上海交通大学2010级数学分析第1学期第2次测验解答

合集下载

上海交通大学2014秋季数分I期中考试

数分 C1 共 3 张 6 页第 4 页
∀t ∈ U ( x, δ ) ∩ [a, b] ，均有 f (t ) ≠ 0 ；若 f ( x) ≠ 0 ，则由保号性， ∃δ > 0 ，
o
∀t ∈U ( x, δ ) ∩ [a, b]: f (t ) ≠ 0 .所以， ∀x ∈ [a, b] ， ∃δ x > 0 ，在 U ( x, δ x ) 中，至多只
---------------------------（8）
数分 C1 共 3 张 6 页第 3 页
五、证明题(本题共 8 分) 16. 设 f ∈ C[0,1] I D(0,1) ，且 f (1) = 0 . 证明：存在 ξ ∈ (0,1) ，使得
ξ f ʹ′(ξ ) + 2 f (ξ ) = 0 .
f ʹ′( x0 ) = lim
k →∞
f ( xnk ) − f ( x0 ) xnk − x0
= 0 ，故 ∃x0 ∈[a, b] 使 f ( x0 ) = f ʹ′( x0 ) = 0 ，这与
{x
f ( x) = f ʹ′( x) = 0, x ∈[a, b]} = ∅ 矛盾.
证二：由条件，对 ∀x ∈ [a, b] ，若 f ( x) = 0 ，则 f ʹ′( x) ≠ 0 ，由导数定义知，存在 δ > 0 ，
证：构造函数 F ( x) = x 2 f ( x) ---------------------------（2）
则 F ( x) ∈ C[0,1] , F ( x) ∈ D(0,1) , F (0) = F (1) ，所以由 Rolle 定理，
∃ξ ∈ (0,1) ，使 F ʹ′(ξ ) = 0 即

