高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第1章 集合 1.2.2 第1课时 讲义
解析
答案
(2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，求A∪B. 解 如图，
由图知A∪B＝{x|－1<x<3}.
解答
反思与感悟
有限集求并集就是把两个集合中的元素合并，重复的保留一个；用不 等式表示的，常借助数轴求并集.由于A∪B中的元素至少属于A，B之一， 所以从数轴上看，至少被一道横线覆盖的数均属于并集.
梳理
1.定义：对于两个给定的集合A，B， 由两个集合 的所有的元素组成的集 合，叫做A与B的并集，记作 A∪B，读作“A并B”. 2.并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B} . 3.图形语言： 、 阴影部分为A∪B.
4.性质：A∪B＝ B∪A ，A∪A＝ ，A A∪∅ ＝∅ ∪A＝A，如果A⊆B，则 A∪B＝B.
解答
反思与感悟
求集合A∩B的步骤 (1)首先要搞清集合A，B的代表元素是什么. (2)把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式. (3)把化简后的集合A，B的所有公共元素都写出来即可.
跟踪训练1 (1)集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|x≤0或x>5}，求A∩B； 解 A∩B＝{x|－2<x≤0}. (2)集合A＝{x|2k<x<2k＋1，k∈Z}，B＝{x|1<x<6}，求A∩B； 解 A∩B＝{x|2<x<3或4<x<5}. (3)集合A＝{(x，y)|y＝x＋2}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，求A∩B. 解 A∩B＝∅ .
第一章 1.2.2 集合的运算
第1课时 交集与并集
学习目标
1.理解交集、并集的概念. 2.会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集. 3.会求简单集合的并集和交集.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 交集
思考
一副扑克牌，既是红桃又是A的牌有几张？ 答案 1张.红桃共13张，A共4张，其中两项要求均满足的只有 红桃A一张.
解答
类型二 并集的运算 命题角度1 数集求并集 例2 (1)(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B等于 A.{1,2,3,4} C.{2,3,4} B.{1,2,3} D.{1,3,4}
解析 ∵A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}， ∴A∪B＝{1,2,3,4}.故选A.
答案
梳理
1.定义：对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B 的所有元 素构成的集合，叫做A，B的交集，记作 A∩B ，读作“A交B”. 2.交集的符号语言表示为A∩B＝{x|x∈A且x∈B}. 3.图形语言： 阴影部分为A∩B.
4.性质：A∩B＝ B∩A ，A∩A＝A，A∩∅ ＝∅ ∩A＝∅ ，如果A⊆B， 则A∩B＝A.
解答
解 ∵A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}， ∴A＝{x|x≤－1或x≥4}. ∵A∩B≠∅ ，
(2)若A∩B＝B，求实数a的取值范围. 解 由A∩B＝B知，B⊆A，有三种情况：
③B＝∅ ，则2a>a＋2，解得a>2. ∴a的取值范围为{a|a≤－3或a≥2}.
解答
反思与感悟
解决此类题，首先要准确翻译，诸如“A∪B＝B”之类的条件.在翻译 成子集关系后，不要忘了空集是任何集合的子集.
解答
反思与感悟
求并集要弄清楚集合中的元素是什么，是点还是数.
跟踪训练3 A＝{(x，y)|x＝2}，B＝{(x，y)|y＝2}.求A∪B，并说明其几 何意义. 解 A∪B＝{(x，y)|x＝2或y＝2}，其几何意义是直线x＝2和直线y＝2上 所有的点组成的集合.
解答
类型三 并集、交集性质的应用 例4 设集合A＝{x|x＋1≤0或x－4≥0}，B＝{x|2a≤x≤a＋2，x∈R}. (1)若A∩B≠∅ ，求实数a的取值范围；
知识点二 并集
思考
某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参 加径赛.已知两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛人数吗？ 答案 19 人 . 参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但 由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10＋12 －3＝19人.
答案
解析
答案
(2)若集合M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于 A.{0} C.{0,1,2} B.{1} D.{0,1}
解析 M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N＝{0,1}，故选D.
解析
答案
(3)集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∩B并说明其几何意义. 解 A∩B＝{(x，y)|x>0且y>0}，其几何意义为第一象限所有点的集合.
[思考辨析 判断正误] √ ) 1.若x∈A∩B，则x∈A∪B.( √ ) 2.A∩B是一个集合.( 3.如果把A，B用Venn图表示为两个圆，则两圆必须相交，交集才存在. × ) ( × ) 4.若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素.(
答案
题型探究
类型一 交集的运算 例 1 (1)(2016· 全国 Ⅱ ) 已知集合 A ＝ {1,2,3} ， B ＝ { x |( x ＋ 1)( x － 2) ＝ 0 ， x∈Z}，则A∩B等于 A.{1} B.{2} C.{－1,2} D.{1,2,3}
跟踪训练2 (1)A＝{－2,0,2}，B＝{x|x2－x－2＝0}，求A∪B. 解 B＝{－1,2}，∴A∪B＝{－2，－1,0,2}. (2)A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x≤1或x>3}，求A∪B. 解 如图，
由图知A∪B＝{x|x<2或x>3}.
解答
命题角度2 点集求并集 例3 集合A＝{(x，y)|x>0}，B＝{(x，y)|y>0}，求A∪B，并说明其几何 意义. 解 A∪B＝{(x，y)|x>0或y>0}. 其几何意义为平面直角坐标系内第一、二、四象限内的点.
跟踪训练4 若集合A，B，C满足A∩B＝A，B∪C＝C，则A与C一定满足 A.AC C.A⊆C B.CA D.C⊆A
解析 A∩B＝A⇔A⊆B，B∪C＝C⇔B⊆C，所以A⊆C.
