数学必修六椭圆标准方程知识点
数学必修六椭圆标准方程知识点
椭圆标准方程知识点
1.椭圆的标准方程共分两种情况：
当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x²/a²+y²/b²=1，a>b>0;
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y²/a²+x²/b²=1，a>b>0;
2.设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1，F2的距离和为2a2a>2c。
3.椭圆的方程几何性质
X，Y的范围
当焦点在X轴时-a≤x≤a,-b≤y≤b
当焦点在Y轴时-b≤x≤b,-a≤y≤a
对称性
不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。
顶点：
焦点在X轴时：长轴顶点：-a，0，a，0
短轴顶点：0，b，0，-b
焦点在Y轴时：长轴顶点：0,-a，0,a
短轴顶点：b,0，-b,0
注意长短轴分别代表哪一条轴，在此容易引起混乱，还需数形结合逐步理解透彻。
焦点：
当焦点在X轴上时焦点坐标F1-c,0F2c,0
当焦点在Y轴上时焦点坐标F10，-cF20,c
4.S=πab其中a,b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长，可由圆的面积可推导出来或S=πAB/4其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长。
5.圆和椭圆之间的关系：椭圆包括圆，圆是特殊的椭圆。
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椭圆及其标准方程
第一节 椭圆 1．椭圆的定义 (1) 第一定义：|)|2(2||||2121F F a a PF PF >=+ （21,F F 为焦点，c F F 2||21=为焦距） 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在． （2）第二定义： )10(,||<<=e e d PF 注：第二定义中焦点与准线应对应 2．椭圆的标准方程（中心在原点，对称轴为坐标原点）(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：1 2 22 2=+b y a x ，其中( > >0，且= 2 a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是 1 2 22 2=+b x a y ，其中a ，b 满足： ． 说明：（1）焦点在22,y x 分母大的对应的坐标轴上； （2）222c b a +=及c b a ,,的几何意义 （3）标准方程的统一形式：),0,0(12 2 n m n m ny mx ≠>>=+ 适用于焦点位置未知的情形 （4）参数方程：?? ?==θ θ sin cos b y a x 3．椭圆的几何性质(对1 2 22 2=+ b y a x ,a > b >0进行讨论) (1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ； (4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ． (5) 椭圆的准线方程为 ．【课前预习】 1．若方程 11 32 2 =-+ -k y k x 为焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是_______________ 2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是4 3，则此椭圆的标准方程是_____________ 3．若椭圆 12 2 2 =+ m y x 的离心率为2 1，则实数=m ______ 4．已知21,F F 为椭圆14 2 2 =+y x 的左、右焦点，弦AB 过1F ，则AB F 2?的周长为______8 5．已知椭圆 12 16 2 2 y x + =1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若6||2=MF ，则 |ON|的长等于 .1 【例题讲解】 例1：根据下列条件求椭圆方程 （1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P （3，0），求椭圆的方程； （2）中心在原点的椭圆，一条准线方程为5=y ，且它的离心率5 5= e ； （3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为5 3 4和 5 3 2，过P 作长轴的垂 线恰好过椭圆的一个焦点；
高二椭圆知识点总结
椭圆 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数 () 212F F a >的点的轨 迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a ，2a ＞|F1F2|=2c}； 这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。 （ 2 12F F a =时为线段21F F ， 2 12F F a <无轨迹）。 2．标准方程： 222c a b =- ①焦点在x 轴上：122 2 2=+b y a x （a ＞b ＞0）； 焦点F （±c ，0） ②焦点在y 轴上：122 2 2=+b x a y （a ＞b ＞0）； 焦点F （0, ±c ） 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1 x y m n += 或者 mx2+ny2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 （1）椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0） 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b （2）椭圆122 2 2=+b x a y （a ＞b ＞0） 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A1（-a ，0），A2（a ，0），B1（0，-b ），B2（0，b ） （2）线段A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比22c a ，即a c 称为椭圆的离心率， 记作e （10< 椭圆的相关知识点 第一篇：椭圆的基本概念和性质 1.椭圆的定义 椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于定长 （长轴）的点的轨迹，长轴的中点为圆心，短轴为长轴的一半。 2.椭圆的方程 椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 a 和 b 分别 为长半轴和短半轴的长度。椭圆的一般方程为 $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$，式中 A、B、C、D、E、F 均为 常数。 3.椭圆的对称性 椭圆有四个轴线：长轴和短轴，以及两个对称轴线（分 别为横向和纵向）。椭圆具有关于两个轴线的对称性，关于 圆心对称。 4.椭圆的几何性质 椭圆的周长公式为 $l=4aE(e)$，面积公式为 $S=\pi ab$。其中，$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$ 为椭圆的离心率，$E(e)$ 为第一类的椭圆积分（椭圆弧长度）。 椭圆的内切圆为其一条边界切线上的圆，其直径长度为 短轴的长度，而斜切和垂直切的切线则分别过长轴的端点和中点。 椭圆的离心率决定了其形状的扁瘤程度，离心率越小则 椭圆越接近于圆形，越大则越接近于扁平的形状。 5.椭圆的应用 椭圆在数学、物理、工程、生物学和地球科学等领域中有广泛的应用。例如，它们可以用于描述球形天体的轨道、电子轨道、反射镜的形状、ATM 窗口的形状、荷载分布、地球的椭球形等等。 第二篇：椭圆的参数方程、焦点坐标和切线方程 1.椭圆的参数方程 对于椭圆的标准方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，我们可以将其表示为参数方程： $$ \begin{cases} x=a\cos\theta\\ y=b\sin\theta \end{cases} $$ 其中，$\theta$ 为参数，表示 $\overrightarrow{OP}$ 与 $x$ 轴正半轴的夹角。 2.椭圆的焦点坐标 椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴上，与圆心的距离为 $c=\sqrt{a^2-b^2}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 分别为长轴和短轴的长度。焦点的坐标为 $(\pm c, 0)$。 3.椭圆的切线方程 椭圆上一点 $P$ 的切线方程可以通过求出该点处的导数（斜率）来得到。设点 $P$ 的坐标为 $(x_0,y_0)$，则其切线方程的斜率为 $k=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}$。将该点处的斜率代入点斜式（或解析式）即可得到该点处的切线方程。 数学椭圆知识点总结 数学椭圆知识点总结 椭圆基础知识梳理 知识点一椭圆的定义 平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 根据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满足集合，，且都为常数。 当即时，集合P为椭圆。 当即时，集合P为线段。 当即时，集合P为空集。 知识点二椭圆的标准方程 (1)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。 (2)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。 知识点三椭圆方程的一般式 这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较方便，在此提供出来，作为参考： (其中为同号且不为零的常数，)，它包含焦点在轴或轴上两种情形。方程可变形为。 当时，椭圆的焦点在轴上;当时，椭圆的焦点在轴上。 