一次函数与几何图形综合题(含答案)精编版

一次函数与几何图形综合专题讲座

思想方法小结 ： （1）函数方法．

函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．

（2）数形结合法．

数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．

知识规律小结 ：

（1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点；

当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k

b

＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－

k

b

=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k

b

﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．

③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0)

当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系．

①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②??

?=≠2

12

1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）

； ③???≠=21

21,b b k k ?y 1与y 2平行；

④??

?==2

121,

b b k k ?y 1与y 2重合.

例题精讲：

1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB

(1) 求AC

(2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC

于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系，

并证明你的结论。

(3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM 的

值不变；②(MQ －AC )/PM 的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。

2．(本题满分12分)如图①所示，直线L ：5y mx m =+与x 轴负半轴、y 轴正半轴分别交

x

y

x

y

于A 、B 两点。

(1)当OA =OB 时，试确定直线L 的解析式；

(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q 为AB 延长线上一点，作直线OQ ，过A 、B 两点分别作AM ⊥OQ 于M ，BN ⊥OQ 于N ，若AM =4，BN =3，求MN 的长。

(3)当m 取不同的值时，点B 在y 轴正半轴上运动，分别以OB 、AB 为边，点B 为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF 和等腰直角△ABE ，连EF 交y 轴于P 点，如图③。

问：当点B 在 y 轴正半轴上运动时，试猜想PB 的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。

第2题图①

第2题图②

第2题图③

B A

l 1

x

y

于E ,过点C

作CF ⊥3l 于F 分别，请画出图形并求证：BE ＋CF ＝EF （3）△ABC 沿y 轴向下平移，AB 边交x 轴于点P ，过P 点的直线与AC 边的延长线相交于点Q ，与y 轴相交与点M ，且BP ＝CQ ，在△ABC 平移的过程中，①OM 为定值；②MC 为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。（6分）

考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质．

分析：（1）根据题意先求直线l1与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据轴对称的性质求直线l2的上点C的坐标，用待定系数法求直线l2的解析式；

（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明△BEA≌△AFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF；

（3）首先过Q点作QH⊥y轴于H，证明△QCH≌△PBO，然后根据全等三角形的性质和△QHM≌△POM，从而得HM=OM，根据线段的和差进行计算OM的值．

解答：解：（1）∵直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴A（－3，0），B（0，3），

∵直线l2与直线l1关于x轴对称，

∴C（0，－3）

∴直线l2的解析式为：y=－x－3；

（2）如图1．

答：BE+CF=EF．

∵直线l2与直线l1关于x轴对称，

∴AB=BC，∠EBA=∠FAC，

∵BE⊥l3，CF⊥l3

∴∠BEA=∠AFC=90°

∴△BEA≌△AFC

∴BE=AF，EA=FC，

∴BE+CF=AF+EA=EF；

（3）①对，OM=3

过Q点作QH⊥y轴于H，直线l2与直线l1关于x轴对称

∵∠POB=∠QHC=90°，BP=CQ，

又AB=AC，

∴∠ABO=∠ACB=∠HCQ，

则△QCH≌△PBO（AAS），

∴QH=PO=OB=CH

∴△QHM≌△POM

∴HM=OM

4.如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且a、

b满足.

(1)求直线AB的解析式；

(2)若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值；

(3)过A点的直线交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为－1，过N点的直线交AP于点M，试证明的值为定值．

考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

专题：计算题．

分析：（1）求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；

（2）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥Y轴于N，证△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐标即可；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥X轴于N，同法求出M的坐标；③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，证

△BHM≌△AMN，求出M的坐标即可．

（3）设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，

=有意义，

5.如图，直线AB：y=－x－b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1。

（1）求直线BC的解析式：

（2）直线EF：y=kx－k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？

（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交ｙ轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。

6. 如图，直线AB交X轴负半轴于B（m，0），交Y轴负半轴于A（0，m），OC⊥AB于C

（－2，－2）。 （1）求m 的值；

-4

m 2CG OG GB ,,45OA

OB G OB G =∴===∴???∴?