解析
答案
达标检测
1.已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N等于 A.{－1,0,1} C.{－1,0,2} B.{－1,0,1,2} √ D.{0,1}
数学新同步课堂人教B全国通用版必修一学案：第1章 1.1 1.1.2 集合的表示方法 Word版含答案
1.1.2集合的表示方法学习目标：1.掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法．(重点)2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．列举法把集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示集合的方法.思考1：什么类型的集合适合用列举法表示？[提示]①元素个数少且有限时，全部列举，如{1,2,3,4}；②元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1,2,3，…，1 000}；③元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如：自然数集N 可以表示为{0,1,2,3，…}．2．集合的特征性质如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质．3．描述法思考2：用列举法能表示不等式x－7<3的解集吗？为什么？[提示]不能．由不等式x－7<3，得x<10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法．[基础自测]1．思考辨析(1)集合0∈{x |x >1}．( )(2)集合{x |x <5，x ∈N }中有5个元素．( )(3)集合{(1,2)}和{x |x 2－3x ＋2＝0}表示同一个集合．( )[解析] (1)×.{x |x >1}表示由大于1的实数组成的集合，而0<1，所以(1)错误．(2)√.集合{x |x <5，x ∈N }表示小于5的自然数，为0,1,2,3,4，共5个，所以(2)正确．(3)×.集合{(1,2)}中只有一个元素为(1,2)，而{x |x 2－3x ＋2＝0}中有两个元素1和2，所以(3)错误．[答案] (1)× (2)√ (3)×2．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－3的解集是( ) A ．(－1,2)B ．(1，－2)C ．{(－1,2)}D ．{(1，－2)} C [由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝－3解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝2，用列举法可表示为{(－1,2)}，故选C.] 3．不等式x －3<2且x ∈N ＋的解集用列举法可表示为( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [由x －3<2得x <5，又x ∈N ＋所以x ＝1,2,3,4.用列举法表示为{1,2,3,4}，故选B.]4．不等式4x －5<7的解集为________．{x |x <3} [由4x －5<7解得x <3，所以可表示为{x |x <3}．][合 作 探 究·攻 重 难](1)36与60的公约数组成的集合；(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根组成的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象的交点组成的集合．[思路探究] (1)(2)可直接先求相应元素，然后用列举法表示． (3)联立⎩⎨⎧ y ＝x －1，y ＝－23x ＋43→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示.[解] (1)36与60的公约数有1,2,3,4,6,12，所求集合为{1,2,3,4,6,12}．(2)方程(x －4)2(x －2)＝0的根是4或2，所求集合为{4,2}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1，2x ＋3y ＝4的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫75，25. [规律方法] 使用列举法表示集合时，需要注意以下几点1．用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是什么．如本题(3)是点集{(x ，y )}，而非数集{x ，y }．集合的所有元素用“{ }”括起来，元素间用分隔号“，”．2．元素不重复，元素无顺序，所以本题(2)中，{4,4,2}为错误表示．3．对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．4．适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集．需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合{1,2,3,4}与{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{1,2,3,4，…}，就不能写成{2,1,4,3，…}．[跟踪训练]1．用列举法表示下列集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合；(2)方程x 2＝2x 的所有实数解组成的集合；(3)直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合．[解] (1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}．(2)方程x 2＝2x 的解是x ＝0或x ＝2，所以方程的解组成的集合为{0,2}．(3)将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}.(1)小于100的所有非负整数的集合．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合(4)方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合． (5)被5除余3的所有整数组成的集合．(6)不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合．[思路探究] 先分析集合中元素的特征，再分析元素满足的条件，最后根据要求写出集合．[解] (1)小于100的所有非负整数的集合，用描述法表示为{x |0≤x <100，x ∈Z }．(2)数轴上与原点的距离大于6的点的集合，用描述法表示为{x ||x |>6}．(3)平面直角坐标系中第二、四象限内的点的集合，用描述法表示为{(x ，y )|xy <0}．(4)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2的解的集合，用描述法表示为 ⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝2或⎩⎨⎧ (x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝0.(5)被5除余3的所有整数组成的集合为{x |x ＝5k ＋3，k ∈Z }．(6)解不等式3x －6≤2x ＋7得x ≤13，所以不等式3x －6≤2x ＋7的解组成的集合为{x |x ≤13}．[规律方法] 利用描述法表示集合应关注五点1．写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x ∈R |x <1}不能写成{x <1}．2．所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x ∈Z |x ＝2k }，k ∈Z ，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z |x ＝2k ，k ∈Z }．3．不能出现未被说明的字母．4．在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R |x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}．5．在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．[跟踪训练]2．已知A ＝{x |3－2x >0}，则有( )A ．3∈AB ．1∈AC ．32∈AD ．0∉AB [A ＝{x |3－2x >0}＝{x |x <32}，∴1∈A .]3．集合{2,4,6,8,10,12}用描述法表示为________．[答案] {x |x ＝2n ，n ∈N ＋，且n ≤6}[1．集合{x ||x |<2，x ∈Z }用列举法如何表示？提示：{－1,0,1}．2．集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}与集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素分别是什么？这两个集合有公共元素吗？如果有，用适当的方法表示它们的公共元素所组成的集合，如果没有，请说明理由．提示：集合{(x ，y )|y ＝x ＋1}中的元素是直线y ＝x ＋1上所有的点；集合{(x ，y )|y ＝2x ＋1}中的元素是直线y ＝2x ＋1上所有的点，它们的公共元素是两直线的交点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即它们的公共元素为(0,1)，用集合可表示为{(0,1)}．3．设集合A ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，集合A 中的元素是什么？提示：集合A 中的元素是方程ax 2＋x ＋1＝0的解．集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 中只有一个元素，求实数k的值组成的集合．[思路探究] 明确集合A 的含义→对实数k 加以讨论→求出实数k 的值→用集合表示[解](1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，满足题意；(2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}，满足题意．综上所述，k＝0或k＝1，故实数k的值组成的集合为{0,1}．母题探究：(变条件)若将本例中的条件“只有一个元素”换成“至多有一个元素”，求相应问题．[解]集合A至多有一个元素，即方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根或无实数根．∴k＝0或Δ＝64－64k≤0，解得k＝0或k≥1.故所求k的值组成的集合是{k|k≥1或k＝0}．[规律方法]识别集合含义的两个步骤1．一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．2．二看条件：既看代表元素满足什么条件(公共特性)．[跟踪训练]4．选择适当的方法表示下列集合．(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合．(2)大于1且小于7的有理数．(3)由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合．[解](1)方程x(x2－2x－3)＝0的实数根为－1,0,3，故可以用列举法表示为{－1,0,3)，当然也可以用描述法表示为{x|x(x2－2x－3)＝0}．(2)由于大于1且小于7的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q|1<x<7}．(3)用描述法表示该集合为M ＝{(x ，y )|y ＝－x ＋4，x ∈N ，y ∈N }或用列举法表示该集合为{(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)}．[当 堂 达 标·固 双 基]1．用列举法表示大于2且小于5的自然数组成的集合应为( )A ．{x |2<x <5，x ∈N }B ．A ＝{2,3,4,5}C ．{2<x <5}D ．{3,4}D [大于2且小于5的自然数为3和4，所以用列举法表示其组成的集合为{3,4}．]2．下列集合表示的内容中，不同于另外三个的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{y |(y －1)2＝0}C ．{x |x －1＝0}D ．{x ＝1}D [选项A 、B 、C 都表示用描述法表示集合，集合中的元素是1，而选项D 中元素为等式x ＝1.]3．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，用列举法表示B ＝________. {4,9,16} [由题意知，A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x |x ＝t 2，t ∈A }，∴B ＝{4,9,16}．]4．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0}，若4∈A ，则集合A 用列举法表示为________．{－1,4} [∵4∈A ，∴16－12＋a ＝0，∴a ＝－4，∴A ＝{x |x 2－3x －4＝0}＝{－1,4}．]5．用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎨⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解集； (2)所有的正方形；(3)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故解集为{(4，－2)}．(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}．(3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．。
高中数学 第一章 集合 1.2.2 集合的运算学案 新人教B版必修1(1)(2021年最新整理)
2018版高中数学第一章集合1.2.2 集合的运算学案新人教B版必修1(1) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第一章集合1.2.2 集合的运算学案新人教B版必修1(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.2.2 集合的运算第1课时交集、并集1．理解两个集合交集和并集的含义,会求两个简单集合的交集和并集．（重点、难点）2．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图对理解抽象概念的作用．(难点)［基础·初探]教材整理1 交集阅读教材P15内容,完成下列问题．1．设集合A＝{1，3，5,7｝，B＝{x｜2≤x≤5｝，则A∩B＝( ）A．｛1,3} B．｛3,5｝C．｛5，7｝D．｛1,7｝【解析】集合A与集合B的公共元素有3，5，故A∩B＝{3,5｝，故选B.【答案】B2．已知集合A＝{x｜－3≤x＜4｝,B＝{x|－2≤x≤5}，则A∩B＝( ）A．｛x｜－3≤x≤5｝B．{x｜－2≤x＜4}C．{x｜－2≤x≤5｝D．｛x|－3≤x＜4}【解析】∵集合A＝｛x|－3≤x＜4｝，集合B＝｛x|－2≤x≤5}，∴A∩B＝{x｜－2≤x ＜4},故选B.【答案】B教材整理2 并集阅读教材P16“并集”以下～P17“图1－4"以上部分,完成下列问题．判断(正确的打“√"，错误的打“×”）（1)两个集合的并集中元素的个数一定大于这两个集合中元素个数之和．( )(2)｛1,2，3，4｝∪｛0,2,3｝＝｛1,2，3,4，0,2,3｝．（）(3）若A∪B＝A，则A⊆B.( )【解析】（1)×.当两个集合没有公共元素时，两个集合的并集中元素的个数等于这两个集合中元素个数之和．(2）×.求两个集合的并集时,这两个集合的公共元素在并集中只能出现一次，需要满足集合中元素的互异性．(3）×.若A∪B＝A，则应有B⊆A.【答案】(1）×(2）×（3）×教材整理3 交集与并集的运算性质阅读教材P17“图1－4”以下~P17“例5”以上部分,完成下列问题.交集的运算性质并集的运算性质A∩B＝B∩A A∪B＝B∪AA∩A＝A A∪A＝AA∩∅＝∅A∪∅＝AA⊆B⇔A∩B＝A A⊆B⇔A∪B＝B判断（正确的打“√"，错误的打“×”)（1）集合M＝｛直线｝与集合N＝｛圆}无交集．( ）(2)两个集合并集中元素的个数一定大于这两个集合交集中元素的个数．（)(3）若A∩B＝C∩B，则A＝C.( ）【解析】（1）∵M∩N＝∅, ∴（1）对．（2)∵A∪A＝A∩A，∴（2）错．(3)设A＝{0,1}，B＝｛1｝，C＝{1,2}，则A∩B＝C∩B，但A≠C，故（3）错．【答案】(1)√(2)×(3)×［小组合作型]求并集（1)若集合M＝{M∪N＝（）A．｛0,1} B．{－1,0，1｝C．{0,1，2} D．｛－1，0,1,2｝(2）已知集合P＝{x|x〈3}，集合Q＝{x|－1≤x≤4}，则P∪Q＝（）A．｛x｜－1≤x<3｝B．｛x|－1≤x≤4}C．｛x|x≤4｝D．｛x|x≥－1}【精彩点拨】(1)集合M和集合N都是含有三个元素的集合，把两个集合的所有元素找出写在花括号内即可，注意不要违背集合中元素的互异性．(2)欲求P∪Q,只需将P，Q用数轴表示出来，取它们所有元素构成的集合，即得P∪Q。
