三个天体问题中的常见疑难解析
专题天体运动的三大难点破解剖析宇宙中的双星三星模型讲义
二、重难点提示：重点：1.根据万有引力定律求解双星、三星模型的周期，线速度等物理量；2. 双星、三星两种模型的特点。
难点：双星、三星模型的向心力来源。
一、双星模型绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示，双星系统模型有以下特点：（1）各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供即221LmGm＝m1ω21r1，221LmGm＝m2ω22r2；（2）两颗星的周期及角速度都相同即T 1＝T 2，ω1＝ω2；（3）两颗星的半径与它们之间的距离关系为r 1＋r 2＝L ；（4）两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比即1221r r m m =； （5）双星的运动周期T ＝2π)(213m m G L +；（6）双星的总质量公式m 1＋m 2＝GT L 2324π。
二、三星模型第一种情况：三颗星连在同一直线上，两颗星围绕中央的星（静止不动）在同一半径为R 的圆轨道上运行。
特点：1. 周期相同； 2. 三星质量相同； 3. 三星间距相等；4. 两颗星做圆周运动的向心力相等。
原理：A 、C 对B 的引力充当向心力，即：，可得：GmR T 543π=，同理可得线速度：R GmR 25。
第二种情况：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行。
特点：1. 运行周期相同； 2. 半径相同； 3. 质量相同； 4. 所需向心力相等。
原理：B 、C 对A 的引力的合力充当向心力，即：r Tm R Gm F 2222430cos 2π==︒合，其中R r 33=，可得：运行周期GmRRT 32π=。
例题1 如图，质量分别为m 和M 的两颗星球A 和B 在引力作用下都绕O 点做匀速圆周运动，星球A 和B 两者中心之间距离为L 。
已知A 、B 的中心和O 三点始终共线，A 和B 分别在O 的两侧。
引力常数为G 。
（1）求两星球做圆周运动的周期。
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A 和B ，月球绕其轨道中心运行的周期记为T 1。
天体物理学中的疑难问题和挑战
天体物理学中的疑难问题和挑战天体物理学是一门历史悠久、广泛而深奥的学科，探讨的是宇宙中的恒星、行星、星云、星系等天体物理现象和它们之间的相互作用。
在探索宇宙奥秘的过程中，天体物理学遇到了一系列复杂的问题和挑战。
本文将以此为主题，探讨天体物理学中的疑难问题以及挑战。
一、黑洞黑洞是天体物理学中最神秘的领域之一，在物质坍缩到一定程度时形成的一种天体。
其扭曲时空奇点不断收缩且不能透过光等常见物质，因此得名黑洞。
虽然黑洞是一种很小的天体，但是其吸力极大，任何进入其吸引范围的物质都无法逃脱，因此成为了科学家们挑战的难点之一。
目前，科学家们一直在努力寻找更多的证据和理论来解释黑洞的形成和内部的奇异现象，希望能够进一步探索黑洞的秘密。
二、暗物质暗物质是当今天体物理学的另一个难题。
它是一种非常特殊的物质，它不会发射出电磁波，不受电磁场作用，也不与我们熟知的物质相互作用，但它的存在却可以通过引力作用被观测到。
暗物质在引力和宇宙学中扮演着重要的角色，尤其在处理宇宙学难题时显得格外关键。
不过，目前除了引力这一特征之外，我们对暗物质的了解还非常有限。
因此，科学家们在研究暗物质时也面临着种种挑战，努力寻找更多的实证和理论还有待进一步的探索和研究。
三、初期宇宙天体物理学还在探寻宇宙的初期状态，这也是一个令人挑战的难题。
宇宙大爆炸是一种相对而言比较成熟的理论来阐释宇宙的形成，但是它依然存在一些问题和疑问，比如初期宇宙存在的粒子、辐射、背景时空结构、物质的聚集和晚期宇宙那么广泛普遍的结构等等。
