对线性规划整点问题的探究(蒋政)
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在实际生活中，很多问题都可以归结为线性规划问题，例如资源分配、生产计划、运输调度等。
下面我们将通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划问题的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法1、图解法对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以使用图解法来求解。
其步骤如下：（1）画出约束条件所对应的可行域。
（2）画出目标函数的等值线。
（3）根据目标函数的优化方向，平移等值线，找出最优解所在的顶点。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件所对应的可行域：对于$x ＋ 2y ＼leq 8$，当$x ＝ 0$时，＄y ＝ 4$；当$y ＝ 0$时，＄x ＝8$，连接这两点得到直线$x ＋2y ＝8$，并取直线下方的区域。
线性规划中的整点问题
o
x
武穴实验高中 杨耀平
例1、某人有楼房一座，室内面积共180m2，拟分隔成两类房间作 为旅游客房，大房间每间面积为18m2，可住游客5名，每名游客 每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m2，可住游客3名，每 名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房 间每间需600元。如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满 客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？
12
：200x+150y=0，即4x+3y=0,
将直线l0平移到A点时z最大。
解方程组
6x 5y 60 5x 3y 40
得 A( 20 ,60 ) 77
4
2
4x+3y=0 0
x 2 4 6 8 10 12 14
6x+5y=60
y
5x+3y=4018
16
14
12
A 10
但当可行域较大、边界附近的整点较多时运算量较大
EX1:某学校预算2000元购买单价为100元的 桌子和40元的凳子，希望购买的桌凳总数尽 可能多，但凳子不少于桌子，且不多于桌子 的2倍，求该学校所购买的桌、凳数分别为多 少？
解：设学校购买的桌、凳数分别为x、y，总数为
z，则z= x+y,且x、y满足：
①平移直线寻找非整最优解；②调整最值，确定“目标直线” ③由“目标直线”方程代入约束条件，并求变量范围：④ 确 定“目标直线”上整数解。
但目标直线在向可行域内平移过程中，若需平移多次才能达 到目的，将十分麻烦。
方法二：整点验证法：
当可行域较小、边界附近的整点较少时可以用整点验证法； 将每个可能的整点代入目标函数确定最优解。
最新简单线性规划(整点解问题)复习课程
先经过的整点.
要求作图准确，易
出现模糊点，可操作
性不强！
怀化铁路第一中学
7.4简单的线型规划
②优值调整法:
当直线x+y=z 移至A(3.6,7.8)时, zmin=11.4, 由x,y取整数知: z 必为整数,
先将z调整为12, 即x+y=12, ∴ y=12-x或 x=12-y,
将y=12-x代入约束条件得：
分析:列
标牌类型 文字标牌 绘画标牌
规格类型
甲规格
1
2
乙规格
2
1
标牌需求量
2
3
面积 (m2 ) 3 2
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7.4简单的线型规划
标牌类型 文字标牌 绘画标牌
规格类型
甲规格
1
2
乙规格
2
1
标牌需求量
2
3
面积 (m2 ) 3 2
解: 设用甲种规格原料x张,乙种规格原料y张,所用总 面积为 z m2.则目标函数为z=3x+2y,
四、本课小结
寻找“整点”最优解的方法：
①打网格，平移找解法: ②优值调整法:
其步骤是 (1)寻找非整点最优解； (2)回调优值； (3)将回调优值代入线性约束条件，解x，y 范围，并找到整点(x,y) 注意：(1)回调时注意z的整除性； (2)可能需多次回调。
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7.4简单的线型规划
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3x4.5
x3,或x4,
yx93，
或yx
4 8
若调整z=12仍无整数解，应继续调整，直到找到为止.
