2010年高考理科数学试题及答案详解-山东卷

绝密★启用前 试卷类型：B

2010年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学解析版

注意事项：

1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证 号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用2B 铅笔将答题卡上试卷类型B 后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。

3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区 域内。答在试题卷、草稿纸上无效。

4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是满足题目要求的.

（1） 已知全集U=R ，集合M={x||x-1|≤2},则U C M=

（A ）{x|-13} (D){x|x ≤-1或x ≥3} 【答案】C

【解析】因为集合M=

{}x|x-1|2≤={}

x|-1x 3≤≤,全集U =R ，所以

U C M={}x|x<-1x>3或,故选C.

【命题意图】本题考查集合的补集运算,属容易题. (2) 已知

2(,)a i b i a b i +=+2a i

b i i

+=+（a,b ∈R ），其中i 为虚数单位，则a+b= (A)-1 (B)1 (C)2 (D)3

【答案】B 【解析】由

a+2i

=b+i i

得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知:a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B.

【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。 (3)在空间，下列命题正确的是 （A ）平行直线的平行投影重合

（B ）平行于同一直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一平面的两个平面平行 （D ）垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D 【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以很容易得出答案。

【命题意图】本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题。

（4）设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x

+2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 【答案】D

【解析】因为f(x)为定义在R 上的奇函数,所以有0f(0)=2+20+b=0?,解得b=-1,所以

当x 0≥时, x f(x)=2+2x-1,即f(-1)=-f(1)=1

2+21-1=-3?-（）

,故选D. 【命题意图】本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关键. (5)已知随机变量Z 服从正态分布N （0，2

e ）,若P(Z>2)=0.023,则P (-2≤Z ≤2)= (A)0.477 (B)0.625 (C)0.954 (D)0.977

【答案】C

【解析】因为随机变量ξ服从正态分布2N(0,)σ,所以正态曲线关于直线x=0对称,又

P(>2)=0.023ξ,所以

P (<

ξ,所以

P

(-

ξ≤≤

1-P ξξ1-

2?0.954,

故选C. 【命题意图】本题考查正态分布的基础知识,掌握其基础知识是解答好本题的关键.

(6)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3,,若该样本的平均值为1，则样本方差为

65【答案】D

【解析】由题意知1

a+0+1+2+3)=15

（,解得a=-1,所以样本方差为

2222221

S =[(-1-1)+(0-1)+(1-1)+(2-1)+(3-1)]5

=2,故选D.

【命题意图】本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差,属基础题,熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键. (7)由曲线y=2

x ,y=3

x 围成的封闭图形面积为 （A ）

112

(B)

14

(C)

13

(D)

712

【答案】A

【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为1

2

3

0x -x )dx=

?（111

1-1=3412

??,故选A 。 【命题意图】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积。

（8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （A ）36种 （B ）42种 (C)48种 （D ）54种 【答案】B

【解析】分两类：第一类：甲排在第一位，共有44A =24种排法；第二类：甲排在第二位，

共有13

33A A =18?种排法，所以共有编排方案

241842+=种，故选B 。 【命题意图】本题考查排列组合的基础知识，考查分类与分步计数原理。

（9）设｛a n ｝是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是数列｛a n ｝是递增数列的 （A ）充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】若已知123a

2111a 1,且1a >0，所以数列{}n a 是递增数列；反之，若数列{}n a 是递增

数列，则公比q>1且1a >0，所以2111a

【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，属保分题。

（10）设变量x 、y 满足约束条件2,5100,80,x y o x y x y -+≥??

-+≤??+-≤?

,则目标

函数z =3x －4y 的最大值和最小值分别为 （A ）3，－11 （B) －3, －11 (C)11, －3 (D)11,3 【答案】A

【解析】画出平面区域如图所示：

可知当直线z=3x-4y 平移到点（5，3）时，目标函数

z=3x-4y 取得最大值3；当直线z=3x-4y 平移到点（3，5）

时，目标函数z=3x-4y 取得最小值-11，故选A 。

【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数

z=3x-4y 的几何意义是解答好本题的关键。

(11)函数y =2x -2

x 的图像大致是

【答案】A

【解析】因为当x=2或4时，2x -2

x =0，所以排除B 、C ；当x=-2时，2x -2

x =

1

4<04

-，故排除D ，所以选A 。 【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力。

(12)定义平面向量之间的一种运算“ ”如下，对任意的a=(m,n) ，b p,q)=

（，令 a b=mq-np

，下面说法错误的是（ ）

A.若a 与b 共线，则a b=0

B.a b=b a

C.对任意的R λ∈，有a)b=(λλ （a b)

D. 2222

(a b)+(ab)=|a||b|

【答案】B

【解析】若a 与b 共线，则有a b=mq-np=0 ，故A 正确；因为b a pn-qm =

，而 a b=mq-np

，所以有a b b a ≠ ，故选项B 错误，故选B 。

【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

（13）执行右图所示的程序框图，若输入10x =，则输出y 的值

为 ． 【答案】54

-

【解析】当x=10时，y=1

10-1=42

?，此时|y-x|=6； 当x=4时，y=14-1=12?，此时|y-x|=3；当x=1时，y=11

1-1=-22

?，此时|y-x|=

32； 当x=12-时，y=115-1=-224?-（），此时|y-x|=3<14

，故输出y 的值为5

4-。

【命题意图】本题考查程序框图的基础知识，考查了同学们的试图能力。 （14）若对任意0x ＞，2

31

x

a x x ≤++恒成立，则a 的取值范围是 ． 【答案】1a 5

≥

【解析】因为x>0，所以1

x+

2x

≥（当且仅当x=1时取等号），所以有

2x 111

=

1x +3x+12+35

x++3x

=≤，即2x x +3x+1的最大值为15，故1a 5≥。 【命题意图】本题考查了分式不等式恒成立问题以及参数问题的求解，考查了同学们的转化能力。属中档题。

（15）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，

若a =

，2b =

，

sin cos B B +=，则角A 的大小为 ．

【答案】

6

π

【解析】由sin cos B B +=得12sin cos 2B B +=，即sin 2B 1=，因为0

以

B=45

，又因为a =2b =，所以在ABC ?

2

sin 45

，解得

1sin A 2

=

，又

。 【命题意图】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力，属于中档题。

（16）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C 所截得的

弦长为l 垂直的直线的方程为 ． 【答案】x+y-3=0

【解析】由题意，设所求的直线方程为x+y+m=0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知：

2

2+2=(a-1)，解得a=3或-1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为 （3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有3+0+m=0，即m=-3，故所求的直线方程为

x+y-3=0。

【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。

三、解答题：本大题共6小题，共74分． （17）（本小题满分12分） 已知函数()()211sin 2sin cos cos sin 0222f x x x π????π??

=

+-+ ???

＜＜，其图象过点

（

π6,12

）． （Ⅰ）求?的值；

（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数()g y x =的图象，求函数()g x 在[0,

π

4]上的最大值和最小值． 【解析】（Ⅰ）因为已知函数图象过点（π6,1

2

），所以有

1122=()21sin 2sin cos cos sin 06622πππ????π??

?+-+ ???

＜＜，即有

()3

1cos cos 02

????π=

+-＜＜=sin (+)6π?，所以+62ππ?=，解得3π?=。

（

Ⅱ

）

由

（

Ⅰ

）

知

3

π

?=

，所以

()()211sin 2sin cos cos sin 0233223f x x x ππππ?π??

=+-+ ???

＜＜

=

211

cos x-424

=

11+cos 2x 1sin2x+-=4

224?1sin (2x+)26π， 所以()g x =

1sin (4x+)26π，因为x ∈[0, π4]，所以4x+6π∈5[,]66ππ

， 所以当4x+62ππ=时，()g x 取最大值12；当4x+6π=566ππ或时，()g x 取最小值1

4

。

【命题意图】本题考查三角函数的诱导公式及二倍角等基本公式的灵活应用、图象变换以及

三角函数的最值问题、分析问题与解决问题的能力。 （18）（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n =

2

1

1

n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有

11

27

21026a d a d +=??

+=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1)

3n+

22

?=2n +2n 。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n =

2

1

1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)

?=111(-)4n n+1?， 所以n T =

111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n

4(n+1)

，

即数列{}n b 的前n 项和n T =

n

4(n+1)

。

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 （19）（本小题满分12分）

如图，在五棱锥P —ABCDE 中，P A ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC

∥ED ，AE ∥BC ， ∠ABC =45°，AB BC =2AE =4，三角形P AB 是等腰三角形．

（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面P AC ；

（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； （Ⅲ）求四棱锥P —ACDE 的体积．

【解析】（Ⅰ）证明：因为∠ABC =45°，AB BC =4，所以

在ABC ?中，由余弦定理得：222AC +4-24cos45=8? ，解得 所以2

2

2

AB +AC =8+8=16=BC ，即AB AC ⊥，又P A ⊥平面ABCDE ，所以P A ⊥AB ， 又PA AC A ?=，所以AB AC ⊥平面P ，又AB ∥CD ，所以AC CD ⊥平面P ，又因为

CD CD ?平面P ，所以平面PCD ⊥平面P AC ；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PCD ⊥平面P AC ，所以在平面P AC 内，过点A 作AH C ⊥P 于H ，则

AH CD ⊥平面P ，又AB ∥CD ，AB ?平面CD P 内，所以AB 平行于平面CD P ，所以点A

到平面CD P 的距离等于点B 到平面CD P 的距离，过点B 作BO ⊥平面CD P 于点O ，则

PBO ∠为所求角，且AH=BO ，又容易求得AH=2，所以1

sin PBO=2

∠，即P

B O ∠=30 ，所以直线PB 与平面PCD 所成角的大小为30

；

（Ⅲ）由（Ⅰ）知AC CD ⊥平面P ，所以AC CD ⊥，又AC ∥ED ，所以四边形ACDE 是

直角梯形，又容易求得DE =，AC=，所以四边形ACDE 的面积为

1

32

（，所以

四棱锥P —ACDE 的体积为1

33

?=

【命题意图】本题考查了空间几何体的的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的体积计算问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。 （20）（本小题满分12分） 某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有,,,A B C D 四个问题，规则如下：

① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题,,,A B C D 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；

② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当

累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局； ③ 每位参加者按问题,,,A B C D 顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题,,,A B C D 回答正确的概率依次为3111

,,,4234

，且各题回答正确与否相互之间没有影响.

(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；

（Ⅱ）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学的E ξ. 【解析】(Ⅰ)因为甲同学能进入下一轮与淘汰出局互为对立事件，所以甲同学能进入下一轮的概率为1-（

1111242423?+??+312423??=）1324

； （Ⅱ）ξ可能取2，3，4，则

P(=2)=

ξ1142?=1

8

；P(=3)=ξ312423??+311423??+111423??=1024； P(=4)=ξ312+423??112

423

??

311423??=1124

， 所以ξ的分布列为

ξ

2 3 4

()P ξ

18

10

24 1124

数学期望E ξ=128?+10324

?+4?1124=10

3。

【命题意图】本题考查了相互独立事件同时发生的概率、考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望的知识，考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力。 （21）（本小题满分12分）

如图，已知椭圆

22221(0)x y a b a b +=＞＞

点12,F F 为顶点的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为B A 、和C D 、.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明12·1k k =；

（Ⅲ）是否存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

【解析】（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为

c a =a =，又22a c +=1)，

所以可解得a =2c =，所以2

2

2

4b a c =-=，所以椭圆的标准方程为22

184

x y +=；所以椭圆的焦点坐标为（2±，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所

以该双曲线的标准方程为

22

144

x y -=。 （Ⅱ）设点P （0x ，0y ），则1k =

002y x +，2k =002y x -，所以12·k k =

002y x ?+0

02

y x -= 2

02

04

y x -，又点P （0x ，0y ）在双曲线上，所以有2200144x y -=，即22004y x =-，所以 12·k k =2

02

04

y x -=1。

（Ⅲ）假设存在常数λ，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立，则由（Ⅱ）知12·1k k =，所以设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1

(2)y x k

=

+， 由方程组22(2)18

4y k x x y =+??

?+=??消y 得：2222(21)8880k x k x k +++-=，

设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则由韦达定理得：21228,21k x x k -+=

+212288

,21

k x x k -=+ 所以

22

)

21

k k ++，同理可得

221)121k k

+

?+

=22

)2k k ++， 又因为·AB CD AB CD λ+=，所以有11||||AB CD λ=

+

2

2

28=，所以存在常数

λ8=，使得·AB CD AB CD λ+=恒成立。 【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线

的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力， (22)(本小题满分14分) 已知函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当1

2

a ≤

时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设2

()2 4.g x x bx =-+当14

a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使

12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.

【解析】(Ⅰ)原函数的定义域为（0，+∞），因为 '

211()-x a f x a x -=-=22

-ax +x+a-1

x ，所

以

当0a =时，'

2x-1()f x x =

，令

'

2

x-1()>0f x x =得x>1，所以 此时函数f(x)在（1，+∞）上是增函数；在（0，1）上是减函数；

当12a =时，'()f x =2211-x +x+-122x

?=22-x +2x-12x =2

2-x-102x ≤（），所以 此时函数f(x)在（0，+∞）是减函数；

当<0a 时，令'

()f x =22

-ax +x+a-1>0x

得2

-ax +x-1+a>0，解得1x>1x<-1a 或（舍去），此时函数

f(x)在（1，+∞）上是增函数；在（0，1）上是减函数；

当10<<2a 时，令'

()f x =22

-ax +x+a-1>0x

得2-ax +x-1+a>0，解得11

-1a

（，+∞）上是减函数；

当1<<12a 时，令'

()f x =22

-ax +x+a-1>0x

得2-ax +x-1+a>0，解得1-1

（，1）上是增函数；在（0，1

-1a ）和1（，+∞）上是减函数；

当1a ≥时，由于1-10a ≤，令'

()f x =22

-ax +x+a-1>0x

得2-ax +x-1+a>0，可解得01x <<，此时函数f(x)在（0，1）上是增函数；在（1，+∞）上是减函数。

（Ⅱ）当1

4

a =

时，f(x)在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈， 有11f(x )f(1)=-2≥，又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21

()2

g x -≥，

[]21,2x ∈，

即存在

[]1,2

x ∈，使2

1

()242

g x x b x =-+≤-，即2

9

22

b x

x

≥+，即9

22b x x ≥+∈1117

[

,]24， 所以1122b ≥，解得114b ≥，即实数b 取值范围是11

[,)4

+∞。

【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出()f x 的最小值、

g x在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。利用二次函数知识或分离常数法求出()