矩阵二次型

不是二次型。
只含有平方项的二次型
f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）．
例如
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的表示方法
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
若C 是正交矩阵，则称线性变换（2）是正交线性变换
二次型研究的主要问题是：
寻找可逆变换
，x使 Cy
nn
f ( x)
aij xi x j
i 1 j1
T
，则T对称阵 称为
f f 二次型 的矩阵；二次型 称为对称阵 的
二次型；
A A
A ➢二次型的矩阵 满足：
A a x ⑴ 的对角元 是 的系数； 2
ii
i
⑵ A的 (i, j)元(i是 j x )系数的一半. i x j
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
( x1,
x2 ,,
xn)
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
a1n a2n
xn xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
a11
x1
,
x2
,,
xn
a21
a12
a22
a1n x1 a2n x2
an1 an2 ann xn
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
例１ 写出二次型 f x12 2x22 3x32 4x1x2 6x2 x3
的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
称为由变量x1, x2 ,, xn到变量y1, y2 ,, yn 的一个线性变换.
c 记C ( ), ij
系数 矩阵
c11
C
c21
c12
c22
c1n cHale Waihona Puke Baidun
cn1 cn2 cnn
x 1
X
x2
x n
y 1
Y
y2
yn
则线性变换可记作： X CY
若C 是可逆矩阵，则称线性变换（2）是非退化线性变换
第八章 二次型
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量 x1, x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
称为二次型.
当aij是复数时, f称为复二次型 当aij是实数时, f称为实二次型
解： f ( x1 , x2 , x3 )
1 2
2 x12 x22 x32 2 3 x1 x2 x1 x3
3
1
2
1 0
0 －1
例3：已知二次型 f的秩为2，求参数c。
f ( x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22 cx32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3
5 1 3
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
二次型用和号表示
n
aij xi x j i , j1
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
x2 (a21 x1 a22 x2
xn (an1 x1 an2 x2
a2n xn ) ann xn )
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn ) x2 (a21 x1 a22 x2 a2n xn ) xn (an1 x1 an2 x2 ann xn )
记
a11
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
x1
x
x2
,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
则 f xT Ax,
——二次型的矩阵表示式
A 其中 为对称阵：
. AT A
说明
➢对称阵与二次型一一对应；
f x Ax ( A A) ➢若
1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
练习 求二次型 f的矩阵
(1) f ( x1, x2 , x3 ) x12 2 x22 2 x1 x2 3 x2 x3
1 1 0
解： A 1
2
3
2
0
3
0
2
(2) f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x12 2x22 7 x42 2x1x2 2x2 x3 4x3 x4
1 1 0 0
解：
A
1
2
1
0
0 1 0 2
0
0
2
7
(3) f ( x ,, x ) x x x x x x
1
n
12
23
n1 n
0
1 2
0
0
1 2
0
1 2
0
解：A
0
1 2
0
0
0
0
0
0
0 0 0
1
2
0
0
0
1
2
0
－2
例2：求对称矩阵 A所对应的二次型。 A 3
（我们仅讨论实二次型）
例如： f ( x, y) x2 4 xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
f (x, y) x2 y2 5 f (x, y) 2x2 y2 2x
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
取 a ji aij ,
2a x x a x x a x x 则
,
ij i j
ij i j
ji j i
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
解：A
1 3
5 3
3 c
r( A) 2 A 0 c3
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
设 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn ,
x2 c21 y1 c22 y2 c2n yn
,
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn