初二三角形(基础知识、试题、答案)
学 科：数 学 授课时间： 年 月 日
任课教师：
姓名
年级
课时
教学课题
形
三角
知识点：三角形的线段，三角形的角,理解正多边形及其有关概念．
考 点：三角形三边的关系，高线、中线、角平分线的辨别,证明三角形内角和
教学目标
等于180度, 多边形的有关概念.
能 力：理解三角形及有关概念，,探索发现三角形的内角和是180°的结论.
画出下面三个△ABC中BC边的中线 过点A画出下面三个△ABC的角平分线
【例2】已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线
段中能作为第三边的是（ ）
A．13cm
B．6cm
C．5cm
D．4cm
【例3】下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（
）
A
B
C
D
【例4】如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，
以画出三角形的个数是（ ）
A. 1个
B.2个
C .3个
D.4个
2、能把一个三角形分成两个面积相等的三角形是三角形的（
）
A. 中线
B. 高线
C. 角平分线
D. 以上都不对
3、已知△ABC中，∠A＝80°，∠B、∠C的平分线的夹角是（
）
A. 130°
B. 60°
C. 130°或50°
D. 60°或120
DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C （∠C除
外）相等的角的个数是（
）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
【例5】如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E， 已知AB＝6，AD＝5，BC＝4，求CE的长
【例6】如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80° 方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角 ∠ACB是多少度？
方 法：发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯
难点 重点
掌握三角形三边关系，三角形内角和定理推论的应用，了解多边形及其有关概念
课前 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议 检查 ______________________________________________
1、 知识点大集锦
A.三角形的角平分线 B.三角形的中线 C.三角形的高
D.以上都不对
7、以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可
以画出三角形的个数是（ ）
A. 1个
B.2个
C .3个
D.4个
（二）三角形有关的角
1、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
【例7】如图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个外角，它们的和是 多少？
【例8】如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方 向,C岛在B岛的北偏西40°方向,从C岛看A、B岛的视角∠ACB是 多少度? 。
【例9】如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关 系？ 如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与 ∠D的关系．
+∣c-a+b∣.
6、如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到 一个三角形，那么a的取值范围是多少？
7、如图6，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D.请找出图中相等的两对 角（锐角），∠ =∠ ，∠ =∠
7题图
8题图
8、如图，AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=35°，则∠D的度数为
特别说明：1、本试卷完成时间为 90 分钟；2、本试卷满分为 100
分；3、考试中考生必须遵守考试规则，独立完成；4、考生
草稿纸要求规范使用，考试结束上交。
1、 选择题 (共10题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。
每题3分,共30分)：
1、如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O， 则
C.直角三角形
D.钝角或直角三角形
2、在直角三角形ABC中＜C=90°，由三角形内角和定理，得＜ A+＜
B+＜C=
, 即＜A+＜B+90°=
,
∴＜A+＜B=
.
3、如右图，∠CAD=30°，∠CBD=45°，则∠ACB=________°
4、如下图,﹤C=﹤D=90°，AD，BC相交于点E,﹤CAE与＜DBE 有什么
注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形． （三）、正多边形的概念
我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都 相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边 形。 （四）、多边形的内角和
n边形的内角和等于（n一2）·180°．
2、 经典例题讲解
【例1】画出下面三个△ABC中BC边的高
三角形
(一)、与三角形有关的线段
1、三角形的边
（1）三角形的有关概念：不在一条直线上的三条线段首位顺次相接
组成的图形叫做三角形。
（2）三角形的边的概念：组成三角形的线段叫做三角形的边。
（3）三角形的边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三
边。
2、三角形有关的线段
（1）三角形的高
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D，所得
A
B
C
D
4、已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中
能作为第三边的是（ ）
A．13cm
B．6cm
C．5cm
D．4cm
5、三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ）
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．属于哪一类不能确定
6、给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻
①按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=180° 。
②把B和C剪下按图（3）拼在一起，可得到 ∠A+∠B+∠ACB=180°。
如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角 形内角和等于1800 的方法吗？
已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800 。 过点C作CM∥AB，则∠A=∠ACM，∠B=∠DCM， 又∠ACB+∠ACM+∠DCM=1800 ∴∠A+∠B+∠ACB=1800 。 即：三角形的内角和等于180。 2、三角形的外角和 （1）三角形外角的概念 ：∠ACD叫做△ABC的外角。也就是，三角形一边与
A．4
B．4.5
C．5
D．5.5
4、如图：(1)在△ABC中，BC边上的高是________ ；
(2)在△AEC中，AE边上的高是________；
(3)在△FEC中，EC边上的高是________；
(4)若 AB=CD=2cm,AE=3cm,则 S△ABC＝
_______,CE=_______。
5、若a，b，c分别为三角形的三边，化简 ：∣a-b-c∣+∣b-c-a∣
四、 课后练习
1、在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确
的是（
）
2、若三条线段中a＝3，b＝5，c为奇数， 那么由a，b，c为边组成
的三角形共有（ ）
A. 1个
B. 3个
C. 无数多个
D.
无法确定
3、如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点所得
的三角形的周长可能是（ ）
6、如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2：3：
4，•那么这三个内角的度数分别为________。
7、一个多边形的内角和等于900°，则它的边数为
。
8、一个多边形的每一个外角都等于36°则这个多边形是_______边
形。
9、在每个内角都相等的多边形中，若一个形是______边形。
A
12
注意：三角的三条角平分线
相交于一点。
B
D
C
(二)、与三角形有关的角
1、三角形的内角和
（1）三角形内角的概念：相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，
简称角。
（2）三角形内角和的证明：把一个三角形的两个角剪下拼在第三个
角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到
∠A+∠B+∠ACB=1800 。[投影1]
两边组成的角叫三角形的内角 ③三角形的角平分线是射线 ④
三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角
形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线
⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。正确的
命题有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7、如右图，△ABC中，∠C＝75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋
【例10】如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和 叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？ 如图，已 知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外 角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
三、 课堂练习
（一）与三角形有关的线段
1、以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可
4、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中
线， 写出图中所有相等的角和相等的线段.
