气象统计预报-研修班-小波分析
统计学中的运动统计方法
统计学中的运动统计方法统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
在统计学中，运动统计方法是一种重要的分析手段，用于描述和推断随时间变化的变量。
一、运动统计方法简介运动统计方法是一种基于时间序列的统计技术，用于研究变量在时间上的演变和趋势。
它可以揭示变量的周期性、趋势性以及其他统计特征，为我们提供有关数据的有价值的信息。
运动统计方法主要包括趋势分析和周期分析两种技术。
二、趋势分析趋势分析是通过分析时间序列数据的变化趋势来预测未来趋势的一种方法。
常用的技术包括移动平均法、指数平滑法和回归分析法等。
1. 移动平均法移动平均法是一种用于平滑时间序列数据的方法。
它将数据按照一定的时间窗口长度进行滑动计算，得出每个时间点上的平均值，从而减少噪音的影响，更好地反映数据的趋势。
2. 指数平滑法指数平滑法是一种基于加权平均的方法。
它根据数据的权重和波动特征，对过去的数据进行赋权，得出未来数据的预测值。
指数平滑法适用于对趋势进行预测和分析。
3. 回归分析法回归分析法是一种通过建立变量之间的数学关系，来推断未来趋势的方法。
它可以通过拟合回归模型，得出各个变量之间的关系，从而预测未来发展趋势。
三、周期分析周期分析是一种用于研究时间序列数据中重复出现的周期性模式的方法。
常用的周期分析技术包括傅里叶分析和小波分析。
1. 傅里叶分析傅里叶分析将时间序列数据分解为不同频率的正弦和余弦波动成分。
通过对这些波动成分的分析，可以揭示出数据中存在的周期性模式。
傅里叶分析在经济学、地震学等领域有着广泛的应用。
2. 小波分析小波分析是一种时间-频率分析方法，可以同时提供时间和频率信息。
它通过将时间序列数据转换为不同尺度的小波函数，在时-频域上进行分析，发现数据中的局部变化和周期性模式。
四、运动统计方法的应用领域运动统计方法在各个领域中都有广泛的应用，包括经济学、气象学、金融学、医学等。
它可以帮助我们检测和预测一些重要指标的变化趋势，指导决策和规划。
小波变换在气候变化预测与分析中的模型构建与性能评估
小波变换在气候变化预测与分析中的模型构建与性能评估气候变化是当前全球面临的重大挑战之一，对人类社会和自然环境产生了深远的影响。
为了更好地理解和预测气候变化，科学家们采用了各种方法和技术。
其中，小波变换作为一种有效的信号处理工具，被广泛应用于气候变化的模型构建与性能评估。
小波变换是一种将信号分解成不同频率的组成部分的数学工具。
它可以将信号分解成不同尺度的波形，从而提供了对信号的多尺度分析能力。
在气候变化的研究中，小波变换可以用来分析和提取不同时间尺度上的气候信号，从而揭示气候变化的规律和趋势。
首先，我们可以利用小波变换构建气候变化的模型。
通过对气候数据进行小波分解，我们可以得到不同尺度上的气候信号。
这些信号可以反映出不同时间尺度上的气候变化特征，如年际变化、季节变化等。
通过对这些信号进行分析和建模，我们可以建立起描述气候变化的数学模型，从而更好地理解和预测气候变化。
其次，小波变换还可以用于气候变化的性能评估。
在气候变化的研究中，我们经常需要评估不同模型的预测能力和准确性。
小波变换可以提供一种有效的评估方法。
通过对观测数据和模型预测结果进行小波分解，我们可以比较它们在不同尺度上的差异。
如果模型预测结果能够较好地反映观测数据的尺度特征，那么我们可以认为该模型具有较好的性能。
此外，小波变换还可以帮助我们发现气候变化中的非线性特征。
在传统的线性分析方法中，我们常常假设气候变化是线性的，但实际上气候系统是高度非线性的。
小波变换可以通过对信号的非线性分解，揭示出气候变化中的非线性特征。
这对于我们更好地理解和预测气候变化具有重要意义。
总之，小波变换在气候变化预测与分析中具有重要的作用。
它可以帮助我们构建气候变化的模型，揭示气候变化的规律和趋势。
同时，它还可以用于评估不同模型的性能，发现气候变化中的非线性特征。
未来，我们可以进一步深入研究小波变换在气候变化中的应用，不断提高气候预测和分析的准确性和可靠性。
这将有助于我们更好地应对气候变化带来的挑战，保护地球的生态环境。
近45a蚌埠市气温变化特征分析
