在直角坐标系xOy中
高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)
高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解）1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+t 6y =√t（t 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =−2+s 6y =−√s（s 为参数）．(1)写出C 1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；(2)C 3,C 1的交点坐标为(12,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)．【解析】 【分析】(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6，y =√t ，所以x =2+y 26，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．(2) 因为x =−2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =12y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围． 【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−1912≤m ≤52 【解析】 【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)因为l ：ρsin (θ+π3)+m =0，所以12ρ⋅sinθ+√32ρ⋅cosθ+m =0，又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√32x +m =0，整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0， 所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0， 化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)， 对称轴为a =16，开口向上，所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(16)=16−26−3=−196，所以−196≤2m ≤5m 的取值范围为−1912≤m ≤52.1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=．(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛⎫ ⎪=∈⎝<<⎭，，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若4OMON=，求α． 【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π4α=【解析】 【分析】（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OMON=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)解：1C 的参数方程为244x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-， 设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，则21sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02πα<<可得sin 0α≠，因为4OMON=，所以124ρρ=，所以24cos 42cos sin ααα-=⨯，故21sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍） 所以π4α=.2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为2221x t t y t ⎧=-⎨=-⎩（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段PQ 的长度.【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3(2)2【解析】 【分析】（1）普通方程()2211x y -+=，即可得2cos ρθ=（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)曲线1C 的普通方程()2211x y -+=，极坐标方程()()22cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4πθ=.4πθ=与2cos ρθ=联立，得1ρ 4πθ=与()sin cos 3ρθθ+=联立，得2ρ=∴21PQ ρρ=-=. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)设点Q的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)21ρ= 【解析】 【分析】（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；(1)解：因为直线l的参数方程为11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为2x y +=，因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，即2cos ρθθ=--，所以2sin 2cos ρθρθ=--，又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，所以222x y x +=--，即()(2214x y +++=，即曲线C 的普通方程为()(2214x y ++=；(2)解：设(),R x y，则(21,2P x y -，因为点P 在曲线C 上，所以()(2221124x y -++=，即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PBPB PA+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】 【分析】（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程（2）将直线的参数方程代入曲线C的普通方程，得到210t -=，得到12121t t t t +==- ，化简()222121212122112122PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)直线l的参数方程为21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)在直线l的参数方程21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l的参数方程221x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入22220x y x y +--=，得210t +-=，∴12t t +=121t t =-.∴()2221212121221121224PA PBt t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3πθρ=∈．(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值． 【答案】(1)4sin ρθ=，y(2)【解析】【分析】（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 直线1l的直角坐标方程为y (2)由（1）可知π||4sin3OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，根据条件知要使AOB 面积取最大值，则ππ3β<<，则||4sin OB β=，于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，所以当π3π262β+=即2π3β=时，AOB的面积取最大值，最大值为6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为))cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2214x y +=，23100x y +-=；【解析】 【分析】（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)由))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2214x y +=， 所以曲线C 的普通方程为2214x y +=，把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，则105sin d αϕ-+===ϕ由4tan 3ϕ=确定，因此，当()sin 1αϕ+=时，d所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐sin cos 0θρθ-．(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||PA PB +的值． 【答案】(1)224x y -=，0x+= (2)5【解析】【分析】（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程； （2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)∴11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴22222222112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，所以224x y -=， 所以曲线C 的方程为224x y -=又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，0x - 所以直线l的直角坐标方程为0x =； (2)∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l的参数方程为112x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =∴1212121111||||-+=+====t tPA PB t t t t，所以11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.【答案】(1)y =()2204y x y +=≥(2)⎡-⎣ 【解析】 【分析】（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程； （2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)由2241421t x t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.因此曲线1C的直角坐标方程为y ()2204y x y +=≥(2)曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此()cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为22x y t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求1PA PB-.【答案】(1)()()22126x y -+-=；【解析】 【分析】(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1PA PB-．(1)∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=， 即()()22126x y -+-=； (2)直线l参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入圆C直角坐标方程整理得250t -=， 设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，则121250t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，∴1PA PB-121211t t t t ==+-10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m⎧=⎨=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2211x y -+= (2)2π或4π或34π【解析】 【分析】（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，利用参数的几何含义化简求解. (1)曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2211x y -+=.(2)不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入21:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则22cos sin P Q PR QR t t αα-=+=.将直线l 的参数方程代入()222:11C x y -+=，得23cos 04t t α--=， 设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为12x ty kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数），设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C .(1)求曲线1C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，射线OM ：()04πθρ=≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【答案】(1)22163x y +=，()0y ≠(2)2【解析】 【分析】（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04πθρ=≥代入两极坐标方程即可求出OA ，OB ，即可得解；(1)解：因为直线1l的参数方程为12x ty kt⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l的普通方程为(12y k x =①， 直线2l的参数方程为x m m y k ⎧=⎪⎨=-⎪⎩（m 为参数）， 消去参数m 得直线2l的普通方程为(1y x k=-②， 设(),P x y ，由①②联立得((121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去k 得()22162y x =--即曲线1C 的普通方程为22163x y +=，()0y ≠；(2)解：设1OA ρ=，2OB ρ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），代入()04πθρ=≥得12OA ρ==，将()04πθρ=≥代入2cos ρθ=得2OB ρ==所以2AB OA OB =-= 即线段AB的长度为212．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x xy y =⎧''⎪⎨=⎪⎩得到曲线2C .以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），则2C 的直角方程为()2221x y -+=，即22430x y x +-+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，则124cos ρρα+=①，123ρρ=②， 因为3OB OA =，所以213ρρ=③，由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π2α=时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求MON △面积的取值范围．【答案】(1)cos ρθ=(2)⋃⎣⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π2cos 6π2sin 16x y ⎧=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩，所以M点的直角坐标为)，当π2α=时，直线l的直角坐标方程为x =转化为极坐标方程为cos ρθ=.(2)在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与极轴所成角为α，在直角坐标系下：经过点)M的直线l 的倾斜角为α或πα-.即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，直线l 的方程为(1tan y x α-=，令0y =得1tan N x α-=ππ,43α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，tan α⎡∈⎣，111,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝11tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦.当直线l 的倾斜角为πα-时，直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，令0y =得1tan N x α=11,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦，所以1π111sin 2262tan 2MONSOM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝11tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦.综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数方程是2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3πθρ=>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ=+(2)1 【解析】 【分析】（1）由公式法求极坐标方程（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22143x y +=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线2C 的极坐标方程为：22123sin ρθ=+.(2)设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1||4cos23OA πρ===，22221216||53sin 3OB ρπ===+，所以||OB =，所以||||||2AB OA OB =-=-. 又(0,2)P到直线:AB y =的距离为：1d ==所以12112PABS⎛=⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.【答案】(1)22163x y +=，40x -=2- 【解析】 【分析】（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程， （2）设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)由曲线C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）可知2222cos sin 1θθ+=+=，故曲线C 的直角坐标方程为22163x y +=.由直线l的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l的直角坐标方程为40x -=. (2)MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.设曲线C上任意一点)Mθθ到直线l 的距离为d ，则2cos 24d πθ⎛⎫==+≥ ⎪⎝⎭，故MN 2..。
