双线性函数

二次函数q()在基1,…,n下的表达式(13)的矩阵A也称为二次函数q在基1,…,n下的矩阵．
课外作业：
P518：1；2；P525：1；2．
因此，给了f∈S2(V)，就唯一确定了一个二次函数q．反之，我们来证明
命题10.2.3设q是数域F上向量空间V的一个二次函数，则存在唯一的f∈S2(V)满足(10)．
证若q是F上向量空间V的一个二次函数，则由定义5，存在V上的一个对称双线性函数f，使得q() =f(,)，∈V．由此得出，对一切,β∈V，有
．(5)
(5)右端的表达式
(6)
称为x1，…，xn与y1，…，yn的双线性型．(5)表明，任一双线性函数能够用坐标x1，…，xn与y1，…，yn的双线性型表示．
请注意，双线性型指的是表达式(6)，而双线性函数指的是V×V到F的映射．
下面讨论V上的同一个双线性函数f在V的不同基下的度量矩阵之间的关系．
其中，∈V，则T2(V)是F上的向量空间．又设S2(V)是V的所有对称双线性函数的集合，2(V)是V的所有反对称双线性函数的集合，则S2(V)，2(V)都是T2(V)的子空间，且S2(V)∩2(V)=0．注意到f∈T2(V)，都有
f(,)= ，，∈V，
而且易见 ∈2(V).因此得到
命题10.2.1设V是数域F上的向量空间，T2(V)、S2(V)、2(V)如上所述，则
定义5设V是F上的向量空间，V上的一个函数q称为二次函数，若存在V上的一个双线性函数f，使得
q()=f(,)，∈V．(10)
由命题10.2.1，对于f∈T2(V)，有f=g+h，其中g∈S2(V)，h∈2(V)．又h(，)=0，∈V．因此
f(,)=g(,)+h(,)=g(,)，∈V．
所以，在定义5中，可不妨设f是对称双线性函数．
．
因此f是对称的．这就证明了
命题10.2.2设V是数域F上的有限维向量空间，则V的双线性函数f是对称的，当且仅当它在V的任意一个基下的度量矩阵是对称矩阵．
同理可证
命题10.2.2设V是数域F上的有限维向量空间，则V的双线性函数f是反对称的，当且仅当它在V的任意一个基下的度量矩阵是反对称矩阵．
进而考察对称双线性函数与二次函数的关系，我们引入
定理10.2.2设V是F上n维向量空间，f是V上的一个双线性函数，f在基α1，…，αn下的度量矩阵为A，则f是非退化的充分且必要条件为A是可逆矩阵．
证先证rad 满秩．设α=(α1,…,αn)X，β=(α1,…,αn)Y，则f(α,β)=XAY．从而
radLV=0
由f(α,β)=0，β∈V，可推出α=
定义4设f是数域F上向量空间V的一个双线性函数，若
f(α,β)=f(β,α)，α，β∈V(7)
则称f是对称的；若
f(α,β)=－f(β,α)，α，β∈V(8)
则称f是反对称的(或斜对称的)．
例4几何空间中的内积是对称双线性函数．
例5Euclid空间Rn的内积〈α,β〉是对称双线性函数．
例6在Mn(F)中，令f(A，B)=TrAB， A，B∈Mn(F)，则f是对称双线性函数．
．(11)
若还有一个对称双线性函数g也满足(10)，即q()=g(,)，则同理可得
．(12)
比较(11)和(12)得
f(,β)=g(,β)，,β∈V．
因此f=g．
上述证明，将V上的一个对称双线性函数f对应到由(10)确定的V上的二次函数q，这个对应是S2(V)到V上所有二次函数所成集合之间的双射．
设V是n维的．在V中取定一个基1,…,n，f是V上的一个对称双线性函数，它在基1,…,n下的度量矩阵为A=(aij)nn，则对
f(A，B)=TrAB，A，B∈V，
则f是V上的一个双线性函数．
例3设V=C[a，b]，令
∈V，
则f是V上的一个双线性函数．
2.2 度量矩阵
设V是F上的n维向量空间，α1,…,αn是V的一个基，f是V上的一个双线性函数．取 ，则
．(1)
(1)是双线性函数f在基α1,…,αn下的表达式．从(1)得到下面的两个性质．
利用度量矩阵A可以把双线性函数f在基α1，α2，…，αn下的表达式(1)写成
f(α，β)=XAY(2)
其中X=(x1，…，xn)，Y=(y1，…，yn)分别是α，β在基α1，α2，…，αn下的坐标．
3)反之，任给F上一个n阶矩阵A=(aij)nn，在V中取定一个基α1,α2,…,αn，定义V×V到F的一个映射f如下：
β=(α1，…，αn)Y=(1，…，n)Y1
则X=CX1，Y=CY1．于是
因此由前面的性质3)知道，CAC是f在基1，…，n下的度量矩阵．又B也是f在基1，…，n下的度量矩阵，所以B=CAC．
推论10.2.1V的一个双线性函数f在V的各个基下的度量矩阵组成的集合恰好是Mn(F)的一个合同等价类．
