真值表公式分类命题定律代入置换PPT讲稿
命题公式及其真值表
第二节 命题公式及其真值表在上节中，用,,p q r L 表示确定的简单命题。
简单命题又称为命题常项或命题常元。
命题常项有确定的真值。
在数理逻辑中，不仅要研究具体的逻辑关系，还要研究抽象的逻辑关系，因而不仅要有命题常项，还要有命题变项。
称真值可以变化的简单陈述句为命题变项或命题变元，仍然用,,p q r L 表示命题的变项。
命题常项、命题变项及联结词可按下述定义合式的公式。
定义2.1 （1）单个的命题变项（或常项）是合式公式；（2）若A 是合式公式，则（¬A ）也是合式公式；（3）若A ，B 是合式公式，则（A ∧B ），（A ∨B ），（A →B ），（A ↔B ）也是合式公式；（4）有限次地应用（1）～（3）形成的符号串都是合式公式。
这样定义的合式公式也称为命题公式，简称公式。
单独使用（¬A ），（A ∧B ），（A ∨B ），（A →B ），（A ↔B ）时，外层括号可以省去，即可写成¬A ，A ∧B ，A ∨B ，A →B ，A ↔B 。
在定义 2.1.中出现的A ，B L 是用来表示任意的合式公式的。
在以下的论述中出现的A ，B ，C 等也同样是用来表示任意公式的。
定义2.2 设1p ，2p L ，n p 是出现在公式A 中的全部的命题变项，给1p ，2p L ，np 各指定一个真值，称为A 的一个赋值或解释。
若指定的一组真值使A 的真值为1，则称这组真值为A 的成真赋值（或成真解释）。
若指定的一组真值使A 的真值为0，则称这组真值为A 的成假赋值（或成假解释）。
本书中对含n 个命题变项的公式的赋值形式做如下规定：（1）设A 中含的命题变项为1p ，2p L ，n p ，赋值12n a a a L （i a 为0或1）是指11p a =，22p a =，L ，n n p a =。
（2）若出现在A 中的命题变项为p ，q ，r ，L ，赋值12n a a a L 是指1p a =，2q a =，L ，即按字典顺序赋值。
第二课合式公式真值表等价置换定理
2、符号化下列命题
例1、除非你努力，否则你将失败。 解：设P:你努力 Q:你失败 则符号化为 P Q 或 Q P 例2、仅当你走我将留下。 解：设P:你走 Q:我留下 则符号化为 Q P 例3、(1)只要充分考虑一切论证，就能得到可靠见解。 (2)只有充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。 解：设P:我们充分考虑一切论证 Q:我们得到可靠见解 则符号化为 (1) P Q (2) Q P
定义：命题演算的合式公式 • 基础 (1) 单个命题变元本身ห้องสมุดไป่ตู้个合式公式；
约定 (1) • 归纳 (2) 如果 A最外层的括号可以省去 是一个合式公式，那么 A也是一个合式公式； (2) 运算符优先次序： ， ∧， ∨， B) ， (3) 如果 A、 B是合式公式，那么（ A∧ B)、（ A∨ 、 （A B)、 （A ⇄ B)都是合式公式；
对应于所有可能的真值指派，A、B的真值都相同。又称 为两命题公式逻辑相等。记为：A B 思考： （（P Q） （ P ∨ Q））在真值表中值有何特征?
例2 ：永真式和永假式 P T T F F 定义3 Q T F T F PP T T T T Q∧Q F F F F
永真式（重言式）
翻译总结
（1）首先找出原子命题 （2）根据命题含义翻译，不可拘泥于句子形式 一些固定搭配：
•不可兼或：
命题公式真值表
说明:
(1)命题变元是没有真假值的,只有当命题变元用 确定的命题代入时,才得到一个命题,命题的真值 依赖于代换变元的那些命题的真值;
1-3 命题公式与翻译
(2) 不是所有由命题变元 ,常元 ,联结词和括号组成的字符串 都能成为命题公式.例如, P , P (Q ) 等不是命题公式.