安徽省安庆一中七年级数学下册第七章【平面直角坐标系】基础卷
1．在直角坐标系中，ABC 的顶点()1,5A -，()3,2B ，()0,1C ，将ABC 平移得到A B C '''，点A 、B 、C 分别对应A '、B '、C '，若点()1,4A '，则点'C 的坐标（ ） A ．()2,0- B ．()2,2- C ．()2,0 D ．()5,12．已知点32,)6(M a a -+．若点M 到两坐标轴的距离相等，则a 的值为（ ） A ．4 B ．6- C ．1-或4 D ．6-或23 3．如果点A （a ，b ）在第二象限，那么a 、b 的符号是（ ）A ．0＞a ，0＞bB ．0＜a ，0＞bC ．0＞a ，0＜bD ．0＜a ，0＜b 4．如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A ()2,1-和B ()2,3--，那么第一架炸机C 的平面坐标是（ ）A ．()2,1B ．()3,1-C ．()2,1-D ．()3,15．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（21a +，3-），则点A 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．点(,)M x y 在第二象限，且230,40x y -=-=，则点M 的坐标是（ ）A ．(3,2)-B ．(3,2)-C ．(2,3)-D ．(2,3)- 7．在平面直角坐标系中，对于点P (x ，y )，我们把点P ′(－y ＋1，x ＋1)叫做点P 的幸运点．已知点A 1的幸运点为A 2，点A 2的幸运点为A 3，点A 3的幸运点为A 4，……，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ．若点A 1的坐标为(3，1)，则点A 2020的坐标为（ ）A ．(-3，1)B ．(0，-2)C ．(3，1)D ．(0，4)800412个数为4个，那么a 的取值范围为（ ）A ．﹣1<a ≤0B ．0<a ≤1C ．1≤a <2D ．﹣1≤a ≤1 9．如图，线段OA ，OB 分别从与x 轴和y 轴重合的位置出发，绕着原点O 顺时针转动，已知OA 每秒转动45︒，OB 的转动速度是每秒转动30，则第2020秒时，OA 与OB 之间的夹角的度数为（ ）A ．90︒B ．145︒C ．150︒D ．165︒10．若把点A (－5m ，2m －1)向上平移3个单位后得到的点在x 轴上，则点A 在( ) A ．x 轴上 B ．第三象限 C ．y 轴上 D ．第四象限 11．已知点M (12,﹣5)、N (﹣7,﹣5)，则直线MN 与x 轴、y 轴的位置关系分别为（ ） A ．相交、相交 B ．平行、平行 C ．垂直相交、平行 D ．平行、垂直相交二、填空题12．如图，一只甲虫在55⨯的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A 处出发去看望B ．C ．D 处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负、如果从A 到B 记为：(1,4)A B →++，从B 到A 记为：(1,4)B A →--，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．（1）图中A C →(______，______)，B C →(______，______)，C →______(1+，______)；（2）若图中另有两个格点M ．N ，且M A →(3,4)a b --，M N →(5,2)a b --，则N A →应记为______．131231114．若点p(a+13，2a+23)在第二，四象限角平分线上，则a=_____．15．点P先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，得到点Q(2，-3)，则点P坐标为__ 16．在平面直角坐标系中，有点A（a﹣2，a），过点A作AB⊥x轴，交x轴于点B，且AB ＝2，则点A的坐标是___．17．若P(2－a，2a+3)到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是____________________．18．已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，2），且|a﹣c|+8b-＝0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，那么a+b+c的值为_____．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（﹣3，5），B（﹣4，3），A1（3，3），则B1的坐标为_____．20．在平面直角坐标系中，点A（2，0）B（0，4）,作△BOC，使△BOC和△ABO全等，则点C坐标为________21．若点A（-2，n）在x轴上，则点B(n-2，n+1)在第_____象限．三、解答题22．某部队在大西北戈壁滩上进行军事演习，部队司令部把部队分为“蓝军”、“黄军”两方．蓝军的指挥所在A地，黄军的指挥所地B地，A地在B地的正西边（如图）．部队司令部在C 地．C在A的北偏东60︒方向上、在B的北偏东30方向上．（1）BAC∠=______°；（2）请在图中确定（画出）C的位置，标出字母C；（3）演习前，司令部要蓝军、黄军派人到C地汇报各自的准备情况．黄军一辆吉普车从B 地出发、蓝军一部越野车在吉普车出发3分钟后从A地出发，它们同时到达C地．已知吉普车行驶了18分钟．A到C的距离是B到C的距离的1.7倍．越野车速度比吉普车速度的2倍多4千米．求越野车、吉普车的速度及B地到C地的距离（速度单位用：千米/时）．23．如图，己知()(),2,53,3A C -，将三角形ABC 向右平移3个的单位长度，再向下平移4个单位长度，得到对应的三角形111A B C ．（1）画出三角形111A B C ；（2）直接写出点111A B C 的坐标；（3）求三角形111A B C 的面积．24．如图，四边形ABCD 所在的网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位长度． （1）建立以点B 为原点，AB 边所在直线为x 轴的直角坐标系；（2）写出点A 、B 、C 、D 的坐标；（3）求出四边形ABCD 的面积．25．已知点P （2x ﹣6，3x ＋1），求下列情形下点P 的坐标．（1）点P 在y 轴上；23241．正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 2C 3C 2，…按如图所示的方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x +1和x 轴上，已知点B 1（1，1），B 2（3，2），则B n 的坐标是（ ）A ．（2n ﹣1，2n ﹣1）B ．（2n ﹣1，2n ﹣1）C ．（2n ﹣1，2n ﹣1）D ．（2n ﹣1，2n ﹣1） 2．已知P(a ，b ）满足ab=0，则点P 在（ ）A ．坐标原点B ．X 轴上C ．Y 轴上D ．坐标轴上 3．在平面直角坐标系中，与点P 关于原点对称的点Q 为()1,3-，则点P 的坐标是（ ） A ．()1,3 B ．()1,3-- C ．()1,3- D ．()1,3- 4．点M 在第二象限，距离x 轴5个单位长度，距离y 轴3个单位长度，则M 点的坐标为（ ）A ．(-3，5)B ．(5，- 3)C ．(-5，3)D ．(3，5)5．若点P(3a+5，-6a-2)在第四象限，且到两坐标轴的距离相等，则a 的值为( ) A ．-1 B ．79- C ．1 D ．26．已知点A 坐标为()2,3-，点A 关于x 轴的对称点为A '，则A '关于y 轴对称点的坐标为（ ）A ．()2,3--B ．()2,3C ．()2,3-D ．以上都不对7．已知点(224)P m m +，﹣在x 轴上，则点P 的坐标是（ ） A ．(40)， B ．(0)4， C ．40)(-， D ．(0,4)-8．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P ′（﹣y +1，x +1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，若点A 1的坐标为（3，1），则点A 2019的坐标为（ ） A ．（0，﹣2） B ．（0，4） C ．（3，1） D ．（﹣3，1）9210．在平面直角坐标系中，将点A （﹣2，﹣2）先向右平移6个单位长度再向上平移5个单位长度得到点A '，则点A '的坐标是（ ）A ．（4，5）B ．（4，3）C ．（6，3）D ．（﹣8，﹣7） 11．已知点M (12,﹣5)、N (﹣7,﹣5)，则直线MN 与x 轴、y 轴的位置关系分别为（ ） A ．相交、相交 B ．平行、平行 C ．垂直相交、平行 D ．平行、垂直相交二、填空题12．某人从A 点沿北偏东60︒的方向走了100米到达点B ，再从点B 沿南偏西10︒的方向走了100米到达点C ，那么点C 在点A 的南偏东__度的方向上．13．点(1,1)P -向左平移2个单位，向上平移3个单位得1P ，则点1P 的坐标是________． 14．在平面直角坐标系中，与点A （5，﹣1）关于y 轴对称的点的坐标是_____． 15．若点M （5，a ）关于y 轴的对称点是点N （b ，4），则（a+b ）2020= __16．已知点P （a ，a +1）在平面直角坐标系的第二象限内，则a 的取值范围___． 17．如图，点A 的坐标（-2,3）点B 的坐标是（3，-2），则图中点C 的坐标是______．18．如图，一个机器人从0点出发，向正东方向走3米到达1A 点，记为()3,0；再向正北方向走6米到达2A 点，记为()3,6：再向正西方向走9米到达3A 点，记为()6,6-；再向正南方向走12米到达4A 点，再向正东方向走15米到达5A 点，按如此规律走下去，当机器人走到99A 点时，则99A 的坐标为________．19．三角形A′B′C′是由三角形ABC 平移得到的，点A(-1，4)的对应点为A′(1，-1)，若点C′的坐标为(0，0)，则点C′的对应点C 的坐标为______．20140021．如果点P （a ﹣1，a +2）在x 轴上，则a 的值为_____．三、解答题22．如图所示，若()34A ，，按要求回答下列问题：（1）在图中建立正确的平面直角坐标系．（2）将ABC 向右平移3个单位，再向下平移2个单位得111A B C ，在图中画出111A B C ，并写出1B 点坐标．（3）求ABC 的面积．23．如图1，长方形OABC 的边OA 在数轴上，O 为原点，长方形OABC 的面积为12，OC 边长为3（1）数轴上点A 表示的数为______．（2）将长方形OABC 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O A B C ''''，移动后的长方形O A B C ''''与原长方形OABC 重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S①设点A 的移动距离AA x '=．当4S =时，x =______．②当S 恰好等于原长方形OABC 面积的一半时，求数轴上点A '表示的数为多少． 24．已知点P(m ＋2，3)，Q(−5，n−1)，根据以下条件确定m 、n 的值12325．如图，将△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）请画出平移后的图形△A′B′C′．（2）写出△A′B'C'各顶点的坐标．（3）求出△A′B′C′的面积．1．已知点32,)6(M a a -+．若点M 到两坐标轴的距离相等，则a 的值为（ ） A ．4 B ．6- C ．1-或4 D ．6-或23 2．如果点A （a ，b ）在第二象限，那么a 、b 的符号是（ ）A ．0＞a ，0＞bB ．0＜a ，0＞bC ．0＞a ，0＜bD ．0＜a ，0＜b 3．如图，将一颗小星星放置在平面直角坐标系中第二象限内的甲位置，先将它绕原点O 旋转180︒到乙位置，再将它向上平移2个单位长到丙位置，则小星星顶点A 在丙位置中的对应点A '的坐标为（ ）A ．()3,1-B ．()1,3C ．()3,1D ．()3,1- 4．在平面直角坐标系中，点()2,1-关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()2,1B ．()2,1-C ．()2,1--D ．()2,1- 5．点()1,3P --向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得到的点的坐标为（ ） A ．()4,2- B ．()2,2 C ．()4,8-- D ．()2,8- 6．点M 在第二象限，距离x 轴5个单位长度，距离y 轴3个单位长度，则M 点的坐标为（ ）A ．(-3，5)B ．(5，- 3)C ．(-5，3)D ．(3，5) 7．在平面直角坐标系中，点P 在第二象限，且点P 到x 轴的距离为3个单位长度，到y 轴的距离为4个单位长度，则点P 的坐标是（ ）A ．()3,4B ．()3,4--C ．()4,3-D ．()3,4- 8．如图，在棋盘上建立平面直角坐标系，若使“将”位于点(-1，-2)，“象”位于点(4，-1)，则“炮”位于点（ ）A ．(2，-1)B ．(-1，2)C ．(-2，1)D ．(-2，2) 9．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()1,4，则点A 的坐标为（ ）A ．()6,3-B ．()3,6-C ．()4,3-D ．()3,4- 10．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），我们把点P ′（﹣y +1，x +1）叫做点P 的伴随点．已知点A 1的伴随点为A 2，点A 2的伴随点为A 3，点A 3的伴随点为A 4…，这样依次得到点A 1，A 2，A 3，…，A n ，若点A 1的坐标为（3，1），则点A 2019的坐标为（ ） A ．（0，﹣2） B ．（0，4） C ．（3，1） D ．（﹣3，1） 11．若点P （﹣m ，﹣3）在第四象限，则m 满足（ ）A ．m ＞3B ．0＜m≤3C ．m ＜0D ．m ＜0或m ＞3二、填空题12．小华在小明南偏西75°方向，则小明在小华______方向．（填写方位角） 13．若点P 位于x 轴上方，y 轴左侧，距离x 轴4个单位长度，距离y 轴2个单位长度，则点P 的坐标是_____________．14．点P 先向左平移4个单位，再向上平移1个单位，得到点Q(2，-3)，则点P 坐标为__ 15．如图，点A 的坐标（-2,3）点B 的坐标是（3，-2），则图中点C 的坐标是______．161111217．在平面直角坐标系中，将点A （5，﹣8）向左平移得到点B （x +3，x ﹣2），则点B 的坐标为_____．18．如图点 A 、B 的坐标分别为（1，2）、（3，0），将△AOB 沿 x 轴向右平移，得到△CDE ． 已知点 D 在的点 B 左侧，且 DB ＝1，则点 C 的坐标为 ____ ．19．如图，已知1(1,0)A ，2(1,1)A ，3(1,1)A -，4(1,1)A --，5(2,1)A -，则2020A 的坐标为_______．20．点A （m ，﹣3），点B （2，n ），AB //x 轴，则n=_____．21．若点()35,62P a a +--到 两坐标轴的距离相等，则a 的值为____________三、解答题22．已知△ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示．将△ABC 向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度得到△A 1B 1C 1．（图中每个小方格边长均为1个单位长度）（1）在图中画出平移后的△A 1B 1C 1；（2）直接写出△A 1B 1C 1各顶点的坐标；（3）求△ABC 的面积．23．在如图的直角坐标系中，将三角形ABC 平移后得到三角形111A B C ，他们的对应点坐标如下表所示：ABC(,0)A a (3,0)B (5,5)C 111A B C △ 1(4,2)A 1(7,)B b1(,)C c d （1）观察表中各对应点坐标变化，写出平移规律：________．（2）在坐标系中画出两个三角形．（3）求出111A B C △面积．24．在平面直角坐标系中，点P(2﹣m ，3m +6)．（1）若点P 与x 轴的距离为9，求m 的值；（2）若点P 在过点A(2，﹣3)且与y 轴平行的直线上，求点P 的坐标．25．如图，平面直角坐标系中，已知点A （－3，3），B （－5，1），C （－2，0），P （ ）是△ABC 的边AC 上任意一点，△ABC 经过平移后得到△A 1B 1C 1，点P 的对应点为 P 1 （ a ＋6，b+2 ）1111 2111（3）求△ABC的面积．。
初一数学《平面直角坐标系》选择题题型大全100题
B．(4,3)
A．1010B． C．1008D．
23．点P（x，y），且xy＜0，则点P在（）
A．第一象限或第二象限B．第一象限或第三象限
C．第一象限或第四象限D．第二象限或第四象限
24．平面坐标系中，点A（n,1-n）不可能是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
25．如图是某市地图简图的一部分，图中“故宫”、“鼓楼”所在的区域分别是()
A．（7，1）B．B（1，7）C．（1，1）D．（2，1）
21．在平面直角坐标系xOy中，点P在第四象限，且点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）
A．(3, 1)B．( 3,1)C．(1, 3)D．( 1,3)
22．如图，在一个单位面积为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……是斜边在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，-1），A3（0，0），则依图中所示规律，点A2019的横坐标为（ ）
12．如图，在直角坐标系中， ， ，第一次将 变换成 ， ， ；第二次将 变换成 ， ， ，第三次将 变换成 ， ，则 的横坐标为
A． B． C． D．
13．已知点A（a，﹣b）在第二象限，则点B（a﹣3，b﹣2）在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
14．如果P(a+b，ab)在第二象限，那么点Q (a，-b)在( ).
A．一B．二C．三D．四
33．如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0，－1)，表示九龙壁的点的坐标为(4，1)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是( )
在平面直角坐标系xoy中
在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y -1)2＝4 和圆C 2：(x －4)2＋(y -5)2＝4（1）若直线l 过点A （4，0），且被圆C 1截得的弦长为23，求直线l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线l 1和l 2，它们分别与圆C 1和C 2相交，且直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P 的坐标.解：（1）由于直线x ＝4与圆C 1不相交；∴ 直线l 的斜率存在，设l 方程为：y ＝k (x －4)圆C 1的圆心到直线l 的距离为d ，∵ l 被⊙C 1截得的弦长为23∴ d ＝22)3(2-＝1 d ＝21|)43(1|k k +---从而k (24k ＋7)＝0即k ＝0或k ＝－247 ∴直线l 的方程为：y ＝0或7x ＋24y －28＝0（2）设点P （a , b ）满足条件，不妨设直线l 1的方程为y －b ＝k (x －a ), k ≠0则直线l 2方程为：y －b ＝－k 1(x －a ) ∵⊙C 1和⊙C 2的半径相等，及直线l 1被圆C 1截得的弦长与直线l 2被圆C 2截得的弦长相等，∴⊙C 1的圆心到直线l 1的距离和圆C 2的圆心到直线l 2的距离相等 即21|)3(1|k b a k +----＝211|)4(15|kb a k +--+整理得|1＋3k ＋ak －b |＝|5k ＋4－a －bk |∴1＋3k ＋ak －b ＝±（5k ＋4－a －bk ）即(a ＋b －2)k ＝b －a ＋3或(a －b ＋8)k ＝a ＋b －5 因k 的取值有无穷多个，所以⎩⎨⎧=+-=-+0302a b b a 或⎩⎨⎧=-+=+-0508b a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2125b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=21323b a 这样的点只可能是点P 1(25, －21)或点P 2(－23, 213)经检验点P1和P2满足题目条件。
人教版七年级下册数学第七章 平面直角坐标系含答案(各地真题)
人教版七年级下册数学第七章平面直角坐标系含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在矩形COED中，点D的坐标是(1，3)，则CE的长是（）A.3B.C.D.42、在平面直角坐标系xoy中，已知A（4，2），B（2，－2），以原点O为位似中心，按位似比1:2把△OAB缩小，则点A的对应点A′的坐标为（）A.（3，1）B.（－2，－1）C.（3，1）或（－3，－1）D.（2，1）或（－2，－1）3、如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（0，）.现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′，则点B的对应点B′的坐标是（）A.（1，0）B.（，）C.（1，）D.（﹣1，）4、在平面直角坐标系中，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的（）A. B. C. D.5、将△ABC的各点的横坐标都加上3，纵坐标不变，所得图形与原图形相比（）A.向右平移了3个单位B.向左平移了3个单位C.向上平移了3个单位D.向下平移了3个单位6、点P是图①中三角形上一点，坐标为（a，b），图①经过变化形成图②，则点P在图②中的对应点P′的坐标为（）A.（a，b）B.（a﹣1，b）C.（a﹣2，b）D.（a，b）7、在平面直角坐标系中，已知点A（﹣6，9）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A.（﹣2，3）B.（﹣18，27）C.（﹣18，27）或（18，﹣27） D.（﹣2，3）或（2，﹣3）8、在平面直角坐标系中，点P（-2，3-π）所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9、在平面直角坐标系中，点P的横坐标是-3，且点P到x轴距离为5，则点P 的坐标是（）A.（5，-3）或（-5，-3）B.（-3，5）或（-3，-5）C.（-3，5）D.（-3，-3）10、将点B（5，－1）向上平移2个单位得到点A（a+b， a－b），则（）A.a=2， b=3B.a=3， b=2C.a=－3， b=－2D.a=－2， b=－311、矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A.（3，1）B.（3，）C.（3，）D.（3，2）12、某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点（）A.（﹣2a，﹣2b）B.（﹣a，﹣2b）C.（﹣2b，﹣2a）D.（﹣2a，﹣b）13、点M（3，－4）关于x轴的对称点的坐标是（）A.（3， 4）B.（－3，－4）C.（－3， 4）D.（－4，3）14、在平面直角坐标系中，点M（﹣2，3）在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限15、如图是株洲市的行政区域平面地图，下列关于方位的说法明显错误的是A.炎陵位于株洲市区南偏东约35°的方向上B.醴陵位于攸县的北偏东约16°的方向上C.株洲县位于茶陵的南偏东约40°的方向上D.株洲市区位于攸县的北偏西约21°的方向上二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，把一块三角板放在直角坐标系第一象限内，其中30°角的顶点A落在y轴上，直角顶点C落在x轴的（，0）处，∠ACO=60°，点D为AB边上中点，将△ABC沿x轴向右平移，当点A落在直线y=x﹣3上时，线段CD扫过的面积为________．17、我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上点处，则点的对应点的坐标为________.18、已知点A（m，n）在第四象限，那么点B（m，﹣n）在第________象限．19、如图，象棋盘上，若“将”位于点(1，-1)，“车”位于点(-3，-1)，则“马”位于点________．20、点P（m+2，2m+1）向右平移1个单位长度后，正好落在y轴上，则m=________．21、点P（3，﹣2）到y轴的距离为________个单位．22、已知线段MN平行于x轴，且MN的长度为5，若M的坐标为（2，-2），那么点N的坐标是________；23、如界点在平面直角坐标系的第二象限，则m的取值范围是________．24、如图，学校在小明家________偏________度的方向上，距离约是________米．25、同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜如图是两人玩的一盘棋，若白的位置是（1，﹣5），黑的位置是（2，﹣4），现轮到黑棋走，你认为黑棋放在________位置就获得胜利了．三、解答题(共6题，共计25分)26、如图所示的马所处的位置为（2，3）．⑴你能表示图中象的位置吗？⑵写出马的下一步可以到达的位置．（马走日字）27、如图是边长为4的正方形，请你建立适当的直角坐标系，并写出点A，B，C，D的坐标．28、某市有A、B、C、D四个大型超市，分别位于一条东西走向的平安大路两侧，如图，若C（﹣2，8）、D（0，0），请建立适当的直角坐标系，并写出A、B两个超市相应的坐标．29、王林同学利用暑假参观了幸福村果树种植基地（如图），他出发沿（1，3），（﹣3，3），（﹣4，0），（﹣4，﹣3），（2，﹣2），（5，﹣3），（5，0），（5，4）的路线进行了参观，请你按他参观的顺序写出他路上经过的地方，并用线段依次连接他经过的地点．30、古城黄州以其名胜古迹吸引了不少游客.从地图上看，较有名的六外景点在黄州城内的分布是∶东坡赤壁在市政府以西2km再往南3km处，黄冈中学在市政府以东1 km处，宝塔公园在市政府以东3km处，鄂黄长江桥在市政府以东7 km再往北8 km处，遗爱湖在市政府以东4km再往北4km处，博物馆在市政府以北2 km再往西1 km处。
初中数学函数之平面直角坐标系知识点总复习附答案(1)
初中数学函数之平面直角坐标系知识点总复习附答案(1)一、选择题1．在平面直角坐标系中，点P(－3，4)到x轴的距离为( )A．3 B．－3 C．4 D．－4【答案】C【解析】【分析】纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离．【详解】∵|4|=4，∴点P（-3，4）到x轴距离为4．故选C．2．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（）A．a=b B．2a+b=﹣1 C．2a﹣b=1 D．2a+b=1【答案】B【解析】试题分析：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，∴2a+b=﹣1．故选B．3．如图，ABCDEF是中心为原点O，顶点A，D在x轴上，半径为4的正六边形，则顶点F的坐标为（）A ．()2,23B ．()2,2-C ．()2,23-D ．()1,3- 【答案】C【解析】【分析】 连接OF ，设EF 交y 轴于G ，那么∠GOF=30°；在Rt △GOF 中，根据30°角的性质求出GF ，根据勾股定理求出OG 即可．【详解】解：连接OF ，在Rt △OFG 中，∠GOF=13603026⨯=oo ，OF=4． ∴GF=2，3∴F （-2，3）．故选C ．【点睛】本题利用了正六边形的对称性，直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半，勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的对称性是解答本题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如()()()()()()1,02,02,11,11,22,2，，，，，······根据这个规律，第2019个点的纵坐标为( )A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1，纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点结束，根据此规律解答即可．【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角的点的横坐标的平方，例如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，1＝12，右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4＝22，右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9＝32，右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16＝42，…右下角的点的横坐标为n时，共有n2个，∵452＝2025，45是奇数，∴第2025个点是（45，0），第2019个点是（45，6），所以，第2019个点的纵坐标为6．故选：B．【点睛】本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键．5．如图，在平面直角坐标系中，□ ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C的坐标是（）．A．(3,7)B．(5,3)C．(7,3)D．(8,2)【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的对边相等且互相平行可得AB=CD，CD∥AB，因为AB=5，点D的横坐标为2，所以点C的横坐标为7，根据点D的纵坐标和点C的纵坐标相同即可的解．【详解】∵四边形ABCD为平行四边形，AB=5，∴AB=CD=5，∵点D的横坐标为2，∴点C的横坐标为2+5=7，∵AB∥CD，∴点D和点C的纵坐标相等为3，∴C点的坐标为（7，3）．故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质以及坐标与图形的性质，解题的关键是熟知与x轴平行的点纵坐标都相等，将点向右移动几个单位横坐标就加几个单位．6．如图，若A、B两点的坐标分别为（﹣3，5）、（3，5），则点C坐标为（）A．（﹣2，6）B．（﹣1，6）C．（﹣2，7）D．（﹣1，7）【答案】D【解析】【分析】根据A、B的坐标判断出y轴在AB的垂直平分线上，结合图形可得点C的纵坐标比A、B 的纵坐标大2，然后解答即可．【详解】如图所示，∵A、B两点的坐标分别为（﹣3，5）、（3，5），∴则点C坐标为（﹣1，7），故选：D．【点睛】本题考查了坐标确定位置，准确识图，判断出y轴的位置以及点C的纵坐标与点A、B的纵坐标的关系是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2018次得到正方形OA2018B2018C2018，如果点A的坐标为（1，0），那么点B2018的坐标为（）A．（1，1）B．（0，2）C．（20，）D．（﹣1，1）【答案】D【解析】分析：根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．详解：∵四边形OABC是正方形，且OA=1，∴B（1，1），连接OB，由勾股定理得：OB=2，由旋转得：OB=OB1=OB2=OB3= (2)∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB=∠BOB1=∠B1OB2=…=45°，∴B1（0，2），B2（-1，1），B3（-2，0），…，发现是8次一循环，所以2018÷8=252 (2)∴点B2018的坐标为（-1，1）故选：D．点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法8．如图，小手盖住的点的坐标可能为( )A．(-1，1) B．(-1，-1) C．(1，1) D．(1，-1)【答案】D【解析】【详解】解：根据第四象限的坐标特征，易得小手盖住的点的横坐标为正，纵坐标为负，选项D符合此特征，故选：D9．如果点M（3a﹣9，1+a）是第二象限的点，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：点在第二象限的条件是：横坐标是负数，纵坐标是正数．解：∵点M（3a﹣9，1+a）是第二象限的点，∴，解得﹣1＜a＜3．在数轴上表示为：．故选A．考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；点的坐标．10．如图，直线m⊥n，在某平面直角坐标系中，x轴∥m，y轴∥n，点A的坐标为（－4，2），点B的坐标为（2，－4），则坐标原点为（）A．O1B．O2C．O3D．O4【答案】A【解析】试题分析：因为A点坐标为（－4，2），所以，原点在点A的右边，也在点A的下边2个单位处，从点B来看，B（2，－4），所以，原点在点B的左边，且在点B的上边4个单位处．如下图，O1符合．考点：平面直角坐标系．11．在平面直角坐标中，点M(－2，3)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】∵−2<0，3>0，∴(−2,3)在第二象限，故选B.12．在平面直角坐标系xOy中，若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，则点的坐标为( )A．(3,-1) B．(-3,1) C．(1,-3) D．(-1,3)【答案】A【解析】【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值，结合第四象限点（+，-），可得答案．【详解】解：若点P在第四象限，且点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，则点的坐标为（3，-1），故选：A．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．13．已知点P位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴上方，距离x轴4个单位长度，则点P坐标是( )A．(3,4) B．(-3,4) C．(-4,3) D．(4，3)【答案】A【解析】【分析】根据题意，P点应在第一象限，横、纵坐标为正，再根据P点到坐标轴的距离确定点的坐标．【详解】解：∵P点位于y轴右侧，x轴上方，∴P点在第一象限，又∵P 点距y 轴3个单位长度，距x 轴4个单位长度，∴P 点横坐标为3，纵坐标为4，即点P 的坐标为（3，4）．故选A ．【点睛】本题考查了点的位置判断方法及点的坐标几何意义．14．如果(,)p a b ab +在第二象限，那么点(,)Q a b -在第（ ）象限A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】【分析】由点P 在第二象限得到a+b<0，ab>0，即可得到a 与b 的符号，由此判断点Q 所在的象限.【详解】∵点P 在第二象限，∴a+b<0，ab>0，∴a<0，b<0，∴-a>0，∴点(,)Q a b -在第四象限，故选：D.【点睛】此题考查象限中点的坐标特点，熟记每个象限中的点坐标特点是解题的关键.15．在平面直角坐标系中，以A （0，2），B （﹣1，0），C （0．﹣2），D 为顶点构造平行四边形，下列各点中，不能作为顶点D 的坐标是（ ）A ．（﹣1，4）B ．（﹣1，﹣4）C ．（﹣2，0）D ．（1，0）【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的判定，可以解决问题．【详解】若以AB 为对角线，则BD ∥AC ，BD=AC=4，∴D （-1，4）若以BC 为对角线，则BD ∥AC ，BD=AC=4，∴D （-1，-4）若以AC 为对角线，B ，D 关于y 轴对称，∴D （1，0）故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是熟练利用平行四边形的判定解决问题．16．会议室2排3号记作（2，3），那么3排2号记作（）A．（3，2）B．（2，3）C．(-3，-2) D．（-2，-3）【答案】A【解析】【分析】根据有序数对的意义求解.【详解】会议室2排3号记作（2，3），那么3排2号记作（3，2）.故选：A【点睛】关键是理解题意，理解有序数对的意义.．17．点P(1，－2)在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】点P（1，-2）所在的象限是第四象限，故选D.18．在平面直角坐标系中，点(一6，5)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】【分析】根据所给点的横纵坐标的符号可得所在象限．【详解】解：∵所给点的横坐标是-6为负数，纵坐标是5为正数，∴点（-6，5）在第二象限，故选：B．【点睛】本题考查象限内点的符号特点；用到的知识点为：符号为（-，+）的点在第二象限．19．在平面直角坐标系中,点P(1,-2)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可.【详解】∵点P(1,-2),横坐标大于0，纵坐标小于0，∴点P(1,-2)在第三象限,故选D.【点睛】本题考查了象限内点的坐标特征，关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号．20．如果点P（m+3，m+1）在x轴上，则点P的坐标为（）A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，﹣4）【答案】B【解析】【分析】根据点P在x轴上，即y=0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．【详解】根据点P在x轴上，即y＝0，可得出m的值，从而得出点P的坐标．解：∵点P（m+3，m+1）在x轴上，∴y＝0，∴m+1＝0，解得：m＝﹣1，∴m+3＝﹣1+3＝2，∴点P的坐标为（2，0）．故选：B．【点睛】本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中，点在x轴上时纵坐标为0，得出m的值是解题关键.。
期末难点特训(三)和平面直角坐标系有关的压轴题-【微专题】七年级数学下册常考点微专题提分精练
七下期末难点特训（三）和平面直角坐标系有关的压轴题1. 在平面直角坐标系xOy 中，对于P ，Q 两点给出如下定义：若点P 到x 、y 轴的距离中的最大值等于点Q 到x 、y 轴的距离中的最大值，则称P ，Q 两点为“等距点”．下图中的P ，Q 两点即为“等距点”．（1）已知点A 的坐标为（﹣3，1），①在点E （0，3），F （3，﹣3），G （2，﹣5）中，为点A 的“等距点”的是 ；②若点B 的坐标为B （m ，m +6），且A ，B 两点为“等距点”，则点B 的坐标为 ；A ．（3，9）B ．（﹣9，﹣3）C ．（﹣3，3）D ．不能确定（2）若1T （﹣1，﹣k ﹣3），2T （4，4k ﹣3）两点为“等距点”，求k 的值．2. 平面直角坐标系中，(),0A a ，()0,B b ，a ，b 均为整数，且满足b =C 在y 轴负半轴上且10ABC S =△，将线段AB 平移到DE ，其中点A 的对应点是点D ．（1）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）如图（1），若点D 的坐标为()1,0-，点(),F m n 为线段DE 上一点，且ACF △的面积大于12，求m 的取值范围；（3）如图（2），若DE 与y 轴的交点G 在B 点上方，点P 为y 轴上一动点，请直接写出EBO ∠，BPD ∠，PDA ∠之间的数量关系．3. 如图所示，在平面直角坐标系中，如图①，将线段AB 平移至线段CD ，点A 在x 轴的负半轴，点C 在y 轴的正半轴上，连接AC 、BD ．（1）若(3,0)A -、(2,2)B --，(0,2)C ，直接写出点D 的坐标；（2）如图②，在平面直角坐标系中，已知一定点(2,0)M ，两个动点(,21)E a a +、(,23)F b b -+．请你探索是否存在以两个动点E 、F 为端点的线段EF 平行于线段OM 且等于线段OM ，若存在，求点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图③，在直线EF 上有两点A 、C ，分别引两条射线AB 、CD ．