=∠∴?∴=都是等腰直角三角形为等腰直角三角形的垂线，垂足为作过OCB CGO CGB CBO AOB

（2）直线AD 交OC 于D ，交X 轴于E ，过B 作BF ⊥AD 于F ,若OD =OE ，求

AE

BF

的值； 2

1BF 2BF BH BF AE BF 2BH BF BH AE BH ASA AOE BOH 90AOE BOH AO BO EAO HBO AOE BOH )(BF ASA AFH AFB )(AF AF 90AFH AFB AFH AFB FEB ADC )(OED FEB ODE

OED OD OE FAH HBO ===∴=+==∴???∴??

?

???=∠=∠=∠=∠??=∴???∴??

?

??∠=∠=?=∠=∠??∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∠=∠∠=∠∴=∠=∠BF HF FAH BAF FAH CAD CAD HBO ODE ADC 等）（全等三角形对应边相）

（（已知）（已证）中，和在全等三角形对应边相等）

（已证（公共边）中和在对顶角相等，（同角的余角相等）

（3）如图，P 为x 轴上B 点左侧任一点，以AP 为边作等腰直角△APM ，其中P A =PM ，直线MB 交y 轴于Q ，当P 在x 轴上运动时，线段OQ 长是否发生变化？若不变，求其值；若

变化，说明理由。

7.在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图像过点B（－1，），与x轴交于点A（4,0），与y轴交于点C，与直线y=kx交于点P，且PO=PA

（1）求a+b的值；

（2）求k 的值；

（3）D 为PC 上一点，DF ⊥x 轴于点F ，交OP 于点E ，若DE=2EF ，求D 点坐标.

y =

2

x +2， 解方程组得：x =2，y =1，k =

2

1，

∴k 的值是

2

1； （3）设点D （x ，－21x +2），则E （x ，2

1

x ），F （x ，0）， ∵DE =2EF ， ∴－

21x +2－21x =2×2

1

x ， 解得：x =1，

则－

21x +2=－21×1+2=2

3， ∴D （1，2

3

）．

点评：本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之

间的内在联系．

8. 在直角坐标系中，B 、A 分别在x ，y 轴上，B 的坐标为（3，0），∠ABO =30°，AC 平分∠OAB 交x 轴于C ； （1）求C 的坐标；

解：∵∠AOB =90° ∠ABO =30° ∴∠OAB =30°

又 ∵ AC 是∠OAB 的角平分线 ∴∠OAC =∠CAB =30° ∵OB =3 ∴OA =3 OC =1

即 C (1，0)

（2）若D 为AB 中点，∠EDF =60°，证明：CE +CF =OC 证明：取CB 中点H ，连CD ,DH ∵ AO = 3 CO =1

∴AC =2

又∵D ,H 分别是AB ,CD 中点 ∴DH =AC 2

1

AB =23 ∵ DB =

2

1

AB =3 BC =2 ∠ABC =30°

∴BC=2 CD=2 ∠CDB=60°

CD=1=DH

∵∠EOF=∠EDC+∠CDF=60 °∠CDB=∠CDF+∠FDH=60°

∴∠EDC=∠FDH

∵AC=BC=2

∴CD⊥AB ADC=90°

∵∠CBA=30°

∴∠ECD=60°

∵HD=HB=1

∴∠DHF=60°

在△DCE和△DHF中

∠EDC=∠FDH

∠DCE=∠DHF

DC=DH

∴△DCE≌△DHF(AAS)