由于合同的矩阵有相同的秩，因此把双线性函数f在一个基下的度量矩阵的秩叫做f的矩阵秩，记作rankMf．
．
因此f在基α1，…，αn下的度量矩阵恰好是A．
以上表明，若在V中取定一个基，则V上全体双线性函数与F上全体n阶矩阵之间有一个双射，即让双线性函数f对应到它在给定基下的度量矩阵(上述的性质2)说明这个对应是映射，性质1)说明这个映射是单射，性质3)说明这个映射是满射)．
若把双线性函数f的度量矩阵A的(i，j)元素记成aij,则由(2)双线性函数的定义，基本掌握有限维向量空间中双线性函数的度量矩阵以及非退化双线性函数，对称、反对称双线性函数的概念．
教学内容
将上节的讨论开拓到V×V→F上，我们来阐述双线性函数的基本概念．
2.1 定义与例子
定义1设V是数域F上的一个向量空间，f是V×V到F的一个映射，并且对于α,α1,α2,β,β1,β2∈V，k1，k2∈F，满足以下条件：
，(3)
其中(x1，…，xn)和(y1，…，yn)分别是α，β在基α1,α2,…,αn下的坐标，则f是V上的一个双线性函数,并且f在基α1,α2,…,αn下的度量矩阵恰好是A．
证设X=(x1，…，xn)，Y=(y1，…，yn)，则由(3)得
f(α，β)=XAY(4)
由此容易验证f是双线性函数．又由(3)知道
1) ；
2) ，
则称f是V上的一个双线性函数．
条件1)表明：当α固定时，映射β f(α,β)是V上的一个线性函数，记作 ；由条件2)，当β固定时，映射α f(α,β)是V上的一个线性函数，记作 ．这就是“双线性函数”一词的来由．
例1Euclid空间Rn的内积α,β是Rn上的一个双线性函数．
例2设V=Mn(F)，令
1)V上的一个双线性函数f完全被它在V的一个基的向量组成的有序对上的函数值f(αi,αj)(i，j=1,2,…,n)所确定．即若V上的两个双线性函数f，g，满足 ，则f=g．
2)设f是V上的一个双线性函数，令
，
叫做f在基α1，α2，…，αn下的度量矩阵;也称A是基α1，α2，…，αn在f作用下的度量矩阵．f在给定基下的度量矩阵是唯一的；并且由1)知道不同的双线性函数在同一个基下的度量矩阵一定不同．
例7在C[a，b]中，令
，
则f是对称双线性函数．
例8在R2中，对于α=(x1，x2)，β=(y1，y2)，令f(α，β)=x1y2－x2y1，则f是反对称双线性函数．
记T2(V)为F上向量空间V的所有双线性函数的集合，f,g∈T2(V)，k∈F，规定
(f+g)(，)=f(，)+g(，)，
(kf)(，)=kf(，)．
2.3 非退化情形
定义2设f是F上向量空间V上的一个双线性函数，V的一个子集合
叫做f的左根，记作radLV．V的另一子集
叫做f的右根，记作radRV．
容易看出，V上双线性函数f的左根和右根都是V的子空间．
定义3若V上的双线性函数f的左根和右根都是零子空间，则称f是非退化的．
若V是有限维的，则可以用f的度量矩阵来判断f是不是非退化的．
T2(V)=S2(V)2(V)．(9)
考虑有限维向量空间中对称(或反对称)双线性函数的度量矩阵，设f是F上n维向量空间V的一个双线性函数．在V中取一个基α1，…，αn，设f在这个基下的度量矩阵为A．
若f是对称的，则
f(αi,αj)=f(αj,αi)，i，j=1，…，n．
因此A是对称矩阵．反之，若A是对称矩阵，则对于V中任意两个向量α=(α1,…,αn)X，β=(α1,…,αn)Y，有
定理10.2.1设α1,…,αn和1,…,n是F上向量空间V的两个基，它们的关系是
(1,…,n)=(α1,…,αn)C，
双线性函数f在基{αi}和基{βj}下的度量矩阵分别为A和B，则B=CAC，即同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的．
证任取α,β∈V，设
α=(α1，…，αn)X=(1，…，n)X1
由XAY=0，Y∈Fn，可推出X=0
由XA=0可推出X=0
由AX=0可推出X=0
N(A)=0
rankA=nrankA=n．
同理可证：radRV=0A满秩．因此，f非退化A可逆．
推论10.2.2设f是F上有限维向量空间V上的一个双线性函数，则f的左根等于零子空间当且仅当f的右根等于零子空间．
2.4 对称、反对称情形
于任意 ，有 ，从而得出
．因此，q()的表达式
q()= (13)
是x1,…,xn的二次齐次多项式，它就是在第五章讨论过的n元二次型．二次型(13)的矩阵是A=(aij)nn，它就是对称双线性函数f在基1,…,n下的度量矩阵．由此看出，可以利用对称双线性函数来研究二次型，也可以用二次型的理论来研究对称双线性函数．