浅议双线性函数若干性质
高等代数(第三版)10.3双线性函数
f ( , ) x1 y1
xr yr (0 r n)
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
推论2 设V为实数域上n维线性空间， f ( , )Ｖ上的一个对称双线性函数， 则存在V的一组基1， 2， ， n， 对Ｖ中任意向量＝ xi i , ＝ yi i , 有
结论2 Ｖ上的反对称双线性函数f ( , ) 如果是非退化的，则存在V的一组基
1， -1 ， r , -r使
f ( i , i ) 1 i 1, , r f ( , ) 0 i j 0 i j
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
式中1 , 2 ,1 ,2是Ｖ中任意向量， k1 ,k2是Ｐ中任意数，则称f ( , ) 为Ｖ上的一个双线性函数．
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
例1 欧氏空间V的内积是V上双线性函 数 例2 设 f1 ( ), f 2 ( ) 都是线性空间V上的线性函数，则
f ( , ) f1 ( ) f 2 ( )
ｉ＝１ ｉ＝１ ｎ ｎ
f ( , ) x1 y1 (0 p r n)
x p y p x p 1 y p 1
xr yr
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
定义７ 设V为数域Ｐ上线性空间, f ( , )是Ｖ上的对称双线性函数， 当＝ 时，Ｖ上函数f ( , )称为 f ( , )对应的二次齐次函数．
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
结论
双线性函数是对称的
当且仅当f ( , )＝f ( ， ) 当且仅当它在任一组基下的 度量矩阵是对称矩阵. 双线性函数是反对称的 当且仅当f ( , )＝-f ( ， ) 当且仅当它在任一组基下的 度量矩阵是反对称矩阵.
线性函数的概念与性质
线性函数的概念与性质线性函数是数学中重要的一类函数，它具有简洁的定义和独特的性质。
线性函数的概念与性质在数学和应用领域中广泛应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
本文将对线性函数的概念进行阐述，并详细介绍线性函数的性质。
一、线性函数的概念线性函数是指定义在数域上的一种函数，其定义形式为f(x)=kx+b，其中k和b为常数。
在线性函数中，自变量x的一次方程组成了函数的定义域，函数通过斜率k和截距b来描述。
斜率k表示了函数增长或减少的速度，截距b则表示了函数与y轴的交点。
线性函数的图像为一条直线，具有特殊的几何性质。
当斜率k为正时，函数呈现上升趋势；当斜率k为负时，函数呈现下降趋势；当斜率k为零时，函数为常值函数。
线性函数的图像可通过斜率来判断其走向，并且斜率的绝对值越大，曲线的倾斜程度越高。
二、线性函数的性质1. 线性关系：线性函数表现出线性关系的特点，即函数的自变量与因变量之间呈现出一种直接的一对一关系。
在函数图像中，每个自变量对应着唯一的因变量，从而形成了一条直线。
2. 等差性：线性函数在自变量的每一个单位上的变化量都是相等的。
换句话说，函数图像中相邻点之间的纵坐标差值相等。
这一性质对应着函数图像中的直线部分，可以通过斜率来计算函数在给定自变量范围内的变化情况。
3. 比例性：线性函数是比例函数的一种特殊情况，其中比例系数k为斜率。
比例性意味着函数图像中y轴上的每一个单位对应着x轴上的k个单位。
因此，在线性函数中，自变量和因变量之间具有固定的比例关系。
4. 增减性：线性函数的增减性由其斜率所决定，当斜率为正时，函数呈现增长趋势；当斜率为负时，函数呈现减少趋势。
斜率为零时，函数为常值函数，不具有增减性。
5. 可逆性：线性函数是一种可逆的函数，即通过逆运算可以求得原函数的自变量。
在线性函数中，求逆函数的方法简单且唯一，通过将函数的自变量与因变量调换位置并解方程，即可得到原函数的逆函数。
通过对线性函数的概念和性质的阐述，我们可以更好地理解和应用线性函数。
线性和函数的概念和性质
线性和函数的概念和性质线性函数是数学中的一种基本函数形式，由形如y = kx + b的方程表示，其中k和b是常数。
线性函数的定义域是全体实数，值域也是全体实数。
线性函数的性质包括：1. 线性关系：线性函数的图像是一条直线，因此线性函数具有线性关系的特点，即函数的增长速度恒定。
2. 斜率：线性函数的斜率即为k，表示图像上每向右移动一个单位，函数值的变化量。
当k为正数时，函数图像是向上倾斜的，斜率越大，直线越陡峭；当k 为负数时，函数图像是向下倾斜的，斜率越小，直线越平缓。
3. 截距：线性函数的截距即为b，表示函数图像与y轴的交点的纵坐标。
当b 为正数时，函数图像与y轴的交点在y轴的上方；当b为负数时，函数图像与y 轴的交点在y轴的下方。
4. 零点：线性函数的零点即为x轴与函数图像的交点的横坐标。
线性函数的零点可以通过解方程y = 0来求得，即kx + b = 0，解得x = -b/k。
5. 比例关系：线性函数表示了两个变量之间的比例关系。
当k为常数时，函数的值与自变量成比例。
特别地，当b为0时，线性函数表示了直线与原点过原点的比例关系。
线性函数具有以下的重要特点：1. 单调性：线性函数是单调递增或单调递减的。
当k为正时，函数递增；当k 为负时，函数递减。
2. 可加性：线性函数具有可加性，即两个线性函数的和仍然是线性函数。
设f(x) = k1x + b1，g(x) = k2x + b2，则f(x) + g(x) = (k1 + k2)x + (b1 + b2)。
3. 积性：线性函数也具有积性，即两个线性函数的乘积仍然是线性函数。
设f(x) = k1x + b1，g(x) = k2x + b2，则f(x)g(x) = (k1k2)x + (k1b2 + k2b1 + b1b2)。
4. 直线的方程：由于线性函数的图像是直线，因此可以通过已知直线上两个点的坐标来确定直线的方程。
设已知直线上的两个点为(x1, y1)和(x2, y2)，则直线的方程可以表示为y - y1 = (y2 - y1)/(x2 - x1)(x - x1)。
(完整版)第十章双线性函数
第十章 双线性函数一 内容概述 1 线性函数ⅰ）线性函数 设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ①f (α+β)=f (α)+f (β) ∈∀βα，V② f (α)=k f (α) ∀∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=-(2)如果是βs αααΛ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++=Λ2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++=Λ2211)(定理 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21Λ是V 的一组基，而n a a a ,,,21Λ是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1Λ= 2线性函数空间设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,∀∈L(V , P) ∀α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，()p k p V f ∈∈∀,,τ则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。
