八年级数学下册第2章四边形2.7正方形习题课件新版湘教版
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八年级数学下册第2章四边形2.7正方形教学课件新版湘教版
AO=BO=CO=DO. 所以△ABO、△BCO、△CDO、 △DAO都是等腰直角三角形，并且 △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
D
O C
【例题】
例2：AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC 于F，求证形
3.(宜宾·中考）如图，点P是正方形ABCD的对角线
BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF,给出
下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等
腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC.其中正确结
2
论的序号是_____.
【解析】延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，交EC于 点M，由题意易证，△BPE、△DPF为等腰直角三角形，四边 形PECF为矩形，四边形BEPG为正方形. 易证△APG≌△FEP, 所以AP=EF，∠BAP=∠PFE，又PE∥FC, 所以∠PFE=∠FEC=∠BAP, 又∠BAP+∠BMA=90°，所以∠FEM+∠BMA=90°， 所以∠EHM=90°即AP⊥EF. 在等腰直角三角形PDF中, PD= 2 PF= 2EC. 答案：①②④⑤
平行四边形
矩形
正 菱形 方
形
1.（义乌·中考）下列说法不正确的是( ) （A）一组邻边相等的矩形是正方形 （B）对角线相等的菱形是正方形 （C）对角线互相垂直的矩形是正方形 （D）有一个角是直角的平行四边形是正方形 【解析】选D.有一个角是直角的平行四边形可能是矩形， 也可能是正方形.
2.（苏州·中考）如图，四边形 ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC， 则∠BCE的度数是_______°. 【解析】因为四边形ABCD是正方形， 所以∠CAE=45°，∠ABC=90°, 又因为AE=AC,所以∠E=∠ACE=67.5°, 所以∠BCE=90°-∠E=90°-67.5°=22.5°. 答案：22.5
D
O C
【例题】
例2：AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC 于F，求证形
3.(宜宾·中考）如图，点P是正方形ABCD的对角线
BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF,给出
下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等
腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD= EC.其中正确结
2
论的序号是_____.
【解析】延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，交EC于 点M，由题意易证，△BPE、△DPF为等腰直角三角形，四边 形PECF为矩形，四边形BEPG为正方形. 易证△APG≌△FEP, 所以AP=EF，∠BAP=∠PFE，又PE∥FC, 所以∠PFE=∠FEC=∠BAP, 又∠BAP+∠BMA=90°，所以∠FEM+∠BMA=90°， 所以∠EHM=90°即AP⊥EF. 在等腰直角三角形PDF中, PD= 2 PF= 2EC. 答案：①②④⑤
平行四边形
矩形
正 菱形 方
形
1.（义乌·中考）下列说法不正确的是( ) （A）一组邻边相等的矩形是正方形 （B）对角线相等的菱形是正方形 （C）对角线互相垂直的矩形是正方形 （D）有一个角是直角的平行四边形是正方形 【解析】选D.有一个角是直角的平行四边形可能是矩形， 也可能是正方形.
2.（苏州·中考）如图，四边形 ABCD是正方形，延长AB到E，使AE=AC， 则∠BCE的度数是_______°. 【解析】因为四边形ABCD是正方形， 所以∠CAE=45°，∠ABC=90°, 又因为AE=AC,所以∠E=∠ACE=67.5°, 所以∠BCE=90°-∠E=90°-67.5°=22.5°. 答案：22.5
八年级数学下册 第2章 四边形 2.7 正方形课件 湘教下册数学课件
(lǐyóu)：∵△AOD≌△EOB，∴AD=BE，
又∵AD∥BE，AE⊥BD，∴四边形ABED是菱形，∴当 ∠ABC=90°时，菱形ABED是正方形，即当△ABC满足 ∠ABC=90°时，四边形ABED是正方形.
第三十一页，共四十九页。
第三十二页，共四十九页。
【火眼金睛】
如图，点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，若 AE=BF=CM=DN，则四边形EFMN是什么(shén me)图形？证明你
一组对角(duìjiǎo)，把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.