人教B版高中数学必修一第一章1.2.2第1课时.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.2.2集合的运算第1课时交集与并集课时目标 1.理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．1．一般地，对于两个给定的集合A，B，由__________的所有元素构成的集合，称为集合A与B的交集，记作______(读作“A交B”)，即A∩B＝____________.2．一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的__________构成的集合，称为集合A与B的并集，记作______(读作“A并B”)，即A∪B＝____________________. 3．A∩A＝____，A∪A＝____，A∩∅＝____，A∪∅＝____.4．若A⊆B，则A∩B＝________，A∪B＝_________________.5．A∩B______A，A∩B______B，A______A∪B，A∩B______A∪B.一、选择题1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{0}2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩B等于()A．{x|x<1} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|－1≤x≤1} D．{x|－1≤x<1}3．若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是() A．A⊆B B．B⊆CC．A∩B＝C D．B∪C＝A4．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为() A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}5．已知A＝{x|x≤－1或x≥3}，B＝{x|a<x<4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是() A．3≤a<4 B．－1<a<4C．a≤－1 D．a<－16．集合M＝{1,2,3,4,5}，集合N＝{1,3,5}，则()A．N∈M B．M∪N＝MC．M∩N＝M D．M>N题号12345 6答案二、填空题7．设集合A＝{－3,0,1}，B＝{t2－t＋1}．若A∪B＝A，则t＝________.8．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 9．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|－1<x≤4}，C＝{x|－3<x<2}且集合A∩(B∪C)＝{x|a≤x≤b}，则a＝______，b＝______.三、解答题10．已知方程x2＋px＋q＝0的两个不相等实根分别为α，β，集合A＝{α，β}，B＝{2,4,5,6}，C＝{1,2,3,4}，A∩C＝A，A∩B＝∅.求p，q的值．11．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．能力提升12．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为()A．0 B．2C．3 D．613．设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1．对并集、交集概念全方面的感悟(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x ∈A ，或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A 、B 两者之一的元素组成的集合．(2)A ∩B 中的元素是“所有”属于集合A 且属于集合B 的元素，而不是部分，特别地，当集合A 和集合B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B ＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．1．2.2 集合的运算第1课时 交集与并集知识梳理1．属于A 又属于B A ∩B {x |x ∈A ，且x ∈B } 2.所有元素 A ∪B {x |x ∈A ，或x ∈B } 3.A A ∅ A 4.A B 5.⊆ ⊆ ⊆ ⊆作业设计1．A2．D [由交集定义得{x |－1≤x ≤2}∩{x |x <1}＝{x |－1≤x <1}．]3．D [参加北京奥运会比赛的男运动员与参加北京奥运会比赛的女运动员构成了参加北京奥运会比赛的所有运动员，因此A ＝B ∪C .]4．D [M 、N 中的元素是平面上的点，M ∩N 是集合，并且其中元素也是点，解⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1.] 5．C [结合数轴知答案C 正确．]6．B [∵N M ，∴M ∪N ＝M .]7．0或1 解析 由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，∴t 2－t ＋1＝－3①或t 2－t ＋1＝0②或t 2－t ＋1＝1③①无解；②无解；③t ＝0或t ＝1.8．1解析 ∵3∈B ，由于a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，即a ＝1.9．－1 2解析 ∵B ∪C ＝{x |－3<x ≤4}，∴A (B ∪C )∴A ∩(B ∪C )＝A ，由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}，∴a ＝－1，b ＝2.10．解 由A ∩C ＝A ，A ∩B ＝∅，可得：A ＝{1,3}，即方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实根为1,3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3＝－p 1×3＝q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－4q ＝3. 11．解 ∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .∵A ＝{－2}≠∅，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，则B ＝{－1a}， ∴－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12. 综上，得a ＝0或a ＝12. 12．D [x 的取值为1,2，y 的取值为0,2，∵z ＝xy ，∴z 的取值为0,2,4，所以2＋4＝6，故选D.]13．解 符合条件的理想配集有①M ＝{1,3}，N ＝{1,3}．②M ＝{1,3}，N ＝{1,2,3}．③M ＝{1,2,3}，N ＝{1,3}．共3个．。
人教B版高中数学必修一学案：1.2.2 第1课时 并集、交集
1.2.2.集合的运算第1课时.并集、交集[学习目标].1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表示集合的关系及运算，体会直观图对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题.[知识链接]下列说法中，不正确的有________：①集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{1,2,3,3,4,5}；②集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{1,2,3,4,5}；③集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的公共元素组成的集合为{3}.答案.①[预习导引]1.并集与交集的概念(1)A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅；(2)A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A；(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.解决学生疑难点..............................................................................要点一.集合并集的简单运算例1.(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于(..)A.{3,4,5,6,7,8}B.{5,8}C.{3,5,7,8}D.{4,5,6,8}(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于(..)A.{x|－1≤x＜3}B.{x|－1≤x≤4}C.{x|x≤4}D.{x|x≥－1}答案.(1)A.(2)C解析.(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}.(2)在数轴上表示两个集合，如图.规律方法.解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点值不在集合中时，应用“空心点”表示.跟踪演练1.(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是(..)A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝________.答案.(1)C.(2){x|x＜－5，或x＞－3}解析.(1)A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2,3}.(2)将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来.∴M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}.要点二.集合交集的简单运算例2.(1)已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于(..)A.{2}B.{4}C.{0,2,4,6,8,16}D.{2,4}(2)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则A ∩B 等于(..) A.{x |0≤x ≤2} B.{x |1≤x ≤2} C.