A
5、如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，∠BAF=∠DAF. （1）AC边上的中线是哪条线段？ （2）AF是哪个三角形的角平分线？线段AE是什么？
八年级数学上学期全等三角形判定二(ASA,AAS)(基础)知识讲解——含课后作业与答案
全等三角形判定二（ASA ，AAS ）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】【高清课堂：379110 全等三角形判定二，知识点讲解】要点一、全等三角形判定3——“角边角”全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法 一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“角边角”【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例5】1、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式】（2014•青山区模拟）如图，已知AE=CF ，∠AFD=∠CEB，AD∥BC，求证：△ADF≌△CBE．【答案】证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF ，即AF=CE；∵AD∥BC，∴∠A=∠C；在△ADF与△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（ASA）．类型二、全等三角形的判定4——“角角边”2、（2015•长乐市一模）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．求证：△ACD≌△CBE．【思路点拨】根据垂直的定义可得∠ADC=∠E=90°，然后根据同角的余角相等求出∠B=∠ACD，再利用“角角边”证明△ACD≌△CBE．【答案与解析】证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠E=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∵∠B+∠BCE=90°，∴∠B=∠ACD，在△BEC和△CDA中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）．【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，求出∠B=∠ACD是证明三角形全等的关键．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等） ∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴BE ＝CF3、已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB ∥DC ，AB ＝DC ．（1）求证：AC 与BD 互相平分；（2）若过O 点作直线l ，分别交AB 、DC 于E 、F 两点，求证：OE ＝OF.【思路点拨】（1）证△ABO ≌△CDO ，得AO ＝OC ，BO ＝DO （2）证△AEO ≌△CFO 或△BEO ≌△DFO【答案与解析】证明：∵AB ∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO 与△CDO 中A C (AOB COD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等） AB=CD∴△ABO ≌△CDO （AAS ）∴AO ＝CO ，BO=DO在△AEO 和△CFO 中A C (AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等） ∴△AEO ≌△CFO （ASA ）∴OE ＝OF.【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.类型三、全等三角形判定的实际应用4、（2014春•通川区校级期末）要测量河两岸相对两点A ，B 间的距离，先在过点B 的AB 的垂线上取两点C 、D ，使CD=BC ，再在过点D 的l 的垂线上取点E ，使A 、C 、E 三点在一条直线上，这时ED 的长就是A ，B 两点间的距离．你知道为什么吗？说说你的理由．【思路点拨】利用“角边角”证明△ABC 和△EDC 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=DE ，从而得解．【答案与解析】解：∵AB⊥l，CD⊥l，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△ABC 和△EDC 中，，∴△ABC≌△EDC（ASA ），∴AB=DE，即ED 的长就是A ，B 两点间的距离．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系.【巩固练习】一、选择题1. 能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 （ ）A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠EB ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠EC ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠DD ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E2．如图，已知△ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC 全等的图形是（ ）图4－3A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙3．（2015•滕州市校级模拟）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD 4．（2016•永州）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是()A.带①去B.带②去C.带③去D.①②③都带去6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC二、填空题7.（2015•黑龙江二模）如图，线段AD与BC相交于点O，连结AB、CD，且∠B=∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是（只填一个即可）8. 在△ABC 和△'''A B C 中，∠A ＝44°，∠B ＝67°，∠'C ＝69°，∠'B ＝44°，且AC ＝ ''B C ，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）9. 已知，如图，AB ∥CD ，AF ∥DE ，AF ＝DE ，且BE ＝2，BC ＝10，则EF ＝________.10. （2016•石景山一模） 如图，AD=AE ，请你添加一个条件______________，使得△ADC ≌△AEB ．11. 如图, 已知：∠1 ＝∠2 , ∠3 ＝∠4 , 要证BD ＝CD , 需先证△AEB ≌△AEC , 根据是 ，再证△BDE ≌△ ，根据是 ．12. 已知:如图，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“ASA ”为依据，还缺条件（2）若以“AAS ”为依据，还缺条件（3）若以“SAS ”为依据，还缺条件E D C BA三、解答题13．（2014•丰台区一模）已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD．求证：△ABC≌△DEF．14. 已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与BD互相平分.15. 已知：如图, AB∥CD, OA ＝ OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且AE ＝ DF.求证：EB∥CF.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】A 、B 选项是SSA ，没有这种判定，C 选项字母不对应.2. 【答案】B ；【解析】乙可由SAS 证明，丙可由ASA 证明.3. 【答案】B ；【解析】解：A 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若BD=CD ，则△ABD≌△ACD（SAS ）；B 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若AB=AC ，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS ）；D 、∵∠1=∠2，AD 为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA ）；故选：B ．4. 【答案】D ；【解析】解：∵AB=AC ，∠A 为公共角，A 、如添加∠B=∠C ，利用ASA 即可证明△ABE ≌△ACD ；B 、如添AD=AE ，利用SAS 即可证明△ABE ≌△ACD ；C 、如添BD=CE ，等量关系可得AD=AE ，利用SAS 即可证明△ABE ≌△ACD ；D 、如添BE=CD ，因为SSA ，不能证明△ABE ≌△ACD ，所以此选项不能作为添加的条件．5. 【答案】C ；【解析】由ASA 定理，可以确定△ABC.6. 【答案】C ；【解析】△ABO 与△CDO 中，只能找出三对角相等，不能判定全等.二、填空题7. 【答案】OB=OD ；【解析】解：添加条件OB=OD ，在△ABO 和△CDO 中，，∴△AOB≌△COD（ASA ），故答案为：OB=OD ．8. 【答案】一定；【解析】由题意，△ABC ≌△'''B A C ，注意对应角和对应边.9. 【答案】6；【解析】△ABF ≌△CDE ，BE ＝CF ＝2，EF ＝10－2－2＝6.10.【答案】答案不唯一，B C ∠=∠或AC AB =等；【解析】11.【答案】ASA ，CDE ，SAS ；【解析】△AEB ≌△AEC 后可得BE ＝CE.12.【答案】（1）∠A ＝ ∠D ；（2）∠ACB ＝ ∠F ；(3) BC ＝EF.三、解答题13. 【解析】证明：∵AB∥DF，∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，∵∠E=∠CPD．∴∠E=∠B，在△ABC 和△DEF 中，，∴△ABC≌△DEF（ASA ）．14.【解析】证明： ∵BF ＝DE ，∴BF －EF ＝DE －EF ，即BE ＝DF在△ABE 和△CDF 中，AB CD BE DF ,AE CF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABE ≌△CDF （SSS ）∴∠B ＝∠D ，在△ABO 和△CDO 中B D AOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABO ≌△CDO （AAS ）∴AO ＝OC ，BO ＝DO ，AC 与BD 互相平分.15.【解析】证明：∵AB ∥CD,∴∠CDO ＝∠BAO在△OAB 和△ODC 中，CDO BAO OD OA DOC AOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△OAB ≌△ODC （ASA ）∴OC ＝OB又∵AE ＝ DF ，∴AE ＋OA ＝DF ＋OD ，即OE ＝OF 在△OCF 和△OBE 中OC OB DOC AOB OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCF ≌△OBE （SAS ） ∴∠F ＝∠E ，∴CF ∥EB.。
人教版八年级上册三角形有关基础知识测试题(带答案)