并称()p V ,τ 为V 的对偶空间。
3对偶基设n εεε,,,21Λ为V 的一组基，定义 )(j i f ε=⎩⎨⎧≠=ij i j 01，则n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ的一组基。
称n f f f ,,,21Λ 为n εεε,,,21Λ的对偶基。
定理 ()P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ 的一组基定理 设 n εεε,,,21Λ及 1η,2η,K n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与n f f f ,,,21Λ及n g g g ,,,21Λ。
如果由n εεε,,,21Λ到1η,2η,K n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21Λ到n g g g ,,,21Λ的过渡矩阵为1')(-A4. 双线性函数设V 是数域 P 上一个线性空间。
9双线性函数
第九章 双线性函数本章从线性函数入手，推行欧氏空间的假设干性质到一样数域F 上向量空间上，即双线性函数的概念，然后介绍正交空间、辛空间的一些大体结论． §1 线性函数概念1设V 是数域F 上的一个向量空间．σ是V 到F 的映射，若是 1) ,,()()()V αβσαβσασβ∀∈+=+， 2) ,,()()V k F k k ασασα∀∈∀∈=， 那么说σ是V 上的一个线性函数，由概念能够看出线性函数确实是V 到F 的线性映射。
因此关于线性映射的大体结果关于线性函数也成立。
线性函数是十分重要的函数类，在数学的多个分支和一些实际问题中都要用到它．下面看几个例子．例1 给定F 中的n 个元素12,,,n a a a , (12,n n x x F ∈,x ,)，规定121122(,,,)n n n f x x x a x a x a x =+++容易验证f 维持加法与纯量乘法两种运算．因此f 是n F 上的一个线性函数．例2 矩阵的迹把数域F 上每一个n 阶矩阵()ij n n A a ⨯=对应F 中的一个元素1nii i a =∑,而且有 ()()()Tr A B Tr A Tr B +=+，()()Tr kA kTr A = ．因此矩阵的迹是()n M F 上的一个线性函数．例3 定积分使每一个持续函数()f x 对应一个实数()baf x dx ⎰,并且知足(()())()()(())()b b b b baaaaaf xg x dx f x dx g x dx kf x dx k f x dx +=+=⎰⎰⎰⎰⎰，．因此定积分是[,]C a b 上的一个线性函数． 注意，在数学分析中把形如1211(,,,)n g x x x a x =++ n n a x b +的n元函数g 叫做线性函数．假设b ≠0，那么g 不维持加法运算，也不维持纯量乘法运算，从而g 不是概念1意义上的线性函数．因此，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．咱们来讨论有限维向量空间V 上的线性函数f 的表达式．设V 是数域F 上的n 维向量空间，f 是V 上的一个线性函数．在V 中取一个基12,,,n ααα．由于f 能够看成是向量空间V 到向量空间F 的一个线性映射，因此f 完全被它在V 的一个基12,,,n ααα上的作用所决定．即只要明白12(),(),,()n f f f ααα，就能够够明白V 中任一贯量1n i i i x βα==∑在f 作用下的象1()()n i i i f x f βα==∑.定理1 设V 是F 上一个n 维向量空间，12,,,n ααα是V 的一个基，12,,,n b b b 是F 中任意取定的n 个数，那么存在V 上唯一的线性函数f ，使得 ()i i f b α=，1,2,,i n =证明 对 1122n n x x x V βααα=+++∈，12,,,n b b b F ∈:f V F →1122n n x b x b x b β+++是一个线性函数，且知足()i i f b α=，1,2,,i n =；假设还有线性函数g ，且知足()i i g b α=，1,2,,i n =，那么V β∀∈，111()()()()nnni i i i i i i i i g x g x b x f f βααβ=======∑∑∑§2 双线性函数概念1 设V 是数域F 上一个向量空间，f 是V V ⨯到F 的一个二元函数，.若是,,,V k F αβγ∀∈∀∈，知足：1) (,)(,)(,)f f f αβγαβαγ+=+; 2) (,)(,)(,)f f f αβγαγβγ+=+; 3) (,)(,)(,)f k f k kf αβαβαβ== 那么称(,)f αβ为V 上的一个双线性函数.若是,V αβ∀∈,双线性函数f 还知足 4) (,)(,)f f αββα=那么称(,)f αβ为V 上的一个对称双线性函数。
双线性函数
第九章双线性函数与辛空间1 本章的教学目标及基本要求（1）理解线性函数及双线性函数，并会验证之（2）理解和掌握对偶空间的定义，并能求对偶空间的对偶基（3）掌握度量矩阵的定义、性质及求法*（4）了解辛空间的定义及性质2 本章教学内容及学时安排§1 线性函数2学时§2 对偶空间4学时§3 双线性函数4学时本章1次习题课，本章共计12学时3 本章教学内容的重点及难点本章的重点是线性函数和双线性函数的定义及证明。
在理解方面比较困难的是对偶空间及对偶基的求法。
4 本章的主要参考书目：[1]张禾瑞，郝鈵新编，高等代数（第四版），高等教育出版社，2001[2]叶明训等编，线性空间引论（第二版），武汉大学出版社，2002[3]蓝以中编，高等代数简明教程，北京大学出版社，1994[4]姚慕生编，高等代数，复旦大学出版社，2002第十章双线性函数与辛空间在线性空间上定义线性函数，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上线性空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的辛空间的定义及性质。