{x |0≤x ≤4} D.{x |1≤x ≤4}答案.(1)D.(2)A解析.(1)观察集合A ，B ，可得集合A ，B 的全部公共元素是2,4，所以A ∩B ＝{2,4}. (2)在数轴上表示出集合A 与B ，如下图.则由交集的定义可得A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}.规律方法.1.求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似. 2.当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合. 跟踪演练2.已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，求A ∩B ，A ∪B .解.∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，把集合A 与B 表示在数轴上，如图.∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0，或x ≥52}＝{x |－1＜x ≤0，或52≤x ≤3}；A ∪B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0，或x ≥52}＝R .要点三.已知集合交集、并集求参数例3.已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.解.由A ∩B ＝∅，(1)若A ＝∅，有2a ＞a ＋3，∴a ＞3. (2)若A ≠∅，如下图：∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是{a |－12≤a ≤2，或a ＞3}.规律方法.1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解.若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结.2.建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到.最好是把端点值代入题目验证.跟踪演练3.设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，求实数a 的取值范围.解.如下图所示，由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.1.若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于(..)A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2}D.{0}答案.A解析.集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素.故选A.2.设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为(..)A.{2}B.{3}C.{－3,2}D.{－2,3}答案.A解析.注意到集合A中的元素均为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}.3.集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于(..)A.{1,2}B.{0,1,2}C.{x|0≤x≤3}D.{x|0≤x＜3}答案.B解析.由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，故P∩M＝{0,1,2}.4.已知集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则(..)A.A∩B＝∅B.A∪B＝RC.B⊆AD.A⊆B答案.B解析.∵A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－5＜x＜5}，∴A∩B＝{x|－5＜x＜0，或2＜x＜5}，A∪B＝R.故选B.5.设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________. 答案.k≤6解析.因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k 2}，且M∩N≠∅，所以－k2≥－3⇒k≤6.1.对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“可兼”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B 但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由两个集合A，B的所有元素组成的集合.(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2.集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.。
人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第一章集合与常用逻辑用语 第2课时 补集与集合的综合运算
分析本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解时可先将不
相等问题转化为相等问题,求出a的集合后取其补集.
解 (1)∵A={x|0≤x≤2},∴∁RA={x|x<0或x>2}.设(∁RA)∪B=R,如图所示.
∴a≤0,且a+3≥2,即a≤0,且a≥-1,∴满足(∁RA)∪B≠R的实数a的取值范围是
基础落实•必备知识全过关
知识点1 全集
在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是
某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常用U 表示.
过关自诊
全集一定包含任何元素吗?
提示 不一定.只要含有所有所要研究的对象即可做全集.换一句话说,所研
究对象对应的集合一定为该全集的子集.
知识点2 补集
(-∞,-1)∪(0,+∞).
(2)若A∩B=A,则A⊆B,又A≠⌀,
≤ 0,
≤ 0,
则
得
即-1≤a≤0.
+ 3 ≥ 2,
≥ -1,
∴当A∩B≠A时,a的取值范围为集合{a|-1≤a≤0}的补集,即(-∞,-1)∪(0,+∞).
方法点睛 有些数学问题,若直接从正面解决较为困难,或解题思路不明朗,
分析(1)根据补集的定义,借助于数轴写出;(2)先求A∩B,再根据补集的定义
写出.
解 (1)∵A={x|-3<x<3},B={x|x<1}.
在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示.
∴∁UA={x|x≤-3或x≥3},∁UB={x|x≥1}.
(2)∵A∩B={x|-3<x<1},如图阴影部分所示.
∴∁U(A∩B)={x|x≥1或x≤-3}.
人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词
元素x,使命题p(x)为假.
变式训练 3指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并
判断真假.
(1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点.
(2)存在一个实数,它的绝对值不是正数.
(3)∃x,y∈Z,使3x-4y=20.
(4)任何数的0次方都等于1.
解 (1)全称量词命题.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)与平面直
(4)全称量词命题中含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略
的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应
理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
(3)全称量词命题的真假判定
要判定全称量词命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明r(x)成立,但
要判定全称量词命题是假命题,只需举出一个x0∈M,使得r(x0)不成立即可.
提示对事情做出正确或不正确的判断的句子称为命题.
知识点2 全称”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量
词,用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,称为全称量词命题.
(2)表示
全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x,r(x)”的命题,可简记为
解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识,利用
集合、方程、不等式等知识求解参数的取值范围,解题过程中要注意变量
取值范围的限制.
变式探究将本例 (1) 中的条件“∃x∈
“∀x∈
1
-2, + ∞
解 由∀x∈
1
-2,
1
-2, + ∞
,2x+2-a=0”改为
,2x+2-a>0”,其他条件不变,求实数 a 的取值范围.
高中数学新学案同步 必修1 人教B版 全国通用版 第1章 集合 1.2.2 第2课时 讲义
第一章 1.2.2 集合的运算第2课时 补集及综合应用学习目标1.理解全集、补集的概念.2.准确翻译和使用补集符号和Venn图.3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题.内容索引问题导学题型探究达标检测问题导学1.定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的 ，那么称这个给定的集合为全集．2.记法：全集通常记作 . 子集U思考实数集中，除掉大于1的数，剩下哪些数？答案答案 剩下不大于1的数，用集合表示为{x ∈R |x ≤1}.文字语言如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作_____符号语言∁U A ＝________________图形语言梳理(1) 补集定义不属于A ∁U A {x |x ∈U ，且x ∉A }(2)运算性质A ∪∁U A ＝ ；A ∩∁U A ＝ ；∁U (∁U A )＝.U ∅A[思考辨析 判断正误]1.根据研究问题的不同，可以指定不同的全集.( )2.存在x 0∈U ，x 0∉A ，且x 0∉∁U A .( )√×答案××题型探究类型一 求补集例1 (1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁U A 等于A.{x∈R|0<x<2}B.{x∈R|0≤x<2}C.{x∈R|0<x≤2}D.{x∈R|0≤x≤2}解析 ∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁U A＝{x∈R|0<x≤2}，故选C.(2)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3，4,5,6}，求∁U A，∁U B.解 根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁U A＝{4,5,6,7,8}，∁U B＝{1,2,7,8}.(3)设全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B).解 根据三角形的分类可知，A∩B＝∅，A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}，∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}.反思与感悟求集合的补集，需关注两处：一是认准全集的范围；二是利用数形结合求其补集，常借助Venn图、数轴、坐标系来求解.跟踪训练1 (1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A ＝________.(2)已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2≥0}，则∁U A ＝______________.(3)已知全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合A ＝{(x ，y )|xy >0}，则∁U A ＝______________.{3,4,5}{x |－1＜x ＜2}{(x ，y )|xy ≤0}类型二 补集性质的应用命题角度1 补集性质在集合运算中的应用例2 已知A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∁U B＝{－1,0,2}，用列举法写出集合B .解 ∵A＝{0,2,4,6}，∁U A＝{－1，－3,1,3}，∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}.而∁U B＝{－1,0,2}，∴B＝∁U(∁U B)＝{－3,1,3,4,6}.反思与感悟从Venn图的角度讲，A与∁U A就是圈内和圈外的问题，由于(∁U A)∩A ＝∅，(∁U A)∪A＝U，所以可以借助圈内推知圈外，也可以反推.跟踪训练2 如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义A*B表示阴影部分的集合.若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，则A*B＝{x|0≤x≤1或x＞2}________________.解析 A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，由图可得A*B＝∁(A∪B)(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}.命题角度2 补集思想的应用例3 关于x的方程：x2＋ax＋1＝0，①x2＋2x－a＝0，②x2＋2ax＋2＝0，③若三个方程至少有一个有解，求实数a的取值范围.反思与感悟运用补集思想求参数取值范围的步骤(1)把已知的条件否定，考虑反面问题.(2)求解反面问题对应的参数的取值范围.(3)求反面问题对应的参数的取值集合的补集.跟踪训练3 若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.解 假设集合A中含有2个元素，即ax2＋3x＋2＝0有两个不相等的实数根，类型三 集合的综合运算例4 (1)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩(∁U B)等于A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅解析 ∵∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}，又∵B＝{1,2}，∴∁U B＝{3,4}，{3}⊆B⊆{1,2,3}，(2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁R B)＝R，则实{a|a≥2}数a的取值范围是________.解析 ∵∁R B＝{x|x<1或x>2}且A∪(∁R B)＝R，∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.反思与感悟解决集合的混合运算时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限集混合运算可借助Venn图，与不等式有关的可借助数轴.跟踪训练4 (1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1,3,7}，A∩(∁U B)＝{4,9}，则B等于A.{1,2,3,6,7}B.{2,5,6,8}C.{2,4,6,9}D.{2,4,5,6,8,9}解析 根据题意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，画出Venn图(如图所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故选B.(2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B).解 如图所示.∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁U A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x<－3或2<x≤4}.A∩B＝{x|－2<x≤2}，∴(∁U A)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，B)＝{x|2<x<3}.A∩(∁达标检测1.设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于A.UB.{1,3,5}√C.{3,5,6}D.{2,4,6}2.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于A.{1,3,4}B.{3,4}√C.{3}D.{4}3.设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁R S)∪T等于A.{x|－2<x≤1}B.{x|x≤－4}√C.{x|x≤1}D.{x|x≥1}4.设全集U＝R，则下列集合运算结果为R的是√A.Z∪∁U NB.N∩∁U NC.∁U(∁U∅)D.∁U Q5.设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N等于√A.{1,2,3}B.{1,3,5}C.{1,4,5}D.{2,3,4}规律与方法1.全集与补集的互相依存关系(1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有元素，如研究整数，Z就是全集，研究方程的实数解，R就是全集.因此，全集因研究的问题而异.(2)补集是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念.(3)∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A ＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系.2.补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.。