110BAF ∠=︒，60DCF ∠=︒，射线AB 、CD 分别绕A 点，C 点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t ，在射线CD 转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD 与AB 平行？若存在，求出所有满足条件的时间t ．4. 如图，在平面直角坐标系中，AB x ⊥轴，垂足为A ，BC y ⊥轴，垂足为C ，已知(,0)A a ，(0,)C c ，其中a ，c 满足关系式2(6)0a -+=，点P 从O 点出发沿折线OA AB BC --的方向运动到点C 停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P 的运动时间为t 秒．（1）在运动过程中，当点P 到AB 的距离为2个单位长度时，t =________秒；（2）在点P 的运动过程中，用含t 的代数式表示P 点的坐标；（3）当点P 在线段AB 上的运动过程中，射线AO 上一点E ，射线OC 上一点F （不与C 重合），连接PE ，PF ，使得70EPF ∠=︒，求AEP ∠与PFC ∠的数量关系．5. 在平面直角坐标系中，(),0A a ，()1,B b ，a ，b 满足0a b +=，连接AB 交y 轴于C ．（1）直接写出=a ______，b =______；（2）如图1，点P 是y 轴上一点，且三角形ABP 的面积为12，求点P 的坐标；（3）如图2，直线BD 交x 轴于()4,0D ，将直线BD 平移经过点A ，交y 轴于E ，点(),Q x y 在直线AE 上，且三角形ABQ 的面积不超过三角形ABD 面积的13，求点Q 横坐标x 的取值范围．6. 在平面直角坐标系中，点A ，C 均在x 轴上，点B 在第一象限，直线AB 上所有点的坐标(),x y 都是二元一次方程2x y -=-的解，直线BC 上所有点的坐标(),x y 都是一元一次方程28x y +=的解．（1）求B 点的坐标时，小明是这样想的：先设B 点坐标为()m n ,，因为B 点在直线AB 上，所以()m n ,是方程2x y -=-的解；又因为B 点在直线BC 上，所以()m n ,也是方程28x y +=的解，从而m ，n 满足228m n m n -=-⎧⎨+=⎩，据此可求出B 点坐标为______．再求出A 点坐标为______；C 点坐标为______．（均直接写出结果）（2）若线段BC 上存在一点D ，使12OCD ABC S S =△△（O 为原点），求D 点坐标（3）点(),3E a -是坐标平面内的动点，若满足13ABE ABC S S ≤△△，求a 的取值范围．7. 如图1，在平面直角坐标系中，已知(),0A a ，()0,B b ，(),C a c ．其中a 、b 、c 满足关系式()226a b -=--，()250c -≤．（1）=a _______；b =_______；c =______．（2）如果在第四象限内有一点()1,P m ，使得APO △的面积是ABC 面积的一半，求点P 的坐标．（3）如图2，过点A 作AD AB ⊥，交BC 延长线于点D ，且AB AD =，点(),36M m m -+在直线AB 上，点Q 是x 轴上异于点A 的一个动点，是否存在DQM 为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标．8. 如图，在平面直角坐标系中，已知A （a ，0），B （0，b ），C （a ，c ）．其中a 、b 、c 满足关系式|a ﹣2|＝﹣（b ﹣6）2，（c ﹣5）2≤0．（1）a ＝______，b ＝______，c ＝______；（2）如果在第四象限内有一点P （1，m ），使得△APO 的面积是△ABC 面积的一半，求点P 的坐标．（3）过点A 作AD ⊥AB ，交BC 延长线于点D ，且AB ＝AD ，点M （m ，﹣3m +6）在直线AB 上，点Q 是x 轴上异于点A 的一个动点，是否存在△DQM 为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标．9. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点(),A a b ，(),B a b a --，且a ，b 满足：0a +=．（1）求点A ，B 的坐标；（2）如图1，将AB 平移到A B ''，使点B 的对应点B '落在x 轴的正半轴上，在y 轴上有一点P ，且20ABP ∠=︒，试判断PB A ''∠与B PB '∠之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，线段AB 与y 轴交于点M ，将AB 平移到A B ''，连接MA '，MB '，点B 的对应点(),0B n '，若2024A B M S ''≤≤△，求n 的取值范围．10. 如图，在平面直角坐标系中，A 、B 、C 三个点的坐标分别为()4,0-A 、()0,4B 、()3,4C ，D 为OA 中点，BD 与AC 相交于点E ．（1）则点D 坐标为_______，BC =________；（2）点(),F a b 在直线BD 上，且2BF DF =，求b 的值；（3）点(),0M m 在x 轴上，若MCE △的面积大于BCE 的面积，直接写出m 的取值范围_______．11. 在如图所示的平面直角坐标系xOy 中，BC ⊥y 轴于点C ，OA ＝12，BC ＝OC ＝6，点B 在第三象限．设动点P 从A 点出发沿x 轴正方向以每秒3个单位长度匀速移动，同时动点Q 从O 点出发沿y 轴负方向以每秒32个单位长度匀速移动，连接PB ，QB ．（1）直接写出点A 、B 的坐标；（2）当△PAB 的面积是△QBC 的面积的4倍时，求点P 的坐标；（3）若S △OPB 、S △QBC 分别表示△OPB 、△QBC 的面积，说明S △OPB 与S △QBC 的数量关系．12. 在平面直角坐标系中，已知M （0，4），N （3，2），线段MN 平移得到线段PQ ，使点M 的对应点为P ，点N 的对应点为Q ，若点P 的坐标为()2,1--，点Q 的坐标为(),a b ，（1）=a ___________，b =___________；（2）若点E 为x 轴正半轴上的一个动点，探究MNE ∠、NEQ ∠和EQP ∠之间的数量关系并证明；（注：MNE ∠、NEQ ∠和EQP ∠均为大于0︒且小于180︒的角）（3）将线段MN 向下平移得到线段AB ，从使得点N 的对应点B 落在x 轴上，点M 的对应点A 落在y 轴上，动点C 从点B 出发，以每秒钟移动3个单位长度的速度沿x 轴向左运动，动点D 从点A 出发，以每秒钟移动2个单位长度的速度沿y 轴向下运动，直线BD 与直线AC 交于点F ，设点F 的坐标为(),m n ．动点C 和动点D 同时出发且它们的运动时间为t 秒．①在01t <<时，试探究ADF △与BCF △的面积关系，并说明理由；②若在点C 、D 的运动过程中，ABF △的面积为7，请直接写出m 的值．13. 在平面直角坐标系中，如果点P （a ，b ）满足a +1＞b 且b +1＞a ，则称点P 为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这个图形为“自大忘形”．（1）判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称 ；P1（1，0）P 2P 3（﹣12，13）P 4（﹣1）（2）如果点N （2x +3，2）不是“自大点”，求出x 的取值范围．（3）如图，正方形ABCD 的初始位置是A （0，6），B （0，4），C （2，4），D （2，6），现在正方形开始以每秒1个单位长的速度向下（y 轴负方向）平移，设运动时间为t 秒（t ＞0），请直接写出当正方形成为“自大忘形”时，t 的取值范围： ．七下期末难点特训（三）和平面直角坐标系有关的压轴题【1题答案】【答案】（1）①E ，F ；②C（2）1或2【解析】【分析】（1）①找到x 、y 轴距离最大为3的点即可；②先分析出直线上的点到x 、y 轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；（2）先分析出直线上的点到x 、y 轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可．【小问1详解】解：①∵点A (-3,1)到x 、y 轴的距离中最大值为3，又∵点E (0,3)和点F (3,-3)到x 、y 轴的距离中最大值为3，∴与A 点是“等距点”的点是E 、F ；②∵点B 的坐标为(m ,m +6)，且有m ＜m +6，又∵点A 与点B 为“等距点”，点A (-3,1)到x 、y 轴的距离中最大值为3，∴m +6=3，解得m =-3，即B 点的坐标为(-3,3)，故选：C ．故答案为：①E 、F ；②C ；【小问2详解】解：1(1,3)T k ---，()24,43T k -两点为“等距点”，①若|4k -3|≤4时，则4＝-k -3或-4＝-k -3，解得k ＝-7（舍去）或k ＝1；②若|4k -3|＞4时，则|4k -3|＝|-k -3|，解得k ＝2或k ＝0（舍去）．根据“等距点”的定义知，k ＝1或k ＝2符合题意．即k 的值是1或2．【点睛】本题考查了直角坐标系中的坐标中的知识，理解读懂“等距点”的定义是解题的关键．【2题答案】【答案】（1）()4,0A ，()0,2B ，()0,3C -（2）1455m -≤<- （3）当点P 在点B 的下方时，180EBO BPD ADP ∠=∠+︒-∠；当点P 在B 的上方、AD 的延长线与y 轴的交点的下方时，360EBO PDA BPD ∠+∠+∠=︒；当点P 在AD 的延长线与y 轴的交点T 上方时，PDA EBO BPD ∠=∠+∠．【解析】【分析】（1）由非负性可求a ，b 的值，由三角形的面积公式可求点C 坐标；（2）由平移的性质可得AB DE =，AB DE ∥，5AD BE ==，由面积关系可求m ，n 的数量关系，即可求解；（3）分三种情况讨论，由平移的性质，平行线的性质以及角的数量关系可求解．【小问1详解】解：b =- 40a ∴- ，240a - ，24a ∴ ，a ，b 均为整数，4a ∴=，2b =，(4,0)A ∴，(0,2)B ，4∴=OA ，2OB =，10ABC S ∆= ，∴1102BC OA ⨯⨯=，5BC ∴=，点C 在y 轴负半轴上，∴点C 坐标为(0,3)-；【小问2详解】解：如图，连接BE ，BF ，OF ，将线段AB 平移到DE ，AB DE ∴=，AB DE ∥，5AD BE ==，∴四边形ABED 的面积2510=⨯=，152ABF ABEDS S ∆∴==四边形，ABF ADF ABO BFO DFO ABFD S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=++ 四边形，111155422()12222n m n ∴+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯，12m n --∴=，12ACF AFO AOC OCF S S S S ∆∆∆∆=++> ，∴1114433()12222n m ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯->，145m ∴<-；∵F 为线段DE 上一点，∴5,m ≥- ∴145.5m -≤-＜【小问3详解】解：如图，当点P 在点B 的下方时，延长EB 交PD 于F ，将线段AB 平移到DE ，AB DE ∴∥，AD BE ∥，ADP BFD ∴∠=∠，180180PFB BFD PDA ∴∠=︒-∠=︒-∠，EBO BPD BFP ∠=∠+∠ ，180EBO BPD PDA ∴∠=∠+︒-∠，180EBO PDA BPD ∴∠+∠-∠=︒；如图，当点P 在B 的上方、AD 的延长线与y 轴的交点下方时，延长DP 交BE 于点F ，将线段AB 平移到DE ，AD BE ∴∥，180PDA BFD ∴∠+∠=︒，180BFP PDA ∴∠=︒-∠，EBO BFP BPF ∠=∠+∠ ，180180EBO PDA BPD ∴∠=︒-∠+︒-∠，360EBO PDA BPD ∴∠+∠+∠=︒；如图，当点P 在AD 的延长线与y 轴的交点T 上方时，EBO BEG EGB ∠=∠+∠ ，又BE AD ∥，BEG GDT ∴∠=∠，由对顶角得EGB TGD ∠=∠，PTD TGD TDG ∠=∠+∠ ，PTD EBO ∴∠=∠，PDA PTD TPD ∠=∠+∠ ，PDA EBO BPD∴∠=∠+∠综上所述：当点P 在点B 的下方时，180EBO BPD ADP ∠=∠+︒-∠；当点P 在B 、与AD 的延长线与y 轴的交点之间时，360EBO PDA BPD ∠+∠+∠=︒；当点P 在AD 的延长线与y 轴的交点T 上方时，PDA EBO BPD ∠=∠+∠．