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7.4简单的线型规划
第 一 已知 变：
线性规划中整点最优解的探究
线性规划中整点最优解的探究发表时间：2013-07-12T10:51:48.483Z 来源：《教育研究·教研版》2013年8月下供稿作者：陶晶[导读] 重视数学思想方法的教学，指导学生提高数学意识。
〔摘要〕在以往教材中，线性代数是大学期间的课程，高中的课程中只是少量接触，而在新教材高二年级的数学中新加了简单的线性规划的内容。
线性规划在数学中越来越受到重视，在高中数学中线性规划在对于解决最优惠最佳方法的应用题中体现出它独特的应用方法，帮助学生在领悟题型是对类型题的加深理解。
对学生在数学方面解决疑难问题也会起到开发性思维的拓展，有助于帮助学生开拓思路解答问题。
线性规划最优解教学中的一个难点。
〔关键词〕线性规划最优解可行域 1 平移找解法平移找解法在作出可行域后，描绘出整点，然后选择目标函数L=ax+y 平移该函数 L，直线L 最先经过或者最后经过的那个整点(x,y)便是整点最优解。
例1 某服装厂生产裙子和裤子两种产品，现有两种布料，第一种有72m2，第二种有 56m2，假设生产裙子和裤子都需要用两种布料，生产一条裙子和一条裤子所需布料如下表所示，每生产一条裙子可获利6 元，生产一条裤子可获利10 元，服装厂现有布料条件下，裙子和裤子各生产多少，获得利润最多。
解：设生产裙子x 条，生产裤子y 条，获取利润z 元，那么 0.18x+0.09y≤72 0.08x+0.28y≤56 嗓,x≥0， y≥0 解得z=6x+10y 如图所示，在不等式组图所表示的可行域作直线l: 6x+10y=0，即 3x+5y=0，把直线l 向右上方平移只l1 的位置时，直线经过可行域点M，且与原点距最大，此时z=6x+10y 取最大值。
解方程组 0.18x+0.09y=72 0.08x+0.28y=56 嗓，解得M 点坐标（350，100）答：应生产裙子350 条，裤子300 条，此时的利润是最大值。
本题的最优点恰为直线0.18x+0.09y =72 和0.08x+0.28y=56 的交点M。
探求《线性规划》中的整点最优解
探求《线性规划》中的整点最优解
许红卫
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2012(000)008
【摘要】简单的线性规划是高中教材《必修5》第3章第3节的内容,它有着较强的应用性.目前,随着高考改革的不断深人,增强对创新意识和实践能力的考查逐步被命题者正视起来.作为应用性很强的线性规划的理论,其考查力度也必将得到加强,要引起注意.因此有必要学好线性规划这部分知识.在教学过程中,一类涉及整点最优解的问题操作起来很不方便,且极易漏解.下面介绍一种寻找整点最优解的方法,供同学们参考.
【总页数】2页(P29-30)
【作者】许红卫
【作者单位】江苏省启东市吕四中学，226200
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.“线性规划中求整点的最优解问题”的解法规划 [J], 陈后万;
2.探求《线性规划》中的整点最优解 [J], 许红卫;
3.线性规划中的整点最优解 [J], 田继安;王国立
4.线性规划中整点最优解的求解策略 [J], 郭海鹰
5.也谈线性规划中整点最优解的一种处理方法 [J], 李平
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线性规划中整点最优解的求解策略
线性规划中整点最优解的求解策略作者：郭海鹰来源：《理科爱好者(教育教学版)》2018年第02期【摘要】随着中学数学教育的改革和发展，简单线性规划问题已经逐渐成为中学数学教学中的一个基本内容。
简单线性规划问题与我们的日常生活息息相关，它主要涉及人力、物力、资金等资源的最优配置。
在中学数学教学中，整点最优解问题是简单线性规划的核心内容，但教材对于具体的验算过程并没有作过多的描述，以致中学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。
在资料上也经常见到有关简单线性规划整点最优解问题的求解方法，如：网格法，穷举法，筛选法，最小距离法等。
本文将介绍利用平移法求整点最优解的两种具体的操作方法—平移交轨法，平移近值法。
【关键词】线性规划；平移；整点最优解【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0069-021 平移交轨法该方法主要是在平移直线过程中，利用直线间的交点来缩小最优值的存在范围，因此其主要思想是联立方程求解交点，然后确定最优解可能的存在范围。
例1 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：根据目标函数作出一组平行直线：x+y=t。
这些直线中经过可行域且和原点距离最近的直线，此直线经直线x+3y=27和2x+y=15的交点A（），此直线与原点的距离最近，z取得最小值，即：z= x+y=显然和都不是整数，而最优解中，x和y必须为整数，故A不是最优解，故将直线x+y= 向上平移到x+y=12，最优解可能存在于此直线上。
最优解必须在可行域内，故应求出直线2x+y=15和x+3y=27与x+y=12的交点：可得交点坐标为B（3，9），D（，），故有：3≤x≤这样便更进一步的缩小了x的范围，即x=3或4，将其代入x+y=12，可得y=9或8。
即（3，9）和（4，8）均为所求的最优解。
根据上述的分析解答过程，我们可以看到利用平移交轨法解题对于一般的简单线性规划问题都是适用的，其解题步骤如下：（1）设出所求的未知数，列出约束条件，建立目标函数；（2）作出可行域；（3）确定平移直线，寻找非整最优解；（4）联立方程求交点确定x或y的范围；（5）对x，y进行整点搜索，并确定整点解。
线性规划中整点最优解的求解策略
2018年第10期教育教学2SCIENCE FANS 线性规划中整点最优解的求解策略郭海鹰（秭归县第一中学，湖北…………宜昌…………443600）……【摘 要】随着中学数学教育的改革和发展，简单线性规划问题已经逐渐成为中学数学教学中的一个基本内容。
简单线性规划问题与我们的日常生活息息相关，它主要涉及人力、物力、资金等资源的最优配置。
在中学数学教学中，整点最优解问题是简单线性规划的核心内容，但教材对于具体的验算过程并没有作过多的描述，以致中学生在解题过程中对于具体的验算过程掌握还不够清晰。
在资料上也经常见到有关简单线性规划整点最优解问题的求解方法，如：网格法，穷举法，筛选法，最小距离法等。
本文将介绍利用平移法求整点最优解的两种具体的操作方法—平移交轨法，平移近值法。
【关键词】线性规划；平移；整点最优解【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】1671-8437（2018）10-0069-021 平移交轨法该方法主要是在平移直线过程中，利用直线间的交点来缩小最优值的存在范围，因此其主要思想是联立方程求解交点，然后确定最优解可能的存在范围。
例1…要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：规格类型钢板类型A 规格B 规格C 规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少?……（新教材63页例4）分析：这类问题涉及物资的优化配置，在任务一定的条件下，使物资用量最少。
设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，设所用钢板的张数为z 张，则：2x +y ≥15…x +2y ≥18…x +3y ≥27x ≥0，y ≥0｛目标函数为：z =…x +y 可行域如图所示（图1）…图1根据目标函数作出一组平行直线：x +y =t 。
这些直线中经过可行域且和原点距离最近的直线，此直线经直线x +3y =27和2x +y =15的交点A （518…539），此直线与原点的距离最近，z 取得最小值，即：z =...x +y = (5)57显然518和539都不是整数，而最优解中，x和y必须为整数，故A不是最优解，故将直线x +y = (557)向上平移到x +y =12，最优解可能存在于此直线上。
线性规划 高考题(蒋政)
线性规划高考题1.（全国）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥则y x z 3-=的最小值（ D ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-2.（北京）若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x yz +=的最小值是（ B ）A ．0B ．1CD ．93.（天津卷2）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数y x z +=5的最大值为D（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）54.（山东卷12）设二元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142,080192y x y x y x ，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是(C)（A ）[1,3] (B)[2,10] (C)[2,9] (D)[10,9]5.（湖南卷3）已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是( C )A.2B.5C.6D.86.（陕西）已知实数x y ，满足121y y x x y m ⎧⎪-⎨⎪+⎩≥，≤，≤．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ B ）A ．7B ．5C ．4D ．37.（全国）若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为 ．98.（安徽）若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为749.（浙江）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点P （a ，b ）所形成的平面区域的面积等于____________。
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对线性规划整点问题的探究
一、精确图解法求整数最优解 ( 课本P88习题16 )
某运输公司有7辆载重量为6t 的A 型卡车与4辆载重量为10t 的B 型卡车，有9名驾驶员。
在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360t 沥青的任务。
已知每辆卡车每天往返的次数为A 型卡车8次，B 型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费A 型车160元，B 型车252元。
每天派出A 型车和B 型车各多少辆公司所花的成本费最低？
