初中数学有关圆的分类讨论题型解题技巧

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[初中++数学]圆+课件+苏科版数学九年级上册

2.1圆
欣赏圆
特殊的四边形概念
性质
应用
认识圆
1.说一说，你对圆有哪些认识？半径、直径、周长、面积等
2.画一画，请在白纸上用圆规任意画几个圆. 3.想一想，如何画一个半径为3m的圆？ 4.试一试，观察画图的过程，请你描述圆的形成过程.
P
0
描述圆
在同一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O
旋转一周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆．
O
D
C
O
探究圆
A
弦直径
B O
A
┐
C
P
D
B
3.对折圆形纸片，使点C与点D 重合，你有什么发现？
弧用符号 “ ͡ ” 表示，
大于半圆的弧叫做优弧, 小于半圆的弧叫做劣弧.
CA͡ D是优弧, C͡ D是劣弧.
圆心角
PC=PD A͡ C=A͡ D B͡ C=B͡ D
等弧
探究圆
A
分类讨论从特殊到一般
寄语：
为什么圆规能画圆？因为它心不动，脚在走！
运用圆
A
例2. 如图，线段PQ＝4cm.
（1）画出下列图形：
P
Q
到点P的距离等于2cm的点的集合．
B
到点Q的距离等于3cm的点的集合．
（2）在所画图中，到点P距离等于2cm，且到点Q的距离等
于3cm的点有几个？在图中将他们表示出来. （3）在所画图中，到点P距离小于或等于2cm，且到点Q的距
离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？请将他们表示
∠D相等吗？为什么？
D
C
D ，
⇒∴ ∠BOC=∠AOD .
又∵OB=OA ， OC=OD (同

关于初中数学几何常见分类问题的讨论

关于初中数学几何常见分类问题的讨论发布时间：2021-11-26T09:05:38.706Z 来源：《教学与研究》2021年11月下作者：尹姝[导读] 几何分类是初中数学一种重要的数学思想方法和解题策略。

在历届中考中，都不乏有几何分类讨论的题目出现。

一进入几何图形解答，就可能受图形的局限而漏解。

现就初中数学几何图形分类问题从方法方面作一些讨论，望能为同行提供一些有益的借鉴。

四川省南充市五星中学尹姝【摘要】几何分类是初中数学一种重要的数学思想方法和解题策略。

在历届中考中，都不乏有几何分类讨论的题目出现。

一进入几何图形解答，就可能受图形的局限而漏解。

现就初中数学几何图形分类问题从方法方面作一些讨论，望能为同行提供一些有益的借鉴。

【关键词】初中数学；几何问题；分类方法；掌握规律；具体应用初中数学中的几何图形教学具有很强的规律性,教师在授课时应该根据图形变化进行分类讨论,从而有助于学生更快更容易地理解和吸收知识。

一、初中数学分类方法之讨论初中数学中的所谓分类，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数学思想。

它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。

有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

掌握好这类问题对提高综合学习能力会有很大帮助，它既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度。

分类思想解题的过程（思维、动因和方法）我们把它归纳为WHDI四个方面进行讨论： 1.W即为什么要进行分类。

一般地说，当我们研究的问题是下列五种的情形时可以考虑使用分类的思想方法来解决问题：（1）涉及到分类定义的概念，当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法；（2）直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则，如果在解决问题中需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制可以考虑使用分类讨论的方法；图形的不确定而需要对其进行分类讨论；（5）由数学运算引起的分类讨论。