近45a蚌埠市气温变化特征分析张弦;靳莉莉;高凯【摘要】In term of the temperature data during 1967-2011 in the four ground meteorological observa⁃tion stations in Bengbu,through the methods of the linear trend rate,movingaverage,Mann-Kendallnonpara⁃metric test,departureaccumulation,etc,main characteristics of temperature variation in Bengbu in recent 45 years wereanalyzed. The results show that:theannualaverage temperature in Bengbu keeps risingata speed of⁃about 0.4 degrees Celsius per decade,and it mutated inabout 1993. Warming trends in the three seasons of spring,autumnand winter are obvious,andall reach extremely significant level.Autumn warming change is the most notable,winter warming range is the biggest.Changes of summer warmingand extreme maximum temperatureare not obvious,and both have 6a - 8a cyclical changes. High temperature days trend is notob⁃viousand mainly shows up 14a cyclical changes.The warming trends of theaverage minimum temperature,ex⁃treme minimum temperatureand temperatureat 2:00am are obvious.The number of days is less than or equal to 0℃ decreasing trend wasalso significantly reduced.Winter,low temperatureand night make the big⁃gest contribution to the process of climate warming in Bengbu.%利用蚌埠市4个地面气象观测站1967-2011年的气温观测资料，运用线性倾向率、滑动平均、Mann-Kendall非参数检验、累积距平、小波分析等方法对蚌埠市近45a来气温变化特征进行分析。
小波分析简述
第一篇：小波分析发展历史简述1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。
1936年，Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论，（即L-P理论：按二进制频率成分分组，其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状），这是多尺度分析思想的最早起源。
1952年～1962年，Calderon等人将L-P理论推广到高维，建立了奇异积分算子理论。
1965年，Calderon发现了著名的再生公式，给出了抛物型空间上H1的原子分解。
1974年，Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。
1976年，Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时，给出了Besov空间的一组基。
1981年，Stromberg引入了Sobolev空间Hp的正交基，对Haar正交基进行了改造，证明了小波函数的存在性。
1981年，法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。
1985年，法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。