§1 线性函数 一、 线性函数的定义设V 是数域P 上的一个向量空间．def1 设f ∈Hom(V ，P)，即∀α，β∈V ，∀k ∈P ，都有f (α+β)=f (α)+f (β)，f (k α)=kf (α)，则称f 为V 上的一个线性函数．从定义不能推出以下简单性质：1）设f 为V 上的一个线性函数，则(0)0,()().f f f αα=-=-2）线性性；如果1122s s c c c βααα=+++，那么1122()()()().s s f c f c f c f βααα=+++线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它．下面举几个例子．例1 定积分使每一个连续函数f (x )对应一个实数⎰ba dx x f )(,并 且满足⎰⎰⎰⎰⎰=+=+b a b a ba b a b a dx x f k dx x kf dx x g dx x f dx x g x f )())(()()())()((，．所以定积分是C [a ，b ]上的一个线性函数．例2 矩阵的迹把数域P 上每一个n 阶矩阵A =(a ij )n n 对应P 中的一个元素∑=ni ii a 1,并且有Tr(A +B )= Tr A + Tr B ，Tr(kA )=k Tr A ．所以矩阵的迹是M n (P)上的一个线性函数．例3 在数域F 上的一元多项式环P [x ]中，字母x 用P 中的一个c 代入，它把每一个多项式f (x )对应P 中的数()f c ．由于未定元x 用c 代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法)，所以x 用c 代入是向量空间F[x]上的一个线性函数．见P400，例3例4 设12,,,n a a a 是P 中任意数，12(,,,)n n X x x x P ∀=∈，函数121122()(,,,)n n n f X f x x x a x a x ax ==+++， (1) 就是P 上的一个线性函数．注：1）当0,1,2,,i a i n ==时，()0f X =，称为零函数；2）在数学分析中，把形如++= 1121),,,(x a x x x g n b x a n n +的n 元函数g 称做线性函数．当b ≠0时， g 不保持加法运算，也不保持纯量乘法运算，因此g 不是定义1意义上的线性函数．故而“线性函数”这一术语在分析和代数里是有不同的含义，此时高等代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．二、存在及唯一性我们现在来讨论有限维线性空间V 上的线性函数f 的表达式．设V 是数域P 上的n 维线性空间，f 是V 上的一个线性函数．在V 中取一组基n ααα,,,21 ．由于f 可以看成是线性空间V 到线性空间P 上的一个线性映射，因此f 完全被它在V 上一组基n ααα,,,21 上基像所决定．即只要知道)(,),(),(21n f f f ααα ，就可知道V 中任一向量∑==ni i i x 1αβ在f 作用下的象∑==ni i i f x f 1)()(αβ． (2)(2)就是线性函数f 在基α1，…，αn 下的表达式．它表明：f 在β上的函数值()f β是β在基下的坐标12(,,,)n x x x 的一次齐次多项式．进而考虑数域P 上n 维线性空间V 上的线性函数的构造。
第十章 双线性函数与辛空间
第十章 双线性函数与辛空间§1 线性函数定义1 设V 是数域P 上的一个线性空间，f 是V 到P 的一个映射，如果f 满足1）)()()(βαβαf f f +=+;2）)()(ααkf k f =,式中βα,是V 中任意元素，k 是P 中任意数，则称f 为V 上的一个线性函数.从定义可推出线性函数的以下简单性质：1. 设f 是V 上的线性函数，则)()(,0)0(ααf f f -=-=.2. 如果β是s ααα,,,21 的线性组合：s s k k k αααβ+++= 2211那么)()()()(2211s s f k f k f k f αααβ+++=例1设n a a a ,,,21 是P 中任意数，),,,(21n x x x X =是n P 中的向量.函数n n n x a x a x a x x x f X f +++== 221121),,,()( (1)就是P 上的一个线性函数.当021====n a a a 时，得0)(=X f ,称为零函数，仍用0表示零函数.实际上，n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式.令n i i ,,2,1,)0,,0,1,0,,0( ==ε.第i 个n P 中任一向量),,,(21n x x x X =可表成n n x x x X εεε+++= 2211.设f 是n P 上一个线性函数，则∑∑====i i i i i i f x x f X f 11)()()(εε令,21,)(n i f a i i ，，， ==ε则n n x a x a x a X f +++= 2211)(就是上述形式.例2 A 是数域P 上一个n 级矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, 则A 的迹nn a a a A Tr +++= 2211)(是P 上全体n 级矩阵构成的线性空间n n P ⨯上的一个线性函数.例3 设t x P V ],[=是P 中一个取定的数.定义][x P 上的函数t L 为][)(,)())((x P x p t p x P L t ∈=,即))((x p L t 为)(x p 在t 点的值，))((x p L t 是][x P 上的线性函数.如果V 是数域P 上一个n 维线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 .对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α：n n x x x εεεα+++= 2211都有∑∑====ni i i n i i i f x x f f 11)()()(εεα. (2)因此，)(αf 由)(,),(),(21n f f f εεε 的值唯一确定.反之，任给P 中n 个数n a a a ,,,21 ，用下式定义V 上一个函数f ：∑∑===i i i i i i x a x f 11)(ε.这是一个线性函数，并且n i a f i i ,,2,1,)( ==ε因此有定理1 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21 是V 的一组基，n a a a ,,,21 是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使n i a f i i ,,2,1,)( ==ε.§2 对偶空间设V 是数域P 上一个n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记作),(P V L .可以用自然的方法在),(P V L 上定义加法和数量乘法.设g f ,是V 的两个线性函数.定义函数g f +如下：V g f g f ∈+=+αααα,)()()(.g f +也是线性函数：,))(())(()()()()()()())((βαβαβαβαβαβαg f g f g g f f g f g f +++=+++=+++=++))(()()()()())((ααααααg f k kg kf k g k f k g f +=+=+=+.g f +称为f 与g 的和.