第十二页，共四十九页。
【题组训练】
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 (
)C
A.对角线相等
B.对角线平分一组对角
C.对角线互相(hù 平分 xiāng) D.对角线互相垂直
第十三页，共四十九页。
★2.如图，正方形ABCD的四个顶点(dǐngdiǎn)A，B，C，D正好
B
A
E
ADF,
∴△BAE≌△ADF(SAS)，A E∴B ED=F,AF.
(2)略
第十一页，共四十九页。
【学霸提醒】正方形的“边、角、对角线” 1.边：四条边都相等且每组对边平行.
2.角：四个角都是直角.
3.对角线：两条对角线相等且互相垂直平分，把正方
形分成四个全等的等腰直角三角形；每条对角线平分
(2)求正方形EFGH的面积.
第四十五页，共四十九页。
解：(1)∵AE⊥DH，DH⊥CG，∴AE∥CG， 同理：BF∥DH，∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AE⊥DH，∴∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形( ， jǔxíng) ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，
又∵AD∥BE，AE⊥BD，∴四边形ABED是菱形，∴当 ∠ABC=90°时，菱形ABED是正方形，即当△ABC满足 ∠ABC=90°时，四边形ABED是正方形.
第三十一页，共四十九页。
第三十二页，共四十九页。
【火眼金睛】
如图，点E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，若 AE=BF=CM=DN，则四边形EFMN是什么(shén me)图形？证明你
一组对角(duìjiǎo)，把正方形分成两个全等的等腰直角三角形.
第十二页，共四十九页。
【题组训练】
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 (
)C
A.对角线相等
B.对角线平分一组对角
C.对角线互相(hù 平分 xiāng) D.对角线互相垂直
第十三页，共四十九页。
★2.如图，正方形ABCD的四个顶点(dǐngdiǎn)A，B，C，D正好
B
A
E
ADF,
∴△BAE≌△ADF(SAS)，A E∴B ED=F,AF.
(2)略
第十一页，共四十九页。
【学霸提醒】正方形的“边、角、对角线” 1.边：四条边都相等且每组对边平行.
2.角：四个角都是直角.
3.对角线：两条对角线相等且互相垂直平分，把正方
形分成四个全等的等腰直角三角形；每条对角线平分
(2)求正方形EFGH的面积.
第四十五页，共四十九页。
解：(1)∵AE⊥DH，DH⊥CG，∴AE∥CG， 同理：BF∥DH，∴四边形EFGH是平行四边形， ∵AE⊥DH，∴∠FEH=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形( ， jǔxíng) ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，
2021年湘教版八年级数学下册第二章《正方形》精品课件 (2)
∴ ∠GEF = 900. ∴ 四边形EFGH是正方形.
巩固练习
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ C ）
（A）四条边相等 （B）对角线互相垂直且平分
（C）对角线相等 （D）对角线平分一组对角
2. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ B ）
（A）四个角相等 （B）对角线互相垂直且平分
（C）对角线相等 （D）对角互补
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/2/62021/2/62021/2/62/6/2021 5:22:24 AM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/2/62021/2/62021/2/6Feb-216-Feb-21 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/2/62021/2/62021/2/6Saturday, February 06, 2021 13、志不立，天下无可成之事。2021/2/62021/2/62021/2/62021/2/62/6/2021
又 AE = BF = CG = DH， F ∴ HA = FB = CF = DG.
湘教版初中数学八年级下册2.7 正方形 1PPT课件
请同学们动手完成以 上证明？
A
D
O
B
C
提示：可以先通过证明来得到正方形是矩形、菱形，然后利用 矩形和菱形的定理来完成该题.
