《一元二次方程》知识点总结及基础题含答案详解

一元二次方程

1. 一元二次方程的定义及一般形式：

（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数

式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 （2） 一元二次方程的一般形式： 20(0)ax bx c a ++=≠。其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法 （1）直接开平方法：

形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得

x a +=x a +=，∴x a =-±。

注意：若b<0，方程无解

（2）因式分解法： 一般步骤如下：

①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；

②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

（3） 配方法:

用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤

①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为

2()(0)x m n n +=≥的形式；

④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当0n <时，方程无解

（4） 公式法：

一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：24b ac ?=-

0?>?方程有两个不相等的实根:x =

240b ac -≥）?()f x 的图像与x 轴有两个交点

0?=?方程有两个相等的实根?()f x 的图像与x 轴有一个交点 0?

3. 韦达定理（根与系数关系）

我们将一元二次方程化成一般式ax 2+bx+c ＝0之后，设它的两个根是1x 和2x ，则1x 和2x 与方程的系数a ，b ，c 之间有如下关系：

1x +2x ＝b a -

； 1x ?2x ＝c

a

4.一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似 ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；

③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

④“解”就是求出说列方程的解；

⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。 注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。

《一元二次方程》基础题

一 选择题（每小题3分，共24分）： 1．方程（m 2－1）x 2＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ）

（A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1

2．方程（3x ＋1）（x －1）＝（4x －1）（x －1）的解是……………（ ） （A ）x 1＝1，x 2＝0 （B ）x 1＝1，x 2＝2 （C ）x 1＝2，x 2＝－1 （D ）无解

3．方程x x -=+65的解是…………………………（ ）

（A ）x 1＝6，x 2＝－1 （B ）x ＝－6 （C ）x ＝－1 （D ）x 1＝2，x 2＝3

4．若关于x 的方程2x 2－ax ＋a －2＝0有两个相等的实根，则a 的值是…………（ ）

（A ）－4 （B ）4 （C ）4或－4 （D ）2

5．如果关于x 的方程x 2

－2x －

2

k

＝0没有实数根，那么k 的最大整数值是…………（ ）

（A ）－3 （B ）－2 （C ）－1 （D ）0

6．以 213+ 和 2

1

3- 为根的一个一元二次方程是…………（ ）

（A ）02132=+-x x （B ）02

1

32=++x x

（C ）0132=+-x x （D ）02

1

32=-+x x

7．4x 2

－5在实数范围内作因式分解，结果正确的是………………（ ） （A ）（2x ＋5）（2x －5） （B ）（4x ＋5）（4x －5） （C ）)5)(5(-+x x （D ）)52)(52(-+x x

8．已知关于x 的方程x 2－（a 2－2a －15）x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值是…………………………………（ ）

（A ）5 （B ）－3 （C ）5或－3 （D ）1

答案：

１． Ｃ；２．Ｂ；３．Ｃ；４．Ｂ；５．Ｂ；６．Ａ；７．Ｄ；８．Ｂ．

二 填空题（每空2分，共12分）： 1．方程x 2－2＝0的解是x ＝ ；

2．若分式2

6

52-+-x x x 的值是零，则x ＝ ；

3．已知方程 3x 2 － 5x －4

1

＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝ ， x 1·x 2

＝ ； 4．关于x 方程（k －1）x 2－4x ＋5＝0有两个不相等的实数根，则k ； 5．一个正的两位数，个位数字比十位数大2，个位数字与十位数的积是24，则这个两位数是 ． 答案：

１．±2；２．3；３．35，12

1

-；４．k ＜59且k ≠1；５．46．

三 解下列方程或方程组（第１、２小题８分，第３小题９分，共25分）： 1．03232=+-x x ； 解：用公式法．

因为 1=a ，23-=b ，3=c ， 所以

6314)23(422=??--=-ac b ， 所以

2

6

23126)23(1+=?+--=x ，

2

6

23126)23(2-=?---=x ；

2．

7510

101522=--+--x x x x ； 解：用换元法．

设1

52--=x x y ，原方程可化为

710

=+y

y ， 也就是

01072=+-y y ， 解这个方程，有

0)2)(5(=--y y ，

51=y ，22=y ．

由15

21--=x x y ＝5得方程

052

=-x x ， 解得

01=x ，52=x ；

由1

5

22--=x x y ＝2得方程

0322=--x x ， 解得

13-=x ，34=x ．

经检验，01=x ，52=x ，13-=x ，34=x 都是原方程的解．

３．.

5

201222???=+=--+y x xy y x 解：由52=+y x 得y x 25-=，

代入方程 01222=--+xy y x ，得 01)25(2)25(22=---+-y y y y ，

081032=+-y y ， 0)2)(43(=--y y ，

34

1=y ，22=y ．

把 341=y 代入y x 25-=，得3

7

1=x ；

把 22=y 代入y x 25-=，得12=x ．

所以方程组的解为 ???

????==343711y x ，???==21

22y x ．

四 列方程解应题（本题每小题8分，共16分）：

１．某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放

乙管注满油罐少用4小时，两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时？

略解：设甲、乙两管单独开放注满油罐时各需x 小时和y 小时，

依题意，有

??

?

??=++=-19

334y x x y ， 解得 ?

??==1612

y x

所以，甲管单独开放注满油罐需12小时，乙管单独开放注满油罐需16小

时．

２．甲、乙二人分别从相距20千米的A 、B 两地以相同的速度同时相向而行，

相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B 地后乙还需30分钟才能到达A 地，求乙每小时走多少千米．

略解：用图形分析：

A 地 相遇地

B 地

依题意，相遇地为中点，设乙的速度为v 千米／时，

根据“甲、乙走10千米所用时间的差为半小时”列式，有

1

10

2110+=-v v ，

解得 v ＝4（千米∕时）．

五 （本题11分）

已知关于x 的方程（m ＋2）x 2－035=-+m mx . （1）求证方程有实数根；

（2）若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m 的值．

略解：（1）当m ＝－2时，是一元一次方程，有一个实根；

当m ≠ －2时，⊿＝（m ＋2）2＋20＞0，方程有两个不等实根； 综合上述，m 为任意实数时，方程均有实数根；

（2）设两根为p ，q .

依题意，有p 2＋q 2＝3，也就是

（p ＋q ）2－2pq ＝3，

有因为p ＋q ＝m 5，pq ＝3-m ， 所以

32

32)25(2=+-?-+m m m m ， 22)2(3)2)(3(25+=+--m m m m ，

1212122+=+m m ， 010=m ，

0=m ．

六 （本题12分）

已知关于x 的方程式x 2＝（2m ＋2）x －（m 2＋4m －3）中的m 为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m 的值，并解方程．

提示：

由m ≥0和⊿＞0，解出m 的整数值是0或1，

当m ＝0时，求出方程的两根，x 1＝3，x 2＝－1，符合题意；

当m ＝1时，方程的两根积x 1x 2＝m 2＋4m －3＝2＞0，两根同号，不符合题意， 所以，舍去；

所以m ＝0时，解为x 1＝3，x 2＝－1．