初中数学有关圆的分类讨论题型解题技巧

初中数学有关圆的分类讨论题型解题技巧随着新课改推进，近几年中考也发生很大变化，从过去侧重知识概念考核，逐渐过渡到综合能力考查，尤其是对数学思想的综合运用。

其中分类讨论就是一种非常重要数学思想，可以说是全国很多地方每年中考必考类型，而在不同知识点中，分类讨论的出题方式又不一样。

今天我们就讲讲分类讨论在圆当中的综合运用。

由于圆中的点、线在圆中的位置分布可能有多种情况，经常会导致其答案的不唯一性。

如：点与圆的位置关系，点可能在圆内，也可能在圆外；两条弦的位置关系，可能在某一条直径的同侧，也可能在直径的异侧；圆与圆相切，可能外切，也可能内切，等等。

因此，求解圆的有关问题时，要注意分类讨论思想。

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与圆有关的试题分类探究_何继斌

角形，再根据相似三角形的性质判定角的等量关系．圆中角的等量关系给解决图形的相似或全等提供了条件．
图1 题型 2
图2
垂径定理的应用圆是轴对称图形，根据这一特征可以得到“垂径定理” 这一应用非常广泛的重要定理．利用垂径定理可以解决有关线段长度的计算、比例关系的证明以及其他与圆有关的综合性问题．例 2 如图 2 ，点 A 在半径为 20 的 ⊙O 上，以 OA 为一条对角线作矩形 OBAC ，设直线 BC 交 ⊙O E．若 OC = 12 ， BD 的长度差是于点 D，则线段 CE ，．解（ 2012 年全国初中数学联赛试题）设 DE 的中点为 M，联结 OM，则 OM ⊥
DE．因为 OB = 槡 20 2 － 12 2 = 16 ，所以 OB ·OC 16 ˑ 12 48 = = ， OM = BC 20 5 从而故 64 36 BM = ， CM = 槡 OC2 － OM2 = ， 5 5 CE － BD = （ EM － CM）－（ DM － BM） = BM － CM = 点评 64 36 28 － = ． 5 5 5
第7 期
何继斌：与圆有关的试题分类探究
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与圆有关的试题分类探究
●何继斌
（杭州文海实验学校浙江杭州 310018 ）
圆是各地中考和竞赛的重要知识之一，且遍布各种题型，既涉及计算、论证，又涉及探索以及操作题等，考查的知识点侧重于与圆有关的角、计算等．近几年的竞赛或中考试题中，与圆有关的试题在沿袭传统的题型外，还加大了探索、创新的力度，特别是增加了与圆有关的动态问题、圆与代数的综合题等．在解决与圆有关的问题时，除了要能灵活运用所学知识外，还要注意与其他知识的联系，注意数学思想方法的运用．圆是数学中思想方法比较集中的知识点之一，如转化思想、方程思想、分类思想、整体思想等．本文仅对近几年全国各地区初中数学竞赛及中考中与圆有关的试题进行分类研究，以供参考．题型 1 与圆有关的角圆心角、圆周角、弦切角以及它们的大小与所对（或所夹）弧的度数之间的关系是圆中最基本的数量关系，也是解决与角有关的几何问题的重要知识点，是证明与圆有关结论的常用工具． E 为对角线 BD 例 1 如图 1 ，在 ABCD 中， AC 的延长线与上一点，且满足 ∠ECD = ∠ACB ， △ABD 的外接圆交于点 F．证明：∠DFE = ∠AFB．（ 2014 年全国初中数学联赛福建赛区试题） AD∥BC ，解在ABCD 中，从而 ∠ACB = ∠DAF ， ∠BDC = ∠ABD．因为∠ABD = ∠AFD， ∠ECD = ∠ACB ，所以于是因此 ∠DAF = ∠ECD， ∠BDC = ∠AFD， △DCE ∽△FAD， CD AF = ． DE DF

【单元练】《易错题》初中九年级数学上册第二十四章《圆》知识点总结(专题培优)

一、选择题1．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，过B ，C 两点的O 交AC 于点D ，交AB 于点E ，连接EO 并延长交O 于点F ．连接BF ，CF ，若135EDC ∠=︒，2AE =，4BE =，则CF 的值为（）．A 10B ．2C ．23D ．3A解析：A【分析】由四边形BCDE 内接于⊙O 知∠EFC=∠ABC=45°，据此得AC=BC ，由EF 是⊙O 的直径知∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°及∠BCF=∠ACE ，再根据四边形BECF 是⊙O 的内接四边形知∠AEC=∠BFC ，从而证△ACE ≌△BCF 得AE=BF ，根据Rt △ECF 是等腰直角三角形知EF 2=20，继而可得答案．【详解】∵四边形BCDE 内接于O ，且135EDC ∠=︒， ∴18045EFC ABC EDC ︒∠=∠=-∠=︒，∵90ACB ∠=︒， ∴ABC 是等腰三角形，∴AC BC =，又∵EF 是O 的直径， ∴90EBF ECF ACB ∠=∠=∠=︒，∴BCF ACE ∠=∠，∵四边形BECF 是O 的内接四边形，∴AEC BFC ∠=∠，∴()ACE BFC ASA ≅△△，∴AE BF =，Rt BEF △中，22222224220EF BF BE BE AE =+=+=+=，Rt ECF △中，45EFC ∠=︒，∴CE CF =，∴2222220CE CF CF EF +===，∴210CF =， ∴10CF =，故选:A ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质及勾股定理． 2．如图，A 是B 上任意一点，点C 在B 外，已知2AB =，4BC =，ACD △是等边三角形，则BCD △的面积的最大值为（）A ．434+B ．43C ．438+D ．63A解析：A【分析】以BC 为边作等边BCM ，连接DM ，则DCM CAB ≅△△，根据全等三角形的性质得到DM=AB=2为定值，即点D 在以M 为圆心，半径为2的圆上运动，当点D 运动至BC 为中垂线与圆的交点时，BC 边上的高取最大值为232+，根据三角形的面积即可得到结论．【详解】解：以BC 为边作等边BCM ，连接DM ，∵60DCA MCB ==∠∠，∴DCM ACB =∠∠，∵DC=AC ，MC=BC ，∴DCM CAB ≅△△（SAS ），∴DM=AB=2为定值，即点D 在以M 为圆心，半径为2的圆上运动，当点D 运动至BC 为中垂线与圆的交点时，BC 边上的高取最大值为232，此时面积为：434故选：A【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形面积的计算，找出点D 的位置是解题的关键． 3．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，B 、C 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的点，则∠BPC 的度数是（）A ．65°B ．115°C ．115°或65°D ．130°或65°C解析：C【分析】根据切线的性质得到OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，求出∠BOC ，分点P 在优弧BC 上、点P 在劣弧BC 上两种情况，根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算即可．【详解】解：∵AB 、AC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠OBA ＝90°，∠OCA ＝90°∵∠A ＝50°，∴∠BOC ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，如图，当点P 在优弧BPC 上时，∠BPC ＝12∠BOC ＝65°，当点P ′在劣弧BC 上时，∠BP ′C ＝180°﹣65°＝115°，故选：C ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理是解题的关键．4．2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节LOGO ，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图ABC 内接于一个半径为5的半圆，90ACB ∠=︒，分别以AB ，BC ，AC 为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则ABC 的面积为（）A ．5πB ．7.5πC ．253πD ．10πB解析：B【分析】设AC=a ，BC=b ，由勾股定理可求得a 2+b 2=102，由三角形的面积公式和圆的面积公式分别求出空白部分图形面积和阴影部分图形面积，利用阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍可求得ab ，进而可求得△ABC 的面积．【详解】解：设AC=a ，BC=b ，由题意，AB=10，∴a 2+b 2=102，由图可知，空白部分面积为（25122ab π-），阴影部分面积= 22111251()()2222222a b ab ab πππ⨯+⨯⨯+-+ = 22()2582a b ab ππ+-+ =1002582ab ππ-+ = ab ， ∵阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，∴ab =3（25122ab π-），解得：15ab π=，∴△ABC=12ab =7.5π，故选：B ．