一般式，通常也设为，应特别注意均大于0，标准方程为。 知识点四椭圆标准方程的求法 1.定义法 椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的方法之一,当问题是以实际问题给出时，一定要注意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。 例1、在△ABC中，A、B、C所对三边分别为，且B(-1,0)C(1,0)，求满足，且成等差数列时，顶点A的曲线方程。 变式练习1.在△ABC中，点B(-6,0)、C(0,8)，且成等差数列。 (1)求证：顶点A在一个椭圆上运动。 (2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。 2.待定系数法 首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满足的等式，求得的值，再代入所设方程，即一定性，二定量，最后写方程。 例2、已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，=3b，求椭圆的标准方程。 例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程。 椭圆知识点归纳总结 椭圆是一种数学中常用的曲线，它具有非常重要的地位和应用价值。这里我们总结了关于椭圆的一系列知识 点，供大家参考。 1、椭圆的定义：椭圆是椭圆轴心所在的平面内，任意一点距离椭圆的两个焦点的距离之和是常数的曲线，称为 椭圆。 2、构成椭圆的元素：椭圆由焦点、椭圆轴、长轴、短轴、过椭圆轴心的直线等组成。 3、椭圆的特性：椭圆的长轴和短轴是对称的，其上的任意点距离椭圆的两个焦点的距离之和都是恒定的；同 时，椭圆的两个焦点和椭圆轴心之间的距离是确定的。 4、椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为 A x²+ B y² + Cx + Dy + E = 0，其中A,B,C,D,E是实数，且A乘以B 不等于0。 5、椭圆的性质：1）椭圆的周长：椭圆的周长等于 4aπ，其中a为椭圆的长半轴；2）椭圆的面积：椭圆的面积等于abπ，其中a、b分别为椭圆的长半轴和短半轴。 6、椭圆的几何意义：椭圆就是以椭圆轴心为中心，以椭圆轴为横轴，以椭圆的焦点为纵轴，将椭圆当作一个轴 对称的椭圆框，将椭圆框围住的底面积称为椭圆的面积， 椭圆的面积可以用椭圆的标准方程来表示，椭圆的周长用椭圆的参数方程来表示。 7、椭圆的用途：椭圆的应用很广泛，如天文学中的行星运行轨道都是椭圆，在工程学中也有椭圆的运用，如飞机的空气动力学和水力学中，都会用到椭圆来分析流动的轨迹，还有在医学影像学中，椭圆曲线也有很多的应用，例如用来检测胎儿的脑部异常，如脑损伤等。 8、椭圆的积分：椭圆积分是指对椭圆函数进行求积分的问题，又称椭圆函数求积分。椭圆积分有一系列的公式，如兰佩-科普尔公式、哈斯科夫积分公式等，可以用来求解椭圆函数的积分。 9、椭圆的极坐标：椭圆的极坐标是椭圆的一种表示形式，它使用一般坐标系中的极坐标来表示椭圆上的点，即用椭圆的焦点作为原点，用椭圆的椭圆轴为极轴，椭圆上的任意一点可以用极坐标表示为(r,θ)，此时椭圆的标准方程可以写成r=f(θ)的形式。 10、椭圆的参数方程：椭圆的参数方程是另一种表示椭圆的方法，它是将椭圆的标准方程改写成参数方程的形式，参数方程可以表示椭圆的周长，它的表示形式为 x=acosθ+bsinθ，y=dcosθ+esinθ，其中a,b,c,d,e是实数，且a乘以d不等于0。 圆锥曲线与方程 椭 圆 知识点 一．椭圆及其标准方程 1．椭圆的定义:平面内与两定点F １,F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M ＝{P| |ＰF 1｜+|PF 2｜=２a,2a ＞|F 1Ｆ2|=2c}; 这里两个定点F 1,Ｆ2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2ｃ。 (212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹)。 2．标准方程:2 22c a b =- ①焦点在x 轴上：122 22=+b y a x （a>ｂ＞0); 焦点F(±c,0) ②焦点在y 轴上：122 22=+b x a y （a>b>0); 焦点Ｆ（0, ±ｃ) 注意：①在两种标准方程中,总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n + = 或者 ｍx 2+ｎｙ2=1 二．椭圆的简单几何性质： 1.范围 (1）椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0) 横坐标-a ≤x ≤ａ ,纵坐标-ｂ≤x ≤b (2)椭圆122 22=+b x a y (ａ＞b>0) 横坐标-b ≤x ≤b,纵坐标-a ≤x ≤a 2.对称性 椭圆关于x 轴ｙ轴都是对称的,这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3．