数学新同步课堂人教B全国通用版必修一学案：第1章 1.2 1.2.1 集合之间的关系 Word版含答案
1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系学习目标：1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2.能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)3.在具体情境中，了解空集的含义并会应用．(难点)[自主预习·探新知]1．维恩(Venn)图用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这种图形通常叫做维恩(Venn)图，其优点是可以形象地表示出集合之间的关系．2．集合间的关系思考1：如何理解子集、真子集的概念？[提示](1)子集与真子集的定义具有“判定”和“性质”的两重性．①A⊆B等价于对任意x∈A，都有x∈B；②A B等价于A⊆B，且至少有一个元素x∈B，但x∉A.(2)A⊆B包含A＝B和A B两种情况，真子集是子集的特殊情况．思考2：如何理解两集合相等？[提示](1)集合A中的元素与集合B中的元素相同，则集合A等于集合B，这是从集合中元素的特征出发来表达两个集合相等，它指明了两个集合的元素特征．(2)若A⊆B且B⊆A，则A＝B，这是从集合关系的角度表达，A与B相等，即对任意x∈A，都有x∈B；反之，对任意x∈B，都有x∈A，这说明集合A等于集合B.3．子集、真子集的性质(1)规定：空集是任意一个集合的子集．也就是说，对任意集合A，都有∅⊆A.(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.(3)如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.(4)如果A B，B C，则A C.4．集合关系与其特征性质之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则有(1)若p(x)⇒q(x)，则A⊆B；反之，若A⊆B，则p(x)⇒q(x)．(2)若p(x)⇔q(x)，则A＝B；反之，若A＝B，则p(x)⇔q(x)．[基础自测]1．思考辨析(1){0}是∅.()(2)正整数集是自然数集的子集．()(3)空集是任何集合的子集．()[解析](1)×∅是不含任何元素的集合，而{0}表示由一个元素0构成的集合．(2)√由正整数集和自然数集的概念知此题正确．(3)√规定空集是任何集合的子集，故正确．[答案] (1)× (2)√ (3)√2．设集合A ＝{x ，y }，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，则2x ＋y 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．－1 C [由元素的互异性知x ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 2，y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0， ∴2x ＋y ＝2.]3．已知集合M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{1,5}，则有( )A ．N ＜MB ．N MC ．N ∈MD ．N ＝MB [由题意知N 中任意元素都是M 中的元素，且M 中存在不属于N 的元素，所以N M .]4．集合{x |x 2＝2}含有的子集个数为________.4 [{x |x 2＝2}＝{－2，2}中含有两个元素，所以它的子集有22＝4个．][合 作 探 究·攻 重 难]( )A ．1∈AB ．{－1}∈AC ．∅⊆AD ．{1，－1}⊆A(2)已知集合M ＝{x |y ＝x 2－2}，集合N ＝{y |y ＝x 2－2}，则集合M ，N 之间的关系是________．(3)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝n 2，n ∈Z ，N ＝xx ＝12＋n ，n ∈Z ，则集合M ，N 之间的关系是________．[思路探究] 由元素关系⇒集合关系．[解析] (1)A ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，元素与集合之间是“∈”、“∉”关系，集合与集合之间是“⊆”“”“＝”关系，由选项可知A、C、D正确，选项B中应为{－1}A.(2)M＝{x|y＝x2－2}＝{x|x∈R}，N＝{y|y＝x2－2}＝{y|y≥－2}，所以N M.(3)N＝xx＝12＋n，n∈Z＝xx＝2n＋12，n∈Z,2n＋1为奇数，而集合M中，M＝xx＝n2，n∈Z，所以N M.[答案](1)B(2)N M(3)N M母题探究：(变条件)本例(2)中，若P＝{(x，y)|y＝x2－2}，其他条件不变，则P与M，N之间有什么关系？[解]P＝{(x，y)|y＝x2－2}表示二次函数y＝x2－2上的点构成的集合，而M，N都是数集，故P与M，N之间不具有子集关系．[规律方法]判断两集合关系的关键及方法1．关键：明确集合中的元素及其属性．2．方法：(1)列举法：将集合中的元素一一列举出来；(2)元素分析法：从两个集合元素的特征入手，通过整理化简，然后做出判断；(3) 直观图法：利用数轴或Venn图直观判断．提醒：(1)用描述法表示集合时，即使表示代表元素的字母不同，但是如果特征性质的本质相同，表示的仍是同一个集合．(2)用描述法表示集合时，如果特征性质相同，但是代表元素的属性不同，那么表示的是不同的集合．[跟踪训练]1．下列命题中正确的有________(写出全部正确的序号)．①{2,4,6}⊆{2,3,4,5,6}；②{菱形}⊆{矩形}；③{x|x2＝0}⊆{0}；④{(0,1)}⊆{0,1}；⑤{1}∈{0,1,2}；⑥{x |x >1}{x |x ≥2}．①③ [根据子集的定义，①显然正确；②中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的菱形不是矩形；③中集合{x |x 2＝0}中的元素只有一个“0”，因此是集合{0}的子集；④中{(0,1)}的元素是有序实数对，而{0,1}是数集，元素不同；⑤中两个集合之间使用了“∈”符号，这是用来表示元素与集合的关系时使用的符号，不能用在集合与集合之间；⑥中两集合的关系应该是{x |x >1}{x |x ≥2}． 因此正确的是①、③，错误的是②、④、⑤、⑥.]集合⎩⎨⎭⎬1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，则a 2 017＋b 2 018的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1[思路探究] 根据集合相等的定义求出字母a 与b 的值，注意集合中元素互异性的应用．[解析] ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，又a ≠0，∴b a ＝0，∴b ＝0.∴a 2＝1，∴a ＝±1.又a ≠1，∴a ＝－1，∴a 2 017＋b 2 018＝(－1)2 017＋02 018＝－1.[答案] C[规律方法] 1.若两集合相等，则集合中的元素完全相同．2．本题以“0”为着眼点，b a 中a 不为0为突破口进行解题．3．解含字母的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性(如本例中a ＝1舍去)．[跟踪训练]2．设A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，若A ＝B ，则a ＋b ＝________.4 [因为A ＝{4，a }，B ＝{2，ab }，A ＝B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝ab ，a ＝2，解得a ＝2，b ＝2，所以a ＋b ＝4.][1．设集合A ＝{1,2}，若B ⊆A ，则集合B 可能是什么？设集合A ＝{1,2,3}，若B ⊆A ，则集合B 共有几个？设集合A ＝{1,2,3，…，n }，若B ⊆A ，则集合B 共有几个？提示：∅，{1}，{2}，{1,2}；8个；2n 个．2．“空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集”，正确吗？提示：正确．3．设集合A ＝{x |ax ＋1＝0}，B ＝{x |ax 2＋x ＋1＝0}，C ＝{x |a ＋1<x <2a }，那么集合A ，B ，C 可能是空集吗？