【点睛】本题考查了圆的面积公式、三角形的面积公式、勾股定理、解方程等知识，熟记面积公式，利用割补法和整体思想解决问题是解答的关键．5．已知O 的直径10CD cm ，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，且8AB cm =，则AC 的长为（） A ．5B ．3C ．2545D ．233 解析：C【分析】连结OA ，由AB CD ⊥，根据垂径定理可以得到4AM =,结合勾股定理可以得到3OM =．在分类讨论，如图，当8CM =和2CM =时，再结合勾股定理即可求出AC ．【详解】连结OA ，∵AB CD ⊥， ∴118422AM BM AB ===⨯=，在Rt OAM 中，5OA =， ∴223OA OM AM -==，当如图时，538CM OC OM =+=+=，在Rt ACM △中，2245AC AM CM =+=，当如图时，532CM OC OM =-=-=，在Rt ACM △中，2225AC AM CM =+=故选C ．【点睛】本题考查垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”．分类讨论思想也是解决本题的关键．6．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AC 经过点O ，与⊙O 分别相交于点D 、C ．若∠ACB=30°，AB= 3，则阴影部分的面积（）A 3B 3C 3π6D 3π6-C 解析：C【分析】首先求出∠AOB ，OB ，然后利用S 阴＝S △ABO −S 扇形OBD 计算即可．【详解】连接OB ．∵AB 是⊙O 切线，∴OB ⊥AB ，∵OC ＝OB ，∠C ＝30°，∴∠C ＝∠OBC ＝30°，∴∠AOB ＝∠C ＋∠OBC ＝60°，在Rt △ABO 中，∵∠ABO ＝90°，AB ＝3，∠A ＝30°，∴OB ＝ABtan30°=1，∴S 阴＝S △ABO −S 扇形OBD ＝12×1×3−2601360π⋅＝3π26-．故选：C ．【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，直角三角形30度角性质，解题的关键是学会分割法求面积，记住扇形面积公式，属于中考常考题型．7．如图，AB 圆O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为M ，下列结论不成立的是（）A ．CM DM =B ．CB BD =C ．ACD ADC ∠=∠ D ．OM MB =D解析：D【分析】根据垂径定理得到CM=DM ，BC BD =，AC AD =，然后根据圆周角定理得∠ACD=∠ADC ，而对于OM 与MB 的大小关系不能判断．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CM=DM ，BC BD =，AC AD =，∴∠ACD=∠ADC ．而无法比较OM ，MB 的大小，故选：D ．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理．8．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6AB =，120AOC ∠=︒，P 为O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为（）A ．37B ．3272+C ．237+D ．33722+D 解析：D【分析】如图，连接OQ ，作CH ⊥AB 于H ．首先证明点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，利用勾股定理求出CK 即可解决问题；【详解】如图，连接OQ ，作CH ⊥AB 于H ．∵AQ ＝QP ，∴OQ ⊥PA ，∴∠AQO ＝90°，∴点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大,∵120AOC ∠=︒∴∠COH ＝60°在Rt △OCH 中，∵∠COH ＝60°，OC=12AB=3， ∴OH ＝12OC ＝32，CH 22332OC OH +=，在Rt △CKH 中，CK ＝223332⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭372， ∴CQ 的最大值为33722+，故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q 的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 9．如图，⊙O 的直径12CD =，AB 是⊙O 的弦，AB CD ⊥，垂足为P ，:1:2CP PO =，则AB 的长为（）A ．45B ．215C ．16D ．8A解析：A【分析】连接OA ，先根据⊙O 的直径CD ＝12，CP ：PO ＝1：2求出CO 及OP 的长，再根据勾股定理可求出AP 的长，进而得出结论．【详解】连接OA ，∵⊙O 的直径CD ＝12，CP ：PO ＝1：2，∴CO ＝6，PO=4，∵AB ⊥CD ，∴22OA OP -2264-5，∴AB ＝2AP ＝22545⨯=故选：A ．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式2222ar d⎛⎫=+⎪⎝⎭成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．10．如图，点M是矩形ABCD的边BC、CD上的点，过点B作BN⊥AM于点P，交矩形ABCD的边于点N，连接DP，若AB=6，AD=4，则DP的长的最小值为（）A．2 B．121313C．4 D．5A解析：A【分析】易证∠APB＝90°，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP的长的最小值时的位置，OP′＝OA＝12AB＝3，OD＝5，DP′＝OD−OP′＝2，即可得出结果．【详解】解：∵BN⊥AM，∴∠APB＝90°，∵AB＝6为定长，则P点的运动轨迹是以AB为直径，在AB上方的半圆，取AB的中点为O，连接OD，OD与半圆的交点P′就是DP长的最小值时的位置，如图所示：∵AB＝6，AD＝4，∴OP′＝OA＝12AB＝3，OD22AD+OA224+3＝5，∴DP′＝OD−OP′＝5−3＝2，∴DP的长的最小值为2，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轨迹等知识；判断出P点的运动轨迹，找出DP长的最小值时的位置是解题的关键．二、填空题AB=，11．如图，AB、AC、BD是O的切线，P、C、D为切点，如果8AC=，则BD的长为_______．5【分析】由于ABACBD是⊙O的切线则AC=APBP=BD求出BP的长即可求出BD的长【详解】解：∵ACAP为⊙O的切线∴AC=AP∵BPBD为⊙O 的切线∴BP=BD∴BD=PB=AB-AP=8-5解析：3【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．【详解】解：∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP，∵BP、BD为⊙O的切线，∴BP=BD，∴BD=PB=AB-AP=8-5=3．故答案为：3．【点睛】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．12．如图，有一半径为6cm的圆形纸片，要从中剪出一个圆心角为60︒的扇形ABC，AB，AC为⊙O的弦，那么剪下的扇形ABC（阴影部分）的面积为 ___________．【分析】如图（见解析）先根据等边三角形的判定与性质可得再根据圆周角定理可得然后根据垂径定理勾股定理可得BC的长从而可得AB的长最后利用扇形的面积公式即可得【详解】如图连接OBOCBC 过点O 作于点D 由解析：218cm π【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得AB BC =，再根据圆周角定理可得120BOC ∠=︒，然后根据垂径定理、勾股定理可得BC 的长，从而可得AB 的长，最后利用扇形的面积公式即可得．【详解】如图，连接OB 、OC 、BC ，过点O 作OD BC 于点D ，由题意得：,60,6AB AC A OB OC cm =∠=︒==，ABC ∴是等边三角形，AB BC ∴=，由圆周角定理得：2120BOC A ∠=∠=︒，OD BC ⊥， 160,22BOD BOC BC BD ∴∠=∠=︒=， 30OBD ∴∠=︒，在Rt BOD 中，2213,332OD OB cm BD OB OD cm ===-=， 263AB BC BD cm ∴===，则剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为()()22606318360cm ππ⨯=，故答案为：218cm π．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形的面积公式等知识点，通过作辅助线，利用到垂径定理是解题关键．13．将面积为3πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，若扇形的圆心角是120°，则该圆锥底面圆的半径为_____cm ．1【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案【详解】解：设圆锥的母线长为Rcm 底面圆的半径为rcm ∵面积为3πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面扇形的圆心角是120 解析：1【分析】直接利用已知得出圆锥的母线长，再利用圆锥侧面展开图与各部分对应情况得出答案．【详解】解：设圆锥的母线长为Rcm ，底面圆的半径为rcm ，∵面积为3πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，扇形的圆心角是120°， ∴2120360R π⨯＝3π，解得：R ＝3，由题意可得：2πr ＝1203180π⨯，解得：r ＝1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，正确得出母线长是解题关键．14．如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE 边长是6，则它的外接圆圆心P 的坐标是______．【分析】如图所示连接POPA 过点P 作PG ⊥OA 于点G 由正六边形推出为等边三角形进而求出OGPG 的长度即可求得P 点坐标【详解】解：如图所示连接POPA 过点P 作PG ⊥OA 于点G 则∵多边形为正六边形∴∵∴解析：(3,33【分析】如图所示，连接PO ，PA ，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，由正六边形OABCDE 推出OPA 为等边三角形，进而求出OG 、PG 的长度即可求得P 点坐标.【详解】解：如图所示，连接PO ，PA ，过点P 作PG ⊥OA 于点G ，则90OGP ∠=︒，∵多边形OABCDE 为正六边形，∴60OPA ∠=︒，∵PO PA =， ∴OPA 为等边三角形，又∵PG ⊥OA ，∴PG 平分OPA ∠，∴30OPG ∠=︒，又∵OA=6， ∴11163222OG OP OA ===⨯=， ∴由勾股定理得：22226333PG OP OG =-=-=，∴P 的坐标是()3,33，故答案为：()3,33【点睛】本题考查正多边形外接圆的问题，熟练掌握正多边形的性质，灵活运用三角形相关知识解决边角关系是本题的关键.15．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB 、CD 的延长线交于点E ，已知2AB DE =，若COD ∆为直角三角形，则E ∠的度数为______︒．【分析】由于AB 是⊙O 的直径则AB ＝2DO 而AB ＝2DE 可得DO ＝DE 根据等腰三角形的性质得到∠DOE ＝∠E 又由于△COD 为直角三角形而OC ＝OD 所以△COD 为等腰直角三角形于是可得∠CDO ＝45° 解析：22.5︒【分析】由于AB 是⊙O 的直径，则AB ＝2DO ，而AB ＝2DE ，可得DO ＝DE ，根据等腰三角形的性质得到∠DOE ＝∠E ，又由于△COD 为直角三角形，而OC ＝OD ，所以△COD 为等腰直角三角形，于是可得∠CDO ＝45°，利用三角形外角性质有∠CDO ＝∠DOE ＋∠E ，则∠E ＝12∠CDO ＝22.5°．【详解】解：∵AB 是⊙O 的直径，∵AB ＝2DO ，而AB ＝2DE ，∴DO＝DE，∴∠DOE＝∠E，∵△COD为直角三角形，而OC＝OD，∴△COD为等腰直角三角形，∴∠CDO＝45°，∵∠CDO＝∠DOE＋∠E，∠CDO＝22.5°．∴∠E＝12故答案为：22.5°．【点睛】本题考查了圆的认识：圆上任意两点的连线段叫圆的弦；过圆心的弦叫圆的直径；直径的长等于半径的2倍．也考查了等腰直角三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．16．已知圆心O到直线l的距离为5，⊙O半径为r，若直线l与⊙O有两个交点，则r的值可以是________．（写出一个即可）答案不唯一如516等（满足即可）【分析】根据直线与圆的位置关系可得出圆的半径与圆心距之间的关系再取r的值即可【详解】解：∵直线l与⊙O有两个交点圆心O到直线l的距离为5∴∴在此范围内取值即可如516r>即可）解析：答案不唯一，如5.1，6等（满足5【分析】根据直线与圆的位置关系可得出圆的半径与圆心距之间的关系，再取r的值即可．【详解】解：∵直线l与⊙O有两个交点，圆心O到直线l的距离为5，r>∴5∴在此范围内取值即可，如5.1，6等．【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系---相交，熟知直线与圆相交满足的条件是解答此题的关键．17．如图，在⊙O中，弦AC、BD相交于点E，且AB BC CD==，若∠BEC=130°，则∠ACD的度数为_____105°【分析】根据圆周角定理的推论可得∠BCA＝∠CBD＝∠CDB然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BCA与∠CED再在△CDE中利用三角形的内角和求解即可【详解】解：∵∴∠BCA ＝∠CBD ＝∠解析：105°【分析】根据圆周角定理的推论可得∠BCA ＝∠CBD ＝∠CDB ，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BCA 与∠CED ，再在△CDE 中利用三角形的内角和求解即可【详解】解：∵AB BC CD ==，∴∠BCA ＝∠CBD ＝∠CDB ，∵∠BEC ＝130°，∴∠BCA ＝∠CBD ＝25°，∠CED ＝50°，∴∠CDB ＝25°，∴∠ACD ＝180°﹣50°﹣25°＝105°．故答案为：105°．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论和三角形的内角和定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 18．如图，AB 是O 的直径，O 交BC 的中点于D ，DE AC ⊥于E ，连接AD ，则下列结论正确的有______（填序号） ①AD BC ⊥；②EDA B ∠=∠；③12OA AC =；④DE 是O 的切线． ①②③④【分析】根据题意易得∠ADB=90°可得①进而根据线段垂直平分线的性质可得AC=AB 连接OD 然后根据圆的基本性质及切线的判定定理可求解【详解】解：∵是的直径∴∠ADB=90°∴AD ⊥BC 故① 解析：①②③④【分析】根据题意易得∠ADB=90°，可得①，进而根据线段垂直平分线的性质可得AC=AB ，连接OD ，然后根据圆的基本性质及切线的判定定理可求解．