天体物理学家想要对这一问题做出深奥的阐述，就需要更好地利用现代科技手段来探测和研究宇宙。
四、恒星演化天体物理学探讨的还有恒星演化，也是一个充满疑问和挑战的方向。
恒星的年龄长，生命期长，生命过程复杂，演化环节很多，有多种可能性。
从理论上讲，恒星的起源应该是夸克云，可由于这一过程涉及到多个方面，如化学，物理学，天文学等，因此恒星的演化和寿命的推算是一项复杂的任务。
天体运动问题的解析与解决技巧
天体运动问题的解析与解决技巧一、引言天体运动是天文学的重要研究领域之一，涉及天体的运行轨迹、相互作用等诸多问题。
本文将对天体运动问题进行解析和解决技巧的介绍，以帮助读者更好地理解和应用天体运动的知识。
二、开普勒运动定律1. 第一定律：行星绕太阳运动的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
2. 第二定律：行星和太阳连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3. 第三定律：行星绕太阳的公转周期的平方与其椭圆轨道长半轴的立方成正比。
三、牛顿引力定律与开普勒定律的关系开普勒定律是基于行星运动的观测得出的经验定律，而牛顿引力定律则给出了这种运动的物理解释。
牛顿引力定律表明，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离平方成反比。
应用牛顿引力定律可以推导出开普勒定律中的第三定律。
四、太阳系中的行星运动问题1. 行星轨道的计算：根据开普勒的第一定律，行星轨道可以用椭圆方程来表示。
根据已知的观测数据和开普勒定律，可以计算出行星轨道的要素，如长半轴、离心率等。
2. 行星运动的周期：应用开普勒第三定律，可以根据行星轨道的长半轴计算其公转周期。
这对于了解行星的运动规律以及天文观测具有重要的意义。
五、重力势能和动能在天体运动中的应用1. 重力势能：在天体运动中，行星与星体之间的引力势能是一个重要的物理量。
计算行星在不同位置的重力势能可以帮助我们理解行星运动过程中的能量转化。
2. 动能：行星的质量、速度以及位置都与其动能有关。
通过计算行星在不同位置的动能，可以研究行星在运动过程中的机械能守恒、轨道变化等问题。
六、数值模拟与计算机模型随着计算机技术的进步，数值模拟和计算机模型在解决天体运动问题中发挥了重要的作用。
通过建立数值模型和计算机模拟，可以模拟天体之间的相互作用，预测行星轨道的演化情况，以及解决一些复杂的天体运动问题。
七、误差分析与实际观测在天体运动的研究中，误差分析是一个不可忽视的问题。
由于观测条件等各种因素的限制，观测数据中常常存在一定的误差。
天体运动常见问题总结解析
天体运动常见问题总结解析问题9：会讨论重力加速度g 随离地面高度h 的变化情况。
例15、设地球表面的重力加速度为g,物体在距地心4R （R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g ,，则g/g ,为A 、1；B 、1/9；C 、1/4；D 、1/16。
分析与解：因为g= G2RM ,g , = G 2)3(R R M +,所以g/g ,=1/16,即D 选项正确。
问题10：会用万有引力定律求天体的质量。
通过观天体卫星运动的周期T 和轨道半径r 或天体表面的重力加速度g 和天体的半径R ，就可以求出天体的质量M 。
例16、已知地球绕太阳公转的轨道半径r=1.49?1011m, 公转的周期T=3.16?107s,求太阳的质量M 。
分析与解：根据地球绕太阳做圆周运动的向心力来源于万有引力得：G2r Mm =mr(2π/T)2M=4π2r 3/GT 2=1.96 ?1030kg.例17 、宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。
经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。