若可能是空集，实数a 的值或范围分别是什么？提示：集合A ，B ，C 可能是空集．当a ＝0时，集合A 是空集，当a >14时，集合B 是空集，当a ≤1时，集合C 是空集．设集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}, 已知B ⊆A .求实数m 的取值范围．[思路探究] 1.讨论B 是否为∅⇒m 的取值范围．2．数集⇒数轴⇒取值范围．[解] ①当m －1>2m ＋1，即m <－2时，B ＝∅符合题意；②当m －1≤2m ＋1，即m ≥－2时，B ≠∅.由B ⊆A ，借助数轴如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52.所以0≤m ≤52. 综合①②可知，实数m 的取值范围为mm <－2或0≤m ≤52.[规律方法]已知集合间的关系求字母的值或范围的解题策略1．若已知集合是有限集，求解时，一般根据对应关系直接列方程.2．若已知集合是无限集，求解时，通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．3．此类问题还要注意是否存在空集的情况，因为空集是任何集合的子集．[跟踪训练]3．(1)将例3中集合A ＝{x |－1≤x ≤6}改为A ＝{x |－1<x <6}，其他条件不变，结果如何？(2)将例3中B ⊆A 改为A ⊆B ，这样的实数m 是否存在？(3)若将例3中B ⊆A 改为B A ，结果有变化吗？[解] (1)由例题可知，m <－2，即B ＝∅，符合题意；当A ＝{x |－1<x <6}且B ≠∅时，要使B ⊆A ，则需⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤2m ＋1m －1>－12m ＋1<6解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－2m >0m <52，即0<m <52所以，实数m 的取值范围为mm <－2或0<m <52.(2)要使A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧ m －1<2m ＋1m －1≤－12m ＋1≥6即⎩⎨⎧ m >－2m ≤0m ≥52，∴m ∈∅.即这样的m 不存在．(3)由例题可知m <－2时满足题意当m ≥－2即B ≠∅时，要使B A ，则需⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－2m －1>－12m ＋1≤6或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－2m －1≥－12m ＋1<6解得0<m ≤52或0≤m <52.即0≤m ≤52.综上可知，0≤m ≤52或m <－2.所以结果没变化．[当 堂 达 标·固 双 基]1．集合A ＝{－1,0,1}，A 的子集中含有元素0的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个B [根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0,1}、{0，－1}、{－1,0,1}四个，故选B.]2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z }，则下列集合是集合M 的子集的为( )A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}D[集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D.] 3．①0∈{0}，②∅{0}，③{0,1}⊆{(0,1)}，④{(a，b)}＝{(b，a)}．上面关系中正确的个数为()A．1 B．2C．3 D．4B[①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0,1}含两个元素0,1，而{(0,1)}含一个元素点(0,1)，所以这两个集合没关系；④错误，集合{(a，b)}含一个元素点(a，b)，集合{(b，a)}含一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等．故选B.]4．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是() A．{a|a≤2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}D[由A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，A⊆B，则{a|a≥2}．]5．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．[解]因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．。
人教版高中数学B版必修第一册第一章配套教学课件1.2.2
总结
存在量词命题“ x M , p(x)”的否定是全称量词命题
x M,p(x)
全称量词命题“ x M , p(x) ”的否定是存在量词命题
x M ,p(x)
若存在量词命题为真，则该命题的否定一定是假； 若存在量词命题为假，则该命题的否定一定是真； 若全称量词命题为真，则该命题的否定一定是假； 若全称量词命题为假，则该命题的否定一定是真.
“不是每一个有理数都是实数”的另一种表述方式为
“至少存在一个有理数不是实数”
显然命题s是一个全称量词命题，用符号表示为
s : x Q, x R
真命题
命题 s 是一个存在量词命题，用符号表示为
s : x Q, x R
假命题
归纳总结
试写出下列命题的否定，并且判断真假 1. 命题r：“所有实数的平方都大于0”； 2. 命题q：“每一个素数都是奇数”； 一般地，全称量词命题“ x M , p(x) ”的否定是存在量词命题
命题的否定的引入
我们先观察下面两句话： （1）3的相反数是-3； （2）3的相反数不是-3 . 提问：这两句话是命题吗？
两句话有什么关系？ 它们如果是命题，真假性如何？
命题的否定的概念
一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“ p” 读作“非p”或“p的否定”； 如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题； 反之亦然.
人教版高中数学B版必修第一册 第一章
《1.2.2 全称量词命题与 存在量词命题的否定》
授课教师：李娜 北京市第八中学
情境与问题
“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词.2009年11月 23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一 段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要.一旦下定 决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人 的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以 加强.”
人教B版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第一章 集合与常用逻辑用语 本章总结提升
规律方法 集合运算过程中应力求做到“三化”
(1)意义化:首先分清集合的类型,是表示数集、点集,还是某类图形;是表示
函数自变量的取值范围、因变量的取值范围,还是表示方程或不等式的解
集.
(2)具体化:具体求出相关集合中函数的自变量、因变量的范围或方程、不
等式的解集等;不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式.
这是不可能的.故不存在实数 m,使 2x+m<0 是 x<-1 或 x>3 的必要条件.
-2
,
专题四
化归与转化思想在集合问题中的应用
【例5】已知集合A={y|y>a+3或y<a},B={y|2≤y≤4},若A∩B≠⌀,求实数a的
取值范围.
解 A={y|y>a+3或y<a},B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B=⌀时a的范
≥ -1,
+ 1 ≤ 2, 解得-1≤m≤1.因此,实数m的取值范围是[-1,1].
【例3】设集合U=R,且A={x|x≤-1或x≥2},B={y|y>a}.
(1)若A∪B=A,求实数a的取值范围;
(2)若∁RA⊆B,求实数a的取值范围.
解 (1)∵A∪B=A,∴B⊆A,∴a≥2,∴a的取值范围是[2,+∞).
解 (1)存在.理由如下,
欲使 2x+m<0 是 x<-1 或 x>3 的充分条件,则只要 | <
即只需- 2 ≤-1,所以
-2
⊆{x|x&.故存在实数 m≥2,使 2x+m<0 是 x<-1 或 x>3 的充
分条件.
(2)不存在.理由如下: