椭圆及其标准方程(1)
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设F1(-c,0)，F2(c,0)，点P(x,y)，则PF1+PF2=2a。
椭圆的标准方程为，x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
椭圆的性质：1.椭圆的离心率0<e<1，焦点到中心的距离为ae。
2.椭圆的长轴2a，短轴2b，焦距2ae。
3.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。
4.椭圆的面积为πab。
5.椭圆的焦点到直径的距离等于直径的一半。
6.椭圆的焦点到切线的距离等于焦点到法线的距离。
7.椭圆的切线与法线的交点坐标分别为(x1,y1)和(x1,-y1)。
8.椭圆的渐近线方程为y=±b/ax。
9.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
10.椭圆的极坐标方程为r=a(1-e^2)/(1+ecosθ)。
椭圆的标准方程推导：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，中心为O(0,0)，点P(x,y)。
则有PF1+PF2=2a，根据两点之间的距离公式可得。
√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。
整理得到。
(√((x+c)^2+y^2))^2+(√((x-c)^2+y^2))^2=4a^2。
化简得到。
x^2/a^2+y^2/b^2=1。
从而得到椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程性质：1.椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
2.椭圆的中心在原点O(0,0)。
3.椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。
4.椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，离心率e=c/a。
5.椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距2ae。
6.椭圆的面积为πab。
7.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。
8.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
椭圆及其标准方程(1)
学案编号：B51 第 1 页 共 2 页P F 2F 1§2.2.1椭圆及其标准方程(1)【使用说明】1、课前完成预习学案，掌握基本题型；2、认真限时规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。
3、A 、B 层全部掌握，C 层选做。
【学习目标】1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程． 【问题导学】（预习教材理P 38~ P 40，文P 32~ P 34找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．【合作探究】取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？ 经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >．新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b +=>> 其中222b ac =-若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．我的疑惑：记录下你的疑惑，让我们在课堂上共同解决。
2.2.1椭圆及其标准方程(1)
y2 x2 ＋ ＝1. 169 144
4
精讲点拨
5 3 例.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点 2 , 2 ,
求它的标准方程.
小结
(1)用待定系数法求椭圆的标准方程步骤： ①依据条件判断
椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上；②设出椭圆方程；③根据条 件，寻求等量关系，建立关系 a、b、c 的方程组；④解方程组， 代入所设方程．
三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半，叫半焦距．a、b、c 始终满足 关系式 a2＝ b2＋c2.
试一试：
1.设 F1、F2 为定点，|F1F2|=6，动点 M 满足|MF1|+|MF2|=6，则 动点 M 的轨迹是( D ) A.一个椭圆 B.两个圆 C.一条直线 D.一条线段 x2 2．椭圆 ＋y2＝1 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到 25 另一个焦点的距离为( D ) A．5 B．6 C．7 D．8 3.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,5)，(0,－5)，椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和为 26.求椭圆的标准方程．
问题 2 椭圆定义中,为什么要Fra bibliotek制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|?
只有当 2a>|F1F2|时，动点 M 的轨迹才是椭圆； 当 2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段 F1F2； 当 2a<|F1F2|时满足条件的点不存在．
探究展示
问题 1
(二)椭圆的标准方程
你能根据椭圆的定义求出椭圆的标准方程吗？
2.2.1 椭圆及其标准方程
【学习目标】 1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、 椭 圆标准方程的推导与化简过程． 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．
椭圆及其标准方程1
| MF1 | | MF2 || F1F2 |
• F 1 • F 2
M
M的轨迹是线段F1F2 无轨迹
| MF1 | | MF2 || F1F2 | | MF1 | | MF2 || F1F2 |
M的轨迹是椭圆
变式题组二
1.如果方程x2 +ky 2 =1表示焦点在y轴上的椭圆， 那么实数k的取值范围是（ ） (A)（0，+¥ ） (B)（0，2） (C)（1，+¥ ） (D)（0，1） x2 y 2 2.椭圆 + =1的焦距是2，则实数m的值是（ m 4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 x2 y 2 3.已知F1、F2是椭圆 + = 1的两个焦点，过 25 49 F1的直线与椭圆交于A、B两点，则D ABF2的 周长为（ (A)8 6 ） (B)20 (C)24 (D)28 ）
§2.1
椭圆及其标准方程（一）
小实验：取一条定长的细绳 实验1：把它的两端都固定在同一点处，套上笔，拉紧绳子， 移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是什么？ 圆
定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.
