双线性函数及其应用
白国仲《高等代数》§10.3 双线性函数
i 1
i 1
则 g( , ) x1 x2
y1
xn
B
y2
,
yn
是V上的一个双线性函数. 为满射.
§10.3 双线性函数
若双线性函数 f ( , ) g( , ), 但 ( f ) ( g).
设 f ( , ) A f (i , j ) ,
第十章 双线性函数
§10.1 线性函数 §10.2 对偶空间 §10.3 双线性函数 §10.4 对称双线性函数
§10.3 双线性函数
一、双线性函数 二、度量矩阵 三、非退化双线性函数
§10.3 双线性函数
一、双线性函数
定义 设V 是数域 P上的n 维线性空间，映射 f :V V P 为 V上的二元函数. 即对 , V , 根据 f 唯一地对应于P 中一个数 f ( , ) , 如果 f ( , ) 具有性质:
易证 f g, kf 仍为V上双线性函数.
并且 ( f g)(i , j ) f (i , j ) g(i , j )
f g A B f (i , j ) g(i , j ) kf kA k f (i , j )
§10.3 双线性函数
而 A' X 0只有零解 A' 0. 即 A 0, 即 A 非退化.
推论： V , 由 f ( , ) 0 可推出 0,
则 f 非退化.
§10.3 双线性函数
例、设 A P mm , 定义 Pmn 上的一个二元函数 f ( X ,Y ) Tr( X ' AY )nn, X ,Y P mn (1) 证明 f 是 Pmn上得双线性函数； (2) 求 f ( X ,Y ) 在基 E11, , E1n , E21, , E2n , , Em1, , Emn 下的度量矩阵.
高等代数(第三版)10.3双线性函数
f ( , ) x1 y1
xr yr (0 r n)
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
推论2 设V为实数域上n维线性空间， f ( , )Ｖ上的一个对称双线性函数， 则存在V的一组基1， 2， ， n， 对Ｖ中任意向量＝ xi i , ＝ yi i , 有
结论2 Ｖ上的反对称双线性函数f ( , ) 如果是非退化的，则存在V的一组基
1， -1 ， r , -r使
f ( i , i ) 1 i 1, , r f ( , ) 0 i j 0 i j
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
式中1 , 2 ,1 ,2是Ｖ中任意向量， k1 ,k2是Ｐ中任意数，则称f ( , ) 为Ｖ上的一个双线性函数．
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
例1 欧氏空间V的内积是V上双线性函 数 例2 设 f1 ( ), f 2 ( ) 都是线性空间V上的线性函数，则
f ( , ) f1 ( ) f 2 ( )
ｉ＝１ ｉ＝１ ｎ ｎ
f ( , ) x1 y1 (0 p r n)
x p y p x p 1 y p 1
xr yr
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
定义７ 设V为数域Ｐ上线性空间, f ( , )是Ｖ上的对称双线性函数， 当＝ 时，Ｖ上函数f ( , )称为 f ( , )对应的二次齐次函数．
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
结论
双线性函数是对称的
当且仅当f ( , )＝f ( ， ) 当且仅当它在任一组基下的 度量矩阵是对称矩阵. 双线性函数是反对称的 当且仅当f ( , )＝-f ( ， ) 当且仅当它在任一组基下的 度量矩阵是反对称矩阵.