若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 。
已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。
求该星球的质量M 。
分析与解：设抛出点的高度为h,第一次平抛的水平射程为x,则有x 2+h 2=L 2由平抛运动规律得知，当初速度增大到2倍时，其水平射程也增大到2x,可得（2x ）2+h 2=(3L)2设该星球上的重力加速度为g ，由平抛运动的规律得： h=21gt 2由万有引力定律与牛顿第二定律得： mg= G2RMm联立以上各式解得M=22332GtLR 。
问题11：会用万有引力定律求卫星的高度。
通过观测卫星的周期T 和行星表面的重力加速度g 及行星的半径R 可以求出卫星的高度。
例18、已知地球半径约为R=6.4?106m,又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，则可估算出月球到地球的距离约 m.(结果只保留一位有效数字)。
天体问题“一、二、三
天体问题“一、二、三”万有引力定律揭示了自然界中物体同普遍存在的一种基本相互作用规律和行星运动的本质原因，从此把地上的运动和天上的运动统一起来。
万有引力定律的具体应用有：根据其规律发现新的天体。
计算天体质量和密度，研究天体的运动规律等，同时也是现代空间技术的理论基础。
这一部分内容公式变化多，各种关系复杂，是高考的热点。
也是学习的难点。
为了在学习中深刻理解天体问题的本质，要学习并掌握以下三点。
一、建立一种模型天体有自然天体（如地球、月亮）和人造天体（如宇宙飞船、人造卫星）两种，无论是哪种天体，不管它的体积有多大，在分析天体问题时，首先应把研究对象看作质点，人造天体直接看作一个点，自然天体看作是位于球心位置的一个点。
这样，天体的运动就抽象为一个质点绕另一个质点的匀速圆周运动模型。
二、掌握两条思路和估算天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合应用，解决问题的基本思路有两条：思路1 利用在中心天体表面或附近，万有引力近似等于重力。
G=mg0（g0表示天体表面的重力加速度）注意：在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g0时，常运用GM=g0R2作为桥梁，可以把“地上”和“天上”联系起来，由于这种代换的作用巨大，此式通常称为黄金代换式。
思路2 利用万有引力提供向心力，由此得到一个基本方程G=ma式中a表示向心加速度，而向心加速度又有a=、a=ω2r、a=ωv、a= 、a=g这样几种表达形式，要根据具体问题，把这几种表达式代入方程，讨论相关问题。
估算1 估算天体质量行星质量的估算：如果行星的质量为M，行星的半径为R，近地卫星的质量为m。
因万有引力充当向心力，据向心力公式得：（a）当知近地卫星的线速度v时，有：，则M=。
（b）当知近地卫星的角速度w时，有：=mRw2，则M=。
（c）当知近地卫星的周期T时，有：，则M=。
（d）当知近地卫星的线速度v、角速度w时，依据（a）中的结论M=和v=wR应有：M=。
24 第五章 素养提升课(五) 天体运动中的三类典型问题
知识，可以估算出这一时刻两颗中子星
A自的自转角速度
BC [两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示
每秒转动 12 圈，则角速度已知。中子星运动时，由万有引力提供向心
力得
G
m1m2 l2
＝
m1ω2r1
，
G
m1m2 l2
＝ m2ω2r2 ， l ＝ r1 ＋ r2 ， 可 得
√B．下一次的“木星冲日”时间肯定在2023年
C．木星运行的加速度比地球的大 D．木星运行的周期比地球的小
B [设太阳质量为 M，行星质量为 m，轨道半径为 r，周期为 T，加
速度为
a。对行星由牛顿第二定律可得
Mm G r2
＝ma＝m4Tπ22
r，解得
a