顶点 (1)椭圆的顶点：A 1（-a,0），A 2（ａ，0),Ｂ1(0，－b)，B 2(０,b) (2)线段A １Ａ2,B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a ，短轴长等于2b ，a 和b 分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4．离心率 (1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比 22c a ,即a c 称为椭圆的离心率，记作e （10< 椭圆 1. 椭圆的定义与性质 1.1 定义 椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。 1.2 基本性质 •F1F2的距离为2c，c > a。 •椭圆的离心率e满足e = c/a，0 < e < 1。 •长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。 •椭圆的焦点到直径的距离之和等于该直径的长度。 1.3 方程 •椭圆的标准方程：x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a为长轴的长度的一半，b为短轴的长度的一半。 •椭圆的参数方程：x = a cosθ, y = b sinθ。 2. 椭圆的图形特点 2.1 图形形状 •椭圆是一个闭合曲线，没有端点。 •椭圆关于x轴和y轴对称。 2.2 焦点与准线 •椭圆的焦点F1和F2在长轴上，离心率e = c/a决定了焦点的位置。 •椭圆的准线是与长轴平行且与焦点F1F2的距离为2a的直线。 2.3 长轴与短轴 •长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。 •长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。 2.4 离心率 •离心率e = c/a，离心率决定了椭圆的扁平程度。 •当e=0时，椭圆退化为一个点；当e=1时，椭圆退化为一个线段。 3. 椭圆的方程 3.1 标准方程 •椭圆的标准方程为x2/a2 + y2/b2 = 1，其中a为长轴的长度的一半，b为短轴的长度的一半。 •标准方程的参数a和b决定了椭圆的形状和大小。 3.2 参数方程 •椭圆的参数方程为x = a cosθ, y = b sinθ。 •参数θ的取值范围为[0, 2π]，通过改变θ的取值可以得到椭圆的不同部分。 3.3 圆的特殊情况 •当a=b时，椭圆退化为一个圆。 •圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，其中r为圆的半径。 4. 椭圆的性质 4.1 焦点与准线的性质 •椭圆上的任意一点到焦点F1和F2的距离之和等于常数2a。 •椭圆上的任意一点到准线的距离之差等于常数2a。 4.2 离心率的性质 •离心率e = c/a，离心率决定了椭圆的扁平程度。 •离心率e越接近于0，椭圆越接近于一个圆；离心率e越接近于1，椭圆越扁平。 4.3 长轴、短轴和焦距的关系 •长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。 •焦距c满足c^2 = a^2 - b^2。 4.4 面积和周长 •椭圆的面积为πab。 •椭圆的周长没有解析式，需要使用数值积分等方法计算。 5. 椭圆的应用 5.1 天体运动 •行星和卫星的轨道可以近似为椭圆。 •开普勒定律描述了天体运动的规律。 5.2 光学 •椭圆镜可以将平行光线聚焦到一个点上，常用于光学设备中。 高中椭圆的知识点总结 椭圆是数学中的一个重要概念，具有很多应用。在高中数学中，椭圆也是一个必修的内容，考试中经常会涉及到相关的知识点。 在本文中，我们将对高中椭圆的知识点进行总结和归纳。 一、椭圆的定义 椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和等于定长2a的点P 的轨迹。这两个定点F1和F2被称作椭圆的焦点，定长2a被称为 椭圆的长轴，长轴的中点O被称为椭圆的中心，距离中心最远的 两点A和B被称为椭圆的顶点，椭圆的离心率为e=(F1F2)/2a。 二、椭圆的方程 椭圆的标准方程为 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1, 其中a>b>0，a为长 轴长度，b为短轴长度。当椭圆的中心不在坐标原点时，可通过平移变换将其移到原点，然后再求解方程。 三、椭圆的性质 1. 椭圆的中心位于坐标原点或者与坐标轴的交点上。 2. 椭圆的长轴是平行于x或y轴的直线，短轴是垂直于长轴的直线。 3. 椭圆的离心率e=(F1F2)/2a, e<1。 4. 椭圆的焦点与顶点之间的距离F1A、F2B互相相等，且等于椭圆的长轴长度2a。 5. 椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于定长2a。 6. 椭圆的面积为πab。 7. 椭圆的周长无法用初等函数表示，通常用级数来表示。 四、椭圆的几何意义 椭圆的几何意义可以简单地用两条绳子相互交错吊起一个重物 来表现。在两条绳子构成的平面上，可以画出一个椭圆形的轨迹，此时重物到两条绳子的距离之和为定值2a，而椭圆的顶点即为两 条绳子的交点。 五、椭圆的应用 椭圆具有很多应用，在物理、工程、天文学、生物学等领域中 经常会涉及到。 1. 通讯卫星轨道：通讯卫星通常被放置在椭圆轨道上，使得其 在地球上的可见度更广，信号传输距离更长。 