还可以定义数量乘法.设f 是V 上线性函数，对于P 中任意数k ，定义函数kf 如下：V f k kf ∈=ααα,))(())((,kf 称为k 与f 的数量乘积，易证kf 也是线性函数.容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下，),(P V L 成为数域P 上的线性空间.取定V 的一组基n εεε,,,21 ，作V 上n 个线性函数n f f f ,,,21 ，使得.,,2,1,,,0;,1)(n j i i j i j f j i =⎩⎨⎧≠==ε (1) 因为i f 在基n εεε,,,21 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对V 中向量∑==ni i i x 1εα，有i i x f =)(α, (2)即)(αi f 是α的第i 个坐标的值.引理 对V 中任意向量α，有∑==ni i i f 1)(εαα, (3)而对),(P V L 中任意向量f ，有∑==ni i i f f f 1)(ε. (4)定理2 ),(P V L 的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21 是),(P V L 的一组基. 定义2 ),(V P L 称为V 的对偶空间.由（1）决定),(P V L 的的基，称为n εεε,,,21 的对偶基.以后简单地把V 的对偶空间记作*V .例 考虑实数域R 上的n 维线性空间n x P V ][=，对任意取定的n 个不同实数n a a a ,,,21 ，根据拉格朗日插值公式，得到n 个多项式.,,2,1,)())(()()())(()()(111111n i a a a a a a a a a x a x a x a x x p n i i i i i i n i i i =--------=+=+- 它们满足 .,,2,1,,,0;,1)(n j i i j i j a p j i =⎩⎨⎧≠==)(,,)(),(21x p x p x p n 是线性无关的，因为由0)()()(2211=+++x p c x p c x p c n n用i a 代入，即得n i c a p c a p ci i p i n k i k k ,,2,1,0)()(1 ====∑=.又因V 是n 维的，所以)(,,)(),(21x p x p x p n 是V 的一组基.设),,2,1(n i V L i =∈*是在点i a 的取值函数：.,,2,1.)(,)())((n i V x p a p x p L i i =∈=则线性函数i L 满足.,,2,1,,,,0;,1)())((n j i j i j i a p x p L i j j i =⎩⎨⎧≠=== 因此，n L L L ,,,21 是)(,,)(),(21x p x p x p n 的对偶基.下面讨论V 的两组基的对偶基之间的关系.设V 是数域P 上一个n 维线性空间.n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是V 的两组基.它们的对偶基分别是n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .再设A n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =B f f f g g g n n ),,,(),,,(2121 =其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211, ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n b b b b b b b b b B 212222111211 由假设n i a a a n ni i i i ,,2,1,2211 =+++=εεεη,n j f b f b f b g n nj j j i ,,2,1,2211 =+++=.因此n j i j i j i a b a b a b a a a f b g ninj i j i j n ni i i nk k kj i j ,,2,1,,,0;,1)()(221122111 =⎩⎨⎧≠==+++=+++=∑=εεεη由矩阵乘法定义，即得E A B ='即1-='A B定理3 设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别为n f f f ,,,21 及n g g g ,,,21 .如果由n εεε,,,21 到n ηηη,,,21 的过渡矩阵为A ，那么由n f f f ,,,21 到n g g g ,,,21 的过渡矩阵为1)(-'A .设V 是P 上一个线性空间，*V 是其对偶空间，取定V 中一个向量x ，定义*V 的一个函数**x 如下：***∈=V f x f f x ,)()(.根据线性函数的定义，容易检验**x 是*V 上的一个线性函数，因此是*V 的对偶空间****=V V )(中的一个元素.定理 4 V 是一个线性空间，**V 是V 的对偶空间的对偶空间. V 到**V 的映射**→x x是一个同构映射.这个定理说明，线性空间V 也可看成*V 的线性函数空间，V 与*V 实际上是互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要的.§3 双线性函数定义3 V 是数域P 上一个线性空间，),(βαf 是V 上一个二元函数，即对V 中任意两个向量βα,，根据f 都唯一地对应于P 中一个数),(βαf .如果),(βαf 有下列性质：1）),(),(),(22112211βαβαββαf k f k k k f +=+;2）),(),(),(22112211βαβαβααf k f k k k f +=+,其中2121,,,,,βββααα是V 中任意向量，21,k k 是P 中任意数，则称),(βαf 为V 上的一个双线性函数.这个定义实际上是说对于V 上双线性函数),(βαf ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.例1 欧氏空间V 的内积是V 上双线性函数.例2 设)(),(21ααf f 都是线性空间V 上的线性函数，则V f f f ∈=βαβαβα,,)()(),(21是V 上的一个双线性函数. 例3 设n P 是数域P 上n 维列向量构成的线性空间.n P Y X ∈,再设A 是P 上n 级方阵.令AY X Y X f '=),(, (1)则),(Y X f 是n P 上的一个双线性函数.如果设),,,(,),,,(2121n n y y y Y x x x X ='='，并设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 则∑∑===n i nj j i ij y x a Y X f 11),(. (2)（1）或（2）实际上是数域P 上任意n 维线性空间V 上的双线性函数),(βαf 的一般形式.可以如下地说明这一事实.取V 的一组基n εεε,,,21 .设X x x x n n n ),,,(),,,(212121εεεεεεα =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=, Y y y y n n n ),,,(),,,(212121εεεεεεβ =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=, 则∑∑∑∑======n i nj j i j i n i n j j j i i y x f y x f f 1111),(),(),(εεεεβα. (3)令n j i f a j i ij ,,2,1,,),( ==εε,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 则（3）就成为（1）或（2）.定义 4 设),(βαf 是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数. n εεε,,,21 是V 的一组基，则矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=),(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111n n n n n n f f f f f f f f f A εεεεεεεεεεεεεεεεεε (4) 叫做),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵.上面的讨论说明，取定V 的一组基n εεε,,,21 后，每个双线性函数都对应于一个n 级矩阵，就是这个双线性函数在基n εεε,,,21 下的度量矩阵.度量矩阵被双线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的.反之，任给数域P 上一个n 级矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 对V 中任意向量X n ),,,(21εεεα =及Y n ),,,(21εεεβ =，其中),,,(21n x x x X ='，),,,(21n y y y Y ='用∑∑==='=n i nj j i ij y x a AY X f 11),(βα定义的函数是V 上一个双线性函数.容易计算出),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵就是A .因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与P 上全体n 级矩阵之间的一个双射.在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什么关系呢？设n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 是线性空间V 的两组基：C n n ),,,(),,,(2121εεεηηη =βα,是V 中两个向量12121),,,(),,,(X X n n ηηηεεεα ==,12121),,,(),,,(Y Y n n ηηηεεεβ ==那么11,CY Y CX X ==如果双线性函数),(βαf 在n εεε,,,21 及n ηηη,,,21 下的度量矩阵分别为B A ,，则有1111)()()(),(Y AC C X CY A CX AY X f ''='='=βα.又11),(BY X f '=βα.因此AC C B '=这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的.定义5 设),(βαf 是线性空间V 上一个双线性函数，如果0),(=βαf对任意V ∈β，可推出0=α，f 就叫做非退化的.可以应用度量矩阵来判断一个双线性函数是不是退化的.设双线性函数),(βαf 在基n εεε,,,21 下的度量矩阵为A ，则对X n ),,,(21εεεα =,Y n ),,,(21εεεβ =，有AY X f '=),(βα如果向量α满足V f ∈∀=ββα,0),(,那么对任意Y 都有0='A Y X因此0='A X而有非零向量X '使上式成立的充要条件为A 是退化的，因此易证双线性函数),(βαf 是非退化的充要条件为其度量矩阵A 为非退化矩阵.对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是比较复杂的.对于对称矩阵已有较完整的理论.定义6 ),(βαf 是线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 上任意两个向量βα,都有),(),(αββαf f =,则称),(βαf 为对称双线性函数.如果对V 中任意两个向量βα,都有),(),(αββαf f -=则称),(βαf 为反对称双线性函数.设),(βαf 是线性空间V 上的一个对称双线性函数，对V 的任一组基n εεε,,,21 ，由于),(),(i j j i f f εεεε=故其度量矩阵是对称的，另一方面，如果双线性函数),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵是对称的，那么对V 中任意两个向量X n ),,,(21εεεα =及Y n ),,,(21εεεβ =都有),(),(αββαf AX Y X A Y AY X f ='=''='=.因此),(βαf 是对称的，这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的.同样的，双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵.我们知道，欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数，而且它在任一基下的度量矩阵是正交矩阵.定理5 设V 是数域P 上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，使),(βαf 在这组基下的度量矩阵为对角矩阵.如果),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵为对角矩阵，那么对∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα,),(βαf 有表示式n n n y x d y x d y x d f +++= 222111),(βα.这个表示式也是),(βαf 在n εεε,,,21 下的度量矩阵为对角形的充分条件.推论1 设V 是复数上n 维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，对V 中任意向量∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα，有)0(),(2211n r y x y x y x f r r ≤≤+++= βα.