双线性变换法的原理
双线性变换法的原理
双线性变换法是一种通过将问题转化成一对线性方程组求解的方法，常用于解决二元二次方程或二元二次函数的问题。
其原理可以归纳如下：
1. 假设我们要解决一个二元二次方程或二元二次函数的问题，形式为ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0（或f(x, y) = 0）。
2. 首先，对于该方程的每一项，我们引入一个新的变量u和v，并将该项表示为一个新的线性方程。
例如，对于ax²，我们将
其表示为au²。
3. 在引入新的变量后，我们得到了一组新的线性方程，形式为Aui + Bvi + Ci + Di + Ei + F = 0，其中i表示第i个线性方程。
4. 接下来，我们要构造一组满足上述线性方程的两个二次式，即f(u, v) = 0。
这里，我们选择f(u, v) = Au² + Buv + Cv² + Du
+ Ev + F。
5. 由于方程组中的每一个线性方程都对应一个二次式，我们可以得到关于u和v的二元二次方程。
我们需要求解这个二元二次方程，从而得到u和v的值。
6. 一旦找到了u和v的值，我们可以将其代入到原方程中，得到x和y的值，从而解决了原始的二元二次方程或二元二次函数问题。
双线性变换法的核心思想是通过引入新的变量，将一个二次式转化为一组线性方程，从而将原问题转化为一对线性方程组，利用线性方程组的解法来求解原问题。
这种方法的优势在于可以利用线性方程组求解的方法解决二次方程或二次函数的问题，而线性方程组求解的方法已经非常成熟和广泛应用。
(完整版)第十章双线性函数
第十章 双线性函数一 内容概述 1 线性函数ⅰ）线性函数 设V 是数域P 上线性空间，映射f ：V →P 满足 ①f (α+β)=f (α)+f (β) ∈∀βα，V② f (α)=k f (α) ∀∈αV ，k ∈P 则f 是V 上的一个线性函数 ⅱ）线性函数的简单性质： (1) 设f 是V 上的线性函数，则f (0)=0，()()ααf f -=-(2)如果是βs αααΛ,,21的线性组合：s s k k k αααβ++=Λ2211 ，那么 s s k k k f αααβ+++=Λ2211)(定理 设V 是P 上一个n 维线性空间，n εεε,,,21Λ是V 的一组基，而n a a a ,,,21Λ是P 中任意n 个数，存在唯一的V 上线性函数f 使f (i ε)=i a n i ,,2,1Λ= 2线性函数空间设V 是数域上P 线性空间，V 上的全体线性函数的集合记为L(V , P), 定义 ⅰ）加法 (g f +)(α)=f (α)+g (α) g f ,∀∈L(V , P) ∀α∈V ⅱ）数乘()()()()ααkf kf =，()p k p V f ∈∈∀,,τ则()p V ,τ 也是一个 p 上的线性空间。
并称()p V ,τ 为V 的对偶空间。
3对偶基设n εεε,,,21Λ为V 的一组基，定义 )(j i f ε=⎩⎨⎧≠=ij i j 01，则n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ的一组基。
称n f f f ,,,21Λ 为n εεε,,,21Λ的对偶基。
定理 ()P V ,τ的维数等于V 的维数，而且n f f f ,,,21Λ是()P V ,τ 的一组基定理 设 n εεε,,,21Λ及 1η,2η,K n η是线性空间V 的两组基，它们的对偶基分别与n f f f ,,,21Λ及n g g g ,,,21Λ。
如果由n εεε,,,21Λ到1η,2η,K n η的过渡矩阵为 A ，那么由n f f f ,,,21Λ到n g g g ,,,21Λ的过渡矩阵为1')(-A4. 双线性函数设V 是数域 P 上一个线性空间。
高等代数【北大版】10-4
对称双线性函数. 则称 f (α , β ) 为对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
2. 对称双线性函数的有关性质 命题1 数域 P上n 维线性空间 V上双线性函数 命题 上 上双线性函数 是对称的(反对称的) 是对称的(反对称的) f (α , β ) 在V的任意 的任意 一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的) 一组基下的度量矩阵是对称的(反对称的). 证:任取V的一组基 ε 1 , ε 2 , , ε n , 任取 的一组基
" " f (α + β ,α + β )
α ∈ V
= f (α , β ) + f ( β ,α ) + f (α ,α ) + f ( β , β )
f (α , β ) + f ( β ,α ) = 0
f (α , β ) = f ( β ,α )
§10.4 对称双线性函数
二, 反对称双线性函数
§10.4 对称双线性函数
2. 反对称双线性函数的有关性质 定理6 维线性空间V上反对称 定理 设 f (α , β ) 为 n 维线性空间 上反对称 双线性函数( 双线性函数(即 α , β ∈ V , f (α , β ) = f ( β ,α ) ) 则存在V的一组基 则存在 的一组基 ε 1 , ε 1 , , ε r , ε r ,η1 , ,η s 使
α = (ε 1 , ε 2 , , ε n ) X , β = (ε 1 , ε 2 , , ε n )Y .
f (ε i , ε j ) = aij ,
则
A = (aij )
f (α , β ) = X ' AY .