1984年～1988年，Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数：Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。
1987年，Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，统一了在此前的所有具体正交小波的构造，给出了构造正交小波基的一般方法，提出了快速小波变换（即Mallat算法）。
1988年，Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基（即Daubechies基）。
Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数，并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。
1988年，Daubechies在美国NSF/CBMS 主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲，引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视，将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。
Morlet小波分析方法介绍
小波分析的要点：1.目的小波分析是一个强有力的统计工具，最早使用在信号处理与分析领域中，通过对声音、图像、地震等信号进行降噪、重建、提取，从而确定不同信号的震动周期出现在哪个时间或频域上。
现在广泛的应用于很多领域。
在地学中，各种气象因子、水文过程、以及生态系统与大气之间的物质交换过程都可以看作是随时间有周期性变化的信号，因此小波分析方法同样适用于地学领域，从而对各种地学过程复杂的时间格局进行分析。
如，温度的日变化周期、年变化周期出现在哪些事件段上，在近100年中，厄尔尼诺-拉尼娜现象的变化周期及其出现的时间段，等等。
2.方法小波变换具有多分辨率分析的特点，并且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。
小波变换通过将时间系列分解到时间频率域内，从而得出时间系列的显著的波动模式，即周期变化动态，以及周期变化动态的时间格局（Torrence and Compo, 1998）。
小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊的、长度有限，平均值为零的波形。
它有两个特点：一是“小”，二是具有正负交替的“波动性”，即直流分量为零。
小波分析是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，能自动适应时频信号分析的要求，可聚焦到信号的任意细节。
小波分析将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波（mother wavelet）函数经过平移与尺度伸缩得来的。
用这种不规则的小波函数可以逼近那些非稳态信号中尖锐变化的部分，也可以去逼近离散不连续具有局部特性的信号，从而更为真实的反映原信号在某一时间尺度上的变化。
小波分析这种局部分析的特性使其成为对非稳态、不连续时间序列进行量化的一个有效工具（Stoy et al., 2005）。
小波是一个具有零均值且可以在频率域与时间域内进行局部化的数学函数（Grinsted et al., 2004）。
一个小波被称为母小波（mother wavelet），母小波可沿着时间指数经过平移与尺度伸缩得到一系列子小波。
基于时间序列数据的周期性分析方法
基于时间序列数据的周期性分析方法时间序列是指按一定的时间间隔进行采样得到的数据序列，如经济指标、气象数据等。
在时间序列中，往往存在一定的周期性特征，即一定时间区间内的数据会呈现出重复出现的规律性。
如何对时间序列数据进行周期性分析，是很多领域研究的重要问题之一。
本文将介绍几种常用的周期性分析方法，并探讨其应用。
一、傅里叶分析方法傅里叶分析方法是最基础的周期性分析方法之一。
它将一个时间序列信号分解为若干个基频信号的叠加，从而得到时间序列的频域特征。
在周期性分析中，可以通过傅里叶变换将周期性分析问题转化为频域分析问题，进而通过频域特征来研究时间序列的周期性。