推论2 设V 是实数n 上维线性空间，),(βαf 是V 上对称双线性函数，则存在V 的一组基n εεε,,,21 ，对V 中任意向量∑∑====ni i i n i i i y x 11,εβεα，有)0(),(1111n r p y x y x y x y x f rr p p p p ≤≤≤---++=++ βα.对称双线性函数与二次齐次函数是1—1对应的. 定义7 设V 是数域P 上线性空间，),(βαf 是V 上双线性函数.当βα=时，V 上函数),(ααf 称为与),(βαf 对应的二次齐次函数.给定V 上一组基n εεε,,,21 ，设),(βαf 的度量矩阵为()n n ija A ⨯=.对V 中任意向量∑==n i i i x 1εα有∑∑===n i nj j i ij x x a f 11),(αα. (5)式中j i x x 的系数为ji ij a a +.因此如果两个双线性函数的度量矩阵分别为()n n ij a A ⨯= 及()n n ij b B ⨯=只要n j i b b a a ji ij ji ij ,,2,1,, =+=+,那么它们对应的二次齐次函数就相同，因此有很多双线性函数对应于同一个二次齐次函数，但是如果要求A 为对称矩阵，即要求双线性函数为对称的，那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从(1)式看出二次齐次函数的坐标表达式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是1—1对应的，而这个对称矩阵就是唯一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数.定理6 设),(βαf 是n 维线性空间V 上的反对称双线性函数，则存在V 的一组基s r r ηηεεεε,,,,,,,111 --使⎪⎩⎪⎨⎧=∈=≠+===-.,,1,,0),(;0,0),(;,,1,1),(s k V f j i f r i f k j i i i αηαεεεε (6) 从定理5可知，V 上的对称双线性函数),(βαf 如果是非退化的则有V 的一组基n εεε,,,21 满足⎩⎨⎧≠==≠.,0),(;,,2,1,0),(i j f n i f j i i i εεεε前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基叫做V 的对于),(βαf 的正交基.而从定理6可知，V 上的反对称双线性函数),(βαf 如果是非退化的，则有V的一组基r r --εεεε,,,,11 使⎩⎨⎧≠+===-.0,0),(;,,2,1,1),(j i f r i f j i i i εεεε由于非退化的条件，定理6中的s ηη,,1 不可能出现.因此具有非退化反对称双线性函数的线性空间一定是偶数维的.对于具有非退化对称、反对称双线性函数的线性空间V ，也可以将这些双线性函数看成V 上的一个“内积”，仿照欧氏空间来讨论它的度量性质，一般的长度，角度很难的进去，但是还能讨论“正交性”、“正交基”以及保持这个双线性函数的线性变换等.定义8 设V 是数域P 上的线性空间，在V 上定义一个非退化线性函数，则V 称为一个双线性度量空间.当f 是非退化对称双线性函数时，V 称为P 上的正交空间；当V 是n 维实线性空间，f 是非退化对称双线性函数时，V 称为准欧氏空间；当f 是非退化反对称双线性函数时，称V 为辛空间.有着非退化双线性函数f 的双线性度量空间常记为),(f V .§4 辛空间由前一节的讨论，已经得到下面的两点性质：1. 辛空间),(f V 中一定能找到一组基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 满足,1,1),(n i f i i ≤≤=-εε0,,,0),(≠+≤≤-=j i n j i n f j i εε.这样的基称为),(f V 的辛正交基.还可看出辛空间一定是偶数维的.2．任一n 2级非退化反对称矩阵K 可把一个数域P 上n 2维空间V 化成一个辛空间，且使K 为V 的某基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 下度量矩阵.又此辛空间在某辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 下的度量矩阵为nn O E E O J 22⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=, (1) 故K 合同于J .即任一n 2级非退化反对称矩阵皆合同于J .两个辛空间),(11f V 及),(22f V ，若有1V 到2V 的作为线性空间的同构ℜ，它满足),(),(21Kv Ku f v u f =,则称ℜ是),(11f V 到),(22f V 的辛同构.),(11f V 到),(22f V 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把),(11f V 的一组辛正交基变成),(22f V 的辛正交基.两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数.辛空间),(f V 到自身的，辛同构称为),(f V 上的辛变换.取定),(f V 的一组辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 ，V 上的一个线性变换ℜ，在该基下的矩阵为K ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A K , 其中D C B A ,,,皆为n n ⨯方阵.则ℜ是辛变换当且仅当J JK K ='，亦即当且仅当下列条件成立：E B C D A B D D B A C C A ='-''=''=',,且易证0||≠K ，及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换.设),(f V 是辛空间，V v u ∈,,满足0),(=v u f ，则称v u ,为辛正交的. W 是V 的子空间，令{}W w w u f V u W ∈∀=∈=⊥,0),(|. (2)⊥W 显然是V 的子空间，称为W 的辛正交补空间.定理7 ),(f V 是辛空间，W 是V 的子空间，则W V W dim dim dim -=⊥.定义9 ),(f V 为辛空间，W 为V 的子空间.若⊥⊂W W ，则称W 为),(f V 的迷向子空间；若⊥=W W ，即W 是极大的（按包含关系）迷向子空单间，也称它为拉格朗日子空间；若{}0=⊥W W ，则W 称W 为),(f V 的辛了空间.例如，设n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 是),(f V 的辛正交基，则),,,(21k L εεε 是迷向子空间. ),,,(21n L εεε 是极大迷向子空间，即拉格朗日子空间),,,,,,,(2121k k L ---εεεεεε 是辛子空间.