第十章 双线性函数
第十章 双线性函数§10.1 线性函数1．设V 是数域F 上的一个线性空间, f 是V 到F 的一个映射, 若f 满足:(1)()()();(2)()(),f f f f k kf αβαβαα+=+=式中,αβ是V 中任意元素, k 是F 中任意数, 则称f 为V 上的一个线性函数.2．简单性质:设f 是V 上的线性函数 （1） (0)0,()().f f f αα=−=−（2）11221122()()()()t t t t f k k k k f k f k f αααααα+++=++L L例1 对数域F 上的任意方阵()ijn nA a ×=, 我们已定义1122()nn tr A a a a =+++L为A 的对角元之和, 称为A 的迹. 容易验证映射 :,()n n tr A tr A ×→→F F满足条件:(1)()()(),,;(2)()(),,.n n n ntr A B tr A tr B A B tr kA k tr A A k ××+=+∀∈=∀∈∈ F F F因此tr 是n n×F的线性函数.例2 设[]V F x =, a 是F 中一个取定的数. 定义[]F x 上的函数a L 为: (())(),()[],a L f x f a f x F x =∈即(())a L f x 为()f x 在a 点的值, (())a L f x 是[]F x 上的线性函数.如果V 是数域F 上的一个n 维线性空间， 取定V 的一组基12,,,n εεεL . 对V 上任意线性函数f 及V 中任意向量α:1122n n x x x αεεε=+++L都有1122()()()()n n f x f x f x f αεεε=+++L因此, ()f α由12(),(),,()n f f f εεεL 的值唯一确定. 反之, 任给F 中n 个数12,,,n a a a L , 用下式定义V 上一个函数f :11()n ni ii ii i f x a x ε===∑∑这是一个线性函数, 而且(),1,2,,i i f a i n ε==L我们有:3. 设V 是数域F 上的一个n 维线性空间, 取定V 的一组基12,,,n εεεL , 对于任给F 中n 个数12,,,n a a a L , 存在唯一的V 上线性函数f 使(),1,2,,i i f a i n ε==L .§10.2 对偶空间1．对偶空间定义设V 是数域F 上的n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记为*V .*V 上定义加法与数乘：()()()(),f g f g V αααα+=+∈.()()(()),.kf k f V ααα=∈则,f g kf +都是线性函数, 故*V 成为F 上的线性空间. *V 称为V 的对偶空间3．对偶基取定V 的一组基12,,,n εεεL ，定义V 上的n 个线性函数(1,2,,)i f i n =L 如下: ()i j ij f εδ= 则12,,,n f f f L 是*V 中线性无关的向量组, 构成*V 的一组基. 我们称之为12,,,n εεεL 的对偶基.4．对偶空间的维数*dim dim V V n ==.5．对偶基之间的关系 设12,,,n εεεL 及12,,,n ηηηL 是线性空间V 的两组基, 它们的对偶基分别是12,,,n f f f L 及12,,,n g g g L . 再设由12,,,n εεεL 到12,,,n ηηηL 的过渡矩阵为A , 那么由12,,,n f f f L 到12,,,n g g g L 的过渡矩阵为1()T A −.6．V 到**V 的同构（1）取定V 中一个向量x , 定义*V 的一个函数**x 如下: ***()(),x f f x f V =∈.（2）函数**x 具有下列性质 z****x V ∈z 若**()0x f =对一切x V ∈成立, 则0f =;z 若**()0x f =对一切*f V ∈成立的充分必要条件是0x =. （3）同构V 是一个线性空间, **V 是V 的对偶空间的对偶空间. V 到**V 的映射 **x x → 是一个同构映射.如果把V 与**V 在这个同构下等同起来, 则V 可以看成*V 的对偶空间. 这样V 与**V 具有同等的地位, 它们互为对偶.§10．3 双线性函数一、 双线性函数的定义与矩阵1．定义设V 是数域F 上一个线性空间, (,)f αβ是V 上一个二元函数, 即将V 中任意两个向量,αβ对应于F 中一个数(,)f αβ, 并且满足如下条件:1122112211221122(1)(,)(,)(,);(2)(,)(,)(,)f k k k f k f f k k k f k f αββαβαβααβαβαβ+=++=+这里121212,,,,,;,V k k αααβββ∈∈F . 我们称(,)f αβ是V 上一个双线性函数.注：将V 中一个变元固定时的映射 :,(,)f V f αβαβ→a F 和:,(,)V αϕβϕβα→a F都是V 上的线性函数, 就是说,f ααϕ都是V 的对偶空间*V 中的向量.2． 定理（双线性函数的形式）设在数域F 上的线性空间V 上定义了双线性函数f ,12,,,n εεεL 是V 的任意一组基.则任意,V αβ∈在f 下的值(,)f αβ可以由,αβ在该基下的坐标,X Y 按下列公式计算: (,)Tf X AY αβ=，其中()ij n n A a ×=由(,)ij i j a f εε=组成, 称为双线性函数f 在12,,,n εεεL 下的度量矩阵.3．简单性质设,f g 在12,,,n εεεL 下的度量矩阵分别是,A B , 则 （1）f g +在12,,,n εεεL 下的矩阵分别是A B +； （2）kf 在12,,,n εεεL 下的矩阵分别是kA 。
考研高数总复习第十章线性函数第三节(讲义)
n
n
推论 2
容易计算出
因此，在给定的基下，V 上全体双线性函数与 P 上全体 n 级矩阵之间有一个双射. 在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩 阵一般是不同的，它们之间有什么关系呢？
设 1 , 2 , … , n 及 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的两组基： (1 , 2 , … , n ) = (1 , 2 , … , n ) C.
则称 f ( , ) 为
对称双线性函数.
f ( , ) = - f ( , ) ，
如果对 V 中
任意两个向量 , 都有
则称 f ( , ) 为
反对称双线性函数.
设 f ( , ) 是线性空间 V 上的一个对称双线性
函数，对 V 的任一组基 1 , 2 , … , n ，由于
2 , … , n)Y ，其中 XT = (x1 , x2 , … , xn) ,
YT = (y1 , y2 , … , yn)，用
f ( , ) X AY aij xi y j
T i 1 j 1
n
n
定义的函数是 V 上一个双线性函数.A .
xi i , yi i ,
i 1 i 1
n
n
f ( , ) 有表达式 f ( , ) = d 1 x 1 y 1 + d 2 x 2 y 2 + … + d n x n y n . 这个表示式也是 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的度量 矩阵为对角形的充分条件.
( 4)
叫做 f ( , ) 在 1 , 2 , … , n 下的
度量矩阵.
上面的讨论说明，取定 V 的一组基 1 , 2 , …,
§10.3 双线性函数
§10.3 双线性函数
一,双线性函数 二,度量矩阵 三,非退化双线性函数
第十章 双线性函数
一,双线性函数 定义1 设V是数域F上的一个线性空间,f (α , β ) 是V上一个二 元函数,即对 α , β ∈ V , f 确定F中唯一的数 f (α , β ) 与之对应. 若对 α , α 1 , α 2 , β , β 1 , β 2 ∈ V , k1 , k2 ∈ F , f (α , β ) 满足以下两点: (1) f (α , k1 β 1 + k2 β 2 ) = k1 f (α , β 1 ) + k2 f (α , β 2 ); (2) f ( k1α 1 + k2α 2 , β ) = k1 f (α 1 , β ) + k2 f (α 2 , β ) . 则称 f (α , β ) 为V上的一个双线性函数. 由定义知:双线性函数是这样一个二元函数 f (α , β ) :对每 个变元,它都是线性函数.
f (α , k1 β 1 + k2 β 2 ) = f1 (α ) f 2 ( k1 β 1 + k2 β 2 )
= f1 (α )[k1 f 2 ( β 1 ) + k2 f 2 ( β )] = k1 f1 (α ) f 2 ( β 1 ) + k2 f1 (α ) f 2 ( β 2 ) = k1 f (α , β 1 ) + k2 f (α , β 2 ) f ( k1α 1 + k2α 2 , β ) = f1 ( k1α 1 + k2α 2 ) f 2 ( β ) = [ k1 f1 (α 1 ) + k2 f1 (α 2 )] f 2 ( β )= k1 f1 (α 1 ) f 2 ( β ) + k2 f1 (α 2 ) f 2 ( β ) = k1 f (α 1 , β ) + k2 f (α 2 , β )
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双线性函数及其应用本科生毕业论文(设计)题目：双线性函数及其应用专业：数学与应用数学学号:学生姓名：目录摘要（关键词） (1)Abstract（Key words） (1)前言 (2)1 常用的欧式空间 (1)2 双线性函数 (2)2.1 线性函数的简单性质 (2)2.1.1 线性函数的定义 (2)2.1.2 线性空间的性质 (3)2.1.3 对偶基 (3)2.2 双线性函数的内容及性质 (3)2.2.1 双线性函数的性质 (3)2.2.2 双线性函数的内容 (3)3 双线性函数在不同基下的矩阵 (4)3.1 双线性函数在不同基下的矩阵之间的关系 (4)3.2 相同基下，不同的双线性函数所对应的矩阵 (5)4 双线性函数与辛空间及对偶空间 (6)4.1双线性函数与辛空间 (7)4.2双线性函数与对偶空间 (10)5双线性函数的应用领域 (13)6 结束语 (14)参考文献 (14)致谢 (1)双线性函数及其应用摘要：在以往的密码学研究当中,双线性配对函数(Weil配对和Tate配对)通常被用在密码分析学中:通过使用配对函数,可以将某些椭圆曲线上的离散对数问题约减到有限域上的离散对数问题。
近些年来,密码学家发现,如果对配对函数进行适当的改动,并应用在某些合适的椭圆曲线上,就可以构造出低带宽的、可证明安全的(provable secure)、基于双线性配对函数的加密、签名和密钥协商等协议。
这些突破性的工作为密码协议的构造开辟了新的思路:由于双线性配对函数所具有的特性,可以用来设计一些具有特殊性质的密码协议,这些协议一般很难用其他方法实现,或者即使可以实现,其效率也没有基于双线性配对函数的高。
例如短签名、三方一轮的密钥协商协议、基于身份的加密方案等。
本文主要研究双线性配对函数在构造新的密码协议方面的应用。
主要研究内容包括:(1)总结了双线性配对函数的概念、所具有的特性,并介绍了Diffie-Hellman难题以及双线性配对函数在密码学中的应用;(2)提出了一个使用双线性配对函数的前向安全的数字签名方案:在一个基于双线性配对函数的签名方案的基础上构造了一个前向安全的签名方案。
文中对方案的安全性进行了分析,并与已有的一些前向安全的签名方案进行了比较,结果表明该方案在效率和签名长度上有一定的优势;(3)本文对这样一种情况提出了解决方案:多个用户将加密数据(使用Alice的公钥)发送到不完全可信的数据存储服务器上(例如邮件服务器和文件服务器等)。
如果Alice想让服务器能够查询加密文档是否含有某些单词并反馈结果,但同时又不希望给予服务器解密数据的能力。
在这种情况下,需要特殊的技术来处理。
本文构造了一个可查询的、基于公钥并与流密码结合的、使用双线性配对函数的加密系统,它能让服务器进行查询,而又不失数据的机密性。
在该方案中,服务器并不能了解比查询结果更多的关于明文的信息;且当只给定密文时,不被信任的服务器不能得到关于明文的信息。
(4)提出了一个盲聚合签名方案,它结合了盲签名和聚合签名两者的优点,使生成的盲签名聚合为一个聚合签名,节省了时间和存储空间,也降低了对传输带宽的要求。