傅里叶分析方法的基本思想是，任何一个连续信号都可以视为一系列基频信号的叠加，这些基频信号通过不同的振幅、相位和频率来描述。
通过分析信号在频域上的分量，可以了解信号中不同频率分量的权重，进而推断出信号的周期性特征。
傅里叶分析方法在周期性分析中的应用非常广泛。
例如，在经济学领域，可以利用傅里叶分析方法对季度或年度的经济数据进行周期性分析，以揭示经济周期的规律性。
二、小波分析方法小波分析方法是一种基于小波变换的周期性分析方法。
小波变换是傅里叶变换的一种推广，它通过将信号分解为多个尺度和位置的小波函数来分析信号的时频特性，从而揭示信号的周期性变化规律。
小波分析方法具有多分辨率分析的特点，可以同时对信号的频域和时域特征进行分析。
在周期性分析中，可以通过对信号的小波变换结果进行分析，从而获得信号的周期性特征。
小波分析方法在周期性分析中的应用较为广泛。
例如，在气象学中，可以利用小波分析方法对气象数据进行周期性分析，以研究天气变化的周期性规律。
三、自回归移动平均模型（ARMA模型）自回归移动平均模型（ARMA模型）是一种常用的时间序列模型，可以用来描述时间序列数据的周期性特征。
ARMA模型通过对时间序列数据的自相关和移动平均序列进行建模，从而得到时间序列的周期性分析结果。
小波变换在气象数据分析中的研究现状与展望
小波变换在气象数据分析中的研究现状与展望引言：气象数据分析是气象学研究的重要组成部分，通过对气象数据的分析可以揭示天气和气候变化的规律，为气象预测和气候研究提供科学依据。
而小波变换作为一种信号处理方法，近年来在气象数据分析中得到了广泛应用。
本文将介绍小波变换在气象数据分析中的研究现状，并展望其未来的发展方向。
一、小波变换在气象数据分析中的应用1.1 气象信号分析小波变换可以将时域信号转换为时频域信号，通过对气象信号的小波变换，可以得到信号的频谱特征，进而分析气象现象的周期性和变化规律。
例如，通过对气象温度数据进行小波变换，可以发现气温的季节性变化和长期趋势，为气候变化研究提供重要数据支持。
1.2 气象数据去噪气象数据中常常存在各种噪声，如测量误差、仪器故障等，这些噪声会影响数据的准确性和可靠性。
小波变换可以将信号分解为不同频率的子信号，通过去除高频噪声，可以提高气象数据的质量。
例如，对气象降水数据进行小波去噪，可以消除数据中的随机噪声，提取出降水的真实变化趋势。
1.3 气象预测模型构建小波变换可以提取信号的局部特征，对于气象预测模型的构建具有重要意义。
通过对气象数据进行小波分析，可以提取出不同时间尺度上的气象变化特征，并结合其他气象要素进行模型构建，提高气象预测的准确性。
例如，利用小波变换对气象风速数据进行分析，可以提取出不同频率上的风速变化特征，为风速预测模型的建立提供依据。
二、小波变换在气象数据分析中的研究现状目前，小波变换在气象数据分析中已经取得了一定的研究成果。
研究者们通过对气象数据进行小波分析，揭示了气象现象的多尺度特征和时空变化规律。
同时，还提出了一系列基于小波变换的气象数据处理方法，如小波去噪、小波滤波和小波分解等。
这些方法在气象数据分析中得到了广泛应用，并取得了一定的效果。
然而，目前小波变换在气象数据分析中还存在一些问题和挑战。
首先，小波变换的计算复杂度较高，需要消耗大量的计算资源。
基于小波分析的廊坊市2015-2018年PM_(2.5)质量浓度研究
1.2 小波分析
1.2.1 小波函数 用小波函数表示或 逼近某一信号或函数是小波分析的 基 本 原 理。小 波 分 析 过 程 的 关 键 主 要
通 过 小 波 函 数 实 现。小 波 函 数 是 指 一 类 函 数，具 有 震 荡 性 且 能 够 迅 速 衰 减 到 0 的特征 [17]。数学上，定义小波函数
出在时间序列上的小波变化特征。若 a
固定，小波变换随时间的变化过程可以
发现系统在 a 尺度下的变换特征：小波
变换系数绝对值越大，表明该时间尺度
变化越显著。因此，频域 - 时域特性表
现为：频域参数变小，代表对频域的分
辨率低，引起对时域的分辨率变高；频
域参数变大，代表对频域的分辨率高，
从而能引起对时域的分辨率变低，小波
a
−1 2
∆t
N k =1
f
( ∆t
)
Ψ
k∆t − a
b
（4）
公式（4）中，小波变换系数 W（f a， b）可以反映时域参数 b 与频域参数 a 的 特性。
W（f a，b）受参数 a 和 b 的影响二变 化。若以 b 为横坐标，a 为纵坐标，绘制 W（f a，b）的二维等值线图，可得到小波
变化系数图。小波变换系数图可以表现
基金项目 廊坊市科学技术局：“基于小波分析的廊坊空气质量评研”（2019013084）。 作者简介 高清泉（1990–），男，山东潍坊人，助理工程师，研究生，研究方向：大气探测与
环境气象。* 通信作者：高清源（1986–），男，辽宁鞍山人，工程师，硕士，研究 方向：环境气象与天气预报。 收稿日期 2020–11–18
污染监控与防治提供参考。
表 1 空气 PM2.5 污染等级划分
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傅里叶变换的不足
连续功率谱分析结果
只出现了显著周期10
• 傅里叶变换可以把复杂的时间信号转换到频率域 中，然后用频谱特性去分析和表示时域信号的特 性
• 然而傅里叶变换是“全局性”的，不能反映局部 区域上的特征 • 虽然从傅里叶变换能清楚地看到一个信息包含的 每一个频率的多少，但很难看出不同信号的发射 时间和发射的延续时间
• “若你记录1小时长的信息而在最后5分钟出错， 这一错误就会毁了整个傅里叶变换。相位的错误 是灾难性的，如果在相位上哪怕犯了一个错误， 你最后就会发现你所干的事与最初的信号无关了 。” —— Y. Meyer
• 实际上，人们需要了解某些局部时段上所对应的 主要频率特性是什么，也需要了解某些频率的信 息出现在哪些时段上，也就是需要了解时-频局部 化要求
– 增大s
• 在时域上扩大窗口=在频域上缩小窗口
– 减小s
• 能否在时域和频域上同时缩小（或扩大） 窗口？
t g s G s s
• 减小s
– – – – sw减小 突出低频 需要长时间序列 较大时间窗
• 增大s
– – – – t/s减小 较小时间窗 仅有短时间序列 得到高频
其中Δt为取样间隔，n为样本量
• 第二步：做两重循环，一个是关于时间参数b的循环，另 一个是关于频率参数a的循环
二进方法
n 1 jt b WFx a, b t x jt g * a a j 1
• 条件 – a按2的整数次幂变化，即 – b与a成正比，即 • 计算式为
• Torrence(1998)定义e折时间为两端受影响的区域 • 对于Morlet小波和墨西哥帽小波而言，小波的e折时间是 20.5a
• 对每一个尺度参数a，当平移参数b落入距信号序列两端e 折时间范围内时，结果应该放弃
小波分析中的误区
• 该时间序列的周期为10年和20年 • 该时间序列在前40年以10年周期的波动为主，在后40年则 以20年周期的波动为主
g t dt 0 G 2 d
的小波即为基本小波或者母小波
• 将母小波伸缩和平移之后得到的函数族
1 g a ,b t a
称为分析小波
t b g a
a R ,b R
• a为伸缩参数或尺度参数，取正实数
• 核函数及其傅里叶变换
t 0 i0t i g e s Gs 0 e 0 0 s
t 0 i0t i g e s Gs 0 e 0 0 s
• 在时域上缩小窗口=在频域上扩大窗口
– 当a>1时，沿时间轴方向拉伸 – 当a<1时，沿时间轴方向压缩 – 因子1/a1/2是为保持伸缩之后能量不变
a 1
a 1 a 1
2 4
• b为平移参数，可以取任意实数
一些著名的母小波
• 1、哈尔(Harr)小波：
1, g t 1, 0, 1 0t 2 1 t 1 2 otherwise
如何利用小波分析来进行科学研 究？
例一
大气低频振荡的周期是多少？ 10-90天
收集资料和资料预处理
选择诊断方法
Morlet小波
科学综合和诊断
例二
• 收集资料和资料预处理
• 选择诊断方法
k 2 n
a 2 k b 2 k n
WFx k 2 t x jt g * 2k jt n
j 1
绘图
• 以b为横轴、以a为数轴绘制小波能量谱图
– WF(a,b)/a2
• 为何不直接绘制小波功率谱WF(a,b)图？
– 在功率谱分析中，不同频率的波动所占时域宽度相同 – 在小波分析中，不同尺度a所占时域宽度不同
测不准原理
小波
• 具有以下两个性质的窗口函数g称为小波
g t dt 0 G 2 d
① g(t)必须时正时负的波动，否则g(t)的积分 不会为零 ② G(w)在w=0处的值必须为零，即G(0)=0
g(t)不是小波的个例
如何解决？
• 傅里叶变换缺陷的来源
– 傅里叶变换的核函数(正弦、余弦函数)在时域 是无限的
• 如何改进核函数，使其能够集中反映时域 上某一局部的信息？
– 将正弦、余弦函数乘以一个时域内衰减很快的 函数
窗口傅里叶变换
• 定义
~ it F , xt g t e dt
• 对低频部分（较大a）而言，时域宽度较大，因而总的能量也 可能较大 • WF(a,b)/a2近似可以理解为功率密度
小波功率谱检验
• 如何进行连续功率谱检验？
– 红白噪声
• 小波功率谱是否显著，用红噪声或白噪声 标准谱进行检验
– 当r(1)>0.1，则用红噪声谱检验 – 当r(1)≤0.1，则用白噪声谱检验
d 2
G 2 d 2cg0 Nhomakorabea
• 因而逆变换公式为
1 xt cg
0
1 a 2 WFx a, bga,b t dbda
1 WFx a, b a
t b xt g a dt
• 小波变换是用信号x(t)和小波ga,b(t)表示出来
G
2
d
– a是频率参数 – b是时间参数
• 当基小波g(t)是实的，小波系数WF(a,b)也是实的 • 此时小波变换公式为
1 WFx a, b a t b xt g a dt
• 在这种情况下，有
cg
G
2
原因
• 傅里叶变换对
1 xt F eit d 2 F xt e it dt
9.13 9.15
• 频域过程F(w)的任一频率组成部分的值：由时域 过程f(t)在(-∞,∞)上决定的 • 时域过程f(t)在任一时刻的状态：由F(w)在整个 频域(-∞,∞)的量决定
• 窗口函数g(t)
– 实函数 – 能量主要集中在原点附近 • 提取了在t=τ附近的时域信息
核函数
g t e it g t 0 e i0t
G 0 ei 0 0 • 核函数的傅里叶变换为
• 因而有
~ F 0 , 0 xt g t 0 e i0t dt
• 小波变换能否用x(t)和ga,b(t)的傅里叶变换表示 出来？
WFx a, b a 2
F G* a eib d
不同频率的波动组合
不同尺度、不同位置的小波组合
a b
小波能量谱
• 能量守恒
1 x t dt cg
2
WFx a, b
• 通过离散化方法求解小波功率谱WFx(a,b)
– 一般方法（连续小波变换） – 二进方法（离散小波变换）
一般方法
1 WFx a, b a t b xt g a dt
*
• 第一步：针对某一频率参数a和时间参数b
n 1 jt b WFx a, b t x jt g * a a j 1
1 2
F G 0 ei 0 0 d
• 提取了在w=w0附近的频域信息
窗口的调整
• 平移
g t g t
t g t • 拉伸 g s
• 平移和拉伸
t g t g s
• 第一步：计算理论功率谱
1 2 2 P Pa 0.05 s x 2
• 满足自由度为2的X2分布，其中
1 r 1 Pa 2 1 r 1 2r 1cos2a n
2
• 对于白噪声谱Pa=1
• 第二步：如果WFx(a,b)>Pa，则小波功率谱是显著的
黑色实线和黑色虚线 分别表示什么？
1
(t )
1 2
0
1
1
• 2、Daubechies小波
• 是否要求小波具有对称性？
2、Coiflets小波
3、Symlets小波
4、Morlet小波
5、Mexican Hat小波
6、Meyer小波
g t 1 t
2
1 e 2
t2 2
气象上常用
小波变换
• 定义
1 t b WF x a, b xt g * dt a a 1 xt 1 a 2 WFx a, b g a,b t dadb cg cg
小波的时域特征
• “小波”不是指其波动的幅度很小，而是 指其持续时间很短 • 当t→±∞时，要求g(t)速降至零 • 小波是持续时间很短的衰减振荡，在时域 内是局部的
小波的频域特征
• 当w→±∞时,要求G(w)速降至零
• G(w)具有带通滤波器的频率特性 • 小波在频域内也是局部的
母小波
• 满足
头部影响
• 因为实际的信号序列总是有限长度的，当平移参数b逐渐 接近信号序列的两头时，WF(a,b)的估计误差逐渐增加 • 为了使b接近序列的两端时还能计算WF(a,b)，一般在序列 的头和尾外侧补上足够多的零，或者在头尾的外侧用头尾 内侧的值对称的延伸
• 但是延伸的毕竟不是真实的信号，在两端WF(a,b)逐渐变 的不可信
2
da db 2 a
• 小波能量谱定义为：
E a, b
1 2 WFx a, b cg a 2
•