导入新课
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形 正方形 菱形
平行四边形 归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊 的菱形.所以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
平行四边形 G
E
B
F
CB
任意四边形
H 菱形
F 矩形
H
A
D
D
G
E 正方形 G
CB
C F
正方形
导当入堂新练课习
1.下列命题正确的是（ D ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形
2．四个内角都相等的四边形一定是（ C ）
矩形
正方形
对角线互相垂直
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
一个角是直角
菱形
正方形
对角线相等
导入新课
定理 1.对角线相等的菱形是正方形. 2.对角线垂直的矩形是正方形. 3.有一个角是直角的菱形是正方形.
正方形判定的两条途径：
(1)
+ 一个直角 对角线相等
先判定菱形
矩形条件
(2)
+ 一组邻边相等 对角线垂直
先判定矩形
菱形条件
正方形 正方形
导入新课
五 正方形判定定理的应用
典例精析
例2：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB ,
BF∥CE , CF∥BE.
湘教版八年级下册数学精品教学课件 第2章四边形 平行四边形的性质 第1课时 平行四边形的边、角的性质
∴2x+3x= 180°,
解得 x= 36°.
∴ ∠A = ∠C=72°, ∠B= ∠D=108°.
(2)若 ABCD的周长为28cm,AB:BC=3:4,求各边的长度. 解： (2)在平行四边形ABCD中, ∵AB=CD，BC=AD. 又∵AB+BC+CD+AD=28cm, ∴AB+BC= 14cm. ∵AB:BC=3:4,设AB=3ycm,BC=4ycm, ∴3y+4y=14，解得y=2. ∴AB=CD=6cm，BC=AD=8cm.
平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有:
A
D
B
C
平行四边形的对边相等．
平行四边形的对角相等．
动手做一做:剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一 起，重合部分构成了一个四边形，转动其中一张纸条， 线段AD和BC的长度有什么关系？为什么？
解：AD和BC的长度相等. 理由如下：由题意知 AB//CD,AD//BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC.
B
FC
∴ △ABE≌ △CDF.
∴BE=DF.
练一练
1.如图，在□ABCD中.
(1)若∠A=130°，则∠B=___5_0_°_ ，∠C=__1_3_0_°_ ， ∠D=___5_0_°_.
(2)若AB=3,BC=5,则它的周长= __1_6___.
(3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_1_0_0_°_，∠B=__8_0_°__.
第2章 四边形
八年级数学下（XJ） 教学课件
2.2.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
八下第2章四边形2-7正方形新版湘教版
感悟新知
知2－讲
(3) 对角线： 对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分 一组对角；
(4)正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； (5)正方形是轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每
一组对边中点的直线都是它的对称轴； (6)正方形的面积为边长的平方或对角线平方的一半 .
感悟新知
A. 1 B. 2 C. 3
D. 2
解题秘方：从正方形中获取边、角 相等的信息.
感悟新知
知2－练
方法点拨 利用正方形的性质解题，由于正方形的性质较
多，解题时不宜一一列出来，需要根据题中已知条 件，结合要证明的结论，选择证明结论成立所需要 的性质，使解题思路更清晰.
解： 设 DE 与 CF 相交于点 O. ∵四边形 ABCD 是边长为 3 的正方形， ∴∠ B= ∠ DCE=90°， CD=BC=3. 在 Rt △ DCE 中，∠ CDE=30°，
知3－练
判定四边形是正方形的方法
如果已知条件是平行四边形，需证它既是菱形又是矩形；
如果已知条件是四边形，若按边角关系证明，则需证它
的四条边相等，四个角是直角；若按特殊四边形证明，则要
先证它是平行四边形，再证它既是菱形又是矩形；
感悟新知
知3－练
如果已知条件是矩形，再证它的邻边相等或对角线互相 垂直即可；
感悟新知
证明： ∵四边形 ABCD 为正方形，
知3－练
∴ BC=CD=DA=AB，
∠ A= ∠ B= ∠ C= ∠ D=90° .
又∵ AA′=BB′=CC′=DD′，
∴ D′A=A′B=B′C=C′D，
∴△ AA′D′≌△ BB′A′≌△ CC′B′≌△ DD′C′ ( SAS ) .