关键词：双线性函数；矩阵的合同；矩阵的相似Abstract：In the past the cryptography studies, bilinear pairing function (Weil pairing Tate and matching) are usually used in analysis in learning, password: through the use of matching function, can will some of the elliptic curve discretelogarithm problem about reduced to a limited domain of discrete logarithm problem. In recent years, cryptography, home found that, if properly to visual function changes, and application in some appropriate elliptic curve, it can be constructed out of the low bandwidth, can prove safe (provable secure), based on bilinear pairings function of encryption, signatures and key agreement protocol, etc. These breakthrough for the construction of the password agreement opened up a new train: because bilinear pairings is the features of a function, can be used to design some has certain types of password agreement, these agreements with other method very hard commonly, or even can realize, its efficiency and no based on bilinear pairings function of high. For example, three square round short signature of key agreement protocol, identity based encryption scheme. This paper makes a study of the bilinear pairings function in the construction of newpassword agreement applications. The main research contents include: (1) summarized the bilinear pairings function concept, has the characteristics, and introduced the diffie-hellman problem and bilinear pairings function in the application of cryptography; (2) put forward a using bilinear pairings of function to safety before digital signature scheme: in a based on bilinear pairing the signature scheme based on the structure of a prior to the safety of the signature scheme. In this paper the safety of the scheme are analyzed, and some have to safety before the signature schemes are compared, and the results show that the scheme in efficiency and signature length have a certain advantages; (3) in this paper put forward such a solution: multiple users will be encrypted data (use Alice public key) sent to not completely reliable data storage server (such as mail servers and file servers, etc.). If Alice wants to let the server can inquires documentation iscontain certain words encryption and feedback result, but at the same time and don't want to give the server decrypt data ability. In this case, the need for special technology to deal with. This paper constructs a can inquire, based on public key and and flow of the combination of the password, using bilinear pairings function encryption system, it can make the query server, and do not break data confidentiality. In this scheme, the server and can't understand the results more than inquires about expressly information; And when only a given ciphertext, not trusted server can't get about expressly information. (4) put forward a blind signature scheme polymerization, it combines blind signature and polymerization signature advantage of the two, to generate the blind signature polymerization as a signature polymerization, saving time and storage space, also reduced of transmission bandwidth requirements.Key words ：Double linear function , and thematrix of the contract , the matrix of the similar前言双线性函数是线性代数理论的一个重要内容．它涉及很多内容，如对称阵、反对称阵、二次型、正交阵、辛阵等，特别地双线性函数与线性函数有密切关系．由于研究关联着多个因素的量所引起的问题，则需要考察多元函数。