定点 —— 圆心；定长 —— 半径. 标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2
实验2：现把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在两个点上， 套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹又是什么？动手 看看？
F1
2. 椭圆的标准方程 y
F1 O F2
y
F1
x
O F2
x
x2 y2 2 1 2 a b
y2 x2 2 1 2 a b
椭圆及其标准方程(一)1
b a c 5 4 9
2 2 2 2 2
x y 1 ∴ 所求的椭圆的标准方程为 25 9
2
2
教材例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2）， 并且椭圆经过点 3 , 5
2 2
解：∵ 椭圆的焦点在y轴上，
教材例2 ：
2c=6， 2a=16-6=10，c=3，a=5, b a c 5 3 16. 但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点不能 构成三角形，所以点 A的轨迹方程是: 2 2
2 2 2 2 2
x y 1. ( y 0). 25 16
教材例3: 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，
所以 ( x c) 2 y 2 2a ( x c) 2 y 2 两边平方得 : ( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 即 : a 2 cx a ( x c) 2 y 2
2 2
y x ∴ 所求的椭圆的标准方程为 1 10 6
b a c 10 4 6 2 2
2
已知B、C是两个定点，|BC|=6， 且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨 迹方程，要建立适当的坐标系。为选择适当的坐标系， 常常需要画出草图。 经画图分析，点A的轨迹是椭圆。 Y 解：建立如图坐标系，使 A x轴经过点B、C，原点O与 BC的中点重合。 O C X |BC|=6 ，|AB|+|AC|=16－6=10， B 所以点A的轨迹是椭圆，
教材例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
2020高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程(1)(含解析)
课时作业10 椭圆及其标准方程（1）知识点一椭圆的定义及简单应用1。
已知在平面直角坐标系中，点A（－3,0),B（3,0)，点P为一动点，且｜PA|＋|PB|＝2a(a≥0）,给出下列说法：①当a＝2时，点P的轨迹不存在；②当a＝4时，点P的轨迹是椭圆,且焦距为3；③当a＝4时,点P的轨迹是椭圆，且焦距为6;④当a＝3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆．其中正确的说法是（）A．①②B．①③C．②③D．②④答案B解析当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在,①正确;当a＝4时,2a＝8>｜AB｜，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为｜AB|＝6,②错误，③正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB,④错误．2．已知椭圆错误!＋错误!＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7答案D解析由椭圆方程知a＝5，根据椭圆定义有｜PF1｜＋｜PF2|＝2a＝10.若|PF1｜＝3，则｜PF2|＝7.3．设F1，F2是椭圆错误!＋错误!＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为（)A．16 B．18 C．20 D．不确定答案B解析∵a＝5,b＝3，∴c＝4又｜PF1|＋｜PF2|＝2a＝10，｜F1F2|＝2c＝8，∴△PF1F2的周长为｜PF1|＋|PF2|＋|F1F2｜＝2a＋2c＝10＋8＝18，故选B。
知识点二求椭圆的标准方程4.写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1）a＝5，c＝2;(2）经过P1(错误!,1)，P2（－错误!,－错误!)两点;（3）以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点,且经过点M(2,6)．解（1)由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.∴椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1。
(2)解法一：①当焦点在x轴上时,设椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a>b〉0）．由已知，得错误!⇒错误!即所求椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝1。
椭圆的标准方程1
y M
所以有 MF1+ MF2=2a
F2
x
∴ ∴
4
