2016江苏省高等数学竞赛题本科一级

2016江苏省高等数学竞赛题（本科一级）

1. 设234()(1)(2)(3)(4),.(2).f x x x x x f ''=----试求

2. 求极限0tan(tan )tan(tan(tan ))lim

tan tan(tan )tan(tan(tan ))

x x x x x x →-⋅⋅

3.设Γ为曲线21x y =+上从点(0,2)A 到(1,3)B 的一段弧，试求曲线积分2(1).xy xy e xy dx e x dy Γ++⎰

4.已知点(3,2,1)P 与平面:2231x y z ∏-+=，在直线2124x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩

上求一点Q ，使得线段PQ 平行于平面∏，试写出点Q 的坐标.

二．判断下一命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，作出说明.

命题：若函数()f x 在0x =处连续，0(2)()lim ()x f x f x a a R x

→-=∈，则()f x 在0x =处可导，且 (0)f a '=.

三．设函数()f x 在区间[0,1]上二阶可导，(0)0,(1)1f f ==.

求证：(0,1),()(1)()1f f ξξξξξξ'''∃∈++=+使得.

四．求定积分220sin 1cos x x dx x

π+⎰

.

五．设函数(,)f x y 在点(2,2)-处可微，满足： 2222(sin()2cos ,2cos )1()f xy x xy y x y o x y +-=++++

试求曲面(,)z f x y =点(2,2)-处的切平面方程.

六．求二重积分：22,{(,)01,01}D

x y xdxdy D x y y x x +-=≤≤-≤≤⎰⎰其中.

七．设∑为球面2222,x y z z ++=试求曲面积分

444333222()x y z x y z x y z x y z dS ∑

++---+++---⎰⎰.

八．已知级数2(1)ln n n n n λ∞

=-∑，其中实数[0,1]λ∈，试对λ讨论该级数的

绝对收敛，条件收敛与发散性.