《三角形》小测二（总分：100分）班级姓名得分一、选择题（每题3分，共45分）（）1．如图1所示，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A=35°，则∠D的度数为A．35° B．65° C．55° D．45°（1）（2） (3)（）2．如图2所示，AB∥CD，∠A=55°，∠C=80°，则∠M等于A．55° B．25° C．35° D．15°（）3．如图3所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，与∠1互余的角有A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD（）4、以下列长度的三条线段为边，能构成三角形的A、7㎝，8㎝，15㎝B、15㎝，20㎝，5㎝C、6㎝，7㎝，5㎝D、7㎝，6㎝，14㎝（）5．若三角形的三边长分别为1，a，8，且a为整数，则a的值为A．6 B．7 C．8 D．9（）6．在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm，则它的周长为A．19cm或11cm B．19cm或14cm C．11cm 或14cm D．10cm（）7．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是A．三角形的稳定性；B．两点之间线段最短；C．两点确定一条直线；D．垂线段最短(4) (5)（）8．如图4所示，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=35°，AD平分∠BAC，则∠ADC的度数为A．90° B．95° C．75° D．55°（）9．如图5所示，在△ABC中，∠ABC=40°，AD，CD•分别平分∠BAC，•∠ACB，•则∠ADC等于A．110° B．100° C．190° D．120°（）10.能把一个任意三角形分成面积相等的两部分是A.角平分线B.中线C.高D. A、B、C都可以（）11．两根木棒长分别为5cm和7cm，要选择第三根，将它们钉成一个三角形，•如果第三根木棒长为偶数，则组成方法有 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种（）12.一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是A．直角三角形B．等腰三角形 C．锐角三角形D．钝角三角形（）13.一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是A.5B.6C.7D.8（）14.如图1四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）15.三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无二、填空题（每空2分，共30分）1．在一个三角形中，最多有______个锐角，有______个直角，有_______个钝角．(6) （7）（8）2．如图6所示，AB∥CD，∠E=130°，∠F=70°，则∠1+∠2=_______，∠3+•∠4=_______．3．如图7所示，AB∥CD，AD∥BC，∠1=65°，∠2=55°，求∠C的度数．4．如图8所示，将一幅直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于点O，使∠AOB+∠DOC=_______．5．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=10，那么BC=_______．6．若一个三角形的两边长是2和9，则第三边长a的取值范围是_______．7．已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为7cm，则三角形的周长是．(9) (10) (11)8．如图9所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A<∠B，CM是斜边AB的中线，•将△ACM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于_______．9．若一个三角形三条高线的交点在这个三角形的一个顶点上，•则这个三角形是__________三角形．10．如图10所示，△ABC中，BD=DE=EC，则AD，AE分别是三角形_____ ___的中线．11．如图11所示，若∠ACB=90°，CD⊥AB于D，则AC边上的高是___ ___，CD是_ ___边上的高．三、解答题1.如图所示，AB⊥BC，DC⊥BC，若∠DBC=45°，∠A=70°，求∠D，∠AED，∠BFE的度数．（15分）2.已知，如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，若∠B=28°，•∠DAE=16°，求∠C的度数．（10分）。
初二数学之三角形基础综合及解析
三角形根底综合一．选择题〔共7小题〕1．〔2016•白云区校级二模〕以下说法不正确的选项是〔〕A．三角形的中线在三角形的部B．三角形的角平分线在三角形的部C．三角形的高在三角形的部D．三角形必有一高线在三角形的部2．〔2016春•浦东新区期末〕以下说法：①任意三角形的角和都是180°；②三角形的一个外角大于任何一个角；③三角形的中线、角平分线和高线都是线段；④三角形的三条高线必在三角形，其中正确的选项是〔〕A．①② B．①③ C．②③ D．③④3．〔2016•如东县一模〕如果一个三角形的两边长分别为2和5，则此三角形的第三边长可能为〔〕A．2 B．3 C．6 D．74．〔2016•〕如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，假设∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=〔〕A．35°B．95°C．85°D．75°5．〔2016•校级模拟〕如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是〔〕A．35°B．55°C．60°D．70°6．〔2016•〕正多边形的一个角是150°，则这个正多边形的边数为〔〕A．10 B．11 C．12 D．137．〔2016春•迁安市月考〕如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为〔〕A．19.2°B．8°C．6°D．3°二．填空题〔共5小题〕〔2016春•新蔡县期末〕一个三角形的三边长分别是3，1﹣2m，8，则m的取值围是．8．9．〔2016春•工业园区期中〕a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|= ．10．〔2016•莘县一模〕如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC= ．11．〔2016•宜兴市一模〕如图，△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠ABO= 度．12．〔2016•资阳〕如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB= ．三角形根底综合参考答案与试题解析一．选择题〔共7小题〕1．〔2016•白云区校级二模〕以下说法不正确的选项是〔〕A．三角形的中线在三角形的部B．三角形的角平分线在三角形的部C．三角形的高在三角形的部D．三角形必有一高线在三角形的部【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、三角形的中线在三角形的部正确，故本选项错误；B、三角形的角平分线在三角形的部正确，故本选项错误；C、只有锐角三角形的三条高在三角形的部，故本选项正确；D、三角形必有一高线在三角形的部正确，故本选项错误．应选C．【点评】此题考察了三角形的角平分线、中线、高线，是根底题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键．2．〔2016春•浦东新区期末〕以下说法：①任意三角形的角和都是180°；②三角形的一个外角大于任何一个角；③三角形的中线、角平分线和高线都是线段；④三角形的三条高线必在三角形，其中正确的选项是〔〕A．①② B．①③ C．②③ D．③④【分析】分别根据三角形外角的性质、三角形的分类及三角形的角和定理对各选项进展逐一分析即可．【解答】解：任意三角形的角和都是180°，故①正确；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角，故②错误；三角形的中线、角平分线、高线都是线段，故③正确；只有锐角三角形的三条高线在三角形，故④错误；应选B．【点评】此题考察的是三角形外角的性质，三角形的高、中线、角平分线的概念；三角形的角和定理及其推论；三角形的分类即三角形的外角大于任何一个与之不相邻的角．3．〔2016•如东县一模〕如果一个三角形的两边长分别为2和5，则此三角形的第三边长可能为〔〕A．2 B．3 C．6 D．7【分析】根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；可求第三边长的围，再选出答案．【解答】解：设第三边长为*，则由三角形三边关系定理得5﹣2＜*＜5+2，即3＜*＜7．应选：C．【点评】此题考察了三角形三边关系，此题实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．4．〔2016•〕如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，假设∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=〔〕A．35°B．95°C．85°D．75°【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．【解答】解：∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，∴∠ACD=2∠ACE=120°，∵∠ACD=∠B+∠A，∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°，应选：C．【点评】此题考察了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和．5．〔2016•校级模拟〕如图，BD平分∠ABC，CD⊥BD，D为垂足，∠C=55°，则∠ABC的度数是〔〕A．35°B．55°C．60°D．70°【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠CBD，再根据角平分线的定义解答．【解答】解：∵CD⊥BD，∠C=55°，∴∠CBD=90°﹣55°=35°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠CBD=2×35°=70°．应选D．【点评】此题考察了直角三角形两锐角互余的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键．6．〔2016•〕正多边形的一个角是150°，则这个正多边形的边数为〔〕A．10 B．11 C．12 D．13【分析】一个正多边形的每个角都相等，根据角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【解答】解：外角是：180°﹣150°=30°，360°÷30°=12．则这个正多边形是正十二边形．应选：C．【点评】考察了多边形角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数是解题关键．7．〔2016春•迁安市月考〕如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为〔〕A．19.2°B．8°C．6°D．3°【分析】利用角平分线的定义和三角形角与外角的性质计算．【解答】解：∠BA1C+∠A1BC=∠A1CD，2∠A1CD=∠ACD=∠BAC+∠ABC，所以2〔∠BA1C+∠A1BC〕=∠BAC+∠ABC，2∠BA1C+2∠A1BC=∠BAC+∠ABC而2∠A1BC=∠ABC，所以2∠BA1C=∠BAC．同理，可得2∠BA2C=∠BA1C，2∠BA3C=∠BA2C，2∠BA4C=∠BA3C，2∠BA5C=∠BA4C，所以∠BA5C=∠BA4C=∠BA3C=∠BA2C=∠BA1C=∠BAC=96°÷32=3°．应选D．【点评】此题主要考察角平分线的定义和三角形角与外角的性质，有点难度．二．填空题〔共5小题〕8．〔2016春•新蔡县期末〕一个三角形的三边长分别是3，1﹣2m，8，则m的取值围是﹣5＜m＜﹣2 ．【分析】根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可得到答案．【解答】解：8﹣3＜1﹣2m＜3+8，即5＜1﹣2m＜11，解得：﹣5＜m＜﹣2．