一项均是初等变换，从右向左乘，则每乘一次相当于对右边的矩阵进行一次向下乘法叠加的初等变换。
由于最初的矩阵为单位阵，变换从右向左展开，因而每一次变换不改变已经更新的数据，既该变换是从右向左一列一列更新数据，故11nn Tn ij i j j i j L I e e α==+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑∑。
数学证明：1nTi j i ji j ee α=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑具有,000n j jA -⎛⎫ ⎪⎝⎭ 和1,1000n j n j B -+-+⎛⎫⎪⎝⎭ 的形式，且有+1,-11,10000=000n j j n j n j AB --+-+⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 而11n n T ij i j j k i j e e α-==+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑具有1,1000n k n k B -+-+⎛⎫⎪⎝⎭的形式，因此：1311111211121==n n n n n n T T T n ij i j n ij i j n ik i k j i j j i j k n i k n n T n i i n ik i i i k L I e e I e e I e e I e e I e ααααα---==+==+=-=+==+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭∏∑∏∑∑∑∑∑……11211n n n T Tk n ik i kk k i k e I e e α--===+⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑#20130924题目一问：能否用逐次householder 相似变换变实矩阵A 为上三角矩阵，为什么？解：不能用逐次householder 相似变换变A 为上三角矩阵，原因如下：A 记作：()12=,,n A a a a ……， ，存在householder 阵1H s.t. 1111H a e α= ，则()()()111111111111111111111,,,0T Th H AH H a A H e H A H e H A H h H A H ααα⎛⎫'''=== ⎪⎪'⎝⎭⎛⎫''=+ ⎪ ⎪⎝⎭11H A H ''第一列的元素不能保证为1e 的倍数，故无法通过householder 变换实现上三角化。
清华大学数值分析报告某实验报告材料
数值分析实验报告一、 实验3.1 题目：考虑线性方程组b Ax =，n n R A ⨯∈，n R b ∈，编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性代数方程组的Gauss 消去过程。
（1）取矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=6816816816 A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1415157 b ，则方程有解()T x 1,,1,1*⋯=。
取10=n 计算矩阵的条件数。
分别用顺序Gauss 消元、列主元Gauss 消元和完全选主元Gauss 消元方法求解，结果如何？（2）现选择程序中手动选取主元的功能，每步消去过程都选取模最小或按模尽可能小的元素作为主元进行消元，观察并记录计算结果，若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。
（3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。
（4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成的矩阵，计算其条件数，重复上述实验，观察记录并分析实验的结果。
1. 算法介绍首先，分析各种算法消去过程的计算公式， 顺序高斯消去法：第k 步消去中，设增广矩阵B 中的元素()0k kk a ≠（若等于零则可以判定系数矩阵为奇异矩阵，停止计算），则对k 行以下各行计算()(),1,2,,k ikik k kka l i k k n a ==++，分别用ik l -乘以增广矩阵B 的第k 行并加到第1,2,,k k n ++行，则可将增广矩阵B 中第k 列中()k kka 以下的元素消为零；重复此方法，从第1步进行到第n-1步，则可以得到最终的增广矩阵，即()()(),n n n B Ab ⎡⎤=⎣⎦； 列主元高斯消去法：第k 步消去中，在增广矩阵B 中的子方阵()()()()k kkkknk k nknn a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦中，选取()k k i k a 使得()(k)max k ki k ik k i na a ≤≤=，当k i k ≠时，对B 中第k 行与第k i 行交换，然后按照和顺序消去法相同的步骤进行。
清华大学 李津老师 数值分析第二次实验作业
就不再赘述了。 二、实际计算 生成十个不同的(最好属不同类型或有不同性质的)的 m n 矩阵，这里 m, n 100 ， 用你选择的算法对其做 SVD,比较不同方法的效果(比如计算小气一直和对应左右奇异向量的 误差，效率等)，计算时间和所需存储量等，根据结果提出对算法的认识。 1.误差 在实验中，我们取 m=200，n=100，利用 orth()函数生成了正交矩阵������、������，再生成 了不同奇异值分布的奇异值矩阵������，再通过������ = ������������������，计算出不同的待分解矩阵。 各矩阵奇异值分不如下表所示 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 奇异值个数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 奇异值分布 10 → 1 20 → 1 30 → 1 40 → 1 50 → 1 60 → 1 70 → 1 80 → 1 90 → 1 100 → 1
−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1
经过 matlab 计算，我们得到了两种算法对奇异值的估计误差表，如下所示
序号 svd 1 2 3 4 5 1.2135e-29 1.0336e-28 3.9976e-28 7.9768e-28 1.5711e-27
i 1
100
i
i
2.5232e-27 4.6720e-27 5.8535e-27 8.7958e-27 9.8885e-27
r
i 1
ui uis r
2 2
i 1
vi vis r
2 2
lansvd
svd
lansvd
2 1.6 2.1333 2 2.16 1.8 2.3429 2.15 2 2
清华大学高等数值分析_第二次实验作业
清华大学高等数值分析课程作业第二次实验 作业第一题：构造例子特征值全部在右半平面时，观察基本的Arnoldi 方法和GMRES 方法的数值性态，和相应重新启动算法的收敛性。
答：1、计算初始条件1) 矩阵A 的生成根据实Schur 分解，构造矩阵如下形式11112222/2/2/2/2n nA n n n n ⨯-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭其中，A 由n/2个块形成，每个对角块具有如下形式，对应一对特征向量i i i αβ+ii i i A αββα-⎛⎫= ⎪⎝⎭、 这里，取n=1000，得到矩阵A 。
经过验证，A 的特征值分布均在右半平面，如下图所示50100150200250300350400450500-500-400-300-200-1000100200300400500复平面中A 的特征值分布情况实部 Im(x)虚部 R e (x )特征值2) b 的初值为 b=(1,1,1,1..1)T 3) 迭代初值为 x 0=0 4) 停机准则为 ε=10-62、基本的Arnoldi 和GMRES 方法代入前面提到的初始值A 、b 、x0，得到的收敛结果如下10020030040050060010-710-610-510-410-310-210-110两种基本算法的||r k ||收敛曲线 (阶数n=1000)迭代次数||r k ||/||b ||基本的Arnoldi 算法基本的GMRES 算法结果讨论：从图中可以看出，基本的Arnoldi 方法经过554步收敛，基本的GMRES 方法经过535步收敛。
这是由于GMRES 具有残差最优性，会略快于Arnoldi 方法，但是，由于两种方法的基本原理近似，GMRES 方法不会实质性的提速。
此外，从收敛曲线上看，由于特征值均处在右半平面，收敛曲线平滑，收敛速度（收敛因子）比较均匀。
3、重启动的GMRES 和Arnoldi 算法对上述A 、b 、x0使用重启动的Arnoldi 和GMRES 算法。
BUAA数值分析大作业三
北京航空航天大学2020届研究生《数值分析》实验作业第九题院系：xx学院学号：姓名：2020年11月Q9:方程组A.4一、 算法设计方案（一）总体思路1.题目要求∑∑===k i kj s r rsy x cy x p 00),(对f(x, y) 进行拟合，可选用乘积型最小二乘拟合。
),(i i y x 与),(i i y x f 的数表由方程组与表A-1得到。
2.),(**j i y x f 与1使用相同方法求得，),(**j i y x p 由计算得出的p(x,y)直接带入),(**j i y x 求得。
1. ),(i i y x 与),(i i y x f 的数表的获得对区域D ={ （x,y)|1≤x ≤1.24,1.0≤y ≤1.16}上的f (x , y )值可通过xi=1+0.008i ，yj=1+0.008j ，得到),(i i y x 共31×21组。
将每组带入A4方程组，即可获得五个二元函数组，通过简单牛顿迭代法求解这五个二元数组可获得z1~z5有关x,y 的表达式。
再将),(i i y x 分别带入z1~z5表达式即可获得f(x,y)值。
2.乘积型最小二乘曲面拟合2.1使用乘积型最小二乘拟合，根据k 值不用，有基函数矩阵如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k i i k x x x x B 0000 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k j jk y y y y G 0000数表矩阵如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=),(),(),(),(0000j i i j y x f y x f y x f y x f U记C=[rs c ]，则系数rs c 的表达式矩阵为：11-)(-=G G UG B B B C T TT ）（通过求解如下线性方程，即可得到系数矩阵C 。
UG B G G C B B T T T =)()(2.2计算),(),,(****j i j i y x p y x f (i =1,2,…,31 ; j =1,2,…,21) 的值),(**j i y x f 的计算与),(j i y x f 相同。
清华大学高等数值分析_第三次作业答案
得如下算法： (1) 选初始 x0 ∈ Rn , 计算初始残差 r0 = b − Ax0 , ε > 0 为停机准则； (2) 对 k = 1, 2, . . .直到 rk < ε
T 求解 (D1 D1 + E T E )y1 = (AT rk−1 )(1 : m) ; T 求解 (D2 D2 + F T F )y2 = (AT rk−1 )(m + 1 : n) ;
1 0 0 0 √ √ 3 2 − 2 / 6 0 H= √ √ 0 2/ 6 1/2 − 3/6 √ 0 0 3/6 −1/2
1 1 7. 取 上 题 中 的 矩 阵 A 以 及 b = , m = 2, x0 = 0, 完 成 求 解 Ax = 1 1 G b 的 Arnoldi 和 GMRES 算法, 得出 xA 2 和 x2 . 8. 分别取 A1 = (aij ) = ( 2 1 ), i+j−1 1
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高等数值分析第三章作业参考答案
1. 考虑线性方程组 Ax = b, 其中 A 是对称正定矩阵. 用 Galerkin 原理求解方 程 K = L = Span(v ), 这里 v 是一个固定的向量. e0 = x∗ − x0 , e1 = x∗ − x1 证明 (e1 , Ae1 ) = (e0 , Ae0 ) − (r, v )2 /(Av, v ), 其中 r = b − Ax0 . v 应当取哪个向量在某种意义上是最佳的? (∗)
证明. 令 x1 = x0 + αv , 那么 r1 = r − αAv, e1 = e0 − αv . 由 Galerkin 原
清华大学杨顶辉数值分析第6次作业
9.令*()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，试证*{()}n T x 是在[0,1]上带权()x ρ=的正交多项式，并求****0123(),(),(),()T x T x T x T x . 证明：11**011**011**0()()()(21)(21)211()()()()()2()()()()()()()()nmn m nmn m n m n nmn m x T x T x dx x T x dxt x x T x T x dx t T t dt t T t dtT x x Tx T x dx t T t ρρρ---=--=-===⎰⎰⎰⎰⎰令，则由切比雪夫多项式101=02m n dt m n m n ππ≠⎧⎪⎪=≠⎨⎪==⎪⎩⎰所以*{()}n T x 是在[0,1]上带权()x ρ=*00*11*2222*33233()(21)1()(21)21()(21)2(21)188()(21)4(21)3(21)3248181T x T x T x T x x T x T x x x xT x T x x x x x x =-==-=-=-=--=-=-=---=-+-14.已知实验数据如下：用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式，并求均方误差 解： 法方程为22222(1,)(1,1)(1,)(,)(,1)(,)a y x b x y x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 即55327271.453277277699369321.5a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解得0.9725790.050035a b =⎧⎨=⎩拟合公式为20.9725790.050035y x =+ 均方误差24220[]0.015023i ii y a bx σ==--=∑21.给出()ln f x x =的函数表如下：用拉格朗日插值求ln 0.54的近似值并估计误差〔计算取1n =及2n =〕 解：1n =时，取010.5,0.6x x == 由拉格朗日插值定理有1100.60.50.6931470.5108260.50.(60.60.51.82321)0 1.()6047()52j j j x x x L x f x l x ==------=-=∑所以1ln 0.54(0.54)0.620219L ≈=- 误差为ln 0.54(0.620219)= 0.004032ε=--2n =时，取0120.4,0.5,0.6x x x ===由拉格朗日插值定理有2022(0.5)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)(0.5)0.9162910.6931470.510826(0.40.5)(0.40.6)(0.(50.4)(0.50.6)(0.60.4)(0.60.4)2.041150 4.0684752)().217097()j j j L x x x x x x x x x f x l x =------=---------=-+-=∑所以2ln 0.54(0.54)0.615320L ≈=-误差为4ln 0.54(0.615320)8.66299410ε-=--=-⨯23.建立三次样条插值函数()s x ，并求(0)f 的近似值(0)s ，这里已给函数表。
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清华大学杨顶辉数值分析第6次作业
9.令*()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，试证*{()}n T x 是在[0,1]上带权
2
()x x x ρ=
-****0123(),(),(),()T x T x T x T x .
证明：
1
1
**2
1
1
*
*20
12
2
1**20
()()()(21)(21)211()()()()()211()22
()()1()1()()()()()1n
m
n m n
m
n m n m n n
m
n m x T x T x dx x T x dx
x x
t x x T x T x dx t T t dt t t t T t dt
t
T x x
x T
x T x dx t T t t ρρρ---=---=-=++-=
--=
-⎰⎰⎰⎰
⎰令，则
由切比雪夫多项式1
01=02
m n dt m n m n ππ
≠⎧⎪⎪
=≠⎨⎪==⎪⎩⎰
所以*{()}n T x 是在[0,1]上带权2
()x x x
ρ=
-
*00*11*
2
2
2
2*33233()(21)1()(21)21
()(21)2(21)188()(21)4(21)3(21)3248181
T x T x T x T x x T x T x x x x
T x T x x x x x x =-==-=-=-=--=-=-=---=-+-
14.已知实验数据如下：
i x 19 25 31 38 44 i y
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式，并求均方误差 解： 法方程为
22222(1,)(1,1)(1,)(,)(,1)(,)a y x b x y x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ 即
5
5327271.453277277699369321.5a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
解得
0.972579
0.050035a b =⎧⎨
=⎩
拟合公式为20.9725790.050035y x =+ 均方误差
2
4
2
2
0[]0.015023i i
i y a bx σ==--=∑
21.给出()ln f x x =的函数表如下：
x
0.4 0.5 0.6 0.7 ln x
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.356675
用拉格朗日插值求ln 0.54的近似值并估计误差（计算取1n =及2n =） 解：1n =时，取010.5,0.6x x == 由拉格朗日插值定理有
1
100.60.5
0.693147
0.510826
0.50.(60.60.51.82321)0 1.()6047()52
j j j x x x L x f x l x ==------=-=∑
所以1ln 0.54(0.54)0.620219L ≈=- 误差为ln 0.54(0.620219)= 0.004032ε=--
2n =时，取0120.4,0.5,0.6x x x ===
由拉格朗日插值定理有
20
22
(0.5)(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)(0.5)
0.916291
0.6931470.510826
(0.40.5)(0.40.6)(0.(50.4)(0.50.6)(0.60.4)(0.60.4)
2.041150 4.0684752)().217097
()
j j j L x x x x x x x x x f x l x =------=---------=-+-=∑所以
2ln 0.54(0.54)0.615320
L ≈=-
误差为4ln 0.54(0.615320)8.66299410ε-=--=-⨯
23.建立三次样条插值函数()s x ，并求(0)f 的近似值(0)s ，这里已给函数表。
i x -0.3 -0.1 0.1 0.3 ()i f x
-0.20431
-0.08993
0.11007
0.39569
边界条件''(0.3)''(0.3)0s s -==
解：由剖分节点可知012
121211
0.2,,22h h h λλμμ======= 101221236[,,] 6.4215,6[,,] 6.4215d f x x x d f x x x ====
得到方程组
1212 6.421521 6.421522M M ⎡
⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
解得12 2.5686M M == 注意到030M M ==
得到三次样条插值函数()s x
322322.1405 1.92645 1.0642150.000632,[0.3,0.1]1.28430.002773,[0.1,0.1]2.1405 1.926450.9357850.000632,[0.1,0.()3]x x x x x x x x x x x s x ++-∈--+-∈--⎧+∈=+-⎪
⎨⎪⎩
29.确定下列求积公式的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所
构造出的求积公式所具有的代数精度： （1）()()(0)()h
h f x dx Af h Bf Cf h -≈-++⎰
解：取2()1,,f x x x =，有
21h
h h dx A B C -=≈++⎰
0h
h
xdx Ah Ch -=
=-+⎰
3
22223h
h
h x dx Ah Ch -==+⎰ 解以上方程，得1
4,33
A C h
B h ===
求积公式为141()()(0)()333
h
h f x dx hf h hf hf h -≈-++⎰
取3
()f x x =，30,()(0)()0h
h
x dx Af h Bf Cf h -=-++=⎰
取4()f x x =，
4544542112,()05333
()(0)()
h
h
h
h
x dx h h h B h h h x dx Af h Bf Cf h --=
-+⋅+⋅=≠-++⎰
⎰所以
因此构造的求积公式代数精度为3
30.证明求积公式
1
1
133()[5()8(0)5()]955f x dx f f f -≈-++⎰ 的代数精度为5 证明：取()i f x x =
则对0i ≥任意的，有1
1
11+11-1110,11(1)()|=2
111
i i i
i i f x dx x dx x i i i i ++--⎧--⎪
===⎨++⎪+⎩⎰⎰为奇数
，为偶数 1
01121()133133133
[5()8(0)5()]=[5()5()]=[-5()5()]=09559559551331
0[5()8(0)5()]=[585]=295591331332
2[5()8(0)5()]=[55]=9559553134[5()895i f x f f f f f f f i f f f x dx
i f f f x dx
i f --++++=++++==++⨯+⨯==+⎰⎰为奇数时，为奇函数
时，时，时，141161
31992
(0)5()]=[55]=5925255133127276
6[5()8(0)5()]=[55]=955912512525f f x dx
i f f f x dx
--+⨯+⨯==++⨯+⨯≠⎰⎰时，
从而有62
68()0,05,()0725175
i E x i E x =≤≤=-=≠ 所以求积公式的代数精度为5 33.求1212,,,x x A A ,使公式1
11220()()()x A f x A f x x
≈+为高斯型求积公式 解：构造区间[0,1]x
的二次正交多项式22()P x x ax b =++ 由2()P x 与1x 和正交，可得
2200220())253P x dx x ax b dx a b x x ==++=++
220
222
0()()753xP x dx x x ax b dx a b x x ==++=++
联立以上方程，可得6
3,7
35
a b =-= 所以2263()7
35
P x x x =-+
求2()P x 的零点即为高斯求积公式的节点
121
(326/5)0.11558711007
1
(326/5)0.7415557471
7x x =
-==+=
1
1
1
2100120
01
1
1
1211210
15()()()1 1.304290310
3615
()()()10.6957096903
36A x l x dx x dx x x x x A x l x dx x dx x x x x ρρ=====-=====-⎰⎰。