对辛空间),(f V 的子空间W U ,.通过验证，并利用定理7，可得下列性质：(1) W W =⊥⊥)(,(2) ⊥⊥⊂⇒⊂U W W U ,(3) 若U 是辛子空间，则⊥⊕=U U V(4) 若U 是迷向子空间,则V U dim 21dim ≤(5) 若U 是拉格朗日子空间，则V U dim 21dim = 定理8 设L 是辛空间),(f V 的拉格朗日子空间，{}n εεε,,,21 是L 的基，则它可扩充为),(f V 的辛正交基.推论 设W 是),(f V 的迷向子空间，{}k εεε,,,21 是L 的基，则它可扩充成),(f V 的辛正交基.对于辛子空间U ，U f |也是非退化的.同样⊥U f |也非退化.由定理7还有⊥⊕=U U V .定理9 辛空间),(f V 的辛子空间)|,(U f U 的一组辛正交基可扩充成),(f V 的辛正交基..定理10 令),(f V 为辛空间，U 和W 是两个拉格朗日子空间或两个同维数的辛子空间，则有),(f V 的辛变换把U 变成W .辛空间),(f V 的两个子空间V 及W 之间的（线性）同构ℜ若满足V v W u Kv Ku f v u f ∈∈∀=,,),(),(则称ℜ为V 与W 间的等距.Witt 定理 辛空间),(f V 的两个子空间V ,W 之间若有等距，则此等距可扩充成),(f V 的一个辛变换.下面是辛变换的特征值的一些性质.ℜ是辛空间),(f V 上的辛变换，则ℜ的行列式为1.取定),(f V 的辛正交基n n ---εεεεεε,,,,,,,2121 .设ℜ在基下矩阵为K ，这时有J JK K ='.定理11 设ℜ是n 2维辛空间中的辛变换，K 是ℜ在某辛正交基下的矩阵.则它的特征多项式||)(K E f -=λλ满足)1()(2λλλf f n =.若设 n n n n a a a a f 21212120)(++++=--λλλλ ,则n i a a i n i ,,1,0,2 ==-.由定理11可知，辛变换ℜ的特征多项式)(λf 的（复）根λ与λ1是同时出现的，且具有相同的重数.它在P 中的特征值也如此.又||K 等于)(λf 的所有（复）根的积，而1||=K .故特征值1-的重数为偶数.又不等于1±的复根的重数的和及空间的维数皆为偶数，因此特征值为1+的重数也为偶数.定理12 设j i λλ,是数域P 上辛空间),(f V 上辛变换ℜ在P 中的特征值，且1≠j i λλ.设i V λ,jV λ分别是V 中对应于特征值i λ及j λ的特征子空间.则j i V v V u λλ∈∈∀,，有0),(=v u f ，即i V λ与j V λ是辛正交的.特别地，当1≠i λ时i V λ是迷向子空间.第十章 双线性函数与辛空间(小结)一、基本概念线性函数；对偶空间。
双线性函数
双线性函数刘英;王路群;李凤霞;刘冬丽【摘要】为了进一步整合线性代数的内容,利用线性函数揭示双线性函数的结构,探讨了双线性函数可表示为若干对线性函数张量积之和,同时通过对偶基的性质揭示出对偶空间V*的一组基必为空间V的某组基的对偶基,这极大地丰富了线性函数的理论.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2010(030)001【总页数】4页(P18-21)【关键词】双线性函数;笛卡尔积;对偶空间【作者】刘英;王路群;李凤霞;刘冬丽【作者单位】哈尔滨师范大学,恒星学院,信息科学系,黑龙江,哈尔滨,150025;哈尔滨师范大学,恒星学院,信息科学系,黑龙江,哈尔滨,150025;哈尔滨师范大学,恒星学院,信息科学系,黑龙江,哈尔滨,150025;哈尔滨师范大学,恒星学院,信息科学系,黑龙江,哈尔滨,150025【正文语种】中文【中图分类】O151.2双线性函数是线性代数理论的一个重要内容.它涉及很多内容，如对称阵、反对称阵、二次型、正交阵、辛阵等，特别地双线性函数与线性函数有密切关系.现行教材[1-5]没有说明双线性函数与线性函数之间的关系，本文探讨了这个问题，指出双线性函数可表示为若干对线性函数张量积之和.同时指出了线性空间V的对偶空间V*的一组基必为空间V的某组基的对偶基，这对深入研究线性代数理论有一定意义.设F为一个给定的域， Z+为正整数集，m, n ∈Z+，以Fm×n 表示F上所有m×n矩阵作成的集合，V表示F上的线性空间.引理1 设dimV=n∈Z+，ε1, …,εn是V的一组基，定义从V*到F1×n 的映射δ∶f→(f(ε1),…, f(εn ))（f∈V *），则δ是V*到F1×n 的同构映射，即V *≅F1×n.证明易证δ是单射、满射、线性映射，故δ是V*到Fm×n 的同构映射.证毕.推论设dimV=n∈Z+，f 1, …, fn∈V*，则f1, …,fn 是V*的一组基当且仅矩阵（记作（fi (εj )）T）是可逆的.证明设dimV=n∈Z+，f1, …, fs∈V*，s∈Z+，则易证x1f1+…+xsfs =0同解于齐次线性方程组是V*的一组基当且仅当方程x1f1+…+xnfn =0只有零解，从而方程组只有零解，即当且仅当可逆.证毕.定理1 设f 1, …, fn∈V*为一组基，则有V的一组基α1, …,αn，使得f1, …,fn 为α1, …,αn的对偶基.证明考察线性方程组由于其系数矩阵为（fi (εj )）的转置，由引理1的推论可知，方程组的系数矩阵可逆，故对于任意ai∈F(1≤i≤n)方程组必有解．依次取(a1,…, an )为单位矩阵In的行向量e1=(1,0,…,0),…,e n =(0,0, …, 1)，所得解依次为置有若有c1,…,cn∈F ，适合c1α1+…+cnα n =0，两端同时取fi的象，得cif i (αi )=0．从而ci =0（i=1, …,n）．所以α1, …,αn为V的一组基[1]，且α1, …,αn的对偶基是f1, …,fn ．证毕．定义1[2] 设S, T为非空集合，置S×T ={(x,y)|x∈S, y∈T }，当(xi,yi)∈S×T(i=1, 2)时，(x1, y1)=(x2,y2)⇔x1=x2,y1=y 2，则称S×T为S与T的笛卡尔积或叉积．定义2[4] 设映射f∶V ×V→F，若映射f满足：f(α,kβ1+lβ 2)=kf(α,β1)+lf(α,β2)，f(kα 1+lα 2,β)=kf(α1,β)+lf(α2,β)（α,α1,α2,β,β1,β2∈V，k,l∈F ），则称f是V 的一个双线性函数，V上的所有双线性函数作成的集合，记为L(V 2, F)．引理2 设f∈L(V 2, F)，α1, β1∈V ，置g(β)=f(α1,β)(β∈V)，h(α)=f(α,β1)(α∈V)，则g,h∈V *.证明由定义2易证．证毕.定理2 任取f,g∈V*，定义(f⊗g)(α,β)=f(α)g(β)（α, β∈V ），f⊗g称为f与g的张量积，则f⊗g ∈L (V2,F)．证明任取α1,α2,β1,β2∈V，k1,k 2,l1,l2∈F，由定义(f⊗g)(k1α1+l1β1,k2α2+l2β2)=f(k1α1+l1β1)g(k 2α2+l2β2)=(k1f(α1)+l1f(β1))(k2g(α2)+l 2g(β2))=k1k 2f(α1)g(α2)+k1l2f(α1)g(β2)+l1k2f(β1)g(α2)+l1l2f(β1)g(β2)=k1k2(f⊗g)(α1,α2)+k1l2(f⊗g)(α1,β2)+l1k2(f⊗g)(β1,α2)+l1l2(f ⊗g)(β1,β2)，由双线性函数定义，推出f⊗g∈L(V2,F)．证毕．定理3 设f 1,f2,g1,g 2∈V ∗，则(k1f1+l1g1)⊗(k2f2+l2g2)=k1k2(f1⊗f2)+k1l2(f1⊗g2)+lk(g⊗f )+ll(g⊗g)（k,k,l,l∈F ），进而kf⊗g=f⊗kg =k (f⊗g)（f,g∈V *,k∈F ）．121212121212证明对于任意α, β∈V ，由于(k1f1+l1g1)⊗(k 2f2+l2g2)(α,β)=(k1f1+l1g1)(α)(k2f2+l2g2)(β)=k1k2f1(α)f2(β)+k1l2f1(α)g2(β)+l1k2g1(α)f2(β)+l1l2g1(α)g2(β)=k1k（2f1⊗f 2）(α,β)+k1l2(f1⊗g2)(α,β)+l1k2(g1⊗f2)(α,β)+l1l2(g1⊗g2)(α,β)=(k1k （2f1⊗f2）+k1l2(f1⊗g 2)+l1k2(g1⊗f2)+l1l2(g1⊗g2))(α,β)，即(k1f1+l1g1)⊗(k2f2+l2g2)=k1k2(f1⊗f2)+k1l2(f1⊗g2)+l1k2(g1⊗f2)+l1l2(g1⊗g2).分别令k1=k,l1=0,k 2=0,l2=1;k1=1,l1=0,k 2=0,l2=k ，则有kf⊗g=f⊗kg =k(f⊗g).证毕．定理4 设dimV=n∈Z+，f 1, …, fn∈V *为一组基，则对于任意f∈L(V 2, F)，必存在唯一一组基g, …, g∈V*，使得f=f ⊗g+…+f⊗g ．1n11nn证明由定理1可知，存在V的一组基是其对偶基，分别置g1(β)=f(α1,β),…,gn (β)=f(αn ,β)（β∈V）．由引理2知g1, …, gn∈V *．任取α∈V，则有a1,…,an∈F ，适合α=a1α1+…+anαn ，于是(f1⊗g1+…+fn⊗gn )(α,β)=(f1⊗g1)(α,β)+…+(fn ⊗gn )(α,β)=f1(α)g1(β)+…+fn (α)gn(β)=a1g1(β)+…+an gn (β)=a1f(α1,β)+…+an f(αn ,β)=f(a1α1+…+anαn ,β)=f(α,β)．又若有h1, …, hn∈V*，适合f=f 1⊗h1+…+fn⊗hn ，两端同时取(αi, β)（β∈V，i=1, …,n ）的象，得推出得f(αi,β)=h(β)（i=1, …,n ），从而hi(β)=gi (β)，即hi=gi （i=1, …,n ）．证毕．定理5 定理4中的f∈L(V 2, F)是非退化的，当且仅当g1, …,gn 也是V*的一组基．证明由双线性函数非退化的定义知，f非退化当且仅当f在某组基下的度量矩阵是可逆的，因此当且仅当(gi(αj ))为可逆的，而由引理2的推论，(gi(αj ))可逆而转置矩阵（gi (αj)）T可逆，当且仅当g1, …,gn 也是V*的一组基，故f为非退化的当且仅当g1, …,gn 也是V*的一组基.证毕.定理6 定理4中的双线性函数f是反对称的，当且仅当(gi(αj ))是反对称矩阵.证明若f∈L(V2,F)，对于V的2组基α1, …,αn与β1, …,βn，则f在这2组基下的度量矩阵是合同的，从而可知命题成立.证毕.定理7 设双线性函数f具有定理4中的形式，h1, …, hn∈V *也是一组基，且h1, …,hn 到f1, …,fn的过渡矩阵为T，则，其中：证明设T=(t ij)，由已知条件(f1,…,fn )=(h1,…, hn )T ，即从而由定理3，得即证毕.定义3 设U，W是F上的线性空间，f∶U ×W→V 是映射，若对于任意α,α1,α2∈U ，β, β1,β2∈W,k1,k 2∈F，恒有f(α,k1β1+k2β2)=k1f(α,β1)+k 2f(α,β2)，f(k1α1+k2α2, β)=k1f(α1,β)+k 2f(α2,β)，则称f是U×W到V的一个双线性映射.由定理3，⊗是V*×V*到L(V 2, F)的双线性映射.定理8 设dimV=n∈Z+，U是F上的线性空间，若σ是V*×V*到U的双线性映射，则存在唯一的线性映射τ∶L(V 2, F)→U ，使得σ=τ⊗.证明由定理4可知，对于g∈L(V2, F)有，其中：f1, …,fn 是为V*的一组基.令，由于g取定后，g1, …,gn 是唯一的（定理4），故τ是L(V2, F)到U的映射.取，由定理3推出，从而推出τ是L(V2, F)到U线性映射[3].任取ϕ,ψ∈V *，则有c1,…,cn∈F ，适合于是，推出(τ⊗)(ϕ, ψ)=若有τ1∶L(V 2, F)→U 为线性映射，适合τ1⊗=σ.于是(τ1⊗)(fi ,ψ)=σ(f i , ψ)，即τ1(fi, ψ)=σ(fi,ψ)（i=1, …,n ），得…,n ）.再由定理4，对于任意的均成立，故τ1=τ.证毕.【相关文献】[1] 北京大学数学系代数与几何教研室代数小组.高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社，2001.[2] 白述伟.高等代数选讲[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，2000.[3] 张禾瑞，郝鉼新.高等代数[M].4版.北京：高等教育出版社，1999.[4] 朱平天，李伯篊，邹园.近世代数[M].北京：科学出版社，2001.[5] 张贤科，许甫华.高等代数学[M].北京：清华大学出版社，2004.。
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浅议双线性函数若干性质
摘要：该文讨论了双线性函数在两组不同基下矩阵关系，并刻画了非退化双线性函数等价条件.
关键词：双线性型矩阵等价非退化双线性型
Abstract:In the paper, we discuss the bilinear function in two different groups based on matrix relationship, and depict the retreat bilinear function equivalent conditions.
Key word：bilinear function matrix equivalence retreat of bilinear function
在文献[1]中，线性空间中线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的，二次型的矩阵在非退化的线性变换下是合同的，文献[2-3]给出了双线性函数两个特例，并刻画了双线性函数与矩阵的关系，本文探讨双线性函数在两组不同基下对应的矩阵关系如何？非退化双线性函数如何用矩阵来刻画及其等价条件？
1 基本概念及例子
参考文献
[1]王萼芳,石生明.高等代数[M].3版.北京：高等教育出版社,1978.
[2]陈峰.二次型和对称双线性函数的对应关系[J].台州学院学报,2004,26(3):23-25.
[3]王金林.关于对称与反对称双线性函数[J].江西师范大学学报，2005，29(6):538-540.。