【点睛】本题是三角形综合题，考查了平移的性质，三角形面积公式，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【3题答案】【答案】（1）(1,0)D（2）存在，3,42E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）存在，t 为5秒或95秒【解析】【分析】(1)根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状可知对应线段平行且相等，对应点的连线平行且相等；(2) 根据()()0,02,0EF OM EF OM O M =∥，，，，得出21232a b a b +=-+-=，，解答即可．(3) 分①AB 与CD 在EF 的两侧，分别表示出ACD ∠与BAC ∠，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD 旋转到与AB 都在EF 的右侧，分别表示出DCF ∠与BAC ∠，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD 旋转到与AB 都在EF 的左侧，分别表示出DCF ∠与BAC ∠，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解.【小问1详解】解：设(,)D x y ，将线段AB 平移至线段CD ，(3,0)A -、(2,2)B --，(0,2)C ，02(3)x ∴-=---，220y -=--，1x ∴=，0y =，(1,0)D ∴；【小问2详解】解：存在，理由：//EF OM ，EF OM =，(0,0)O ，(2,0)M ，∴点E 与F 的纵坐标相等，横坐标的差的绝对值为2，四边形OMEF 是平行四边形，即2123a b +=-+，||2a b -=，解得：12a =-，32b =或32a =，12b =-，∴点E 的坐标为1(2-，0)，F 的坐标为3(2，0)或点E 的坐标为3(2，4)，F 的坐标为1(2-，4)，当1(2E -，0)，3(2F ，0)时，O 、M 、E 、F 四点均在x 轴上，不能构成平行四边形，舍去；(E ∴32，4)，1(2F -，4)；【小问3详解】解：存在．分三种情况：如图①，AB 与CD 在EF 的两侧时，110BAF ∠=︒ ，60DCF ∠=︒，18060312031203ACD t t t ∴∠=︒-︒-︒⨯=︒-︒⨯=︒-︒，1101110BAC t t ∠=︒-︒⨯=︒-︒，要使//AB CD ，则ACD BAF ∠∠=，即1203110t t ︒-︒=︒-︒，解得5t =，此时(18060)340︒-︒÷︒=，040t ∴<<，②CD 旋转到与AB 都在EF 的右侧时，110BAF ∠=︒ ，60DCF ∠=︒，3603603003DCF t t ∴∠=︒-︒-︒=︒-︒，110BAC t ∠=︒-︒，要使//AB CD ，则DCF BAC ∠∠=，即3003110t t ︒-︒=︒-︒，解得95t =，此时(36060)3100︒-︒÷︒=，40100t ∴<<；③CD 旋转到与AB 都在EF 的左侧时，110BAF ∠=︒ ，60DCF ∠=︒，3(18060180)3300DCF t t ∴∠=︒-︒-︒+︒=︒-︒，110BAC t ∠=︒-︒，要使//AB CD ，则DCF BAC ∠∠=，即3300110t t ︒-︒=︒-︒，解得95t =，此时110t >，95110< ，∴此情况不存在．综上所述，t 为5秒或95秒时，CD 与AB 平行．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平行线的判定，三角形的面积，熟记平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法，要注意分情况讨论是解题的关键．【4题答案】【答案】（1）2s 或8s ；（2）当0≤t ≤3时，P （2t ，0）；当3≤t ≤7时，P （6，6−2t ）；当7≤t ≤10时，P （20−2t ，−8）；（3）∠PFC ＋∠PEA ＝160°或∠PFC −∠AEP ＝20°．【解析】【分析】（1）由非负数的性质得a −6＝0，c ＋8＝0，解得a ＝6，c ＝−8，由此即可解决问题；（2）分三种情形：①当0≤t ≤3时，②当3≤t ≤7时，③当7≤t ≤10时，分别求解即可；（3）分两种情形分别画出两个图形，根据三角形外角的性质和三角形内角和定理进行求解即可．【小问1详解】解：∵a ，c 满足关系式2(6)0a -+=，∴a −6＝0，c ＋8＝0，∴a ＝6，c ＝−8，∴A （6，0），B （6，−8）．当点P 到AB 的距离为2个单位长度时，运动路程s ＝6−2＝4或s ＝6＋8＋2＝16，∴4÷2＝2s 或16÷2＝8s ，故答案为：2s或8s；【小问2详解】①当0≤t≤3时，点P在OA上，此时，P（2t，0）；②当3≤t≤7时，点P在AB上，此时PA＝2t−6，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则P（6，6−2t）；③当7≤t≤10时，点P在BC上，此时PB＝2t−OA−AB＝2t−14，PC＝BC−PB＝6−（2t−14）＝20−2t，∴P（20−2t，−8）；【小问3详解】当点P在线段AB上时，分两种情况：①如图3中，结论：∠PEA＋∠PFC＝160°，理由如下：连接OP，∵∠PFC＝∠FPO＋∠FOP，∠AEP＝∠EOP＋∠EPO，∴∠PEA＋∠PFC＝∠FPO＋∠FOP＋∠EOP＋∠EPO＝∠AOF＋∠EPF＝90°＋70°＝160°；②如图4中，结论：∠PFC−∠AEP＝20°，理由如下：设PM 交OC 于G ，∵∠AEP ＋∠EGO ＝90°，∠EGO ＝∠PGF ＝110°−∠PFC ，∴∠AEP ＋110°−∠PFC ＝90°，∴∠PFC −∠AEP ＝20°，综上所述，∠PFC ＋∠PEA ＝160°或∠PFC −∠AEP ＝20°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属干中考常考题型．【5题答案】【答案】（1）-3，4（2）-3，4 （3）-4≤x ≤-2且x ≠-3【解析】【分析】（1）根据非负数的性质构建方程组，解方程组求出a ，b ；（2）过点B 作BM x ⊥轴于M ，设OC m =，由三角形面积关系得出111()222OA OC OC BM OM AM BM ⋅++⋅=⋅，求出3m =，过点B 作BN y ⊥轴于N ，由三角形面积关系得出1131222CP CP ⨯⨯+=，求出CP 即可；（3）连接DQ ，过点Q 作QR x ⊥轴，分点Q 在第二象限，点Q 在第三象限时，两种情况，分别列出方程，解之即可．【小问1详解】解： |210|0a b -+=，又0，|210|0a b -+ ，∴102100a b a b +-=⎧⎨-+=⎩，解得：34a b =-⎧⎨=⎩，故答案为：-3，4．【小问2详解】过点B 作BM x ⊥轴于M ，设OC m =，三角形AOC 的面积+四边形OCBM 的面积=三角形ABM 的面积，∴111()222OA OC OC BM OM AM BM ⋅++⋅=⋅，即1113(4)144222m m ⨯++⨯=⨯⨯，解得：3m =，点C 的坐标为(0,3)，过点B 作BN y ⊥轴于N ，三角形ABP 的面积=三角形ACP 的面积+三角形BCP 的面积，∴111222OA CP BN CP ⋅+⋅=，即1131222CP CP ⨯⨯+=，6CP ∴=，∴点P 的坐标为(0,3)-或(0,9)．【小问3详解】点B 向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度到点A ，∵点D 向左平移4个单位长度后的对应点正好在y 轴上，∴点D 平移后的对应点恰好是点(0,4)E -，连接DQ ，过点Q 作QR x ⊥轴，如图所示：AE BD ∥，∴三角形ADQ 的面积=三角形ABQ 的面积，当三角形ABQ 的面积13=三角形ABD 的面积时，1433B QR y ==，当点Q 在第三象限时，∴14141(3)(4)()4323232x x +⨯++-=⨯⨯，解得：2x =-，当点Q 在第二象限时，∴11411634(3)()22323x x ⨯⨯+-⨯=-⨯，解得：4x =-，∴当三角形ABQ 的面积不超过三角形ABD 面积的13时，点Q 的横坐标x 的取值范围是42x -- ，且3x ≠-．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的面积，非负数的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．【6题答案】【答案】（1）（2，4），（-2，0），（4，0）（2）（52，3）（3）-7≤a≤-3且a≠-5【解析】【分析】（1）解方程组可求出B点坐标，解方程可求出A和C的坐标；（2）求出三角形ABC的面积=12，则可求出D点的纵坐标，代入2x+y=8求出x，可得答案；（3）设直线BA交直线y=-3于点F，过点B作x轴的垂线分别交x轴，直线y=-3于M，N，根据S△ABM+S梯形AMNF=S△FBN求出FN=7，得出S△ABE≤4，令S△ABE=4，得出方程|a+5|=2，解出a=-7或-3，则可得出答案．【小问1详解】解：∵m，n满足2 28m nm n-=-⎧⎨+=⎩，解得：24mn=⎧⎨=⎩，∴B（2，4），∵点A在x轴上，又在直线AB上，令y=0，则x-0=-2，∴x=-2，∴A（-2，0），同理，令y=0，∴2x+0=8，∴x=4，∴C（4，0），故答案为：（2，4），（-2，0），（4，0）；【小问2详解】∵B（2，4），A（-2，0），C（4，0）；∴AC=4+2=6，∴S△ABC=12AC×4=12×6×4=12，∵S△OCD=12S△ABC，∴S △OCD =12OC •y D =6，∴y D =3，代入2x +y =8得，x =52，∴D （52，3）；【小问3详解】设直线BA 交直线y =-3于点F ，过点B 作x 轴的垂线分别交x 轴，直线y =-3于M ，N ，∵S △ABM +S 梯形AMNF =S △FBN ，∴12×4×4+12（4+FN ）×3=12×FN ×7，∴FN =7，∴F （-5，-3），∵S △ABE ≤13S △ABC ，∴S △ABE ≤4，令S △ABE =4，∵S △BEF -S △AEF =S △ABE ，∴12|a +5|×7-12|a +5|×3=4，∴|a +5|=2，解得a =-7或-3，∵S △ABE ≤4，∴-7≤a ≤-3且a ≠-5．【点睛】本题是三角形综合题，考查了二元一次方程组的解法，坐标与图形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键．【7题答案】【答案】（1）2，6，5（2）（1，52 -）（3）存在，点Q的坐标为（-3，0）或（22，0）或（-18，0）【解析】【分析】（1）根据非负数的性质，即可解答；（2）根据△APO的面积是△ABC面积的一半列方程，即可解答；（3）存在，分三种情况：当∠DQM=90°时，点Q与A重合，此种情况不成立，有∠DMQ=90°和∠MDQ=90°，分情况正确画图，证明三角形全等，求出m的值，即可解答．【小问1详解】解：∵|a-2|=-（b-6）2，∴|a-2|+（b-6）2=0，∴a=2，b=6，∵（c-5）2≤0，（c-5）2≥0，∴c-5=0，∴c=5，故答案为：2，6，5；【小问2详解】∵a=2，b=6，c=5，∴A（2，0），B（0，6），C（2，5），∴AC∥y轴，AC=5，OB=6，AO=2，∵P（1，m），使得△APO的面积是△ABC面积的一半，∴S△APO=12S△ABC，∴12•2•（-m）=12×12×5×2，∴m=52 -，∴P（1，52 ）；【小问3详解】存在，①如图2，∠DMQ=90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点M作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH于G，过点Q作QH⊥GH于H，∵点M（m，-3m+6）在直线AB上，∴FM=m，QH=3m-6，∵AB⊥AD，∴∠BAD=∠BAO+∠DAE=90°，∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAE=∠ABO，∵AB=AD，∠AOB=∠AED=90°，∴△ABO≌△DAE（AAS），∴AE=OB=6，DE=OA=2，∵△DQM是等腰直角三角形，∴同理得△QHM≌△MGD（AAS），∴MG=QH=3m-6，∵OE=FG，∴2+6=m+3m-6，∴m=72，∴OQ=FH=HM-FM=DG-FM=2+3m-6-m=2m-4=7-4=3，∴Q（-3，0）；②如图3，∠MDQ=90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点D作DG⊥x轴于E，过点M作MG⊥DG于G，同理得△BOA≌△AED，△MGD≌△DEQ，∴DE=MG=OA=2，OE=2+6=8，∴OE=8=m+2，∴m=6，∴OQ=OE+EQ=OE+DG=8+2+3m-6=3m+4=22，∴Q（22，0）；③如图4，∠MDQ=90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点D作DE⊥x轴于E，过M作MG∥y轴，过点D作DG⊥MG于G，同理得：OA=DE=DG=2，∴m=2+6+2=10，∴OQ=EQ-OE=MG-OE=2+3m-6-8=18，∴Q（-18，0）；综上，点Q的坐标为（-3，0）或（22，0）或（-18，0）．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质及非负数的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形全等的性质和判定等知识，解决本题的关键是作辅助线构建三角形全等．【8题答案】【答案】（1）2，6，5（2）P（1，﹣52）（3）存在，点Q的坐标为（﹣3，0）或（22，0）或（﹣18，0）【解析】【分析】（1）根据非负数的性质，即可解答；（2）根据△APO的面积是△ABC面积的一半列方程，即可解答；（3）存在，分三种情况：当∠DQM=90°时，点Q与A重合，此种情况不成立，有∠DMQ=90°和∠MDQ=90°，分情况正确画图，证明三角形全等，求出m的值，即可解答．【小问1详解】解：∵|a﹣2|＝﹣（b﹣6）2，∴|a﹣2|+（b﹣6）2＝0，∴a＝2，b＝6，∵（c﹣5）2≤0，（c﹣5）2≥0，∴c﹣5＝0，∴c＝5，故答案为：2，6，5；【小问2详解】∵a＝2，b＝6，c＝5，∴A（2，0），B（0，6），C（2，5），∴AC∥y轴，AC＝5，OB＝6，AO＝2，∵P（1，m），使得△APO的面积是△ABC面积的一半，∴S△APO＝12S△ABC，∴12•2•（﹣m）＝12×12×5×2，∴m＝﹣52，∴P（1，﹣52）；【小问3详解】存在，①如图2，∠DMQ＝90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点M作GH∥x轴，过点D作DG⊥GH于G，过点Q作QH⊥GH于H，∵点M（m，﹣3m+6）在直线AB上，∴FM＝m，QH＝3m﹣6，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝∠BAO+∠DAE＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠DAE＝∠ABO，∵AB＝AD，∠AOB＝∠AED＝90°，∴△ABO≌△DAE（AAS），∴AE＝OB＝6，DE＝OA＝2，∵△DQM是等腰直角三角形，∴同理得△QHM≌△MGD（AAS），∴MG＝QH＝3m﹣6，∵OE＝FG，∴2+6＝m+3m﹣6，∴m＝72，∴OQ＝FH＝HM﹣FM＝DG﹣FM＝2+3m﹣6﹣m＝2m﹣4＝7﹣4＝3，∴Q（﹣3，0）；②如图3，∠MDQ＝90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点D作DG⊥x轴于E，过点M作MG⊥DG于G，同理得△BOA≌△AED，△MGD≌△DEQ，∴DE＝MG＝OA＝2，OE＝2+6＝8，∴OE＝8＝m+2，∴m＝6，∴OQ＝OE+EQ＝OE+DG＝8+2+3m﹣6＝3m+4＝22，∴Q（22，0）；③如图4，∠MDQ＝90°，△MDQ是等腰直角三角形，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，过M 作MG ∥y 轴，过点D 作DG ⊥MG 于G ，同理得：OA ＝DE ＝DG ＝2，∴m ＝2+6+2＝10，∴OQ ＝EQ ﹣OE ＝MG ﹣OE ＝2+3m ﹣6﹣8＝18，∴Q （﹣18，0）；综上，点Q 的坐标为（﹣3，0）或（22，0）或（﹣18，0）．【点睛】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质及非负数的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形全等的性质和判定等知识，解决本题的关键是作辅助线构建三角形全等．【9题答案】【答案】（1）()4,2A -、()4,6B（2）当点P 在AB 上方时，20PB A B PB '''∠-∠=︒；当点P 在AB 下方时，20B PB PB A '''∠-∠=︒（3）24n ≤≤【解析】【分析】（1）由非负数的性质求出a =-4，b =2，则可得出答案；（2）①当点P 在AB 上方时，如图1，过点P 作PQ ∥AB ，②当点P 在AB 下方时，如图2，过点P 作PQ ∥AB ，由平行线的性质可得出答案；（3）如图3，过点A 作AC ⊥x 轴于C 、过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，过点A '、B '构造矩形A 'GEF ，设M （0，m ），根据S 梯形ACDB =S 梯形ACOM +S 梯形OMDB 得出12×8×(2+6)＝12×（2+m ）+12×4×（6+m ），求出m =4，求出S △A ′B ′M =2n +16，解不等式组可得出答案．【小问1详解】解：0a +=，∴4020a b +=⎧⎨-=⎩，解得：42a b =-⎧⎨=⎩，∴()4,2A -、()4,6B ；【小问2详解】解：①当点P 在AB 上方时，如图1，过点P 作PQ AB ∥，∵由平移得：AB A B ''∥∴PQ A B ''∥∴QPB PB A '''∠=∠，20QPB PBA ∠=∠=︒∴20PB A QPB B PB QPB B PB PBA B PB ''''''∠=∠=∠+∠=∠+∠=∠+︒∴20PB A B PB '''∠-∠=︒②当点P 在AB 下方时，如图2，过点P 作PQ AB ∥，同①可证：20B PB B PQ QPB PB A PBA PB A ''''''∠=∠+∠=∠+∠=∠+︒∴20B PB PB A '''∠-∠=︒；【小问3详解】解：如图3，过点A 、B 构造梯形ABDC ，过点A '、B '构造矩形A GEF '，设()0,M m∵ACDB ACOM OMDBS S S =+梯形梯形梯形∴()()()111826246222m m ⨯⨯+=⨯++⨯⨯+解得：4m =如图3，过点A '、B '构造矩形A GEF '，∴A B M A GB MEB A FMA GEF S S S S S '''''''=---矩形△△△△()1118884488222n n =⨯-⨯⨯-⨯⋅-⨯⋅-64162324n n---+216n =+∵2024A B M S ''≤≤△∴201624n ≤+≤∴24n ≤≤；【点睛】本题是三角形综合题，考查了平方根与绝对值的非负性质、三角形面积计算、平面直角坐标系与点的坐标、平移的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平移的性质、平行线的性质是解题的关键．【10题答案】【答案】（1）()2,0, 3.D BC -=（2）43b =或 4.b =- （3）7m <-或 1.m >-【解析】【分析】（1）先由A 的坐标结合D 为OA 的中点可得D 的坐标，由B ，C 的坐标可得BC 的长度；（2）如图，当F 在线段BD 上时，过F 作FN AM ⊥于N ，连接OF ，由2BF DF =，:1:3,DOF BOD S S = 而()2,4,,,OD OB F a b == 再建立方程求解即可；当F 在BD 的延长线上时，如图，当F 在线段BD 的延长线上时，可得D 是线段BF 的中点，再利用中点坐标公式可得答案；（3）如图，过(),E x y 作EN AM ⊥于,N 作EK OB ⊥于,K 过C 作CH AM ⊥于,H 由,DOE BOE BOD S S S += 可得24,y x =+ 同理：由ACH AEH ECH S S S =+ 可得：7416,y x -= 再联立两个方程求解68,,55E ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭再求解11818||3|4|2255BCE E B B S C y y ∆=⋅-=⨯⨯-=，MCE AMC AME S S S ∆∆∆=-6|4|5m =+，再建立不等式，利用绝对值的含义解不等式即可．