( x c ) 2 y 2 2a ( x c ) 2 y 2
a cx a ( x c ) y
2 2
2
a 2a 2 2 2 2 2
F1
F2
3
[1] 建系: 以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F 1 F 2 的
垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则
F 1( c ,0 ), F 2( c ,0 )
[2] 设点: 设 M(x,y) 为椭圆上的任意一点
[3] 找关系: M与F1,F2 距离 之和 等于2a (2a>2c), [4] 代坐标: ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a [5] 化简:
2 2 2
例1： 求适合下列条件的椭圆标准方 程：
(1)a=4，b=1，焦点在 x 轴上； (2)a=4，c=2，焦点在 y 轴上；
说出适合下列条件的椭圆标准方程
（1）a
5, c 3 ，焦点在x 轴上；
2 y x 1 25 16 2
（2）b 1, c 15 ，焦点在y 轴上。
2
2
2
∴
(a c ) x a y a (a c )
2 2 2 2 2 2 2
2 2
a c 0 a c 0 令 a 2 c 2 b2 , b 0
∴ b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
则，椭圆的方程为：
x y 1 2 2 a b
2
a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
作业： P96 习题8.1 1、2 、3
椭圆及其标准方程(第一课时)
2 2
2
(3). 点P是椭圆上的一点，且满足：
PF1 6, PF2 14, F1F2 16.
x y 1, 100 36
2 2
x y 1 36 100
2
2
范例分析
x y 例题3. 过椭圆 100 36 1, 的右焦点F2作垂
疑难破解 问题1. 曲线的方程 平方并整理得：
c ( x c) y a x a
2 2
2 2 2
a
2
c
2
x
2
2
a y a a c
2 2
x y 2 2 1 2 a a c
2
疑难破解 问题2. 关键字母的几何意义 a 表示线段 PF1 . c 表示线段 OF1 .
2 2 2 2
③
疑难破解 问题1. 求曲线方程的方法
( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a ① c 2 2 2 2 ( x c) y ( x c) y 2 x ③ a
①+③得：
c ( x c) y a x a
2 2
例题1. 计算题 2 2 x y 1 的焦点在 y 轴上， ③ 椭圆 m 1 3 m
范例分析
则m的取值范围是 1<m<2
m 1 0 提示：由题意得 3 m 0 3 m m 1
.
范例分析
例题2. 求椭圆的标准方程：
x 2 y 1 (1). a=4，b=1，焦点在x轴上; 16
② 焦点在x轴上：
2
2
x F1
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椭圆及其标准方程（1）
一.知识探究
1．椭圆的定义
把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，点 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距．
2．平面内动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是什么？当2a <|F 1F 2|时呢？
4．如何确定焦点的位置？
二.典型选讲：
例1.判断下列椭圆的焦点的位置，并求出焦点的坐标。
①16410022=+y x ②125
92
2=+y x
变式训练1.将方程22525922=+y x 化为标准方程，并求出焦点的坐标。
例2.已知椭圆16x 2＋25y 2＝400上一点到椭圆左焦点的距离为3，求该点到右焦点的距离。
变式训练2. 椭圆136
642
2=+y x 的弦PQ 过F 1，求△PQF 2的周长
三.课后作业
1．a ＝6，c ＝1的椭圆的标准方程是( )
A.x 236＋y 235＝1
B.y 236＋x 235＝1
C.x 236＋y 25
＝1 D ．以上都不对 2．设P 是椭圆x 225＋y 216
＝1上的点．若F 1.F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10
3.椭圆1100
362
2=+y x 上一点P ，则△PF 1F 2的周长 4．椭圆x 216＋y 29
＝1的焦距为________，焦点坐标为________． 5．已知椭圆x 29＋y 2m 2＝1的焦点在x 轴上，则实数m 的取值范围是________． 6.求下列条件的椭圆的标准方程 :
（1）焦点坐标分别为（0，-4），（0,4），a=5；
（2）a+c=10,a -c=4
自助餐
1.已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12
)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，求动点P 的轨迹方程
2.方程15
102
2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是（ ） A.10<k B.5>k C.105<<k D.105.7<<k。