＝GrM2 ，T＝2π
r3 GM
，由于木星到太阳的距离大约是地球到太阳距
测器则会在最短的时间内向火星迈进，无论是风险还是燃料都是最有
保障的。地球围绕太阳公转的一个周期大约是365天，而火星则是687
天，近似认为火星公转周期是地球的2倍。如果错过了这个机会，则
下次发射火星探测器的最佳日期大约为
A．2021年7月20日 C．2023年7月20日
√B．2022年7月20日
D．2024年7月20日
G（m1＋m2） l2
＝ω2l，所以 m1＋m2＝ωG2l3
，质量之和可以估算；由线
速度与角速度的关系 v＝ωr 得 v1＝ωr1，v2＝ωr2，可得 v1＋v2＝ω(r1 ＋r2)＝ωl，速率之和可以估算；质量之积和各自的自转角速度无法求 解，故选 BC。]
考向2 三星模型
图例
向心力来源
各星所受万有引力的合力提供圆周运动的向心力
高考物理复习：天体运动中的三类问题
C.线速度的大小关系为va<vc<vb
D.向心加速度的大小关系为aa<ac<ab
解析:质量未知,无法比较向心力大小,故 A 错误。静止卫星和赤道上静止的
物体周期相等,角速度相等,ωa=ωc,而 rb<rc,根据 ω=
'
可知,ωc<ωb,所以
3
ωa=ωc<ωb,根据角速度和周期的关系可知,Ta=Tc>Tb,故 B 错误。a、c 角速度
地
小。由
2
4π2
=m
2
公式可知,做圆周运动的半径越小,则运动周期越小。由于
需要三颗卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通信,所以由几何关系
可知三颗静止卫星的连线构成等边三角形并且三边与地球相切,如图。
3
由几何关系可知地球静止卫星的轨道半径为 r'=2R。由开普勒第三定律 2 =k,
(+ℎ)
地
3
h=
Gm T2
地
42
-R=3.6×107 m=6R。
Gm
地
(5)速率一定:v= R+h =3.1×103 m/s。
m m
(6)向心加速度一定:由 G
地
(R+h)
2 =man 得 an=
Gm
地
2 =0.23
(R+h)
m/s2,即地球静止卫星
的向心加速度等于轨道处的重力加速度。
(7)绕行方向一定:运行方向与地球自转方向一致。
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
赤道上物体、近地卫星与静止卫星的差异(师生共研)
整合构建
1.近地卫星、静止卫星及赤道上物体的比较
专题：天体运动的三大难点破解1 深度剖析卫星的变轨(讲义)
专题：天体运动的三大难点破解1 深度剖析卫星的变轨（讲义）大，所需向心力增大，万有引力不足，离心运动进入轨道2沿椭圆轨道运动，此过程为离心运动；到达B点，万有引力过剩，供大于求做近心运动，故在轨道2上供需不平衡，轨迹为椭圆，若在B点向后喷气，增大速度可使飞船沿轨道3运动，此轨道供需平衡。
2. 回收变轨在B点向前喷气减速，供大于需，近心运动由3轨道进入椭圆轨道，在A点再次向前喷气减速，进入圆轨道1，实现变轨，在1轨道再次减速返回地球。
三、卫星变轨中的能量问题1. 由低轨道到高轨道向后喷气，卫星加速，但在上升过程中，动能减小，势能增加，增加的势能大于减小的动能，故机械能增加。
2. 由高轨道到低轨道向前喷气，卫星减速，但在下降过程中，动能增加，势能减小，增加的动能小于减小的势能，故机械能减小。
注意：变轨时喷气只是一瞬间，目的是破坏供需关系，使卫星变轨。
变轨后稳定运行的过程中机械能是守恒的，其速度大小仅取决于卫星所在轨道高度。
3. 卫星变轨中的切点问题【误区点拨】近地点加速只能提高远地点高度，不能抬高近地点，切点在近地点；远地点加速可提高近地点高度，切点在远地点。
例题1 如图所示，发射同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行；最后再次点火将其送入同步圆轨道3。
轨道1、2相切于P 点，2、3相切于Q 点。