上海交大数学分析第1学期期终考试解答演示教学

一、填空题（每小题4分，共 16分）1. 极限210arcsin lim x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭61e . 2. 极限=∑=∞→n i n n i n 1arctan 1lim 2ln 214-π .3.积分(121arctan d x x x x -+=⎰154. 4. (电院专业同学做此题，不做4*)设常数0a >，则平面曲线222222()4()x y a x y +=-所围图形的面积为 24a . 4*. (管院专业同学做此题，不做4)设)(x f 49623-+-=x x x ，则)(x f 在]4,0[上的最大值为 0 . 二、单项选择题（每小题3分，共12分）1. 考虑下列断语，则有 ……【 D 】 (I) 若],[)(b a R x f ∈，则],[)(2b a R x f ∈. (II) 若],[)(b a R x f ∈，则],[)(b a R x f ∈.(A) I 正确，II 不正确. (B) I 不正确，II 正确. (C) I ，II 均不正确. (D) I ，II 均正确. 2. 设常数0>k ，则方程ln 0exx k -+=在),0(+∞内的实根个数为 ……【 B 】 (A) 3. (B) 2. (C) 1. (D) 0.3. 设)(x g 为区间I 上的上凸函数，)(x f 为J 上递减的下凸函数，且J g R ⊂)(，则【 A 】 (A) g f 为I 上的下凸函数. (B) g f 为I 上的上凸函数. (C) g f 必为I 上的单调函数. (D) 以上结论都不正确.4. 设)(x F 是)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数, 则下列命题中, 错误命题个数为【 A 】 (I) )(x F 在],[b a 上连续.(II) 若0)()(<b F a F ，则),(b a ∈∃ξ，使0)(=ξF . (III) )(x f 在],[b a 上没有第一类间断点.(IV) 若0)()(<b f a f ，则),(b a ∈∃ξ，使0)(=ξf . (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. B 卷：1.(A) 2.(C) 3.(B) 4.(D)三、(本题共12分) 全面讨论函数2)1(12--=x x y 的性态，并列表作图（已知43)1(24,)1(2-+=''--='x x y x x y ）解函数定义域：1≠x令 .00=→='x y 令210-=→=''x y（5）拐点)98,21(-- ，极小值点)1,0(-由∞=→y x 1lim 得垂直渐近线 1=x ；由0lim =∞→y x 得水平渐近线 0=y . ----------------------------------（8）草图：（12）四、计算题 (第1小题6分，其它4小题各7分，共34分)1. 求极限111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 解原式=xx xx x ln )1(ln 1lim1---→ ------------------------------（2）=21)1(ln 1lim ---→x x x x =)1(211lim 1--→x x x =2121lim1=→x x --------------------------------（6） 2. 求极限30e sin (1)lim x x x x x x→-+.解原式=3243220))(6())(21(lim xx x x x x x x x x --+-⋅+++→οο-------（3）=323320))(3(lim x x x x x x x x --+++→ο=31)(3lim 3330=+→x x x x ο ------------------------------（7）3.求不定积分x . 解原式=⎰--x xd 1arcsin 2=)111arcsin 1(22dx xxx x -----⎰-----（3）=)11arcsin 1(2dx xx x ⎰+---=C x x x +++--14arcsin 12 ----------------------------（7）4. 设函数[0,1]f C ∈，且0)0(=f ，当(0,1]x ∈时，()0f x >，又20()(xf x f t t =⎰，求)(x f 的表达式.解由于当0≠x 时，()0f x >，由2()f x 可导知()f x 也可导. 方程两边对x 求导，得xx x f x f x f 2tan 21tan )()()(2+='---------------(2)当0≠x 时，有 xx x f 2tan 21tan )(2+='方程两边对x 积分得 dx xxx f ⎰+=2tan 21tan 21)(=⎰⎰--=-xxd dx x x 22cos 2cos 21cos 2sin 21=C x+-2cos arcsin21 -----------------------（6）再由0)0(=f 得C=8π. ------------------------------------------（7）5. 计算定积分e21(ln )d x x x ⎰.解原式=xdx x x x x d x e eeln 23)(ln 33)(ln 12123312⎰⎰-= ---------------------（3）=⎰⎰--=-e ee dx x x x e xdx e 12133133)ln (923ln 923 -------------------（6）=32275)31(9233333-=---e e e e --------------------------------（7）五、(本题共10分) 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且()()0f a f b >，()()02a bf a f +<，又对任意的[,]x a b ∈有()0g x ≠.试证:在),(b a 内至少存在一点ξ，使)()()()(ξξξξg f g f '='.证不妨设,0)(>a f 则0)2(,0)(<+>ba fb f ，由0)2()(<+⋅b a f a f ，0)()2(<⋅+b f ba f 及零点存在定理知 ),2(),2,(21b b a x b a a x +∈∃+∈∃使 0)()(21==x f x f -----------------------（5）构造函数 )()()(x g x f x F =],[b a x ∈，-------------------------------------（8）则0)()(21==x F x F ，故由Rolle 定理知),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ使0)(='ξF 即)()()()(ξξξξg f g f '=' ------------------（10）六、（本题共10分）设)(),(x g x f 是定义在]1,0[上的有界函数，)(x f 和)(x g 在]1,0[上取值相异的点构成数列}{n x ，该数列满足1ln(1)()n n x x n +=+∀∈N . 证明：(1) 数列}{n x 收敛，且lim 0n n x →∞=；(2) ]1,0[R g f ∈-，并计算积分值1[()()]d f x g x x -⎰.证（1）因为n n n x x x ≤+=+)1ln(1 ，N n ∈∀，故数列}{n x 单调减，又]1,0[∈n x 有界，所以数列}{n x 收敛。

上海交通大学《高等代数》《数学分析》历年考研真题汇总(2009-2018真题汇编)

(x − 1)n | (f (x) + 1), (x + 1)n | (f (x) − 1).
Ê! V •ê• F þ n ‘‚5˜m, A • V þ ‚5C†÷v A 3 − 2A 2 − A = −2id, Ù¥ id • V þð C†.
(1) A ´ÄŒé z, e´, žy². (2) - V1 = {(A − 2id)v | v ∈ V }, V2 = {(A 2 − id)v | v ∈ V }. y²: V = V1 ⊕ V2.
8
5 þ° ÏŒÆ 2015 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK£828 p “ê¤
9
6 þ° ÏŒÆ 2018 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK£828 p “ê¤
10
7 þ° ÏŒÆ 2010 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK( 614 êÆ©Û)
11
8 þ° ÏŒÆ 2011 ca¬ïÄ)\Æ•ÁÁK( 614 êÆ©Û)
16
3
1. 2010年þ° ÏŒÆ828《高等代数》a¬ïÄ)\Æ•ÁÁK
˜! ( 20 ©) OŽ1 ª
an1
an2
(1) Dn+1 =
...
an1 −1b1 · · ·
an2 −1b2 · · · ...
ann+1 ann−+11bn+1 · · ·
1 + a1 + b1 a1 + b2
a1bn1 −1
›˜! A ´ n ‘î¼˜m¥ f˜m.
C†, V1 ´ V A − ØCf˜m. y²: V1
Ö•´ V A − ØC
› ! A, B þ• n ¢é¡ , y²: AB A ŠÑŒu".
4

(完整)上海交通大学级数学分析第1学期第2次测验解答

上海交通大学数学分析测验解答2010。

12。

19一、填空题(每题4分,共16分）1. 函数3()24f x x x =+-的零点个数为1.2. 写出e x y x =在1x =处的四阶带Peano 型余项的Taylor 展开式2344345e e(12(1)(1)(1)(1)(1))2!3!4!x x x x x x o x =+-+-+-+-+-. 3. 函数2()e x f x x -=([1,3]x ∈) 的最大值为24e ,最小值为1e .4.曲线2y =1,x y x =±=±.二、选择题（每题4分，共16分） 1. 设()f x 和()g x 均为上的凸函数，则下列函数中必为凸函数的是 ( C )（A )|()()|f x g x +。

（B )()()f x g x ⋅. (C ）max{(),()}f x g x . （D ）[()]f g x 。

2. 设函数()()f x C ∈，其导函数'()f x 的图形如右图所示，则()f x 在上有（ A ）（A ）两个极小值点，两个极大值点。

（B ）两个极小值点, 一个极大值点. (C) 三个极小值点, 一个极大值点. （D ）一个极小值点，两个极大值点3. 设函数()x f 在0=x 连续， 0>α为常数, 且()lim0||x f x A x α→=>，则以下四条叙述中正确的是 ( A ）（A ) ()x f 在0=x 取极值。

(B ) 存在0δ>使得对()δ,0U x ∈∀有()0>x f 。

(C ） ()x f 在0=x 可导。

（D ） ()x f 在0=x 不可导。

4. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上可导，且[]()a x g b a x =∈,min ,[]()b x g b a x =∈,max 。

下列三个命题中，真命题的个数是（ D ) I 存在[]b a ,∈ξ，使得()()()()()f b f a f g b a ξ'-=-。

2010届上海市数学八校联考(第二次)

2010届上海市数学八校联考（第二次）本卷文理合用，考试时间120分钟，满分150分一、填空题 (本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 函数2()2(0)f x x x =+≥的反函数1()f x -=____________.2. 设12(1)i log (3)()z m m m =++-∈R ，若z 是虚数，则m 的取值范围为____________.3.设函数210()0xx f x x -⎧-≤⎪=>，若0()1f x >，则x 0的取值范围是____________.4. (理) 已知直线l 的极坐标方程sin 13θπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ρ，若直线l 与双曲线22216x y a -=的一条渐近线平行，则正实数a =____________.(文) 直线3250x y +-=的方向向量与直线520ax y -+=的法向量垂直，则实数a =____________. 5. (理) 在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是____________.(文) 已知{}{}200A x x x B x x a =-≤=+≤，，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是____________. 6. 已知圆锥的母线长为5 cm ，侧面积为15πcm 2，则此圆锥的体积为____________cm 3. 7. (理) 若数列{}n a 的通项1C 2nn n na ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则6S =____________.(文) 若等差数列{}n a 中，()lim1n n nn a n S n +=+→∞，则公差d =____________.8. (理) 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20102008420102008S S -=，则2n n S(文) 如果执行右面的程序框图，那么输出的i =____________.9. 在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若22(a c +-则角B 的取值范围为____________. 10. (理) 若数列{}n a 满足*111()n nd n d a a +-=∈N ，为常数列”. 已知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“调和数列”，且1220200x x x +++=…，则318x x 的最大值是____________.(文)已知na x ⎛ ⎝的展开式中二次项系数之和为512，且展开式中3x 的系数为9，常数a 的值为____________. 11.函数sin 0cos ()10()011x xf x x ωω=∈R ，又()2()0f f αβαβ=-=-，且的最小值等于34π，则正数ω的值为______. 12. (理) 已知{}{}21020x A x x x B x a -=-≤=+≤，，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是____________.(文) 若方程lg 5x x =-+在区间(,1)()k k k +∈Z 上有解，则所有满足条件的k 的值的和为____________. 13. (理) 对于函数()y f x =的图像上任意两点()(),(),()A a f a B b f b ，，设点C 分AB 的比为(0)λλ>. 若函数为2()(0)f x x x =>，则直线AB 必在曲线段AB 的上方，且由图像的特征可得不等式22211a b a b λλλλ++⎛⎫> ⎪++⎝⎭. 若函数为2010()log f x x =，请分析该函数的图像特征，类比上述不等式可以得到不等式____________.(文) 在ABC ∆中，角A B C 、、的所对边分别为a b c 、、，AH 为BC 边上的高，在以下结论中 ①()AH AB BC AH AB ⋅+=⋅；②2AH AC AH ⋅=；③22()2cos BC AC AB b c bc A ⋅-=+-，其中，正确结论的序号是____________.14. (理) 设{}n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为n T ，并且满足条件99199100100111001a a a a a ->-><-，，，给出下列结论: ①01q <<；②1981T <；③991011a a <；④使1n T <成立的最小自然数n 等于199，其中正确结论的序号是____________.(文) 设{}{}(,)3(,)2A x y y x B x y y x b b A B =≤--=≥+≠∅，，为常数，(1) b 的取值范围是____________. (2) 设(,)()P x y A B ∈，点T的坐标为，若OP OT 在方向上投影的最小值为-b 的值为____________.二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 15. “1a >”是“11a<”的 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件16. (理) 如果执行右图的程序框图，那么输出的i =A. 12B. 13C. 14D. 15③sin AH AC c B AH⋅=；④22()2cos BC AC AB b c bc A ⋅-=+-，其中，正确结论的序号是A. ①③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④(文) 2010年上海世博会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作. 若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为A. 124414128C P P B. 124414128C C CC. 12441412833C C C P D. 12443141283C C C P18. (理) 已知()[,]f x x a b ∈在上的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题:①若对任何[,]x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(,]m -∞； ②若对任何[,]x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(,]M -∞；③若关于x 的方程()p f x =在区间[,]a b 上有实数解，则p 的取值范围是[,]m M ； ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[,]a b 上有解，则p 的取值范围是(,]m -∞； ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[,]a b 上有解，则p 的取值范围是(,]M -∞，其中正确的命题的个数为A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个(文) 以下有四个命题: ①一个等差数列{}n a 中，若存在*10()k k a a k +>>∈N ，则对于任意正整数n k >，都有0n a >； ②一个等比数列{}n a 中，若存在*100()k k a a k +<<∈，N ，则对于任意*n ∈N ，都有0n a <； ③一个等差数列{}n a 中，若存在*100()k k a a k +<<∈，N ，则对于任意*n ∈N ，都有0n a <； ④一个等比数列{}n a 中，若存在正整数k ，使10k k a a +<，则对于任意*n ∈N ，都有10n n a a +<.其中真命题的个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (理) (本题满分14分，第一小题8分，第二小题6分)如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PF ABCD ⊥平面，垂足F 在AD 上，且13AF FD =，2FB FC FB FC ⊥==，，E 是BC 的中点，四面体P BCF -的体积为83.(1) 求异面直线EF 与PC 所成的角；(2) 求点D 到平面PBF 的距离.(文) (本题满分14分，第一小题8分，第二小题6分) 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PF ABCD ⊥平面，垂足F 在AD 上，FB FC ⊥，2FB FC ==，E 是BC 的中点，四面体P- (1) 求异面直线EF 与PC 所成的角；(2) 求点E 到平面PBF 的距离.20. (本题满分14分，第一小题6分，第二小题8分如图，在半径为12的圆O (1) 将十字形的面积表示为θ(2) θ为何值时(用反三角函数表示θ)，多少?21. (本题满分16分，理科学生完成1~3小题，第一小题7分，第二小题9分)已知复数122log (21)i 1i ()x z k z x x k =++=-∈，其中、R ，记12z z 的实部为()f x . 若函数()f x 是关于x 的偶函数. (1) 求k 的值；(2) 求函数2(log )(0,]0y f x x a a a =∈>∈在，，R 上的最小值； (3) 求证: 对任意实数m ，函数()y f x =图像与直线12y x m =+的图像最多只有一个焦点.22. (本题满分16分，第一小题4分，第二小题6分，第三小题6分)(理) 设向量(1,)(,1)(,)s x y t y x x y =+=-∈，R ，满足22s t +=，已知定点(1,0)(,)A P x y ，动点. (1) 求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程；(2) 过原点O 作直线l 交轨迹C 于两点M 、N ，若23MAN π∠=，试求MAN ∆的面积： (3) 过原点O 作直线l 与直线2x =交于D 点，过点A 作OD 的垂线与以OD 为直径的圆交于G 、H (不妨设点G 在直线OD 上方)，试判断线段OG 的长度是否为定值? 并说明理由.(文) 设向量(1,)(,1)(,)s x y t y x x y =+=-∈，R ，满足22s t +=，已知定点(1,0)(1,0)(,)A B P x y -，，动点. (1) 求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程；(2) 已知直线m : y x t =+交轨迹C 与两点M 、N 两点，A 、B 在直线MN 两侧，求四边形MANB 的面积的最大值；(3) 过原点O 作直线l 与直线2x =交于D 点，过点A 作OD 的垂线与以OD 为直径的圆交于点G 、H (不妨设点G 在直线OD 上方)，求证: 线段OG 的长为定值.23. (本题满分18分，理科第一小题4分，第二小题8分，第三小题6分；文科第一小题4分，第二小题6分，第三小题8分)设数列{}n a 的通项公式为*(0)n a pn q n p =+∈>，N . 数列{}n b 定义如下: 对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值；(1) 若31123p q b ==-，，求；(2) (理) 若21p q ==-，，求数列{}m b 的前m 项和公式；(文) 若21p q ==-，，求数列{}m b 的前2m 项和公式；(3) (理) 是否存在p 和q ，使得*32()m b m m =+∈N ? 如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由；(文) 若13p =，是否存在q ，使得*32()m b m m =+∈N ? 如果存在，求q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.2010届上海市八校联考（第二次）参考答案八校联考（第二次）（松江二中、青浦、七宝、市二、行知、进才、位育，新增：奉贤、金山、崇明、南汇、嘉定一中、南洋）（答案因故省略部分详细过程，敬请见谅）一、填空题 (本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.[2,)x ∈+∞2. (,2)(2,3)-∞3. (,1)(1,)--+∞∞4. (理) (文) 152-5. (理)35(文) 1a ≤- 6. 12π7. (理) 6364-(文) 2- 8. (理) 2 (文) 13 9. 2,,323ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥2⎣⎭⎝⎦10. ()100()16理文 11.2312. ()(,2]()1---理文∞ 13. 201020102010log log ()log ()11a b a bλλλλ++<++理文①②③④14. ()()(1)3(2)10b ≤--理①③④文二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 15. A16. (理) B (文) C17. (理) D (文) B 18. (理) B (文) D三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. (理) (1) )也可使用其他反三角函数表示(:4)PF =提示(2) 3:2FD n n⋅，提示(文) (1) 见理科(2) 1:E PBF P BEF d V V --==，提示利用体积变更20. (1) 22122sin cos cos )tan 2S xy x θθθθϕϕ=-=--=，其中0,42y x θππ⎛⎫>>∴∈ ⎪⎝⎭(2) max 11arctan 422S θπ=+21. (1) 2122log x kx +=1221x x ⋅+1(21)02x k x x k ⎛⎫-=-+=∈= ⎪ ⎪⎝⎭R ，故，其中，得(2)2221()log (21)log log (0,]012x f x x y x a a x =+-==∈>=，，且，当且仅当时取到最小值2min min 21log 21101(0,]log a y y a x a x a y ≥≥==<<∈==时，，；，时，函数单调递减，故时，(3) :方法一 221log (21)log 1()2x x x m m h x ⎛⎫+-=⇒=+= ⎪⎝⎭联立方程得，证明单调递减:方法二 2log (21)2122(21)10x x x m x m x m m ++=++=-=≤联立方程，则，即，当时，无解；21102log 2121x m m m x >=⇒=--时，唯一解，得证22. (理) (1) 221:112x y a c b +===，提示根据椭圆定义得知，(2) AMBN 为2212121212283B MA r MB r AMB r r r r rr π==∠=+=++=，设左焦点为、、，则，则22212121212412cos4sin 3323r r r r AB r r S r r ππ+-=====，故，(3) 交轨法) 方法一: 0(2,)D y 设动点，OD 以为直径的圆:222200020():220:2x x y y y l GA x y y y x y -+-=+-=+=，，二式联立消去方法二: 0(2,)D y 设动点，2OD GA M OD OG GD OD AG OG OD OM ⊥⊥=⋅交于，为直径，，，故2200002220002824():()22022444y y y l OD y x l GA x y y x y OG y y y +==+-=====+++，，得，，故方法三: 0(2,)D y 设动点，OD 以为直径的圆:22020x x y y y -+-=，20():2202l GA x y y O GA OM OD OG +-====，点到距离方法四: 22(2,0)D OG GD OD AG OG OD OM x x N ⊥⊥=⋅=为直径，，，，，交轴于，OAM ∆∽ODN ∆22OG =故(文) (1) 见理科(2) 12max 0S y y t S =-====时，(3) 见理科23. (理) (1) min 311207233n a n m n n b =-≥≥==，解得，故(2) 221221444m m m m m k S m m k S m ==+=+=+-，，，(3) 032:3132m m q m qpn q m p n b m m m p p--+≥>⇒≥=++<≤+假设存在，且，，根据定义2(31)p q p m p q --≤-<--即恒成立 21310(310)31031313p q p q p p m m p p p p ⎛⎫++->-<<-≤--== ⎪--⎝⎭当或，则或矛盾；当，即得21211210,,3333333q q q p q ⎡⎤⎡⎤--≤<--⇒∈--=∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故综上， (文) (1) 见理科 (2) 2212m m m m b k m b k S m m ==+=+为奇数，为偶数，(3) 见理科2010届上海市数学八校联考(第二次)11 / 11。

(2021年整理)2010年1月数学分析期末考试题(B卷)

（完整）2010年1月数学分析期末考试题(B卷)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）2010年1月数学分析期末考试题(B卷)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）2010年1月数学分析期末考试题(B卷)的全部内容。

北京邮电大学2009—-2010学年第一学期《工科数学分析》期末考试试题（B 卷）注意事项:学生必须将答题内容写在答题纸上,写在试题纸上一律无效.一、填空（本大题共10小题，每小题4分,共40分）1. 已知()f x 的定义域为[0,1]，则()f x 的定义为。

2。

极限 30arctan lim ln(12)x x x x →-=+ 。

3.设2arctan ,0,()0x x f x a x ⎧<⎪=⎨⎪+≥⎩在(,)-∞+∞上连续, 则a = .4. 设当0x →时，x α与sin22sin x x -是同阶无穷小量，则α= .5. 函数()y y x =由方程222sin()0x x y e xy ++-=所确定, 则y '= 。

6。

不定积分 2arctan x xd x =⎰ .7. 定积分1|ln |e e x d x =⎰ 。

8.微分方程tan cos y y x x '+=的通解是 .9.已知()f x 有一个原函数为2ln x ，则()xf x d x '=⎰ 。

10。

广义积分21445d x x x +∞-∞=++⎰_____________________________ 二(8分)。

求定积分201(tan )dx I x πα=+⎰的值，其中0α>为常数. 三（10分). 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导, 0a b <<.证明存在(,)a b ξ∈，使得 22()()()().3f b f a f a ab b b a ξξ'-=++- 四（10分）。

上海版2010学年度第一学期期末考试初二数学试卷(附答案)

2010学年第一学期期末八年级数学试卷参考答案与评分标准（2010．12）1、x 23；2、1-a ；3、)4173)(4173(2---+--x x ；4、x=2；5、一条直线，(1,k)；6、x ≥34；7、-2；8、＜81且m ≠0；9、y=2x+2，x ＞1；10、x(123-2x)=2000；11、线段AB 的垂直平分线（除中点外）；12、84；13、4；、14、6；15、（0，-2）或（0，-11）；16、D ；17、B ；18、B ；19、A ；20、C ； 21、解：原式=x x xx x x 282212212++-3′ =x 29 2′22、解：a=3 b=-4 c=-1⊿=(-4)2-4×3×(-1)=28 1′3723228)4(±=⨯±--=x 2′ 3721+=x 3722-=x 2′23、解：根据题意：∵y 1与x 成反比例∴y 1=xk 11′ ∵y 2与(x-2)成正比例∴y 2=k 2(x-2) 1′ ∵y=y 1+y 2 ∴y=xk 1+ k 2(x-2) 1′ 把x=1 ，y=1代入 k 1-k 2=1 把x=3， y=7代入7321=+k k 得k 1=6 k 2=5 2′)2(56-+=x xy 1′ 当x=5时，y=+565×3=5811′24、解：（1）把A(2，-3)代入，y=mx 和y=xn得 m=23- ∴ y=23-x 1′n=-6 ∴ y=x6- 1′（2）根据题意,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=x y x y 623∴⎩⎨⎧-==3211y x ⎩⎨⎧=-=3222y x∴B(-2，3) 1′ ∵AC//x 轴 BC//y 轴∴C （-2 ，-3） 1′ (3) ∵ BC=6 AC=4∴S △ABC =21×4×6=12 2′ 25、解：（1）v=2t 3′0≤t ≤20 1′ (2)当t=3.5时，v=3.5×2=7m 1′(3当)v=16时,t=216=8(秒) 1′ 26、证明：连接AC ， 1′∵AD ⊥DC ， ∴∠ADC=900 ∴△ADC 是直角三角形∵AD=4，CD=3 ∴ AC=5 1′∴S △ADC =21×3×4=6， 1′ ∵△ABC 中，BC=12，AB=13，AC=5 ∴AC 2+BC 2=25+144=169=AB 2∴△ABC 是直角三角形，且∠ACB=90° 1′ ∴S △ABC =30 1′∴S=30-6=24 1′答；略。

中国科学院2010年数学分析参考解答

e = e e k=1 k
k=1 k n+1
1
= (n + 1)e n+1
> (n + 1)
1
1
n+1 n+1
1+
n+1
= n + 2.
5P.
• • ˜Ú´Ï•
1n
1n
1+
= 1· 1+
n
n
<
1
+
n+1 n
·
n
n+1
n+1
1
n+1
= 1+
e.
n+1
èÆk) · · · · · · uia.china@· · · · · · ›Š
10
•∃ δ2 = δ2(η, ε) = δ2(ε), s.t.
η yf (0)
π
ε
0 > y > −δ2 ⇒
dx + f (0) < ,
0 x2 + y2
2
3
o( k
η yf (0)
π
ε
0 < y < δ2 ⇒
0
x2
+
y2 dx
−
f (0) 2
<. 3
0 > y > − min {δ1, δ2}
ž,
5
6
= 32 πa6. 5
7 A^GreenúªOŽÈ©
ex(x sin y − y cos y)dx + ex(x cos y + y sin y)dy
I=
,
L
x2 + y2

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

上海交通大学数学分析测验解答2010.12.19一、填空题（每题4分，共16分） 1. 函数3()24f x x x =+-的零点个数为1.2. 写出e x y x =在1x =处的四阶带Peano 型余项的Taylor 展开式2344345e e(12(1)(1)(1)(1)(1))2!3!4!x x x x x x o x =+-+-+-+-+-. 3. 函数2()e x f x x -=([1,3]x ∈) 的最大值为24e ，最小值为1e .4.曲线2y =的渐近线为1,x y x =±=±.二、选择题（每题4分，共16分）1. 设()f x 和()g x 均为R 上的凸函数, 则下列函数中必为凸函数的是 ( C ) (A )|()()|f x g x +. (B )()()f x g x ⋅. (C )max{(),()}f x g x . (D )[()]f g x .2. 设函数()()f x C ∈R , 其导函数'()f x 的图形如右图所示, 则()f x 在R 上有 ( A ) (A) 两个极小值点, 两个极大值点. (B) 两个极小值点, 一个极大值点. (C) 三个极小值点, 一个极大值点. (D) 一个极小值点, 两个极大值点3. 设函数()x f 在0=x 连续, 0>α为常数, 且()lim0||x f x A x α→=>, 则以下四条叙述中正确的是 ( A ) (A ) ()x f 在0=x 取极值. (B ) 存在0δ>使得对()δ,0U x ∈∀有()0>x f . (C ) ()x f 在0=x 可导. (D ) ()x f 在0=x 不可导.4. 设函数()x f 和()x g 在[]b a ,上可导，且[]()a x g b a x =∈,min ，[]()b x g b a x =∈,max . 下列三个命题中，真命题的个数是 ( D ) I 存在[]b a ,∈ξ，使得()()()()()f b f a f g b a ξ'-=-.II 存在[]b a ,∈ξ，使得()()()()()()()()()f g b f g a f g g b g a ξ'-=-. III 存在[]b a ,∈ξ，使得()()()()()()()()f g b f g a g f g b a ξξ''-=⋅-. (A ) 0个. (B ) 1个. (C ) 2个. (D ) 3个. 三、计算题(每小题8分, 共16分) 1. 求极限30sin sin(sin )limx x x x →-.解令sin t x =，则原式＝330sin sin limlim arcsin t t t t t tt t →→--= 4分201cos 1lim36t t t →-== 8分注用L ’Hospital 法则可相应给分.2. 设函数()f x 在0x =的某邻域内二阶可导, 且30sin ()lim0x x xf x x→-=, 求(0),f (0),f '(0)f ''的值.解由33sin ()6x x x o x =-+，221()(0)(0)(0)()2f x f f x f x o x '''=+++得 4分232330011(1(0))(0)((0))()sin ()62lim lim 0x x f x f x f x o x x xf x x x →→'''---++-== 6分从而有(0)1,(0)0f f '==，11(0)062f ''+=，1(0)3f ''=-. 8分注：用L’Hospital 法则求得(0)1,(0)0f f '==至多给4分.四、计算下列积分（每小题7分，共28分）1.2x解原式＝2arcsin d arcsin x x ⎰ 4分＝31arcsin 3x C + 7分 2.21ln d x x x -⎰解原式＝2221ln 11d d d ln d x x x x x x x x x-=+⎰⎰⎰⎰ 4分 221ln 1d d x x x x x x =+-⎰⎰ln x C x=+ 7分 3.321d [(2)]x x x -⎰解令1sin x t =+ (π02t <<)，则原式＝()3/22cos d cos tt t ⎰4分21d tan cos t t C t==+⎰6分 tan[arcsin(1)]x C =-+ 7分4. 23sin d cos xx x⎰ 解原式＝2331cos d sec d sec d cos xx x x x x x-=-⎰⎰⎰ 2分其中33sec d sec d tan sec tan sec d sec d x x x x x x x x x x ==-+⎰⎰⎰⎰于是 311sec d sec tan sec d 22x x x x x x =+⎰⎰，从而 5分23sin 1111d sec tan sec d sec tan ln |sec tan |cos 2222x x x x x x x x x x C x =-=-++⎰⎰ 7分五、（本题共8分）证明不等式：当0x >时, 3sin 3!x x x >-.证令31()sin (0)6f x x x x x =-+>，则(0)0f = 2分21()cos 12f x x x '=-+，(0)0f '= ()sin 0f x x x ''=->， 6分从而()(0)0f x f ''>=，因此()f x 严格单调增加，于是()(0)0.f x f >= 8分六、(本题共8分) 设()f x 在(,)a b 上不恒为常数. 用闭区间套定理证明：(,)a b ξ∃∈及0M >，使得对0δ∀>，在(,)(,)a b ξδξδ-+内总∃,x x '''满足()()f x f x M x x '''-≥'''-.证由()f x 在(,)a b 上不恒为常数知，存在00(,)a b a b <∈，使得00()()f a f b ≠，不妨设00()()f a f b <，记0000()()f b f a M b a -=-. 对00[,]a b 二等份，若 2分00000()22a b b a f f a M +-⎛⎫≥+⋅ ⎪⎝⎭，则取区间000[,]2a b a +并记为11[,]a b ，否则取另一半区间记为11[,]a b ，则有1111()()f b f a M b a -≥-，对区间11[,]a b 重复上述讨论，得到区间列[,]n n a b 满足 4分1) 11[,][,]()n n n n a b a b n ++⊂∀∈N ; 2) 00lim()lim02n n nn n b a b a →∞→∞--==;3)()()n n n nf b f a M b a -≥- ()n ∀∈N据闭区间套定理，存在惟一的[,](,)()n n a b a b ξ∈⊂∀∈N ，且lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==. 对0δ∀>，由上式知存在N ∈N ，使得[,](,)N N a b ξδξδ⊂-+，令,N N x a x b '''==，则据3)有 ()()()()N N N Nf b f af x f x M x x b a '''--=≥'''--. 8分七、证明题(下面1, 2两题中请任选、且仅选一题完成，本题共8分) 1. 设()f x 是[,]a b 上的凸函数. 记02a bx +=. (1) 令000()()(),([,]\{})f x f x k x x a b x x x -=∈-, 证明lim ()x a k x +→及lim ()x b k x -→存在;(2) 证明lim ()x af x +→及lim ()x bf x -→存在. 证 (1) 由于()f x 是[,]a b 上的凸函数，故()k x 单调增加，从而()()()k a k x k b ≤≤，因此()k x 在0(,)a x 有下界，在0(,)x b 有上界，据单调有界定理知lim ()x ak x +→及lim ()x b k x -→存在. 4分 (2) 记lim ()x bk x B -→=，由00()()()()f x k x x x f x =-+可得 []0000lim ()lim ()()()()()x b x bf x k x x x f x B b x f x --→→=-+=-+ 即lim ()x bf x -→存在，类似可证lim ()x af x +→存在. 8分2. 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f =，(1)1f =. 证明：存在互异的两点,(0,1)ξη∈使得()()1f f ξη''=.证令()()1F x f x x =-+, 则[0,1]F C ∈，且(0)1,(1)1F F =-=，据闭区间上连续函数的零点定理知，存在0(0,1)x ∈使得0()0F x =，即00()1f x x =-. 4分据Lagrange 中值定理知存在0(0,)x ξ∈及0(,1)x η∈使得0000()(0)1()f x f x f x x ξ--'==， 0000(1)()()11f f x xf x x η-'==--，于是有()()1f f ξη''=. 8分。