【小问1详解】解：(4,0)- A ，4,OA ∴=∵D 为OA 中点，2,OA ∴=∴()2,0,D -∵()()0,4,3,4,B C BC x ∴∥轴， 3.BC =【小问2详解】如图，当F 在线段BD 上时，过F 作FN AM ⊥于N ，连接OF ，90FND BOD ︒∴∠=∠=，∵2BF DF =，∴:2,BOF DOF S S =∴:1:3,DOF BOD S S = 而()2,4,,,OD OB F a b ==1212,13242b ⨯∴=⨯⨯ 解得：4.3b = 当F 在线段BD 的延长线上时，如图，∵2,BF DF =∴D 是线段BF的中点，∴4+20,b =⨯解得：4,b =- 综上：43b =或 4.b =-【小问3详解】如图，过(),E x y 作EN AM ⊥于,N 作EK OB ⊥于,K 过C 作CH AM ⊥于,H ,DOE BOE BOD S S S +=()1112442,222y x ∴⨯⨯+⨯⨯-=⨯⨯ 整理得：24,y x =+同理：由ACH AEH ECH S S S =+ 可得：7416,y x -=∴24,7416y x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩解得：65,85x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即68,,55E ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭ 11818||3|4|2255BCE E B C S B y y ∆=⋅-=⨯⨯-=∴，∵(),0,M m|4||4|AM m m ∴=--=+，MCE AMC AMES S S ∆∆∆=-∴11||||22C E AM y AM y =⋅-⋅118|4|4|4|225m m =⨯+⨯-⨯+⨯6|4|5m =+∵MCE △的面积大于BCE 的面积，618|4|55m ∴+>，解得：7m <-或 1.m >-【点睛】本题考查的是坐标与图形，中点坐标公式的应用，图形面积与坐标之间的关系，二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，熟练的求解（3）中的点E 的坐标是解本题的关键．【11题答案】【答案】（1）A （-12，0），B （-6，-6）（2）点P （-4，0）或（12，0）（3）2OPB QBCS S ∆∆=【解析】【分析】（1）根据OA =12可得 A 坐标，OC =6可得 C 坐标，再由BC ⊥y 轴，BC =OC =6可得B 坐标；（2）设运动时间为t 秒，然后分0＜t ＜4、t =4、t ＞4三种情况建立方程求解即可；（3）由运动可得OP =|12-3m |、QC =|6-32m |=12|12-3m |可得OP =2QC ，再结合△OPB 与△QBC 分别以OP ，OC 为底、高为6即可解答．【小问1详解】解：∵OA =12，BC ＝OC ＝6，∴A （-12，0），C （0，-6）∵BC ⊥y 轴于点C ，点B 在第三象限，∴B （-6，-6）．【小问2详解】解：设运动时间为t 秒，当点Q 在O 、C 之间，点P 在A 、O 之间时，即0<t <4，∵△PAB 的面积是△QBC 的面积的4倍，∴113364(6)6222t t ⋅⋅⋅=⨯-⋅，解得：t =83， ∴点P 的横坐标为83×3-12=-4，∴点P （-4，0）；当t =4时，不符合题意；当t >4时，∵△PAB 的面积是△QBC 的面积的4倍，∴113364(6)6222t t ⋅⋅=⨯-⋅，解答t =8，∴点P 的横坐标为83×8-12=12，∴点P （12，0）；综上，点P （-4，0）或（12，0）．【小问3详解】解：设运动时间为m ，由题意知，OP =|12-3m |，QC =|6-32m |=12|12-3m |，∴OP =2QC ，∵△OPB 与△QBC 分别以OP ，OC 为底，高为6，∴2OPB QBC S S ∆∆=．【点睛】本题主要考查了三角形的面积的计算方法、坐标与图形的性质等知识点，用方程和分类讨论的思想解决问题是解答本题的关键．【12题答案】【答案】（1）1,3a b ==-（2）NEQ EQP MNE ∠=∠+∠或360MNE NEQ EQP ∠+∠+∠=︒或PQF MNE NEQ ∠=∠-∠（3）①ADF BCF S S =△△；②m 的值为2-或5.【解析】【分析】（1）由由()0,4M 平移到()2,1P --确定平移的方式，从而可得答案；（2）分三种情况讨论：如图，当E 在NQ 的左边时，连接NQ ，如图，当E 在NQ 的右边，直线MN 的左边时，（包括E 在这两条直线上），如图，当E 在直线MN 的右边时，记直线MN 与EQ 的交点为F ，再根据平行线的性质，三角形的内角和定理与三角形的外角的性质可得答案；（3）①当01t <<时，如图，由题意可得：()()0,2,3,0,A B2,3,22,33,AD t BC t OD t OC t ===-=- 记四边形OCFD 的面积为m ，再分别表示两个三角形的面积即可得到答案；②由7,ABF S = 可得,C D 都在负半轴上，再分两种情况讨论：交点F 在第三象限，如图，证明2,3n m = 即2,,3F m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 作A ，F 作x 轴的平行线，过F ，B 作y 轴的平行线，交点分别即为L ，P ，Q ，则四边形LFQP 为矩形，再利用面积列方程，如图，当交点F 在第一象限，同理利用面积列方程即可．【小问1详解】解：由()0,4M 平移到()2,1,P -- 而()3,2N 平移到(),,Q a b∴321,253,a b =-==-=-【小问2详解】如图，当E 在NQ 的左边时，连接NQ ，由平移可得：,MN PQ ∥180,MNQ PQN EQP MNE ENQ EQN ∴∠+∠=︒=∠+∠+∠+∠180,NEQ ENQ EQN ∠+∠+∠=︒,NEQ EQP MNE ∴∠=∠+∠如图，当E 在NQ 的右边，直线MN 的左边时，（包括E 在这两条直线上），同理可得：180,180,MNQ PQN QNE NEQ NQE ∠+∠=︒∠+∠+∠=︒ 360,MNE NEQ EQP ∴∠+∠+∠=︒如图，当E 在直线MN 的右边时，记直线MN 与EQ 的交点为F ，同理：,PQF NFE ∠=∠ ,NFE MNE NEQ ∠=∠-∠ ∴PQF MNE NEQ∠=∠-∠【小问3详解】①当01t <<时，如图，由题意可得：()()0,2,3,0,A B 2,3,22,33,AD t BC t OD t OC t ===-=- 记四边形OCFD 的面积为m ，()123333,2ADF AOC S S m t m t m ∴=-=⨯⨯--=--()132233,2BCF BOD S S m t m t m =-=⨯⨯--=-- ∴.ADF BCF S S =②7,ABF S = 则,C D 都在负半轴上，交点F 在第三象限，如图，同理可得：,ADF BCF S S = 而(),,F m n()()1123,22t m t n ∴⨯-=⨯- 解得：2,3n m = 即2,,3F m m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭7,ABF S = 作A ，F 作x 轴的平行线，过F ，B 作y 轴的平行线，交点分别即为L ，P ，Q ，则四边形LFQP 为矩形，()()()2112123223237,322323m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∴---⨯⨯-⨯-⨯--⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得：2,m =-如图，当交点F 在第一象限，同理可得：()21211222337,323223m m m m m m ⎛⎫ ⎪---⨯⨯-⨯-= ⎪⎝⎭ 解得：5,m =综上：m 的值为2-或5.【点睛】本题考查的是坐标与图形，坐标系内图形的平移，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，利用割补法求解图形的面积，一元一次方程的应用，整式的乘法运算，本题的综合程度高，清晰的分类讨论是解本题的关键．【13题答案】【答案】（1）2P ，3P ；（2）1x - 或0x ；（3）1t 或7t 【解析】【分析】（1）根据点(,)P a b 满足1a b +>且1b a +>，则称点P 为“自大点”， a ，b 满足11b a -<-<，根据关系式逐个判断即可；（2）先求出点(23,2)N x +是“自大点”时x 的取值范围，再求点(23,2)N x +不是“自大点”时x 的取值范围即可；（3）根据“自大点”的纵横坐标满足的关系列出关系式求出t 的范围即可．【小问1详解】点(,)P a b 满足1a b +>且1b a +>，则称点P 为“自大点”，a ∴，b 满足11b a -<-<，1(1,0)P ，011-=-，故1(1,0)P 不是“自大点”，2P ，11-<，故2P 是“自大点”，31(2P -，1)3，111()132-<--<，故31(2P -，1)3是“自大点”，4(1,P -，(1)1--=4(1,P -不是“自大点”，故答案为：2P ，3P ；【小问2详解】如果点(23,2)N x +是“自大点”，则12(23)1x -<-+<，解得，10x -<<，故当1x - 或0x 时，点(23,2)N x +不是“自大点”，x ∴的取值范围是1x - 或0x ；【小问3详解】正方形ABCD 的初始位置是(0,6)A ，(0,4)B ，(2,4)C ，(2,6)D ，∴平移之后的坐标分别为(0,6)t -，(0,4)B t -，(2,4)C t -，(2,6)D t -，当A 点平移后的点是“自大点时”， 161t -<-<，解得，57t <<，故A 点平移后的点不是“自大点时”， 5t 或7t ，同理，当B 点和D 点平移后的点不是“自大点时”， 3t 或5t ，同理，当C 点平移后的点不是“自大点时”， 1t 或3t ，∴当平移后的正方形边界及其内部的所有点都不是“自大点”时，1t 或7t ，故答案为：1t 或7t ．【点睛】本题主要考查正方形的性质，坐标与图形的平移变化，根据题意，准确找出“自大点”的纵横坐标满足的关系是解答此题的关键．。
在平面直角坐标系xoy中,已知点a
在平面直角坐标系xoy中,已知点a
点a是一个平凡的点，它有着平凡的位置，位置就是在平面直角坐标系xoy中。
点a被写成坐标形式，它的横坐标为x，纵坐标为y。
在平面直角坐标系xoy中，点a的位置可以由x和y轴决定，我们可以使用点a的横坐标和纵坐标来计算它在xoy平面上的位置。
其实，点a还有更多有趣的信息，它也可以被用
来对xoy平面中的物体进行补充和分析。
点a所在的位置也可以用一些函数来描述，比如可以用圆心为原点、半径为2的圆来描述点a，也可以用一元二次函数来表示，比如y = 3x2 - 1。
由于x和y轴的定位，点a为平
面图形的锚点，它的位置也可以用于标记物体的位置或变形。
点a在xoy平面上的位置是它所属的空间中的位置，它可以被用来表示一个给定点相对于xoy平面上其他点的位置。
这一点也可以抽象为一个数学公式，表示点a在xoy平面上的
物理位置。
点a是一个一般的点，它的位置在平面直角坐标系xoy中，它的横坐标为x，纵坐标为y。
由点a的横纵坐标，我们可以计算它在xoy平面上的位置，而且点a的位置也可以用一些函数描述，它也可以被用来表示一个给定点相对于xoy平面上其他点的位置。
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(1)求C2的参数方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
4.圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝4co2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过圆O1、圆O2交点的直线的直角坐标方程．
在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.若直线l与曲线C交于A，B两点，则|AB|＝________.
在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
已知直线C1：(t为参数)，
圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；