∴CE=HF

∴CH=CF+FH=CF+CE=1 OC=1

∴CH=OC

∴OC=CE+CF

（3）若D为AB上一点，以D作△DEC，使DC=DE，∠EDC=120°，连BE，试问∠EBC 的度数是否发生变化；若不变，请求值。

解：不变∠EBC=60°

设DB与CE交与点G

DC=DE∠EDC=120°

∴∠DEC=∠DCE=30°

在△DGC和△DCB中

∠CDG=∠BDC

∠DCG=∠DBC=30

∴△DGC∽△DCB

∴

DG DC =DC DB

DC =DE ∴

DG DE =DE

DB

在EDG 和BDE 中

DG DE =DE

DB

∠EDG =∠BDE ∴△EDG ∽ △BDE ∴∠DEG =∠DBE =30° ∴∠EBD =∠DBE +∠DBC =60°

9、如图，直线AB 交x 轴正半轴于点A （a ，0），交y 轴正半轴于点B （0， b ），且a 、b 满足4 a + |4－b |=0 （1）求A 、B 两点的坐标；

（2）D 为OA 的中点，连接BD ，过点O 作OE ⊥BD 于F ，交AB 于E ，求证∠BDO =∠EDA ；

（3）如图，P 为x 轴上A 点右侧任意一点，以BP 为边作等腰Rt △PBM ，其中PB =PM ，直

线MA 交y 轴于点Q ，当点P 在x 轴上运动时，线段OQ 的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ 的取值范围.

考点：全等三角形的判定与性质；非负数的性质：

绝对值；非负数的性质：算术平方根．

专题：证明题；探究型．

∴OB =OQ =4．

∴无论P 点怎么动OQ 的长不变．

点评：（1）考查的是根式和绝对值的性质．

（2）考查的是全等三角形的判定和性质．

（3）本题灵活考查的是全等三角形的判定与性质，还有特殊三角形的性质． 10、如图，平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 、y 轴上，点B 的坐标为(0，1)，

∠BAO =30°．（1）求AB 的长度；

（2）以AB 为一边作等边△ABE ，作OA 的垂直平分线MN 交AB 的垂线AD 于点D

．求证：BD =OE ．

（3）在（2）的条件下，连结DE 交AB 于F ．求证：F 为DE 的中点．

考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的

性质；含30度角的直角三角形．

专题：计算题；证明题．

分析：（1）直接运用直角三角形30°角的性质即可．

（2）连接OD ，易证

△

ADO 为等边三角形，再证△ABD ≌△AEO 即可． （3）作EH ⊥AB 于H ，先证△ABO ≌△AEH ，得AO =EH ，再证△AFD ≌△EFH 即可．

解答：（1）解：∵在Rt △ABO 中，∠BAO =30°，

∴AB =2BO =2； （2）证明：连接OD ， ∵△ABE 为等边三角形，

11.如图，直线y =

3

x +1分别与坐标轴交于A 、B 两点，在y 轴的负半轴上截取OC =OB . （1）求直线AC 的解析式； 解：∵ 直线y =

3

1

x +1分别与坐标轴交于A 、B 两点

∴ 可得点A 坐标为（－3，0），点B 坐标为（0，1） ∵ OC =OB

∴ 可得点C 坐标为（0，－1） 设直线AC 的解析式为y =kx +b

将A （－3，0），C （0，－1）代入解析式 －3k +b =0且b =－1可得k =－3

1

，b =－1

∴ 直线AC 的解析式为y =

3

1

x －1 （2）在x 轴上取一点D （－1，0），过点D 做AB 的垂线，垂足为E ，交AC 于点F ，交y 轴于点G ，求F 点的坐标； 解：∵ GE ⊥AB ∴ k k

1

E G A B

?=- ∴

13

1k ==3

GE --

设直线GE 的解析式为'

y=-3x+b

将点D 坐标（－1，0）代入，得

'

y=-3b 0?(-1)+= ∴ '

b 3=-

∴ 直线GE 的解析式为y =－3x －3 联立y =

3

1x －1与y =－3x －3，可求出

34x =-， 将其代入方程可得y =34

-，

∴ F 点的坐标为（

34

-，

34

-）

（3）过点B 作AC 的平行线BM ，过点O 作直线y =kx （k ＞0），分别交直线AC 、BM 于点H 、I ，试求

AB

BI

AH +的值。 解：过点O 作AC 的平行线ON 交AB 于点N ∵BM //AC

∴OI OB OH

OC

=

∵OB =OC