故答案为：﹣5＜m＜﹣2．【点评】此题主要考察了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．9．〔2016春•工业园区期中〕a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|= ﹣a+3b﹣c ．【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进展计算即可．【解答】解：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|，=〔a+b﹣c〕+〔﹣a+b+c〕﹣〔a﹣b+c〕，=a+b﹣c﹣a+b+c﹣a+b﹣c，=﹣a+3b﹣c，故答案为：﹣a+3b﹣c．【点评】此题主要考察了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．10．〔2016•莘县一模〕如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC= 120°．【分析】由∠ABC=42°，∠A=60°，根据三角形角和等于180°，可得∠ACB的度数，又因为∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD，所以可以求得∠FBC和∠FCB的度数，从而求得∠BFC 的度数．【解答】解：∵∠ABC=42°，∠A=60°，∠ABC+∠A+∠ACB=180°．∴∠ACB=180°﹣42°﹣60°=78°．又∵∠ABC、∠ACB的平分线分别为BE、CD．∴∠FBC=，∠FCB=．又∵∠FBC+∠FCB+∠BFC=180°．∴∠BFC=180°﹣21°﹣39°=120°．故答案为：120°．【点评】此题考察三角形角和和角平分线的相关知识，关键是可以根据题目中的信息，灵活变化求出相应问题的答案．11．〔2016•宜兴市一模〕如图，△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠ABO= 35 度．【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OG⊥AC于点G，由于点O是∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的交点，故OE=OG=OF，所以OB是∠ABC的平分线，由此即可得出结论．【解答】解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，OG⊥AC于点G，∵点O是∠BAC的外角平分线与∠ACB的外角平分线的交点，∴OE=OG，OF=OG，∴OE=OG=OF，∴OB是∠ABC的平分线，∴∠ABO=∠ABC=×70°=35°．故答案为：35．【点评】此题考察的是三角形角和定理，根据题意作出辅助线，利用角平分线的性质进展解答即可．12．〔2016•资阳〕如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB= 36°．【分析】由正五边形的性质得出∠B=108°，AB=CB，由等腰三角形的性质和三角形角和定理即可得出结果．【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠B=108°，AB=CB，∴∠ACB=〔180°﹣108°〕÷2=36°；故答案为：36°．【点评】此题考察了正五边形的性质、等腰三角形的性质、三角形角和定理；熟练掌握正五边形的性质，由等腰三角形的性质和三角形角和定理求出∠ACB是解决问题的关键．。
八年级数学上学期与三角形有关的线段(基础)知识讲解——含课后作业与答案
与三角形有关的线段（基础）知识讲解【学习目标】1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法；2. 理解并会应用三角形三边间的关系；3. 理解三角形的高、中线、角平分线及重心的概念，学会它们的画法及简单应用；4. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．【要点梳理】要点一、三角形的定义及分类1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．要点诠释：（1）三角形的基本元素：①三角形的边：即组成三角形的线段；②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.（2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A 、B 、C 的三角形记作“△ABC ”，读作“三角形ABC ”，注意单独的△没有意义；△ABC 的三边可以用大写字母AB 、BC 、AC 来表示，也可以用小写字母a 、b 、c 来表示，边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b 、c 表示．【高清课堂：与三角形有关的线段 2、三角形的分类 】2．三角形的分类(1)按角分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形 锐角三角形斜三角形 钝角三角形 要点诠释：①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.(2)按边分类：要点诠释：①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;②等边三角形：三边都相等的三角形.要点二、三角形的三边关系定理：三角形任意两边的和大于第三边.推论：三角形任意两边的差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．（3）证明线段之间的不等关系.要点三、三角形的高、中线与角平分线1、三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．三角形的高的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的高，或AD 是ΔABC 的BC 边上的高，或AD⊥BC 于D ，或∠ADB ＝∠ADC＝∠90°.注意：AD 是ΔABC 的高 ∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC 于D)；要点诠释：（1）三角形的高是线段；（2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；（3）三角形的三条高：(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.2、三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．三角形的中线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的中线或AD 是ΔA BC 的BC 边上的中线或BD ＝CD ＝21BC.要点诠释：（1）三角形的中线是线段；(2)三角形三条中线全在三角形内部；(3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；(4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.3、三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线的数学语言：如下图，AD 是ΔABC 的角平分线，或∠BAD＝∠CAD 且点D 在BC 上.注意：AD 是ΔABC 的角平分线 ∠BAD＝∠DAC＝21∠B AC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点诠释：（1）三角形的角平分线是线段；（2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；（3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；（4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.要点四、三角形的稳定性三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性.要点诠释：（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．【典型例题】类型一、三角形的定义及表示1．如图所示．(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；(2)线段AE是哪些三角形的边?(3)∠B是哪些三角形的角?【思路点拨】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．【答案与解析】解：(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．【总结升华】在数三角形的个数时一定要按照一定的顺序进行，做到不重不漏．举一反三：【变式】如图，，以A为顶点的三角形有几个？用符号表示这些三角形．【答案】3个,分别是△EAB, △BAC, △CAD.类型二、三角形的三边关系2. 三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是( )【答案】D.【解析】要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．【总结升华】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．【高清课堂：与三角形有关的线段 例1】举一反三：【变式】判断下列三条线段能否构成三角形.(1) 3，4，5； (2) 3，5，9 ； (3) 5，5，8.【答案】（1）能； （2）不能； （3）能.3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c 的取值范围是_______.【答案】59c <<【解析】三角形的两边长分别是2和7, 则第三边长c 的取值范围是│2-7│<c<2+7, 即5<c<9．【总结升华】三角形的两边a 、b ，那么第三边c 的取值范围是│a -b│<c<a+b.举一反三：【变式】（2015春•盱眙县期中）四边形ABCD 是任意四边形，AC 与BD 交点O ．求证：AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．【答案】证明：∵在△OAB 中OA+OB ＞AB在△OAD 中有OA+OD ＞AD ，在△ODC 中有OD+OC ＞CD ，在△OBC 中有OB+OC ＞BC ，∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB ＞AB+BC+CD+DA即2（AC+BD ）＞AB+BC+CD+DA ，即AC+BD ＞（AB+BC+CD+DA ）．类型三、三角形中重要线段4. （2016春•江阴市月考）如图，AD ⊥BC 于点D ，GC ⊥BC 于点C ，CF ⊥AB 于点F ，下列关于高的说法中错误的是（ ）A ．△ABC 中，AD 是BC 边上的高B ．△GBC 中，CF 是BG 边上的高C ．△ABC 中，GC 是BC 边上的高D ．△GBC 中，GC 是BC 边上的高【思路点拨】根据三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高对各选项分析判断后利用排除法求解．【答案与解析】解：A 、△ABC 中，AD 是BC 边上的高正确，故本选项错误；B 、△GBC 中，CF 是BG 边上的高正确，故本选项错误；C 、△ABC 中，GC 是BC 边上的高错误，故本选项正确；D 、△GBC 中，GC 是BC 边上的高正确，故本选项错误．故选C ．【总结升华】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，是基础题，熟记概念是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•长沙）如图，过△ABC 的顶点A ，作BC 边上的高，以下作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ． 5.如图所示，CD 为△ABC 的AB 边上的中线，△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，BC ＝8cm ，求边AC 的长．