高等数学上册知识点总结

高等数学上册第一章 函数与极限 （一） 函数1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；2、 反函数、复合函数、函数的运算；3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续 )()(lim 00x f x f xx =→第一类： 左右极限均存在。

间断点 可去间断点(f(x 0-)=f(x 0+))、跳跃间断点(f(x 0-)≠f(x 0+)) 第二类： 左右极限、至少有一个不存在。

无穷间断点(∞=→f(x)lim ax )、振荡间断点f(x)在x 。

处可导，则f(x)在x 。

处必连续。

5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论。

（二） 极限 1、 定义 1） 数列极限εε<->∀N ∈∃>∀⇔=∞→a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限A f(x) 时， δx x 0 当 x, 0,δ 0,εA f(x)lim 0x x 0<-<-<∀>∃>∀⇔=→左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(00x f x f xx +→+= )f(x )f(x 存在 A f(x)lim 00x x 0+-→=⇔=2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤2）a z y n n n n ==→∞→∞lim lima x n n =∞→lim2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。

3、 无穷小（大）量1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量。

2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小Th1：)(~ααββαo +=⇔;Th2：αβlim αβlim 存在，则αβlim ,β~β,α~α''=''''（无穷小代换）4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则；3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限：a) 1sin lim 0=→xx x b)e x x xx xx =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1补充： e )□1(1□=+1x xx l i m=→5） 无穷小代换：（0→x ）a) 1~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~-xe x x x x xb) 221~cos 1x x -n x 3n n!2x Inx <<<<第二章 导数与微分 （一） 导数1、 定义：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→左导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→-右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+函数)(x f 在0x 点可导)()(00x f x f +-'='⇔2、 几何意义：)(0x f '为曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处的切线的斜率。

3、 可导与连续的关系：4、 求导的方法1） 导数定义； 2） 基本公式； 3） 四则运算；4） 复合函数求导（链式法则）； 5） 隐函数求导数； 6） 参数方程求导； 7） 对数求导法。

5、 高阶导数1） 定义：⎪⎭⎫⎝⎛=dx dy dx d dx y d 22 2）莱布尼茨公式：()∑=-=nk k n k k n n v u C uv 0)()()( 6、 导数公式：arccosx+arcsinx=2πarccotx+arctanx=2π（二） 微分1） 定义：)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，其中A 与x ∆无关。

2） 可微与可导的关系：可微⇔可导，且dx x f x x f dy )()(00'=∆'=第三章 微分中值定理与导数的应用 （一） 中值定理1、 罗尔定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈； 3）)()(b f a f =；则0(ξ)f 使b),(a,ξ='∈∃. 2、 拉格朗日中值定理：若函数)(x f 满足：1）],[)(b a C x f ∈； 2）),()(b a D x f ∈；则a)(ξ)(b f f(a)使f(b)b),(a,ξ-'=-∈∃. 3、 柯西中值定理：若函数)(),(x F x f 满足： 1）],[)(),(b a C x F x f ∈； 2）),()(),(b a D x F x f ∈；3）),(,0)(b a x x F ∈≠'则(ξ)F (ξ)f F(a)F(b)f(a)f(b)使b),(a,ξ''=--∈∃（二） 洛必达法则1.尽量先化简（有理数、无穷小代换、分离非零因子）在用洛必达法则 如：xtan cosxx 1420n lim--→ 2.对于某些数列极限问题，可化为连续变量的极限，然后用用洛必达法则如： nn nn )2b a (lim +∞→3.洛必达法则是一种很有效的方法，但不是万能的如： x cosx x 2n lim ++∞→ （三） 泰勒公式n 阶泰勒公式：10)1(00)(200000)()!1()()(!)( )(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξξ在0x 与x 之间.当00=x 时，成为n 阶麦克劳林公式：1)1()(2)!1()(!)0(!2)0(!1)0()0()(++++++''+'+=n n n n xn f x n f x f x f f x f ξξ在0与x 之间.常见函数的麦克劳林公式：1）12)!1(!1!211+++++++=n n x x n e x n x x e ξξ在0与x 之间，+∞<<∞-x ；2）12121753)!12(2)12(sin )!12()1(!7!5!3sin +--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++--++-+-=m m m x m m m x x x x x x πξξ在0与x 之间，+∞<<∞-x ；3）m m m x m m m x x x x x 2221642)!2(22cos )!22()1(!6!4!21cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅++--++-+-=--πξξ在0与x 之间，+∞<<∞-x ；4）111432)1)(1()1()1(432)1ln(++-++-+-++-+-=+n n n nn n x n x x x x x x ξξ在0与x 之间，11<<-x5）nxn n x x x x !)1()1(!3)2)(1(!2)1(1)1(32+--++--+-++=+αααααααααα11)!1()1)(()1(+--++--+n n x n n αξααα ，ξ在0与x 之间，11<<-x .（四） 单调性及极值1、 单调性判别法：],[)(b a C x f ∈，),()(b a D x f ∈，则若0)(>'x f ，则)(x f 单调增加；则若0)(<'x f ，则)(x f 单调减少。

2、 极值及其判定定理：a) 必要条件：)(x f 在0x 可导，若0x 为)(x f 的极值点，则0)(0='x f .b) 第一充分条件：)(x f 在0x 的邻域内可导，且0)(0='x f ，则①若当0x x <时，0)(>'x f ，当0x x >时，0)(<'x f ，则0x 为极大值点；②若当0x x <时，0)(<'x f ，当0x x >时，0)(>'x f ，则0x 为极小值点；③若在0x 的两侧)(x f '不变号，则0x 不是极值点。

c) 第二充分条件：)(x f 在0x 处二阶可导，且0)(0='x f ，0)(0≠''x f ，则①若0)(0<''x f ，则0x 为极大值点；②若0)(0>''x f ，则0x 为极小值点。

3、 凹凸性及其判断，拐点1）)(x f 在区间I 上连续，若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +<+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凹的；若2)()()2( ,,212121x f x f x x f I x x +>+∈∀，则称)(x f 在区间I 上的图形是凸的。

2）判定定理：)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 上有一阶、二阶导数，则a) 若0)(),,(>''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凹的； b) 若0)(),,(<''∈∀x f b a x ,则)(x f 在],[b a 上的图形是凸的。

3）拐点：设)(x f y =在区间I 上连续，0x 是)(x f 的内点，如果曲线)(x f y =经过点))(,(00x f x 时，曲线的凹凸性改变了，则称点))(,(00x f x 为曲线的拐点。

（五） 不等式证明1、 利用微分中值定理；2、 利用函数单调性；3、 利用极值（最值）。

（六） 方程根的讨论1、 连续函数的介值定理；2、 罗尔定理；3、 函数的单调性；4、 极值、最值；5、 凹凸性。

（七） 渐近线1、 铅直渐近线：∞=→)(lim x f ax ，则a x =为一条铅直渐近线； 2、 水平渐近线：b x f x =∞→)(lim ，则b y =为一条水平渐近线； 3、 斜渐近线：k xx f x =∞→)(lim b kx x f x =-∞→])([lim 存在，则b kx y +=为一条斜渐近线。

（同一方向上，水平和斜渐近线不同时存在。

）第四章 不定积分 （一） 概念和性质1、 原函数：在区间I 上，若函数)(x F 可导，且)()(x f x F ='，则)(x F 称为)(x f 的一个原函数。