定义 1-3.1 命题演算的合式公式,规定为: (1)单个命题变元本身是一个合式公式; (2)如果 A 是合式公式,那么 A 是合式公式; (3)如果 A 和 B 是合式公式,那么
1-3 命题公式与翻译
2、命题的翻译
练习 将下列命题符号化: (1)她既聪明又用功. (2)他虽聪明但不用功. (3)虽然这次语文考试的题目很难,但是王丽还是取得了好成绩. (4)张三或李四都可以做这件事. (5)一公安人员审查一起案件,事实如下,请将案件事实符 号化: 张三或李四盗窃了机房的一台电脑,若是张三所为,则作案 时间不能发生在午夜前;若李四的证词正确,则午夜时机房 的灯未灭; 若李四证词不正确,则作案时间发在午夜前; 午夜时机房的灯全灭了.
分配律
P (Q R) ( P Q) ( P R)
吸收律
P ( P Q) P , P ( P Q) P
1-4 真值表与等价公式
4.基本等价公式
德·摩根律 同一律 零律 否定律 (互补律) 条件式转化律 双条件转化律
( P Q) P Q , ( P Q) P Q
1-3 命题公式与翻译
1、命题公式(合式公式)
定义 1 由命题变元、常元、联结词、括号以规定的格式联结 起来的字符串称为命题公式,也称合式公式.命题公式中的命 题变元称为命题公式的分量.
例如,若 P 和 Q 是命题变元, 则下面式子均是命题公式
2 离散数学-命题公式,真值表
2 命题公式,真值表(1) 数理逻辑是通过引入表意符号研究人类思维中的推理过程及推理正确与否的数学分支.数学------⎧⎨⎩符号运算推理---思维过程:前提结论命题逻辑---研究由命题为基本单位构成的前提和结论之间的可推导关系.(逻辑演算) 即将推理(不涉及内函)形式化.例1 (a) 4是偶数.张林学习优秀.太阳系以外的星球上有生物.(b) 这朵花真美丽!现在开会吗?(c) 3 5.x +>我正在说慌.特征分析(a) 陈述句,非真即假.(b) 感叹句,疑问句.(c) 悖论.定义1 能辩真假的陈述句,称为命题,用,,,P Q Z 表示.其判断结果称为命题的真值.成真的命题称为真命题,其真值为真,记为,T 或为1.成假的命题称假命题,其真值为假,记为,F 或为0.例2 (1) 2008年奥运会在北京举行.(2) 22 5.⨯=(3) 计算机程序的发明者是诗人拜伦.用符号表是上述命题,并求真值.解 (1) :P 2008年奥运会在北京举行. .T(2) :Q 22 5.⨯= .F(3) :R 计算机程序的发明者是诗人拜伦. .F(2) 3, 35,+ 3(41).+- 例3 (1) 今天没有数学考试.(2) 下午,我写信或做练习.(3) 王芳不但用功,而且成绩优秀.(4) 如果太阳从西边出来了,那么地球停止转动.(5) 2是素数,当且仅当三角形有三条边.特征分析(a)存在自然语言中的虚词.(b)语句可以分解,细化.定义2 称下列符号为逻辑联结词否定 ⌝ 非 P ⌝析取 ∨ 或者 P Q ∨合取 ∧ 且 P Q ∧蕴涵 → 若----,则----- P Q →等价 ↔ 当且仅当 P Q ↔逻辑联结词真值的规定例4 将下列命题符号化.(1) 小李聪明,但不用功. ()P Q ∧⌝(2) 单位派小王或小苏出差. P Q ∨(3) 如果椅子是紫色的,且是园的,那么地是平的. ()P Q R ∧→ (4) n 是偶数当且仅当它能被2整除. P Q ↔注 1 逻辑联结词:运算符.顺序 ,,,,.⌝∧∨→↔2 自然语言中 虽然---,但是----; 不但---,而且----; ∧只有----,才----; 除非----,才-----; →3 ∨ 可兼或(相容) ∨ 不可兼或(排斥)小王是山东人或是河北人. ()()P Q P Q P Q ∨⇔∧⌝∨⌝∧4 ,P Q -----------------------简单命题()P Q R ∨→-----------复合命题(由简单命题及逻辑联结词按一定规则组成)5 复合命题的真值由简单命题和逻辑联结词真值规定共同确定.“若雪是黑的,那么太阳从西边出来了.”P :雪是黑的. :Q 太阳从西边出来了.P Q → 真值 为 T6 蕴含联结词的真值规定解释“若天下雨,那么我带伞.”何时自食其言.前件:P 天下雨.后件:Q 我带伞.则有命题 P Q → 仅当天下雨,我没有带伞时才自其言，即当前件为T ，后件为F 时，命题才为F .对应的真值情况如下:(3) 3,;43;ππ-221, 5.;23;24|x y x x y x y ==++-定义3 真值确定的命题,称为命题常元1,0,否则为命题变元,记号仍用,.P Q命题公式是由按下列规则生成的符号串(1)命题常元是命题公式(2)命题变元是命题公式(3)若,P Q 是命题公式,则,,,,P P Q P Q P Q P Q ⌝∨∧→↔也是命题公式.(4)有限次运用(1),(2),(3)得到的字符串也是命题公式.注 1 递归定义.():,,,().P Q R P P P Q P Q R ⌝→∧⌝⌝→⌝→∧2 ,(()Q P Q ∧∨不是命题公式.(4) 定义4 命题公式中,命题变元的一组确定的真值,称为该公式的一个真值指派.真值指派的全体构成的表,称为该公式的真值表.注 命题公式12(,,,)n A P P P 一共有2n 个真值指派.例5 求命题公式()Q P Q P ∧→→的真值表.解(5) 22sin cos 1,arcsin 2,30.x x x x +=≥+>例6 讨论下列命题公式的真值情况.(),P P Q ⌝→→ (),P Q P ∧∧⌝ ().P P Q ∨⌝→ 解定义5 命题公式12(,,,)n A P P P 在2n 个真值指派下其值⎧⎪⎨⎪⎩永真永假至少有一个真 称A 为重言式矛盾式可满足式(1) 数理逻辑、命题逻辑研究的内容。
真值表与等价公式
思考：命题公式是命题吗？为 什么？
解答：命题公式不一定是命题。
因为命题公式没有确定的真值。
把符号命题翻译成自然语言命题： 这种翻译比较简单，只要求用词准确，力求保
持原命题的意思。 例 设 A: 今天下雨。
B: 今天下雪。 C: 今天天晴。试把下列命题翻译成自然语言: 1) ┐(A∧B) 2) C↔ (┐A∧┐B) 3) A∨B→┐C 解 :1) 说今天下雨且下雪是不对的。 2) 今天天晴当且仅当今天既不下雨又不下雪。 3) 如果今天下雨或者下雪, 今天就不是晴天。
¬(p→q)∧ q
0
0
0
0
( p→q)∧¬r 1 0 1 0 0 0 1 0
公式的分类 设A为一个命题公式，则：
1 若A在它的所有解释下都为真， 则 称A为 永 真 式(也 称 为 重 言 式)
2 若A在它的所有解释下都为假， 则 称A为 永 假 式(也 称 为 矛 盾 式)
3 若A在 它 的 至 少 一 个 解 释为下真 ， 则 称A为 可 满 足 式(也 称 偶 然 式)
定义1-12 如果X是命题公式A的一部分，且X本身 是一个合式公式，则称X为公式A的子公式。
定理1-3 设X是命题公式A的子公式，若X⇔Y，如 果将A中的X用Y置换，所得的公式B与命题公式 A等价。
证明：
因为在相应分量的任一种真值指派下，X和Y的 真值都相同，用Y置换X后，公式B与A在相应分 量的真值指派下，其真值仍相同，所以A⇔B 。
一、命题公式
回顾
命题公式也称命题演算的合式公式(Well form formula,简写为wff)。
定义1-6 命题公式的递归定义如下：
命题逻辑ppt课件
按从左到右的顺序运算; 2:假设遇有括号时，应该先进展括号中的运算.