【思路点拨】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD ＝BD ，②△BCD 的周长比△ACD 的周长大3．【答案与解析】解：依题意：△BCD 的周长比△ACD 的周长大3cm ，故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．又∵ CD 为△ABC 的AB 边上的中线，∴ AD ＝BD ，即BC-AC ＝3．又∵ BC ＝8，∴ AC ＝5．答：AC 的长为5cm ．【总结升华】运用三角形的中线的定义得到线段AD ＝BD 是解答本题的关键，另外对图形中线段所在位置的观察，找出它们之间的联系，这种数形结合的数学思想是解几何题常用的方法．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AD 的中点，且4ABC S △，则S 阴影为________．【答案】1.类型四、三角形的稳定性6. 如图所示，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即AB、CD)，这样做的数学道理是什么?【答案与解析】解：三角形的稳定性．【总结升华】本题是三角形的稳定性在生活中的具体应用．实际生活中，将多边形转化为三角形都是为了利用三角形的稳定性．与三角形有关的线段（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．（2016•西宁）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用他们摆成三角形的是( ).A．3cm ，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cmC．5cm ，6cm，11cm D．13cm ，12cm，20cm2．如图所示的图形中，三角形的个数共有( ).A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2015春•常州期中）如果三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是整数，而且是奇数，则第三边的长可以是（）A． 6 B． 7 C． 8 D． 94．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么AB间的距离不可能是( ).A．5m B．15m C．20m D．28m5．三角形的角平分线、中线和高都是( ).A．直线 B．线段 C．射线 D．以上答案都不对6．下列说法不正确的是( ).A．三角形的中线在三角形的内部 B．三角形的角平分线在三角形的内部C．三角形的高在三角形的内部 D．三角形必有一高线在三角形的内部7．如图，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S2表示△ACM的面积，则S1和S2的大小关系是( ).A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．以上三种情况都有可能8．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( ).A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短C．两点确定一条直线D．垂线段最短二、填空题9．（2016•金平区一模）如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有________性．10．如果三角形的两边长分别是3 cm和6 cm，第三边长是奇数，那么这个三角形的第三边长为________．11. 已知等腰三角形的两边分别为4cm和7cm，则这个三角形的周长为________．12. 如图，AD是△ABC的角平分线，则∠______＝∠______＝12∠_______；BE是△ABC的中线，则_____＝_____＝12____ ；CF是△ABC的高，则∠________＝∠________＝90°，CF________AB．13. 如图，AD、AE分别是△ABC的高和中线，已知AD＝5cm，CE＝6cm，则△ABE和△ABC的面积分别为________________．14.（2015春•焦作校级期中）AD是△ABC的边BC上的中线，AB=3，AC=4，则中线AD的取值范围是_____________.三、解答题15．判断下列所给的三条线段是否能围成三角形?(1)5cm，5cm，a cm(0＜a＜10)；(2)a+1，a+2，a+3；(3)三条线段之比为2:3:5．16．如图，在△ABC中，∠BAD＝∠CAD，AE＝CE，AG⊥BC，AD与BE相交于点F，试指出AD、AF分别是哪两个三角形的角平分线，BE、DE分别是哪两个三角形的中线？AG是哪些三角形的高?17.（2014春•苏州期末）如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．18.利用三角形的中线，你能否将图中的三角形的面积分成相等的四部分(给出3种方法)?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D.2. 【答案】C；【解析】三个三角形：△ABC, △ACD, △ABD.3. 【答案】B；【解析】解：由题意，令第三边为x，则5﹣4＜x＜5+4，即1＜x＜9，∵第三边长为奇数，∴第三边长是3或5或7．∴三角形的第三边长可以为7．故选B．4. 【答案】D；【解析】因为第三边满足：|另两边之差|＜第三边＜另两边之和，故|6-12＜AB＜16+12 即4＜AB＜28故选D．5. 【答案】B.6. 【答案】C；【解析】三角形的三条高线不一定都在三角形内部.7. 【答案】C；【解析】中线把三角形分成面积相等的两个三角形.8. 【答案】A.二、填空题9. 【答案】稳定.10.【答案】5 cm或7 cm；【解析】三角形三边关系的应用.11.【答案】15cm或18cm；【解析】按腰为4 cm或7 cm分类讨论.12．【答案】BAD CAD BAC；AE CE AC；AFC BFC ⊥.13.【答案】15cm2，30cm2；【解析】S△ABE＝S△A CE＝15 cm2，S△AB C＝2 S△ABE＝30 cm2.14.【答案】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE．∵BD=CD，∠ADB=∠EDC，AD=DE，∴△ABD≌△ECD，∴CE=AB．在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即1＜2AD＜7，＜AD＜．故答案为：＜AD＜．三、解答题15.【解析】解：(1)5+5＝10＞a(0＜a＜10)，且5+a＞5，所以能围成三角形；(2)当-1＜a＜0时，因为a+1+a+2＝2a+3＜a+3，所以此时不能围成三角形，当a＝0时，因为a+1+a+2＝2a+3＝3，而a+3＝3，所以a+1+a+2＝a+3，所以此时不能围成三角形．当a ＞0时，因为a+1+a+2＝2a+3＞a+3．所以此时能围成三角形．(3)因为三条线段之比为2:3:5，则可设三条线段的长分别是2k，3k，5k，则2k+3k＝5k不满足三角形三边关系．所以不能围成三角形．16.【解析】解：AD、AF分别是△ABC，△ABE的角平分线．BE、DE分别是△ABC，△ADC的中线，AG是△ABC，△ABD，△ACD，△ABG，△ACG，△ADG的高．17.【解析】解：∵AB=6cm，AD=5cm，△ABD周长为15cm，∴BD=15﹣6﹣5=4cm，∵AD是BC边上的中线，∴BC=8cm，∵△ABC的周长为21cm，∴AC=21﹣6﹣8=7cm．故AC长为7cm．18.【解析】解：如图。
全等三角形的基础和经典例题含有答案
第十一章：全等三角形一、基础知识1.全等图形的有关概念 （1）全等图形的定义能够完全重合的两个图形就是全等图形。
例如：图13-1和图13-2就是全等图形图13-1图13-2 （2）全等多边形的定义两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。
例如：图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。
图13-3 图13-4（3）全等多边形的对应顶点、对应角、对应边两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。
（4）全等多边形的表示例如：图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE ≌五边形A ’B ’C ’D ’E ’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。
图13-5表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。
（5）全等多边形的性质全等多边形的对应边、对应角分别相等。
A B DC E B ’A ’ C ’ D ’ E ’（6）全等多边形的识别多边形相等、对应角相等的两个多边形全等。
2.全等三角形的识别（1）根据定义若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。
（2）根据SSS如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。
（3）根据SAS如果两个三角形有两边机器夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。
（4）根据ASA如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
（5）根据AAS如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
3.直角三角形全等的识别（1）根据HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
八年级数学全等三角形(人教版)(基础)(含答案)
全等三角形（人教版）（基础）一、单选题(共12道，每道8分)1.如果两个图形全等，则这两个图形必定是( )A.形状相同，但大小不同B.形状大小均相同C.大小相同，但形状不同D.形状大小均不相同答案：B解题思路：考查基本概念：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，全等图形大小相等、形状相同试题难度：三颗星知识点：略2.如图，△ABC≌△DEF，则此图中相等的线段有( )A.1对B.2对C.3对D.4对答案：D解题思路：∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF∵BC=EF，即BE+EC=CF+EC∴BE=CF即有4对相等的线段．故选D试题难度：三颗星知识点：略3.如图，已知△ABE≌△ACD，则下列等式不正确的是( )A.AB=ACB.∠BAE=∠CADC.∠ADB=∠AECD.AD=DE答案：D解题思路：（1）∵△ABE≌△ACD∴AB=AC，BE=CD，AD=AE，∠BAE=∠CAD，∠B=∠C，∠BEA=∠CDA，∴选项A和选项B正确，不符合题意．（2）继续看选项C：∵∠BAE=∠CAD∴∠BAD=∠CAE又∵∠B=∠C∴∠ADB=∠AEC选项C正确，也不符合题意．（3）再看选项D：AD的对应边为AE，而不是DE，所以选项D错误．故选D试题难度：三颗星知识点：略4.在△ABC中，∠B=∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么△ABC中与这个角对应的角是( )A.∠AB.∠BC.∠CD.∠D答案：A解题思路：∵一个三角形中只能有一个钝角，∴100°的角只能是等腰三角形中的顶角，∴∠B=∠C是底角，∠A是顶角，∴△ABC中与这个角对应的角是∠A．故选A试题难度：三颗星知识点：略5.有下列说法：①形状相同的图形是全等图形；②全等图形的大小相同，形状也相同；③全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等；⑤若△ABC≌，≌，则△ABC≌．其中正确的说法有( )A.2个B.3个C.4个D.5个答案：B解题思路：①应为形状相同、大小相等的图形是全等图形，故本小题错误；②全等图形的大小相同，形状也相同，正确；③全等三角形的面积相等，正确；④面积相等的两个三角形不一定全等，故本小题错误；⑤若△ABC≌，≌，则AB=A1B1=A2B2，同理可得△ABC与三边对应相等，故△ABC≌正确．综上所述，正确的说法有②③⑤，共3个．故选B试题难度：三颗星知识点：略6.如图，△ABE≌△ACD，∠A=60°，∠B=25°，则∠DOE的度数为( )A.85°B.95°C.110°D.120°答案：C解题思路：∵△ABE≌△ACD∴∠AEB=∠ADC=180°-60°-25°=95°在四边形ADOE中，已知∠A=60°，∠AEB=∠ADC=95°∴∠DOE=360°-60°-95°-95°=110°故选C试题难度：三颗星知识点：略7.若△ABC≌△DEF，△DEF的周长为13，DE=3，EF=4，则AC的长为( )A.13B.3C.4D.6答案：D解题思路：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF，∵△DEF的周长为13，DE=3，EF=4，∴DF=6，∴AC=6．故选D试题难度：三颗星知识点：略8.已知△ABC与△DEF全等，∠A=∠D=90°，∠B=35°，则∠E的度数是( )A.35°B.65°C.35°或55°D.35°或65°答案：C解题思路：题中全等三角形未用全等符号“≌”连接，故不能确定角的对应关系，需分类讨论．题目中告知∠A=∠D=90°，所以∠A和∠D一定是对应角，即A点和D点是对应顶点．所以需要分成两种情况：①△ABC≌△DEF，此时∠B=∠E，∠C=∠F，所以∠E=35°；②△ABC≌△DFE，此时∠B=∠F，∠C=∠E，所以∠E=55°．综上，∠E的度数为35°或55°．故选C试题难度：三颗星知识点：略9.如图，△ABD≌△EBC，AB=5，BC=12，则DE长为( )A.5B.6C.7D.8答案：C解题思路：∵△ABD≌△EBC，AB=5，BC=12，∴BD=BC=12，BE=AB=5，∴DE=BD-BE=12-5=7．故选C试题难度：三颗星知识点：略10.已知△ABC≌，如果等腰三角形ABC的周长为18cm，BC=8cm，那么的底边长为( )A.5cmB.2cm或5cmC.8cmD.2cm或8cm答案：D解题思路：根据全等三角形对应边相等、对应角相等，要求的底边长，只需求△ABC的底边长；确定等腰三角形ABC的底边，需分类讨论：①BC是底边时，三角形三边长为5，5，8，满足三角形三边关系，此时底边长为8cm；②BC是腰时，三角形三边长为8，8，2，也满足三角形三边关系，此时底边长为2cm；综上，的底边长为8cm或2cm．故选D试题难度：三颗星知识点：略11.如图，点F，A，D，C在同一直线上，△ABC≌△DEF，AD=3，CF=10，则AC的长为( )A.5B.6C.6.5D.7答案：C解题思路：∵△ABC≌△DEF，∴AC=DF即CD+AD=AF+AD，∴AF=DC，∵AD=3，CF=10，∴∴AC=AD+DC=3+3.5=6.5．故选C试题难度：三颗星知识点：略12.如图，△ABC≌△ADE，∠DAC=60°，∠BAE=100°，BC交DE，AD于点F，G，则∠DFB的度数是( )A.15°B.20°C.25°D.30°答案：B解题思路：∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D，∠BAC=∠DAE，∵∠BAD=∠BAC-∠CAD，∠CAE=∠DAE-∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∵∠DAC=60°，∠BAE=100°，∴，在△ABG和△FDG中，∠B=∠D，∠AGB=∠FGD，∴∠DFB=∠BAD=20°．故选B试题难度：三颗星知识点：略。
人教版八年级上数学11.2.1 三角形的内角和 练习(含答案)
11.2.1三角形的内角和基础知识 一、选择题1.下列说法正确的是( )A.三角形的内角中最多有一个锐角;B.三角形的内角中最多有两个锐角C.三角形的内角中最多有一个直角;D.三角形的内角都大于60° 答案：C2.(2012 广东省梅州市) 如图，在折纸活动中，小明制作了一张ABC △纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将ABC △沿着DE 折叠压平，A 与A '重合，若A o∠=75，则∠1+∠2=（ ）（A ）150o （B ）210o （C ）105o（D ）75o答案：A3. (2012 山东省滨州市) 一个三角形的三个内角的度数之比为372∶∶，则这个三角形一定是（ ）（A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）钝角三角形 答案：D4. (2012 云南省昆明市) 如图，在ABC △中，6733B C ==∠°，∠°，AD 是ABC △的角平分线，则CAD ∠的度数为（ ）．（A ）40° （B ）45° （C ）50° （D ）55°答案：A5. (2012 福建省漳州市) 将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）（A）45o（B）60o（C）75o（D）90o答案：C6. (2012 四川省绵阳市) 如图，将等腰直角三角形沿虚线裁去顶角后，∠1 +∠2 =（）．A．225︒ B．235︒ C．270︒ D．与虚线的位置有关答案：C7. (2012 广西来宾市) 如图，在△ABC中，已知∠A＝80°，∠B＝60°，DE∥BC，那么∠CED的大小是（）A．40°B．60°C．120°D．140°答案：D8. (2012 山东省聊城市) 将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（）（A）75°（B）90°（C）105°（D）120°答案：C9.如图，ABCDE是封闭折线，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E为（）度．A．180 B．270 C．360 D．54012答案：A10．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角等于（ ） A ．100° B ．120° C ．135° D ．150° 答案：C11.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则∠A ′DB=（ ） A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°答案：D12．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是（ ） A ．∠A-∠B=∠C B ．∠A=3∠C ，∠B=2∠C C ．∠A=∠B=2∠CD ．∠A=∠B=21∠C 答案：C13.如图，在三角形ABC 中，已知∠ABC=70º,∠ACB=60º,BE ⊥AC 于E,CF ⊥AB 于F,H 是BE 和CF 的交点，则∠EHF=( )A. 100ºB. 110ºC. 120ºD.130º答案：D14．如图所示，把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后，3个顶点不重合，那么图 中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（ ）A ．180°B ．270°C ．360°D ．无法确定答案：C 二、填空题1.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是________. 答案：40°2.在△ABC 中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为_______三角形;若∠A+∠B<∠C,则此三角形是_____三角形. 答案：直角；钝角3.在△ABC 中,∠B,∠C 的平分线交于点O,若∠BOC=132°,则∠A=_______度. 答案：84°4.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠A=35°,则∠BDC 的度数为________.21DA答案：80°5.（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 . 答案：30º6. (2012 内蒙古呼和浩特市) 如图，在ABC △中，47B o∠，三角形的外角DAC ∠和ACF ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠=____________．答案：66.5°7. (2012 江苏省徐州市) 将一副直角三角板如图放置．若AE ∥BC ，则∠AFD = °．答案：75°8.如图，AB∥CD，∠A=32°，∠AEB=100°，则∠C 的度数是 度．答案：48º9.△ABC 中，∠A=∠B+∠C，则∠A= 度．答案：90答案：直角三角形11．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C），则∠A 的度数为度．答案：120FEC A（第15题）答案：60º12．如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=58°，∠C=36°，∠EAD= .答案：11º13.如图所示,在△ABC中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=150°, 则∠EDF=________度.AFEBC答案：60°14.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .答案：360°三、解答题1.在△ABC 中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数. 设∠A=x °,则∠B=(x+5)°, ∠C=(x+25)°可列方程 X+x+5+x+25=180 解得：x=50°所以∠A=50°,∠B=55°, ∠C=75°2.已知：如图，AB∥CD，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ．求证：∠P=90°．证明：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，∴∠PEF=21∠BEF，∠PFE=21∠DFE， ∴∠PEF+∠PFE=21（∠BEF+∠DFE）=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°， ∴∠P=90°．3.如图，△ABC 中，CD 是∠ACB 的角平分线，CE 是AB 边上的高，若∠A=40°，∠B=72°． （1）求∠DCE 的度数；（2）试写出∠DCE 与∠A 、∠B 的之间的关系式．（不必证明）答案：(1)在⊿ABC 中，∠ACB=180º-∠A-∠B=68º, ∵CD 是∠ACB 的角平分线∴∠BCD=21∠ACB=34º ∵CE ⊥AB,∠B=72º ∴∠BCE=18º∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=34º-18º=16º.(2)∠DCE=21(∠B-∠A).4.如图，已知在三角形ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数．解：∵∠C=∠ABC=2∠A， ∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°， ∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°． 又BD 是AC 边上的高， 则∠DBC=90°-∠C=18°．5.如图，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A=40°，求∠XBA+∠XCA 的度数.解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°，∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=180°-90°=90°，∴∠XBA+∠XCA=（∠ABC+∠ACB）-（∠XBC+∠XCB）=140°-90°=50°．6．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠ABC=45°，∠ACB=55°，则∠BOC 的度数是；（2）若∠A=80°，求∠BOC 的度数；（3）若∠A=α，∠BOC=β，请猜想α与β之间的数量关系，并说明理由．解：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，（2）∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°，又∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE相交于点O，DF⊥AE于F，求∠ADF的度数．解：∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=80°．∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠BAE=21∠BAC=40°，∴∠AED=∠B+∠BAE=80°．∵AD⊥BC，∴∠DAE=90°-80°=10°∵DF⊥AE，∴∠ADF=90°-10°=80．能力提升1.如图，已知:∠1= ∠2， ∠3= ∠4， ∠C=32°, ∠D=28°,求∠P 的度数。
八年级数学全等三角形的判定(HL)(人教版)(基础)(含答案)
全等三角形的判定（HL）（人教版）（基础）一、单选题(共6道，每道12分)1.如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO=CO，AB=CD，则可得到△AOB≌△COD，理由是( )A.HLB.SASC.ASAD.AAS答案：A解题思路：由题意可得，在Rt△AOB和Rt△COD中∴Rt△AOB≌Rt△COD（HL）故选A试题难度：三颗星知识点：略2.如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需添加的条件是( )A.EC=FAB.DC=BAC.∠D=∠BD.∠DCE=∠BAF答案：B解题思路：由题意可得，△DEC和△BFA为直角三角形，DE=BF要用“HL”证明△DEC≌△BFA，则需要添加的条件为DC=BA故选B试题难度：三颗星知识点：略3.如图，BE，CD是△ABC的高，且BD=EC，判定△BCD≌△CBE的依据是( )A.SASB.AASC.ASAD.HL答案：D解题思路：由题意可得，∠CDB=∠BEC=90°在Rt△BCD和Rt△CBE中∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL）所以判定△BCD≌△CBE的依据是HL故选D试题难度：三颗星知识点：略4.能使两个直角三角形全等的条件是( )A.一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C.一条边对应相等D.两条边对应相等答案：D解题思路：选项A：一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，缺乏边的条件，不能证明两个三角形全等，故选项错误；选项B：两个锐角相等，那么也就是三组对应角相等，缺乏边的条件，不能证明两个三角形全等，故选项错误；选项C：一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两个三角形全等，故选项错误；选项D：两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，可利用HL证全等，故选项正确．故选D试题难度：三颗星知识点：略5.下列说法中，正确的有( )①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两组锐角对应相等的两个直角三角形全等．A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：①斜边和一直角边对应相等，可用HL证全等，正确；②有两边和它们的夹角对应相等，可用SAS证全等，正确；③一锐角和斜边对应相等，则两锐角和斜边对应相等，可用ASA证全等，正确；④两组锐角对应相等的两个直角三角形，缺乏边的条件，不能证全等，错误．故选C试题难度：三颗星知识点：略6.如图是标准跷跷板的示意图，横板AB的中点过支撑点O，且绕点O只能上下转动．如果∠OCA=90°，∠CAO=15°，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为( )A.15°B.20°C.30°D.40°答案：C解题思路：如图，∵O为AB的中点，∴OA=OB=在△AOC和△中∴△AOC≌△（HL）∴．故选C试题难度：三颗星知识点：略二、填空题(共2道，每道14分)7.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D，若QC=QD，则∠CQO=____°．答案：55解题思路：由题意可得，在Rt△OCQ和Rt△ODQ中∴Rt△OCQ≌Rt△ODQ（HL）∴∠COQ=∠DOQ==35°∴∠CQO=90°-35°=55°故应填55试题难度：知识点：略8.如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，AB=DE，∠A=50°，∠DFE=____°．答案：40解题思路：由题意可得，在Rt△ABC和Rt△DEF中∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）∴∠A=∠D=50°∴∠DFE=90°-50°=40°故应填40试题难度：一颗星知识点：略。
初二数学三角形试题答案及解析
初二数学三角形试题答案及解析1.已知：如图，点E，F是□ABCD中AB，DC边上的点，且AE=CF，联结DE，BF．求证：DE =BF．【答案】详见解析【解析】根据平行四边形的性质证得AB=CD面积可得到DF=BE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得四边形DEBF是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可证得．试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∵AE=CF，∴AB﹣AE=CD﹣CF，即EB=DF．∴四边形DEBF是平行四边形．∴DE=BF．【考点】平行四边形的判定与性质2.已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，且AE=CF．求证：BE=DF．【答案】详见解析【解析】利用平行四边形的性质可得∠BAE=∠DCF，再由全等三角形的判定定理可得出结论．试题解析∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC．∴∠BAE=∠DCF．在△AEB和△CFD中，，∴△AEB≌△CFD（SAS）．∴BE=DF．【考点】1．平行四边形的性质；2．全等三角形的判定与性质．3.如图，AC交BD于点O，请你从三项中选出两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明.①OA=OC ②OB=OD ③AB∥CD【答案】证明见解析.【解析】由（1）、（2），可用SAS得到△AOB≌△COD⇒∠C=∠A⇒（3）AB∥DC；由（2）、（3），可用AAS得到△AOB≌△COD⇒（1）OA=OC；由（1）、（3），可用AAS得到△AOB≌△COD⇒（2）OB=OD．试题解析：命题：如图，AC交BD于点O，若OA=OC，OB=OD，那么AB∥DC．证明如下：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，∴△AOB≌△COD（SAS）．∴∠C=∠A．∴AB∥DC．【考点】1.开放型；2. 全等三角形的判定和性质．4.（10分）如图所示，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．（1）求证：DE平分∠BDC；（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）由等腰直角△ABC，可证△BDC≌△ADC，得∠DCA=∠DCB=45o，然后求证∠BDM=∠EDC即可.（2）连接MC，可知△MDC是等边三角形，可求证∠EMC=∠ADC。
初中数学三角形基础测试题附答案解析(1)
初中数学三角形基础测试题附答案解析(1)一、选择题1．如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD 于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1 B．34C．23D．12【答案】D【解析】【分析】由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．【详解】∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F，∴△AGC是等腰三角形，∴AG=AC=3，GF=CF，∵AB=4，AC=3，∴BG=1，∵AE是△ABC中线，∴BE=CE，∴EF为△CBG的中位线，∴EF=12BG=12，故选：D．【点睛】此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理，解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．2．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（）A．4B．5C．6D．9【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案.【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x ＜7+2，即5＜x ＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x ＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x ＜9，只有6符合不等式，故选C ．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键.3．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．85【答案】C【解析】【分析】 由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度．【详解】解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，∴∠B=90°， ∴22345AC =+=，由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ，∴CF=5-3=2，在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -，由勾股定理，得：2222(4)x x +=-， 解得：32x =； ∴32BE =． 故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE 的长度．4．如图，在▱ABCD中，E为边AD上的一点，将△DEC沿CE折叠至△D′EC处，若∠B＝48°，∠ECD＝25°，则∠D′EA的度数为（）A．33°B．34°C．35°D．36°【答案】B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得∠D＝∠B，由折叠的性质可得∠D'＝∠D，根据三角形的内角和定理可得∠DEC，即为∠D'EC，而∠AEC易求，进而可得∠D'EA的度数．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝48°，由折叠的性质得：∠D'＝∠D＝48°，∠D'EC＝∠DEC＝180°﹣∠D﹣∠ECD＝107°，∴∠AEC=180°﹣∠DEC=180°﹣107°＝73°，∴∠D'EA＝∠D'EC﹣∠AEC＝107°﹣73°=34°.故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题关键．5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．2, 2,5B．3,3C．3,4,8D．4,5,6【答案】D【解析】【分析】三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．【详解】根据三角形三边关系可知，三角形两边之和大于第三边．A、2+2=4＜5，此选项错误；B、3＜3，此选项错误；C、3+4＜8，此选项错误；D、4+5=9＞6，能组成三角形，此选项正确．故选：D．【点睛】此题考查三角形三边关系，解题关键在于掌握三角形两边之和大于第三边．即：两条较短的边的和小于最长的边，只要满足这一条就是满足三边关系．6．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（）A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=12∠ADC D．∠ADE=13∠ADC【答案】D【解析】【分析】【详解】设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以13x y，即∠ADE=13∠ADC．故答案选D．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，若CD＝8 cm，MB＝2 cm，则直径AB的长为（）A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm【答案】B【解析】【分析】由CD⊥AB，可得DM=4．设半径OD=Rcm，则可求得OM的长，连接OD，在直角三角形DMO中，由勾股定理可求得OD的长，继而求得答案．【详解】解：连接OD，设⊙O半径OD为R,∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，∴DM=12CD=4cm，OM=R-2,在RT△OMD中，OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,解得：R=5,∴直径AB的长为:2×5=10cm．故选B．【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．8．图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【答案】D【解析】从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个直角，故选D．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝6，点E，F分别是边AB，BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE＋PF的最小值，则这个最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF 的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，∴2234，作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．故选C．10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）A．15°B．17.5°C．20°D．22.5°【答案】A【解析】【分析】先根据角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据三角形外角性质得∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，∠1＝∠3＋∠D，则2∠1＝2∠3＋∠A，利用等式的性质得到∠D＝12∠A，然后把∠A的度数代入计算即可．【详解】解答：解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠ACE＝∠A＋∠ABC，即∠1＋∠2＝∠3＋∠4＋∠A，∴2∠1＝2∠3＋∠A，∵∠1＝∠3＋∠D，∴∠D＝12∠A＝12×30°＝15°．故选A．【点睛】点评：本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行分析．11．如图,AA',BB'表示两根长度相同的木条,若O 是AA',BB'的中点,经测量AB=9 cm,则容器的内径A'B'为( )A ．8 cmB ．9 cmC ．10 cmD ．11 cm【答案】B【解析】 解：由题意知：OA =OA ′，∠AOB =∠A ′OB ′，OB =OB ′，∴△AOB ≌△A ′OB ′，∴A ′B ′=AB =9cm ．故选B ．点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．12．如图，在ABC ∆中，90C =o ∠，30B ∠=o ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=o ；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ∆∆=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论.【详解】题干中作图方法是构造角平分线，①正确；∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线∴∠CAD=∠DAB=30°∴∠ADC=60°，②正确∵∠DAB=∠B=30°∴△ADB 是等腰三角形∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a在△ADB 中，DB=AD=2a ∵1122DAC S CD AC a CD ∆=⨯⨯=⨯，13(CD+DB)22BAC S AC a CD ∆=⨯⨯=⨯ ∴:1:3DAC ABC S S ∆∆=，④正确故选：D【点睛】本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.13．如图，△ABC 的角平分线CD 、BE 相交于F ，∠A ＝90°，EG ∥BC ，且CG ⊥EG 于G ，下列结论：①∠CEG ＝2∠DCB ；②∠ADC ＝∠GCD ；③CA 平分∠BCG ；④∠DFB ＝12∠CGE ．其中正确的结论是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．【详解】①∵EG ∥BC ，∴∠CEG=∠ACB ，又∵CD 是△ABC 的角平分线，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCB ，故正确；②∵∠A=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD=∠BCD ，∴∠ADC+∠BCD=90°．∵EG ∥BC ，且CG ⊥EG ，∴∠GCB=90°，即∠GCD+∠BCD=90°，∴∠ADC=∠GCD，故正确；③条件不足，无法证明CA平分∠BCG，故错误；④∵∠EBC+∠ACB=∠AEB，∠DCB+∠ABC=∠ADC，∴∠AEB+∠ADC=90°+12（∠ABC+∠ACB）=135°，∴∠DFE=360°-135°-90°=135°，∴∠DFB=45°=12∠CGE，，正确．故选B．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理及多边形内角和，三角形外角的性质，熟知直角三角形的两锐角互余是解答此题的关键．14．下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）A．三条边的比为2∶3∶4 B．三条边满足关系a2＝b2﹣c2C．三条边的比为1∶1∶2D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．【详解】A、三条边的比为2：3：4，22+32≠42，故不能判断一个三角形是直角三角形；B、三条边满足关系a2=b2-c2，即a2+c2=b2，故能判断一个三角形是直角三角形；C、三条边的比为1：1：2，12+12=（2）2，故能判断一个三角形是直角三角形；D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，故能判断一个三角形是直角三角形．故选：A．【点睛】此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于掌握判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90°即可．15．如图，AD∥BC，∠C =30°，∠ADB:∠BDC= 1:2，则∠DBC的度数是( )A．30°B．36°C．45°D．50°【答案】D【分析】直接利用平行线的性质得出∠ADC=150°，∠ADB=∠DBC,进而得出∠ADB 的度数，即可得出答案.【详解】∵AD ∥BC,∠C=30°∴∠ADC=150°，∠ADB=∠DBC∵∠ADB:∠DBC=1:2∴∠ADB=13×150°=50°，故选D. 【点睛】熟练掌握平行线的性质是本题解题的关键.16．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D 5【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点，∴1 2.52DE AB ==， 故选：B ．本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．17．如图：AD AB ⊥，AE AC ⊥，AD AB =，AE AC =，连接BE 与DC 交于M ，则：①DAC BAE ∠=∠；②DAC BAE ∆∆≌；③DC BE ⊥；正确的有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】 利用垂直的定义得到90DAB EAC ∠=∠=︒，则ADC BAE ∠=∠，于是可对①进行判断；利用“SAS ”可证明DAC BAE ∆≅∆，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到ADC ABE ∠=∠，则根据三角形内角和和对顶角相等得到90DMB DAB ∠=∠=︒，于是可对③进行判断．【详解】解：AD AB ⊥Q ，AE AC ⊥，90DAB ∴∠=︒，90EAC ∠=︒，DAB BAC EAC BAC ∴∠+=∠+∠，即ADC BAE ∠=∠，所以①正确；在DAC ∆和BAE ∆中，DA AB DAC BAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAC BAE SAS ∴∆≅∆，所以②正确；ADC ABE ∴∠=∠，∵∠AFD=∠MFB ，90DMB DAB ∴∠=∠=︒，DC BE ∴⊥，所以③正确．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．18．如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以点D和点E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定．．．是等腰三角形的为（）A．△CDF B．△CDK C．△CDE D．△DEF【答案】A【解析】【分析】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK所以，是等腰三角形的有△CDK，△CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.故选：A【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.19．满足下列条件的两个三角形不一定全等的是()A．有一边相等的两个等边三角形B ．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形C ．周长相等的两个三角形D ．斜边和一条直角边对应相等的两个等腰直角三角形【答案】C【解析】A.根据全等三角形的判定，可知有一边相等的两个等边三角形全等，故选项A 不符合；B.根据全等三角形的判定，可知有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等，故选项B 不符合；C.根据全等三角形的判定，可知周长相等的两个三角形不一定全等，故选项C 符合；D.根据全等三角形的判定，可知斜边和直角边对应相等的两个等腰直角三角形全等，故选项B 不符合.故本题应选C.20．如图，在四边形ABCD 中，,90,5,10AD BC ABC AB BC ∠=︒==P ，连接,AC BD ，以BD 为直径的圆交AC 于点E ．若3DE =，则AD 的长为（ ）A ．55B ．45C ．35D ．25【答案】D【解析】【分析】先判断出△ABC 与△DBE 相似，求出BD ，最后用勾股定理即可得出结论．【详解】如图1，在Rt △ABC 中，AB=5，BC=10，∴AC=55，连接BE ，∵BD 是圆的直径，∴∠BED=90°=∠CBA ，∵∠BAC=∠EDB ，∴△ABC ∽△DEB ，∴AB AC DE DB＝，∴53DB ＝，∴DB=在Rt△ABD中，，故选：D．【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．。