【最新】湘教版八年级数学下册第二章《 正方形》公开课课件.ppt
也可以先判定四 边形是菱形，再判定 这个菱形有一个角是 直角.
例题
例2，如图，已知A/，B/，C/，D/分别是正方形 ABCD四条边上的点，并且AA/=BB/=CC/=DD/.
求证：四边形A/B/C/D/是正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA. 又∵AA/=BB/=CC/=DD/， ∴D/A=A/B=B/C=C/D. 又∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴△AA/D/≌BB/A/≌CC/B/≌DD/C/. ∴A/D/=B/A/=C/B/=D/C/. ∴四边形A/B/C/D/是菱形.
证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=CD,∠A=∠DCF=90°. ∵DF⊥DE， ∴∠EDF=90°，即∠1+∠3=90°， 又∵∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠2. ∴△AED≌△CFD（ASA）. ∴DE=DF.
观察示意图，说一说如何判断一个四边形是正方形？
可以先判定四边 形是矩形，再判定 这个矩形有一组邻 边相等.
。2021年1月12日星期二2021/1/122021/1/122021/1/12
• 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年1月2021/1/122021/1/122021/1/121/12/2021
• 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/1/122021/1/12January 12, 2021
点的直线都是它的对称轴. 3.正方形的判定：
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/1/122021/1/12Tuesday, January 12, 2021
湘教版八年级下册数学课件第2章四边形2.7正方形
是正方形 的平行四边
形是正方形
基础巩固练
1．正方形具有而菱形不具有的性质是( A ) A．四个角都是直角 B．两组对边分别相等 C．对角线平分对角 D．内角和为 360°
基础巩固练
2．【教材改编题】如图，在正方形 ABCD 的外侧作等边三角形 ADE，那么∠BED 为( ) A．60° B．45° C．30° D．15°
能力提升练
11．【中考·自贡】如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 边的延 长线上，点 F 在 CD 边的延长线上，且 CE＝DF，连接 AE 和 BF 相交于点 M.求证：AE＝BF.
能力提升练
证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABE＝∠BCF＝90°，AB＝CB＝CD. 又∵CE＝DF，∴BE＝CF.
【答案】B
能力提升练
10．【中考·扬州】如图，已知点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上， 以 BE 为边向正方形 ABCD 外部作正方形 BEFG，连接 DF， M，N 分别是 DC，DF 的中点，连接 MN.若 AB＝7，BE＝5， 则 MN＝________．
能力提升练 【点拨】如图，连接 CF，∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都为 正方形，AB＝7，BE＝5， ∴GF＝GB＝BE＝5，BC＝AB＝7，∠FGC＝90°， ∴GC＝GB＋BC＝5＋7＝12， ∴CF＝ GF2＋GC2＝ 52＋122＝13. ∵M，N 分别是 DC，DF 的中点， ∴MN 是△CDF 的中位线，∴MN＝12CF＝123. 【答案】123
能力提升练 13．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点 P，Q
分别是 AB，AC 上的动点，且满足 BP＝AQ，D 是 BC 的 中点． (1)求证：△PDQ 是等腰直角三角形；
湘教版八年级数学下册《2.7 正方形》教学课件
得∠ABE=_∠__C_B_F__. 2.由∠ABE=55°,得∠GBE=_3_5_°____,由BE⊥BF,BE=BF得 ∠BEF=_4_5_°___,∠EGC=∠GBE+_∠___B_E_F__.
新知探究 练一练
(1)证明:
A
D
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABC=90°.
∵BE⊥BF,
C
E
F
D
∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC，DG⊥AB，
A
G
B
∴ DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形CEDF是正方形.
典型例题
5. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,
且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . ∴∠DCF=180°-∠BCE=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AD （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
A
D
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
B
C
AB= BC=CD=AD.