当卫星分别在1、2、3上正常运行时，以下说法正确的是（ ）A. 在轨道3上的速率大于1上的速率B. 在轨道3上的角速度小于1上的角速度C. 在轨道2上经过Q 点时的速率等于在轨道3上经过Q 点时的速率D. 在轨道1上经过P 点时的加速度等于在轨道2上经过P 点时的加速度思路分析：对卫星来说，万有引力提供向心力，222GMm v m mr ma r r ω===，得GM v r =3r GM =ω，2r GM a =，而13r r >，即31v v <，31ωω<，A 不对，B 对。
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三个“天体问题”中的常见疑难解析
物理难学已成为大多数师生的“共识”，在“万有引力与航天”一节中，更是让广大学生“疑云重重”，出现很多疑难问题，而在学习中，疑难问题的解决与否、解决效果的好坏都直接影响着学习质量。
为了提高学习质量，提高考试成绩，很多老师在面对疑难问题时采取最多的方法就是加强练习，单纯地认为靠着反复训练就能解决问题，但事实上却不是这样，往往是“学生做了N 次，老师讲了N 次，到最后学生还是遇事则迷，不会解答”。
产生这一后果的原因，其实就是因为太过于重视知识的记忆与训练，而不重视知识的构架与延伸，没有让学生知其然更知其所以然。
笔者针对“天体问题”中学生最易产生疑惑的三个问题，谈谈如何让学生摆脱疑惑，掌握知识。
问题1、变轨问题
疑惑1：同步卫星发射过程中进行轨道变化时，为什么需要加速？
要解决这个问题，关键是要明确“实际提供的离心力”和“需要的离心力”这2个概念，不明确这一点，就很难解决这个疑惑。
在天体问题中，实际提供的离心力一般是由万有引力提供的，即F 实=2
GMm r ；运动需要的离心力可由公式F 需=2
mv r 求得。
因此变轨问题就转化为比较2GMm r 和2mv r
的问题，这样会更容易接受和理解。
【情景分析1】如图1所示,设卫星在近地圆轨道I 上B 点的速率为1v ，在椭圆
轨道II 经过B 点的速率为2v ，在椭圆轨道II 经过A 点的速率为3v ，在圆轨道III
经过A 点的速率为4v ．
卫星速率为1v 时做半径为1r 的圆周运动，满足21211
mv GMm r r =；如果想使卫星从B 点开始做离心运动，需要满足22211
mv GMm r r <，所以必须通过加速使得21v v >． 卫星在椭圆轨道中的A 点做近心运动，满足23222
mv GMm r r >；如果想使卫星从A 点开始做圆周运动，需要满足24222
mv GMm r r =，所以必须通过加速使得43v v >． 疑惑2：卫星在圆轨道和椭圆轨道同一位置时加速度大小怎么相等？
我们首先要分清需要的加速度和实际的加速度，万有引力2GMm r
提供实际的加速度，物体需要的加速度由2
mv r
求得．只有在圆轨道中，二者才相等，称为“供求平衡”；在椭圆轨道中，二者不再相等，要区分清楚． 同样以上面的情景分析1的运动情景为例，任何情况下都是由万有引力来提供加速度，所以“2GM a r
=”恒成立，在椭圆轨道上的B 点和圆轨道上的B 点，卫星的加速度（实际加速度）相同，卫星需要的加速度不同，也正因为提供的加速度相同，需要的加速度不同，卫星才会从同一位置做不同的运动．
只要是同一位置，物体的实际加速度就相同．
问题2、公式选择选择问题
在天体问题中，涉及公式大体有下面几个：
2
2222()Mm v G m r m m r ma r T r
πω==== 常用到的导出公式有：
v
ω
T 2GM a r =． 这些公式，学生往往每个都背得滚瓜烂熟，但是在解决问题时就是不知道要选用哪个。
首先，让我们来观察和分析以上公式：
仔细观察上面每个公式，不难发现：各个物理量都和星体的轨道半径有关，我们可以称它为“核心物理量”，任何物理量的变化，都会引起核心物理量的变化，通过核心物理量而影响到各个其他各个相关物理量。
抓住这个“核心物理量”，就能更清晰的分析各类问题了。