解：设每天派出A 型车x 辆、B 型车y 辆，公司所花的成本为z 元，则
0x 70y 4x y 9
68x 106y 360x,y Z ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎪+≤⎨⎪⨯⨯+⨯⨯≥⎪∈⎪⎩即0x 70y 4
x y 94x 5y 30x,y Z
≤≤⎧⎪≤≤⎪
⎪
+≤⎨⎪+≥⎪∈⎪⎩ z=160x+252y. 如图可行域是ABCD 围成的区域，
作直线160x+252y=0，图形中两直线160x+252y=0和4x+5y=30接近平行， 比较直线斜率k=160252-
>-4
5
, 平移直线160x+252y=0，由图可知在A （7，
2
5
）处取到最小值，但A 不是整数解。
在可行域内共有（3，4），（4，3），（4，4），（5，2），（5，3），（6，2），（6，3），（7，1），（7，2）整数解，经检验只有（5，2）是最优解，此时z=160×5+252×2=1304元。
这种方法适用于区域是封闭区域，且区域内的整数点可数，坐标网络画出来容易在图上识别哪些整点在可行域内。
二、利用近似解估算整数最优解 (课本P63例4)
要将两种不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格成品，且所使用钢板张数最少。
解：设需截取第一种钢板x 张，第
二种钢板y 张，则
2x y 15x 2y 18x 3y 27x,y 0,x,y N
+≥⎧⎪+≥⎪
⎨
+≥⎪⎪≥∈⎩ 目标函数z=x+y,
如图可行域是阴影部分，目标函数在A 点取到最优解。
解方程组
x 3y 272x y 15+=⎧⎨
+=⎩
得A （185，39
5） 但不是整数解，
规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 2018
16
14
12
10
8
6
4
2
-15-10-5
51015
x+y=12
x+3y=27
x+2y=18
2x+y=15
A
B
C
D
E
x
O
y
x+y=9 4x+5y=3
160x+252y=0 A
B
C D
此时,z=
185+395=575
, 则在可行域内取到整数解的z=12.
即经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是 x+y=12，则整点一定在B 、C 之间。
解方程组x y 12
2x y 15+=⎧⎨
+=⎩
，得B （3，9）；
解方程组x y 12x 3y 27
+=⎧⎨
+=⎩，得C （92，152）；则整点的横坐标3≤x ≤9
2，
所以满足条件的最优解是（3，9），（4，8）.
本来近似解z=
575，而57
5=11.4也不约等于12，学生不理解为什么z=12。
这不是近似解约等于多少的问题，而是由于575不是可行域内的整数解，可行域内的整数解至少要大于57
5。
这种方法先由图解法观察出最优解在哪个点处取到，再由精确值估算出整数解，一定注意整数解的估算不
是四舍五入取整，而是在可行域内的整数解。
三、利用解不定方程的原理求整数最优解
例2．求下列区域内整数点的个数x 0y 03x 4y 96.≥⎧⎪
≥⎨⎪+≤⎩
解：如图区域是阴影部分的直角三角形，把它补为矩形。
则矩形区域内的整点有33×25=825个。
而线段AB 上的整点（含端点）是不定方程3x+4y=96的非负整数解。
又x=32-4y
3
,则y 一定被3整除，满足条件的y 有0，3，6…，24共9个，即线段AB 上的整点有9个。
则阴影部分区域内的整点有8259
92
-+=417个。
四、利用穷举法求整数最优解 课本P65习题7.4第4题
某人有楼房一幢，室内面积共180m 2，拟分隔成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为18m 2，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15m 2，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元。
如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？ 解：设隔出大房间x 间，小房间y
18x 15y 1801000x 600y 8000x,
y 0,x,y Z +≤⎧⎪
+≤⎨⎪≥∈⎩
z=200x+150y
如图可行域是阴影部分，
作直线L ：200x+150y=0，即4x+3y=0, 将直线L 平移到A 点时与原点距离最大。
解方程组
6x 5y 605x 3y 40+=⎧⎨
+=⎩
得A （2060
,77），但不是整数解。
此时z=200×
206015077+⨯=1300018577
≈。
又z=200x+150y=50（4x+3y ），则z 取到的最优解一定被50整除，则z 的最大值是1850。
即4x+3y=37，又4x+3y=37的所有整数解是（1，11），（4，7）（7，3）， 而（1，11）不满足6x+5y ≤60，舍去； （4，7）不满足5x+3y ≤40，舍去； （7，3）不满足5x+3y ≤40，舍去。
所以z 的最大值不可能是1850。
则z 的最大值可能是1800、1750、1700…，直到在可行域内找到满足条件的最优解。
若z=1800，即4x+3y=36，又4x+3y=36的所有整数解是（0，12），（3，8）（6，4），（9，0），经检验只有（0，12），（3，8）在可行域内，所以当x=0,y=12或x=3,y=8时，z 取到最大值1800。
这种方法就是穷举法，首先对z 的可能取到的整数解进行尝试，对所有可能的整数解验证它是否在可行域内，才能准确不漏的找到所有的最优解。