留意: 本书中运用的 括号全为圆括号〔〕.
2.2 命题公式
命题变项与合式公式 公式的赋值 真值表 命题的分类
重言式 矛盾式 可满足式
命题变项与合式公式
随堂练习
1：写出命题、简单命题的定义。 2：用符号定义五个结合词及其各自取值情况。 3：写出蕴涵式的定义，分析前件与后件的关系，
列出对应的言语表达方式。 4：写出遇到析取结合词二义性时的判别方式及对应
符号表示。 5：列出下面公式的真值表，阐明各公式的层次
(p q) ((p q) (q p)) (p q) (p q) 6：写出命题公式的定义
pq r
pq
000
0
001
0
010
1
011
1
100
1
101
1
110
1
111
1
r (pq)r
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
公式的类型
定义2.9 设A为一个命题公式 (1) 假设A在它的各种赋值下取值均为真，那么称A为重言 式(也称永真式) (2) 假设A在它的各种赋值下取值均为假，那么称A为矛盾 式(也称永假式) (3) 假设A至少存在一组赋值是成真赋值，那么称A为可满 足式
3.析取式与析取结合词“∨〞
定义2.3 设 p,q为二命题，复合命题“p或q 〞称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作 析取结合词，并规定
p∨q为假当且仅当p与q同时为假. 例即将:p以∨下命q题为符真号化当且仅当p与q至少有一个为真。 此处(1)定2或义4是的素析数.取式p∨q表示的是一种相容性
最新左孝凌离散数学课件1.3命题公式与翻译1.4真值表与等价公式PPT课件
• 例2. 证明: PQ (P→Q)(Q→P)
P Q PQ Q→P P→Q (P→Q)(Q→P)
00 1 1 1
1
01 0 0 1
0
10 0 1 0
0
11 1 1 1
1
30
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
➢ 2. 等值演算法(Equivalent Caculation)（利用P15表1-4.8)
• 定义1.4.4 子公式：如果X是wff A的一部分,且X本身也是wff， 则称X是A的子公式。 例如, P(PQ)为Q (P(PQ))的子公式。
• 定理1.4.1 置换定理：设X是wff A的子公式，若XY，则若将A 中的X用Y来置换，所得公式B与A等价，即AB。
• 定义1.4.5 等值演算：根据已知的等价公式,推演出另外一些等 价公式的过程称为等值演算.
(P∧Q)∨(┐P∧┐Q) T F F T
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
• 定义1.4.3: 给定两个命题公式A和B,设P1 , P2 ,…,Pn为出现
于真A值和指B派中, 的A和所B有的原真子值变都元相,若同给,则P称1 ,AP和2 ,B…是,P等n任价一. 组 记作A B。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.4真值 表与等价公式
1.4.2 等价公式
从真值表中可以看到，有些命题公式在分量的不同指派 下，其对应的真值与另一命题公式完全相同，如┐P∨Q与 P→Q的对应真值相同，如表1-4.5所示。
表1-4.5
我们说┐P∨Q和P→Q 是等价的，这在以 后的推理中特别有 用。
逻辑学课件第三讲 命题的判定与命题逻辑的形式证明
f（4）是 p ∧ p， （ p ∨ p）， （p→ p）等公式表 达的真值函项，表示不论变项有真值还是假值，公式总有假的
值。
设n=2，用“f（）”表示真值函项，那么有2个变项的公 式表达的真值函项可用下表表示：
f（9）是和f（8）矛盾的函项。 f（10）是和f（7）矛盾的函项，对不相容选言命题的抽象可以
得到这种真值形式，表达 f（10） 的公式 （p↔q）也称作反等 值。 f（11）是和f（6）矛盾的函项，它的真值与p无关，而与非q的 真值相同。 f（12）是和f（5）矛盾的函项，表达 它 的公式 （p →q ）有 时也称作反蕴涵。 f（13）是和f（4）矛盾的函项，它的真值与q无关，而与非p的 真值相同。 f（14）是和f（3）矛盾的函项。 f（15）是和f（2）矛盾的函项。 f（16）是和f（1）矛盾的函项，表示不论p和q取何真值，公式 总有假的真值。
p→q∧q （p→q∧q）→p
3）根据五个基本真值表，依次确定出所列公式的真值。如果这 个公式在各种情况下都是真的，就判定它是重言式，否则就判 定它不是重言式。
p q p q q∧q p→q∧q （p→q∧q）→p
TT F F F
F
T
TF F T F
F
T
FT T F F
T
T
FF T T F
T
T
从上面这个真值表可以看出，这个公式为重言式。 注意：每一栏的真值情况要写在该栏的主联结词下面。
F
F
T
T
F
F
FFT F T F T F T F T F
T
F
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有限的，所以Ls的判定问题是可解的。其判定方 法有真值表法和公式推演法。
注意
自然语言中的一些联结词,如与”,“且”, “或”,“除非… 则… ”等等都各有其具体含义, 需分别不同情况翻译成合适的逻辑联结词.
有时可以采用真值表的方式,来寻找合适 的逻辑联结词
练习题
• 派小王或小李出差； • 我们不能既划船又跑步； • 如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否伴奏而
定；
• 如果李明是体育爱好者，但不是文艺爱好者，那
命题的符号化(Cont.)
例：试以符号形式写出命题: 我们要做到身体 好,学习好,工作好,为祖国四化建设而奋斗.
解: A:我们要做到身体好 B:我们要做到学习好 C:我们要做到工作好 P:我们要为祖国四化建设而奋斗
故命题可以表示为:
A B C P
命题的符号化(Cont.)
• 张三和李四同在做作业
公式真值表
• 真值指派
– 为含有命题变元P1，P2，…,Pn的命题公式，对P1， P2，…,Pn分别指定一个真值，称为对公式的一组真值指派。
• 在公式中，对于命题变元指派真值的各种可能组合，
就确定了这个命题的各种真值情况，把它汇列成表， 就是命题公式的真值表
• 公式真值表构造方法：
– （1）找出公式中的全部命题变元，并按一定的顺序排列成 P1，P2，…,Pn 。
式。
合式公式(Cont.)
例：下列符号串是否为命题公式。 （1） P→(Q∧PR）；
（2）（P∨Q）→（¬ （Q∧R））
合式公式(Cont.)
• 当合式公式比较复杂时，常常使用很多圆括号，
为了减少圆括号的使用量，可作以下约定：
①优先级由高到低的次序为：l、∧、∨、→、 ②相同的联结词按从左至右次序计算时，圆括号可省
真值表公式分类命题定律代入 置换课件
复习
• 引论：离散数学、数理逻辑 • 命题 • 联结词
复习题：
• 本命题是假的。 • 我不给所有自己给自己理发的人理发，但
是却会给所有自己不给自己理发的人理发。
本节内容
• 命题符号化
命题分类与命题变元
• 命题
– 原子命题：不包含任何联结词的命题 – 复合命题：至少包含一个联结词的命题
公式分类
定义： 设 A 为任意公式， ① 对应每一个指派，公式 A 均相应确定真值
为真，称 A 为重言式，或永真式。 ② 对应每一个指派，公式 A 均相应确定真值
为假，称 A 为矛盾式，或永假式。 ③ 至少存在一个指派，公式 A 相应确定真值
为真，称 A 为可满足式。
公式分类(Cont.)
由定义可知，重言式必是可满足式，反之一般不真。
重点将研究重言式，它最有用，因为它有以下特点：
①重言式的否定是矛盾式，矛盾式的否定是重言式，
②两重言式的合取式、析取式、条件式和双条件式 等都仍是重言式。于是，由简单的重言式可构造
③由重言式使用公认的规则可以产生许多有用等价 式和蕴涵式。
公式分类(Cont.)
• 判定给定公式是否为永真式、永假式或可满足式
么李明不是文体爱好者；
• 假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里看
书。
• 辱骂和恐吓决不是战斗 • 除非天气好，否则我是不会去公园的
几个例子
• ‘除非你努力，否则你将失败’ 可以符
号化为： ¬ P→Q,其中 P:你努力，Q:你将失败.
• ‘只有睡好觉才能恢复疲劳’可以符号
化为：Q→P,其中 P:睡好觉，Q:恢复 疲劳.(Q是P的必要条件)
P:张三做作业 Q:李四做作业 可译为P∧Q;
• 张三和李四是兄弟
命题的符号化(Cont.)
“这盆花盛开，促使那些蜜蜂来采蜜”不可以符号 化,为什么呢？ 因为连接词‘促使’不是命题连接词.根据 是由它构成的复合命题的真值不能完全由构成 它的原子命题的真值来确定. 例如令 P:这盆花 盛开,值为1，Q:那些蜜蜂来采蜜,其值为1,则 ‘这盆花盛开促使那些蜜蜂来采蜜’值为1.又 令 P:海水是咸的,其值为1,Q:那些蜜蜂来采蜜 值为1,则‘海水是咸的促使那些蜜蜂来采蜜’ 值为0. 由此可见,两组原命题都为真,但由‘促使’ 构成的复合命题的值一为真一为假,这不符合定 义.
略。 ③最外层的圆括号可以省略。
合式公式(Cont.)
• 例子
¬ P∨¬ P∨Q∧¬ S∨¬ Q∧R 与
(((¬ (P)∨¬ (P))∨(Q∧¬ (S))∨(¬ (Q)∧R)) 运算顺序完全一样,前者不加一个
括号.
• 请大家特别注意先∧后∨的习惯.
命题符号化
有了联结词的合理逻 辑中的符号形式
• 命题变元
– 一个不确定的泛指的任意命题 – 定义：
• 以真(1)、假(0)为其变域的变元
– 注意：命题变元不是命题，只有用一个特定的命题取代才能确定它 的真值：真或假（对该命题变元指派真值）
• 命题公式
– 含有命题变元的断言称为命题公式 – 注意：不是所有由命题变元、联结词和括号所组成的字符串都能成
– （2）列出的2n个解释，赋值从00…0（n个）开始，按二进 制递加顺序依次写出各赋值，直到11…1为止（或从11…1开 始，按二进制递减顺序写出各赋值，直到00…0为止），然 后从低到高的顺序列出的层次。
– （3）根据赋值依次计算各层次的真值并最终计算出的真值。
公式真值表(Cont.)
例1：构造P Q的真值表 例2：构造¬ P ∨Q的真值表
命题的符号化
• 把一个用文字叙述的命题相应地写成由命题标识
符、联结词和圆括号表示的合式公式，称为命题 的符号化。
符号化应注意以下几点： ① 确定句子是否为命题.不是就不必翻译. ② 确定句中连接词是否能对应于并且对应 于哪一个命题连接词. ③ 正确表示原子命题和选择命题连接词. ④ 要按逻辑关系翻译而不能凭字面翻译.
为命题公式。
合式公式
• 原子公式
– 定义：单个命题变元和命题常元称为原子命题公式， 简称原子公式。
• 合式公式
合式公式是由下列规则生成的公式： ①单个原子公式是合式公式。 ②若A是一个合式公式，则(lA)也是一个合式公式。 ③若A、B是合式公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)和(A
B)都是合式公式。 ④只有有限次使用①、②和③生成的公式才是合式公