圆的相关定理及其几何证明(含答案)

D

B

C

O

A

圆的相关定理及其几何证明

典题探究

例1：如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D .若

3CD =2AB AC ==，则线段AD 的长是 ；圆O 的半径是 .

例2：如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E （E 在A ,O 之间），,垂足为F ．若，，则

例3：如图已知PA 与圆O 相切于A ，半径OC OP ⊥，AC 交PO 于B ，

若1OC =,2OP =，则PA = ，=PB ．

例4：如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知30BPA ∠=︒，11BC =，1PB =, 则PA = ,圆O 的半径等于

EF BC 6AB 5CF CB AE A

B C O

P

O P

B

A

O

P

D F

E

演练方阵

A 档（巩固专练）

1．如图，已知直线PD 切⊙O 于点D ，直线PO 交⊙O 于点E,F.若23,1PF PD =+=，则⊙O 的半径为 ；EFD ∠= .

2. 如图，与切于点，交弦的延长线于点，过点作圆的切线交于点. 若，，则弦的长为_______.

3. 如图：圆O 的割线PAB 经过圆心O ，C 是圆上一点，PA ＝AC ＝1

2

AB ，则以下结论不正确．．．的是( )

A.CB CP =

B. PCAC PABC =

C. PC 是圆O 的切线

D. BC BABP =

4．如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PC 切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =，则圆O 的半径长为______；BP =______．

5．如图所示，以直角三角形ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交BC 边于点E .则

=BC

BE

.

AP O A DB P B O AP C 90ACB ∠=︒3,4BC CP ==DB

D

C

B

P

A

O

E D C

B

A

O

6．如图，直线AM 与圆相切于点M, ABC 与ADE 是圆的两条割线，且BD ⊥AD ，连接MD 、 EC 。则下面结论中，错误．．的结论是( ) A ．∠ECA = 90o

B ．∠CEM=∠DMA+∠DBA

C ．AM 2 = AD·AE

D ．AD·D

E = AB·BC

7．如图，AB 切圆于点A ,AC 为圆的直径，BC 交圆于点D ，E 为CD 的中点，且5,6,BD AC ==则CD =__________；AE =__________.

8．如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，4,8PC PB ==，则

tan COP ∠= ，△OBC 的面积是

9．如图，AB 为⊙O 的直径,AC 切⊙O 于点A ,且过点C 的割线,CMN 交AB 的延长线于点D ,若CM MN ND ==,22AC =CM = ，AD =

O O O A

B

C D

M

N

O

10．如图，,,,A B C D 是⊙O 上的四个点，过点B 的切线与DC 的延长线交于点E .若110BCD ︒∠=，则DBE ∠=( )

A. 75︒

B. 70︒

C. 60︒

D. 55︒

B 档（提升精练）

1．如图，已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD 的长为______

2．如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点E F ,是AB 延长线上一点,且

BF AF CF DF 2,2===,若CE 与圆相切,且2

7

=

CE ,则=BE

3．如图，AB 是半圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PD 与半圆O 相切于点C ，AD PD ⊥．若4PC =，2PB =，则CD =______.

E

O

D

C

B

A

E B

F D C

B C

D

A

O E

4．如图，AB 是⊙O 的直径，直线DE 切⊙O 于点D ，且与AB 延长线交于点C ，若CD =

3，1CB =，则ADE ∠=

5．如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若3OC =1OM =，则MN =_______

6．如图，PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==，则

ABC ∠=( )

A 70︒

B 60︒

C 45︒

D 30︒

7．如图所示，Rt △ABC 内接于圆，60ABC ∠=，PA 是圆的切线，A 为切点， PB 交AC 于E ，交圆于D ．若PA =AE ，PD 3BD =33AP = ，AC =

A

B

C

O

M N

8. 如图，以ABC ∆的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF AB 于点F ，

3AF BF ，22BE EC ，那么CDE

= ，CD = .

9．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ，若22DF CF ==，::4:2:1AF FB BE =，则线段CE 的长为

10. 如图，直线与

相切于点，割线经过圆心， 弦⊥于点，

，，则

C 档（跨越导练）

1. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ．若PA PE =，60ABC ︒

∠=，1PD =，9PB =，则PA =_____；EC =_____

PC O C PAB O CD AB E 4PC =8PB =CE =E

D P C

B

A

F E

D C

B A B

A

E

D

F

C