2. 医学图像：医学图像中的组织轮廓通常是椭圆形的，因此椭 圆形适用于医学图像处理。 3. 自动打标机：自动打标机通常采用椭圆形的摆线轮廓来控制 字母和数字的运动轨迹。 高中数学-椭圆知识点 椭圆是一种常见的几何图形，在高中数学中经常被讨论和应用。下面是椭圆的一些重要知识点： 1. 椭圆的定义和性质 - 椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的轨迹。这两个给定点称为焦点，距离之和称为焦距。 - 椭圆的形状是一个长轴和短轴决定的闭合曲线。长轴的两个 端点是焦点，短轴是长轴垂直的线段。 - 椭圆有对称轴和中心，对称轴是长轴和短轴的中垂线，中心 是椭圆的中点。 2. 椭圆的方程 - 椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的半长。 - 标准方程中的参数a和b决定了椭圆的大小和形状。 - 当椭圆的中心在坐标原点时，方程简化为x²/a² + y²/b² = 1。 - 椭圆的离心率e是焦距与长轴长度之比。 3. 椭圆的性质和推论 - 椭圆的离心率e满足0 椭圆方程知识点总结 椭圆方程是高等数学中的一个重要内容，它涵盖了多个学科领域，包括微积分、复变、偏微分方程等。本文将从椭圆方程的定义、性质、求解方法等多个方面进行详细讲解和总结，以期让读者对该内容有更加深入的了解。 一、椭圆方程的定义 椭圆方程是指形如$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$这样的方程，其中$a$和$b$都是正实数，且$a>b$。这个方程描述了一个平面上的椭圆，其中$a$和$b$称为椭圆的半轴长度，椭圆的中心位于坐标原点。 在三维空间中，类似的方程也可以描述一个椭球。椭球的半轴长度分别对应方程中$x$、$y$、$z$三个变量的系数，即 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，其中$a>b>c$。 二、椭圆方程的性质 1. 椭圆方程所描述的图形为平面上的椭圆。 2. 椭圆方程满足反对称性质，即交换$x$和$y$的值，方程的解不会发生变化。 3. 在坐标系中，椭圆具有x轴和y轴的对称性，即椭圆关于x 轴和y轴对称。 4. 直线$y=kx$与椭圆相交时，只有两个交点或没有交点。若有两个交点，则交点的$x$坐标满足$a^2k^2+b^2=x^2$，解得 $x=\pm\frac{ab}{\sqrt{a^2k^2+b^2}}$。 5. 椭圆方程在$(\pm a,0)$和$(0,\pm b)$四点处有拐点，即曲率半径为无穷大。而在椭圆上任意一点的曲率半径为 $\rho=\frac{ab}{\sqrt{(b^2x^2+a^2y^2)^3}}$。 6. 椭圆方程的面积为$S=\pi ab$，周长为$C=4aE(e)$，其中$E(e)$为第二类椭圆积分，$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$为椭圆的离心率。 有关椭圆的所有知识点 1. 椭圆的定义：椭圆是一种特殊的抛物线，它是二维平面上的曲线，其中两条轴的长度不相等，椭圆的方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 2. 椭圆的性质： （1）椭圆的对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴； （2）椭圆的中心点是两个对称轴的交点； （3）椭圆的长轴和短轴的长度分别为a和b，椭圆的面积为S=πab； （4）椭圆的边界是一个抛物线，称为椭圆弧，可以用参数方程表示：$$x=a\cos t， y=b\sin t$$ 3. 椭圆的标准方程： （1）椭圆的标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ （2）椭圆的中心在原点时，标准方程为：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ （3）椭圆的中心在(h,k)处时，标准方程为：$$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y- k)^2}{b^2}=1$$ 4. 椭圆的对称性： （1）椭圆是一种具有对称性的曲线，其对称轴是两个相交的线段，其中一个线段的长度大于另一个，称为长轴，另一个线段称为短轴； （2）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$x=a\cos t，y=b\sin t$$ （3）椭圆的对称性可以用参数方程表示：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 5. 椭圆的离心率：椭圆的离心率是椭圆的一个重要参数，它可以表示椭圆的形状，它的定义是：椭圆的离心率等于椭圆的长轴与短轴之比，即：$$e=\frac{a-b}{a}$$ 椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 22b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换 成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称 为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 椭圆知识点总结 椭圆学问点总结1 学问点一椭圆的定义 平面内到两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的集合叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 依据椭圆的定义可知：椭圆上的点M满意集合，，且都为常数。 