当某个物理量确定时，其他所有的有关物理量都是确定的，比如，对于地球同步卫星，由于周期确定，所以轨道半径、线速度、角速度、加速度、卫星到地面的高度就都是确定的，所以所有的同步卫星都处于同一个轨道圆内． 只有卫星做圆周运动时，22222()Mm v G m r m m r r T r πω===
，才成立，所以v
、ω
、T 2Mm G ma r =恒成立，所以2GM a r
=适用于卫星做任何运动的情况下． 疑惑3：出现“同步卫星”和“近地卫星”时，选择什么公式比较它们的运动情况？
同步卫星和近地卫星都是由万有引力提供向心力而做圆周运动，所以产生加速度的原理相同，我们一般直
接根据“由万有引力充当向心力”得到的结论“v
、ω
T 2GM a r =”，利用二者半径的大小关系来进行判断．
二者在原理上相同，只是半径不同，造成其他几个量的不同，我们可以归结为“大同小异”．
疑惑4：出现“同步卫星”和“赤道上的物体”时，如何选择公式？
处理这个问题，必须要让学生明确一个事实：同步卫星和赤道上的物体，二者的周期和角速度相同。
这样以来，对二者进行比较时，从角速度相同出发，利用半径大小关系，根据“2
a r ω=和v r ω=”来比较加速度和线速度，就变得理所当然了．
疑惑5：“近地卫星”和“赤道上的物体”如何比较？
与上面的情况类似，首先要让学生明确一点：近地卫星和赤道上的物体，二者的轨道半径认为相同。
我们从半径相同出发，利用加速度大小关系，根据公式“2
a r ω=”和“2
v a r =”来比较角速度和线速度． 【情景分析2】如图2所示“嫦娥一号”在发射运行的过程中先沿椭圆轨道1飞行，后
在远地点343千米处的P 点点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道2飞行，
试比较：①“嫦娥一号”在此圆轨道上运动的角速度与同步卫星运动的角速度大小；②“嫦
娥一号”变轨前通过椭圆轨道远地点P 时的加速度与变轨后沿圆轨道运动时通过P 点的加速度大小。
分析：①因为“嫦娥一号”与同步卫星都围绕地球做圆周运动，向心力均由万有引力
提供，所以选择使用公式F ＝G Ｍｍ／ｒ２＝ｍｗ２ｒ，得知“嫦娥一号”的角速度大；②在P 点向心力均由万
有引力提供，所以由公式F ＝G Ｍｍ／ｒ２，只要半径相同，则产生的加速度相同。
P
问题3、万有引力与重力的关系
对于万有引力同学们会有这样的思考，教材中对地表的重力的定义适用于重力在太空中的定义吗？答案是否定的。
分析过程如下：
在地表我们认为重力是万有引力产生的，重力是万有引力的一个分力，另一个分力就是物体围绕着地球自转时所产生的向心力。
根据上面的定义，可写出下面的重力计算公式
向f F mg -=
物体受到得万有引力的大小和物体离地面高度成反比例关系，即物体离地面的高度越高，物体受到的万有引力就越小。
根据这个逻辑可知道，在地球相同的纬度上，重力随物体离地面高度的增大而减小。
再继续分析下去，当物体的高度非常高时，达到同步卫星的高度时，物体所需要向心力正好与万有引力相等，即向f F =，则向f F mg -==0 就是说，此时物体受到的重力为零。
但是实际上物体在太空中的重力加速度都是采用这个公式()2'h r GM
g +=计算的。
因此，我们可以得出这样
的结论：物体在太空中也是受到重力的，而且重力就等于万有引力，这明显与教材中对重力的定义是不相符的。
难道是教材中对重力的定义错了吗，或是上面我们对高空中物体受到的重力加速度的计算错误了？
那么到底是重力的定义有问题，还是我们对高空物体的重力加速度的计算错了呢？解释这个问题，就要涉及一些物理学史的内容，我们在学习中，首先要明确一点：地表物体所受到的指向地面的引力，是早期的人们对重力的简单认识。
因此，重力的适用范围应该仅仅限于在地球表面附近，而太空中的物体所受到的力是地球对物体所产生的万有引力，重力这个定义在这里是不适用的。
这样我们就可知道，围绕着地球做匀速圆周运动的卫星没有受到地球重力的影响，只是受到了地球万有引力的影响。
作者：张志祥
发表时间：2013年9月
发表刊物：国家级教育类中文核心期刊《高中数理化》。