高中数学经典50题附答案

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1.

求下列函数的值域：

解法2 令t ＝sin x ，则f (t )＝－t 2＋t ＋1，∵ |sin x |≤1, ∴ |t |≤1.问题转化为求关于t 的二次函数f (t )在闭区间[－1,1]上的最值．

本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离

地球相距m 万千米和

m 3

4

万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为3

2

π

π

和

，求该慧星与地球的最近距离。

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为1

22

22=+b

y a x （图见教材P132页例1）。

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为

3

π

时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/

ππ=∠=∠xFA xFA 或。作m FA FB Ox AB 3

221B ==⊥，则于

故由椭圆第二定义可知得???????+-=-=)32(3

4)(2

2

m c c a a c m c c

a a c m

两式相减得,2

3)4(21.2,323

1c c c m c a m a c m =-==∴?=

代入第一式得 .3

2.32m c c a m c ==-∴=∴

答：彗星与地球的最近距离为m 3

2

万千米。

说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a +

（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。

3. A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6Km ，C 在B 正北偏西ο

30，相距4Km ，

P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1s Km /，A 若炮击P 地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2）

解：如图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则

)32,5(),0,3(),0,3(--C A B ，因为PC PB =，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上。

因为3-=BC k ，BC 中点)3,4(-D ，所以直线PD 的方程为)4(3

13+=

-x y （1）

又,4=-PA PB 故P 在以A ，B 为焦点的双曲线右支上。设),(y x P ，则双曲线方程为

)0(15

42

2≥=-x y x （2）。联立（1）（2），得35,8==y x ， 所以).35,8(P 因此33

83

5=-=

PA k ，故炮击的方位角北偏东?30。 说明：本题的关键是确定P 点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。

4. 河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2

米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？

解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为)0(22

>-=p py x 。将B （4,-5）代入

得P=1.6

y x 2.32-=∴船两侧与抛物线接触时不能通过

则A(2,y A )，由22=-3.2 y A 得y A = - 1.25 因为船露出水面的部分高0.75米 所以h=︱y A ︱+0.75=2米

答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行

[思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。．

5. 如图所示，直线1l 和2l 相交于点M ，21l l ⊥，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C

上任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等。若AMN ?为锐角三角形，

6NB ,3,17＝且==AN AM ，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程。

解：以直线1l 为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为曲线段C 的端点。

设曲线段C 的方程为)0,)(0(22

>≤≤>=y x x x p px y B A ，其中B A x x ,为A 、B 的横坐标，MN p =，所以)0,2

(),0,2(p

N p M -

，由3,17==AN AM ，得172)2

(2

=++

A A px p x （1） 92)2

(2

=+-

A A px p x （2）

，（1）（2）联立解得p x A 4=，代入（1）式，并由0>p 解得???==??

?==2214A A x p x p 或，因为AMN ?为锐角三角形，所以A x p

>2，故舍去???==22A x p ，所

以??

?==14

A

x p 由点B 在曲线段C 上，得42

=-

=P

BN x B ，综上，曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y

[思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，

综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。

6. 设抛物线)0(42

>=a ax y 的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，︱AB ︱为半径，在x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M ，N 。点P 是MN 的中点。 （1）求︱AM ︱+︱AN ︱的值

（2）是否存在实数a ，恰使︱AM ︱︱AP ︱︱AN ︱成等差数列？若存在，求出a ，不存在，说明理由。

解：(1)设M,N,P 在抛物线准线上的射影分别为M ′,N ′,P ′.

︱AM ︱+︱AN ︱=︱MM ′︱+︱NN ′︱=x M +x N +2a 又圆方程

16)]4([22=++-y a x

将ax y 42

=代入得08)4(22

2

=++--a a x a x

()a x x N M -=+∴42得︱AM ︱+︱AN ︱=8

(2)假设存在a

因为︱AM ︱+︱AN ︱=︱MM ′︱+︱NN ′︱=2︱PP ′︱

所以︱AP ︱=︱PP ′︱ ，P 点在抛物线上，这与P 点是MN 的中点矛盾。故a 不存在。

7. 抛物线()022

>=p px y 上有两动点A ，B 及一个定点M ，F 为焦点，若BF

MF AF ,,成等差数列 （1） 求证线段AB 的垂直平分线过定点Q

（2） 若6,4==OQ MF （O 为坐标原点），求抛物线的方程。 （3） 对于（2）中的抛物线，求△AQB 面积的最大值。 解：（1）设()()()002211,,,,,y x M y x B y x A ，则21p x AF +

=，2

2p

x BF +=，2

0p

x MF +

=，由题意得2210x x x +=，AB ∴的中点坐标可设为()t x ,0，其中

02

2

1≠+=

y y t （否则0=?==p BF MF AF ）， 而()

2

2212

1212121y y p

y y x x y y k AB --=--=

t

p

y y p =+=

212，故AB 的垂直平分线为

()0x x p

t

t y -=

-，即()00=+--yp p x x t ，可知其过定点()0,0p x Q + （2）由6,4==OQ MF ，得6,42

00=+=+

p x p x ，

联立解得2,40==x p x y 82

=∴。

（3）直线AB ：()24

-=

-x t

t y ，代入x y 82=∴得0162222=-+-t ty y ，()()2

212

212

214644t y y y y y y -==-+=-∴ ，()

()22122

2116

y y t x x -=- ()

,164

22t t -=()()2

21221y y x x AB -+-=∴()()2

2

16162

1t t -+=

=

42562

1

t -=

，又点()0,6Q 到AB 的距离216t d +== ，

d AB S AQB 21=∴?()()

241625641t t +-=64216256409641

t t t --+=

令

642162564096t t t u --+=，则5

3664512t t t u --='，令

0='u 即

066451253=--t t t ，得0=t 或162-=t 或3162=

t ，∴3162

=t 33

4±=?t 时()69

64

=?AQB

S

。

[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对

定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。

8、已知直线)22tan(:+=x y l 交椭圆992

2=+y x 于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，

且AB 的长不小于短轴的长，求α的取值围。 解

：

将

l

的方程与椭圆方程联立，消去

y

，得

09tan 72tan 236)tan 91(2222=-+?++αααx x

α

αααα2

222

122

tan 916

tan 6)tan 91(tan 1tan 1++=+??+=-+=∴x x AB 由3

3tan 33,31tan ,22

≤≤-∴≤

≥αα得AB ， α∴ 的取值围是??

?

?????????πππ,656,0

[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于l 的方程由αtan 给出，所以可以认定2

π

α≠，否则涉及弦长计算时，还要讨论2

π

α=

时的情况。

9、已知抛物线x y -=2

与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点

（1） 求证：OB OA ⊥

（2） 当OAB ?的面积等于10时，求k 的值。

（1） 证明：图见教材P127页，由方程组???+=-=)

1(2x k y x y 消去x 后，整理得02

=-+k y ky 。

设),(),,(2211y x B y x A ，由韦达定理得121-=y y B A , 在抛物线x y -=2

上，

212

221222121,,x x y y x y x y ?=?-=-=∴

OB OA y y x x y y x y x y k k OB OA ⊥∴-=?=??=?=

?,11

2

121212211 （2） 解：设直线与x 轴交于N ，又显然∴≠,0k 令），（－，即则01N 1,0-==x y

21212

1

2121y y ON y ON y ON S S S OBN OAN OAB -=+=

+=??? 4)1(214)(1212

21221+=-+??=

∴?k

y y y y S OAB 6

1

,412110,102±=+=

∴=?k k S OAB 解得

[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数与方程的思想，以

及分析问题、解决问题的能力。

10、在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k 的取值围。

〖解〗设B 、C 关于直线y=kx+3对称，直线BC 方程为x=-ky+m 代入y 2=4x 得： y 2+4ky-4m=0， 设B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），BC 中点M （x 0，y 0），则 y 0=（y 1+y 2）/2=-2k 。x 0=2k 2+m ，

∵点M （x 0，y 0）在直线上。∴-2k （2k 2

+m ）+3，∴m=-k

k k 3

223++又BC 与抛物线交

于不同两点，∴⊿=16k 2+16m>0把m 代入化简得

03

23<++k

k k 即0)

3)(1(2<+-+k

k k k ，

解得-1

[思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。

11、已知椭圆的一个焦点F 1（0，-22），对应的准线方程为y=-4

2

9，且离心率e 满足：

2/3，e ，4/3成等比数列。 （1） 求椭圆方程；

（2） 是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线x=-2

1平分。若存在，求l 的倾斜角的围；若不存在，请说明理由。

〖解〗依题意e=

3

2

2 （1）∵c a 2-c=429-22=4

2，又e=32

2∴a =3，c=22，b=1，又F 1（0，-22），

对应的准线方程为y=-

4

2

9。∴椭圆中心在原点，所求方程为： 9

22

y x +=1

（2）假设存在直线l ，依题意l 交椭圆所得弦MN 被x=-2

1

平分，∴直线l 的斜率存在。设直线l ：m kx y +=由 m kx y +=

9

22

y x +=1消去y ，整理得

92)9(222-+++m kmx x k =0

∵直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ∴⊿=4k 2m 2-4(k 2+9)(m 2-9)>0 即m 2-k 2-9<0 ① 设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）

∴21

9

2221-=+-=+k km x x ，∴k k m 292+= ②

把②代入①可解得：33-<>k k 或

∴直线l 倾斜角??

? ?????

??∈3

2,22,3π

πππα

[思维点拔] 倾斜角的围，实际上是求斜率的围。

12、设x ，y 满足约束条件??

?

??≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的值是

最大值为12，则

23

a b

+的最小值为（ ） A ．625 B ．38 C ． 3

11

D ． 4

答案：A

解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by= z （a>0，b>0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4,6）时，目标函数z=ax+by （a>0，b>0）取得最大

12

，

即

4a+6b=12

，

即

2a+3b=6,

而

23a b +=2323()6a b a b ++13()6b a a b =++1325

266

≥+=，故选A ． 点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值，对于形如已知2a+3b=6，求

23

a b

+的 最小值常用乘积进而用基本不等式解答．

13、本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是 万元．

答案：70

解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z

元，由题意得3005002009000000.x y x y x y +??

+???

≤，≤，≥，≥

目标函数为30002000z x y =+．

二元一次不等式组等价于3005290000.x y x y x y +??

+???

≤，≤，≥，≥

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． 如图：作直线:300020000l x y +=，即320x y +=．

l