当即时，集合P为椭圆。 当即时，集合P为线段。 当即时，集合P为空集。 学问点二椭圆的标准方程 (1)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。 (2)，焦点在轴上时，焦点为，焦点。 学问点三椭圆方程的一般式 这种形式的方程在课本中虽然没有明确给出，但在应用中有时比较便利，在此供应出来，作为参考： (其中为同号且不为零的常数，)，它包含焦点在轴或轴上两种情形。方程可变形为。 当时，椭圆的焦点在轴上;当时，椭圆的焦点在轴上。 一般式，通常也设为，应特殊留意均大于0，标准方程为。 学问点四椭圆标准方程的求法 1.定义法 椭圆标准方程可由定义直接求得，这是求椭圆方程中很重要的 方法之一,当问题是以实际问题给出时，肯定要留意使实际问题有意义，因此要恰当地表示椭圆的范围。 例1、在△ABC中，A、B、C所对三边分别为，且B(1,0)C(1,0)，求满意，且成等差数列时，顶点A的曲线方程。 变式练习1.在△ABC中，点B(6,0)、C(0,8)，且成等差数列。 (1)求证：顶点A在一个椭圆上运动。 (2)指出这个椭圆的焦点坐标以及焦距。 2.待定系数法 首先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来，然后结合问题的条件，建立参数满意的等式，求得的值，再代入所设方程，即肯定性，二定量，最终写方程。 例2、已知椭圆的中心在原点，且经过点P(3,0)，=3b，求椭圆的标准方程。 例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，求椭圆方程。 变式练习2.求适合以下条件的椭圆的方程; (1)两个焦点分别是(3,0)，(3,0)且经过点(5,0). (2)两焦点在坐标轴上，两焦点的中点为坐标原点，焦距为8，椭圆上一点到两焦点的距离之和为12. 3.已知椭圆经过点和点，求椭圆的标准方程。 4.求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点的椭圆标准方程。 高二数学讲义第六讲 椭圆的标准方程 知识梳理 1. 椭圆定义： （1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段； 12220220022a c a c F F a c >>⇔ ⎫ ⎪ =>⇔↔⎬⎪<<⇔⎭ 椭圆 线段无意义，轨迹不存在 数形结合 （2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数 e (10< 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当122 22=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 5.几个概念： ①通径：2b 2 a ; ③点与椭圆的位置关系： ④22 221x y a b +=上任意一点P 与两焦点 21,F F 构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形. ⑤弦长公式：； ⑥椭圆在点P （x 0，y 0)处的切线方程： 00221x x y y a b +=; ○ 7基本三角形：中心焦点短轴顶点这三点构成椭圆的基本三角形。 6．椭圆上的几个常见最值 ○ 1椭圆的短轴的端点对两焦点的张角是椭圆上点与两焦点张角（与两焦点连线夹角）的最大值； ○ 2短半轴、长半轴的几何意义是椭圆上点与中心距离的最小值与最大值； ○ 3焦点到椭圆上点的距离的最大值与最小值分别是c a +与c a -； ○4过椭圆焦点的弦长最大值是长轴长，最小值是垂直于长轴所在直线的弦（有时称为通径，其长为a b 2 2）. ○5焦点三角形的周长为定值)22(c a +，利用解三角形的方法可以得出：当21PF F ∠＝θ时，此三角形的面积为2 2θ tg b （引起注意的是此结论的推导过程要掌握）. 重难点突破 重点:掌握椭圆的定义标准方程，会用定义和求椭圆的标准方程，能通过方程研究椭圆的几何性质及其应用 难点:椭圆的几何元素与参数c b a ,,的转换。 重难点:运用数形结合，围绕“焦点三角形”，用代数方法研究椭圆的性质，把握几何元素转换成参数c b a ,,的关系。 问题1已知21F F 、为椭圆19 252 2=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+B F A F ，则AB =______________。椭圆的相关知识点
数学椭圆知识点总结
椭圆知识点归纳总结
椭圆知识点总结
椭圆高中知识点总结
高中椭圆的知识点总结
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椭圆及其标准方程知识点
椭圆知识点总结
高二数学讲义椭圆标准方程(精品-原创有答案)