新知探究 归纳总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正 矩形 方 菱形
正方形
想一想：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等 对角线互相垂直
正方 形
新知探究 练一练
对角线互相垂直的矩形是正方形.
新知探究 练一练
(1)证明:
A
D
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CB,∠ABC=90°.
∵BE⊥BF,
C
E
F
D
∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC，DG⊥AB，
A
G
B
∴ DE=DG.
同理得DG=DF，
∴ED=DF，
∴四边形CEDF是正方形.
典型例题
5. 如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延长线上一点,
且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形. ∴BC=DC,∠BCE =90° . ∴∠DCF=180°-∠BCE=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF.
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴∠A=90°, AB=AD （正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形.
A
D
∴正方形是矩形（矩形的定义）,
正方形是菱形(菱形的定义).
∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°,
B
C
AB= BC=CD=AD.
新知探究 归纳总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：
正 矩形 方 菱形
正方形
想一想：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等 对角线互相垂直
正方 形
新知探究 练一练
对角线互相垂直的矩形是正方形.
湘教版八年级数学下册正方形课件
AD=CD ， ∠ A=∠DCF. 由
B
C
图2-59
DF⊥DE 及 ∠ ADC=90° ，
F 证 明 ∠ 1=∠2 ， 即 可 证 得 △ADE≌△CDF，完成证明.
证明 ∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD =CD，∠A =∠DCF=90°.
∵ DF⊥DE，
∴ ∠EDF = 90°， 即 ∠1 +∠3 = 90°.
轴对称图形 中心对称图 形
菱形
对边平行 四条边都 相等
对角相等
互相垂直平 分，每条对 角线平分一 组对角
轴对称图形 中心对称图 形
3 说说矩形和菱形的判定方法：
三个角是直角的四边形是矩形； 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的四边形是矩形.
四条边相等的四边形是菱形； 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的四边形是菱形.
G HA D
C
B
F
E
提示：证三角形全等得出 EF=FG=GH=HE， ∠AEH+∠BEF=90°, 即证得为菱形后再证一个 角是直角.
B
组
3.如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE 相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G. 求证：四边形OGCF是正方形.
A 提示：先证四边形OGCF是
正方形
复习
1 观看图形变化过程，说说图形之间的联系
平行四边形
一组邻边相等 或对角线互相垂直
菱形
平行四边形
一个角是直角 或对角线相等
矩形
2 填写平行四边形、矩形和菱形的性质表
图形 边
角
对角线 对称性
平行四 边形
对边平行 且相等
对角相等
B
C
图2-59
DF⊥DE 及 ∠ ADC=90° ，
F 证 明 ∠ 1=∠2 ， 即 可 证 得 △ADE≌△CDF，完成证明.
证明 ∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ AD =CD，∠A =∠DCF=90°.
∵ DF⊥DE，
∴ ∠EDF = 90°， 即 ∠1 +∠3 = 90°.
轴对称图形 中心对称图 形
菱形
对边平行 四条边都 相等
对角相等
互相垂直平 分，每条对 角线平分一 组对角
轴对称图形 中心对称图 形
3 说说矩形和菱形的判定方法：
三个角是直角的四边形是矩形； 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的四边形是矩形.
四条边相等的四边形是菱形； 有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直的四边形是菱形.
G HA D
C
B
F
E
提示：证三角形全等得出 EF=FG=GH=HE， ∠AEH+∠BEF=90°, 即证得为菱形后再证一个 角是直角.
B
组
3.如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE 相交于点O，OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G. 求证：四边形OGCF是正方形.
A 提示：先证四边形OGCF是
正方形
复习
1 观看图形变化过程，说说图形之间的联系
平行四边形
一组邻边相等 或对角线互相垂直
菱形
平行四边形
一个角是直角 或对角线相等
矩形
2 填写平行四边形、矩形和菱形的性质表
图形 边
角
对角线 对称性
平行四 边形
对边平行 且相等
对角相等