高等数学期末复习(上)

高等数学期末总复习（上册）第一章函数与极限一、 复习重点：函数的概念、极限的概念、极限的求法和函数的连续性及间断点的概念。

二、 常用结论：1、 函数相等：定义域、对应法则相等；2、 函数的几种特性：函数的有界性 (上界、下界；有界、无界。

有界的充要条件：既有上界又有下界)；函数的单调性；函数的奇偶性(定义域对称、)(x f 与)(x f -关系决定，图形特点 (关于原点、Y 轴对称) ；函数的周期性(定义域中成立：)()(x f l x f =+)3、 函数极限的性质：极限的唯一性；局部有界性；局部保号性；函数极限与数列极限的关系4、 非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系；5、 无穷小的性质：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：（2）对于任意常数C ，数列{}n x c ⋅也是无穷小量：（3）无穷小与有界函数的积为无穷小；（4）两个无穷小量的积是一个无穷小量。

6、函数极限的四则运算：（1）)(lim )(lim ))()((lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→+=+；（2） )(lim ))((lim 0x f a x f a x x x x →→⋅=⋅；（3）)(lim )(lim ))()((lim 000x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=⋅；（4）βα==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→)(lim )(lim )()(lim 000x g x f x g x f xx x x x x 注：极限的四则运算成立的条件是函数f 和g 在点0x 极限存在。

7、两个重要极限：1sin lim 0=→xx x ；x x x tan lim 0→=1；x x x arcsin lim 0→=1；21cos 1lim 20=-→x x x ； e x x x x x x =+=+→∞→10)1(lim )11(lim ； ex x x 1)11(lim =-∞→ 8、求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用：230,~sin~tan,~arcsin,~arctan,~1,~ln(1),1~cos~,2111~,sin~,1~ln(0,1)6()0()()~sin().xxxx x x x x xx x x e x xx x xx x x x a x x a anx x x x xϕϕϕϕ→-+---->≠→当时，当时，以上等价关系中的换成后同样成立，如9、如果函数()xf当xx→时的左极限()()0lim-=-→xfxfxx=()0xf，右极限()()0lim+=+→xfxfxx=()0xf，那么就称函数()x fy=在点x连续。

10、函数的间断点下列三种情形之一：（1）在xx=没有定义；（2）虽在xx=有定义，但()xfxx0lim→不存在；（3）虽在xx=有定义，且()x fxx0lim→存在，但()()0lim xfxfxx≠→；则函数()xf在点x为不连续，而点x称为函数()x f的不连续点或间断点。

在x点左右极限都存在的间断点，称为第一类间断点，其中左右极限相等的称作可去间断，此时只要令())(xfxy-=，则在xx=函数就变成连续的了；左右极限不相等的间断点称作跳跃间断点。

左右极限至少有一个不存在的间断点称为第二类间断（无穷间断，震荡间断）。

11、反函数连续定理：如果函数fDxxfyf∈=)(:是严格单调增加（减少）并且连续的，则它的反函数1-f也是严格单调增加（减少）并且连续的；12、复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：))(lim())((limxgfxgfxxxx→→=；13、最大值和最小值定理：如果函数f在闭区间[]b a,上连续则它在[]b a,上有最大值和最小值；14、零点定理：如果函数f在闭区间[]b a,上连续，且f在区间[]b a,的两个端点异号：)(*)(<bfaf则至少有一个零点),(ba∈ξ，使0)(=ξf15、中值定理：如果函数f在闭区间[]b a,上连续，则f在[]b a,上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。

三、主要题型：1、计算题求极限（利用极限的运算法则、无穷小量的性质、等价无穷小替换等）；判断函数的连续性（间断点），特别是分段函数的连续性；2、证明题：函数的零点和方程的根（利用闭区间上连续函数的介值定理和零点定理）第二章 导数与微分一、复习重点：导数和微分的概念、导数和微分的运算法则。

二、常用结论：1、可导与连续的关系：可导一定连续，连续不一定可导；2、函数在点0x 处可导的充分必要条件是左导数()0x f -'和右导数()0x f +'都存在且相等：()()()h x f h x f x f h 0000lim-+='-→-，()()()hx f h x f x f h 0000lim -+='+→+。

3、和、差、积、商的求导法则（假定下面出现的函数都是可导的）： （1）()()[]()()x v x u x v x u '±'='±；（2）()()[]()()()()x v x u x v x u x v x u '+'='⋅；()[]()x u c x cu '='；()w uv w v u vw u uvw '+'+'='；（3）()()()()()()()x v x v x u x v x u x v x u 2'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡； 4、反函数的导数：若dxdy存在且不为零，则dxdy dy dx 1=； 5、复合函数的求导法则：设()u f y =，而()x u ϕ=且()u f 及()x ϕ都可导，则复合函数()[]x f y ϕ=的导数为dxdudu dy dx dy ⋅=或()()()x u f x y ϕ'⋅'='； 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形：设()u f y =，()v u ϕ=，()x v ψ=，则复合函数()[]{}x f y ψϕ=的导数为dxdvdv du du dy dx dy ⋅⋅=。

6、常数和基本初等函数的导数公式：（略）7、隐函数求导方法：（1）方程两端同时对x 求导数，注意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待，例如()y yy x '='1ln ；（2）从求导后的方程中解出y '来；（3）隐函数求导允许其结果中含有y 。

8、取对数求导法：对于幂指函数()()x v x u y =可以通过方程两端取对数化幂指函数为隐函数，从而求出导数y '（如：求()0sin >=x x y x的导数）；关于幂指函数求导，除了取对数的方法也可以采取化指数的办法.9、 由于对数具有化积商为和差的性质，因此我们可以把多因子乘积开方的求导运算，通过取对数得到化简（如：求()()()()4321----=x x x x y 的导数）。

10、高阶导数： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--11n n n n dx y d dx d dx y d 。

11、由参数方程()()⎩⎨⎧==t y t x ψϕ确定的函数的求导：()()t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=1，即 ()()t t dx dy ϕψ''=；二阶导数：()()()()()()()()t t t t t t dx dt t t dt d dx dy dx d dx y d ϕϕϕψϕψϕψ'⋅'''-'''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1222， 即 ()()()()()t t t t t dx y d 322ϕϕψϕψ'''-'''=12、奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数；13、函数()x f 在点0x 可微的充分必要条件是函数()x f 在点0x 可导，且()dx x f dy 0'=。

三、主要题型：计算题 利用求导法则计算函数的导数（一阶导数、高阶导数）和微分第三章 微分中值定理与导数应用一、复习重点：罗尔定理和拉格朗日定理、函数极值最值的概念、用导数判别函数的单调性和求极值的方法。

二、常用结论：1、 罗尔定理 如果函数)(x f 满足：（1）在闭区间],[b a 上连续, （2）在开区间),(b a 内可导, （3）在区间端点处的函数值相等，即)()(b f a f =, 那么在),(b a 内至少在一点)(b a <<ξξ , 使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)('=ξf .2、拉格朗日中值定理 如果函数)(x f 满足（1）在],[b a 上连续,（2）在),(b a 内可导, 那么在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ, 使得等式))(()()('a b f a f b f -=-ξ成立.3、洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的 方法称为洛必达法则。

注：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型00型和∞∞型：（1）∞⋅0型未定式的求法：,10∞⋅∞⇒∞⋅或0100⋅⇒∞⋅ （2）型∞-∞：0101-⇒∞-∞.0000⋅-⇒（3）型00,1,0.3∞∞： ⎪⎩⎪⎨⎧∞⋅⋅∞⋅−−→−⎪⎭⎪⎬⎫∞∞ln 01ln 0ln 01000取对数.0∞⋅⇒4、函数单调性的判定法 设函数)(x f y =在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导.(1) 如果在),(b a 内0)(>'x f , 那么函数单调增加;(2) 如果在),(b a 内0)(<'x f , 那么函数单调减少.说明: 如果函数在定义区间上连续, 除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续, 那么只要用方程0)(='x f 的根及导数不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间, 就能保证)(x f '在各个部分区间内保持固定的符号, 因而函数)(x f 在每个部分区间上单调.5、曲线凹凸性的判定 设)(x f 在],[b a 上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在),(b a 内0)(>'x f , 则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的; (2)若在),(b a 内0)(<'x f , 则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的. 确定曲线)(x f y =的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数)(x f y =的定义域;(2)求出在二阶导数)(x f ' ;(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点;(4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 6、 函数的极值及其求法：（1） 极值与水平切线的关系: 在函数取得极值处, 曲线上的切线是水平的. 但曲线上有水平切线的地方, 函数不一定取得极值.；（2）可导函数)(x f 的极值点必定是函数的驻点. 但是反过来, 函数)(x f 的驻点却不一定是极值点.（3）(第一种充分条件) 设函数)(x f 在点0x 处连续, 在0x 的某去心邻域),(0δx U ︒内可导. (i) 若),(00x x x δ-∈时，0)(>'x f ,（左升） 而),(00δ+∈x x x 时，0)(<'x f ,（右降） 则函数)(x f 在0x 处取得极大值;(ii) 若),(00x x x δ-∈时，0)(<'x f ,（左降） 而),(00δ+∈x x x 时，0)(>'x f , （右升）则函数)(x f 在0x 处取得极小值;(iii)如果),(0δx U x ︒∈时，)(x f '不改变符号, 则函数)(x f 在0x 处没有极值. （4）确定极值点和极值的步骤: (i) 求出导数)('x f ;(ii) 求出)(x f 的全部驻点和不可导点;(iii) 列表判断(考察)('x f 的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况, 以便确定该点是否是极值点, 如果是极值点, 还要按定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值);(iv) 确定出函数的所有极值点和极值.7、极值与最值的关系: 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续, 则函数的最大值和最小值一定存在. 函数的最大值和最小值有可能在区间的端点极值点取得, 如果最大值不在区间的端点取得, 则必在开区间),(b a 内的极值点取得。