【详解】解：∵AB 是O 的直径，∴∠ADB=90°，∴AD ⊥BC ，故①正确；∵点D 是BC 的中点，∴AC=AB ，∴△ABC 是等腰三角形，∴∠B=∠C ，∠CAD=∠BAD ，∵DE ⊥AC ，∠CDA=90°，∴∠EDA+∠EAD=90°，∠CAD+∠C=90°，∴EDA C ∠=∠，∴EDA B ∠=∠，故②正确； ∵12OA AB =， ∴12OA AC =，故③正确；连接OD ，如图所示：∵OD=OA ，∴∠ADO=∠DAO ，∴∠ADO=∠EAD ，∴∠ADO+∠EDA=90°，∴ED 是⊙O 的切线，故④正确；∴正确的有①②③④；故答案为①②③④．【点睛】本题主要考查切线的判定定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握切线的判定定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．19．如图，△ABC 内接于O ，∠BAC=45°，AD ⊥BC 于D ， BD=6，DC=4，则AD 的长是_____． 12【分析】连接OAOBOC 过点O 作OE ⊥AD 于EOF ⊥BC 于F 根据圆周角定理得到∠BOC=90°再根据等腰直角三角形的性质计算求出OB 再由DF=BD-BF 得出DF 然后等腰直角三角形的性质求出OF 根解析：12【分析】连接OA 、OB 、OC 过点O 作OE ⊥AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，再根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB ，再由DF=BD-BF 得出DF ，然后等腰直角三角形的性质求出OF ，根据勾股定理求出AE ，再根据AD=AE+OF 得到答案．【详解】解：∵BD=6，DC=4，∴BC=BD+DC=10∵∠BAC=45°，∴∠BOC=90°， ∴2522==OB BC 连接OA 、OB 、OC 过点O 作OE ⊥AD 于E ，OF ⊥BC 于F ，∴BF=FC=5，∴DF=BD-BF=1，∵∠BOC=90°，BF=FC∴OF=12BC=5， ∵AD ⊥BC ，OE ⊥AD ，OF ⊥BC ，∴四边形OFDE 为矩形，∴OE=DF=1，DE=OF=5，在Rt △AOE 中，227,=-=AE OA OE∴AD=AE+DE=12．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．20．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC=30°，半径为1cm 的的圆心P 在射线OA 上，且与点O 的距离为6cm ，以1cm/s 的速度沿由A 向B 的方向移动，那么与直线CD 相切时，圆心P 的运动时间为 _____．4秒或8秒【分析】⊙P与CD相切应有两种情况一种是在射线OA上另一种在射线OB上设对应的圆的圆心分别在MN两点当P 在M点时根据切线的性质在直角△OME中根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半即可求解析：4秒或8秒【分析】⊙P与CD相切应有两种情况，一种是在射线OA上，另一种在射线OB上，设对应的圆的圆心分别在M，N两点．当P在M点时，根据切线的性质，在直角△OME中，根据30度的角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得OM的长，进而求得PM的长，从而求得由P到M移动的时间；根据ON=OM，即可求得PN，也可以求得求得由P到M移动的时间．【详解】①当⊙P在射线OA上，设⊙P于CD相切于点E，P移动到M时，连接ME．∵⊙P与直线CD相切，∴∠OEM=90°，∵在直角△OPM中，ME=1cm，∠AOC=30°，∴OM=2ME=2cm，则PM=OP-OM=6-2=4cm，∵⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，∴⊙P移动4秒时与直线CD相切；②当⊙P的圆移动到直线CD的右侧，同理可求ON=2则PN=6+2=8cm．∴⊙P移动8秒时与直线CD相切．故答案为：4秒或8秒．【点睛】本题主要考查了切线的性质和直角三角形的性质，注意已知圆的切线时，常用的辅助线是连接圆心与切点，本题中注意到分两种情况讨论是解题的关键．三、解答题21．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在⊙O上，若∠AOD＝50°．（1）求∠DEB的度数；（2）若OC＝3，OA＝5，①求弦AB的长；②求劣弧AB的长．解析：（1）25°；（2）①8；②25 9π【分析】（1）由垂径定理，可知AD BD=，再由圆周角定理求得∠DEB的度数．（2）①由勾股定理可得AC=4，由垂径定理可知，AC＝BC＝12AB＝4，即可求解；②根据弧长公式即可求得答案．【详解】解：（1）∵OD⊥AB，∴AD BD=，∴∠AOD＝∠BOD∴∠DEB＝12∠AOD＝12×50°＝25°．（2）①∵OC＝3，OA＝5，∴AC＝4，∵OD⊥AB，∴12AD BD AB==，∴AC ＝BC ＝12AB ＝4， ∴AB ＝8； ②∵∠AOD ＝50°，AD BD =，∴∠AOB ＝100°， ∵OA ＝5，∴AB 的长＝1005251801809n r πππ⨯==．【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理，勾股定理及弧长公式．解答关键是应用垂径定理求得AC ＝BC ＝12AB ＝4． 22．如图，已知,90Rt ABC ACB ∆∠=︒．（1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使得圆心О在边AC 上，且与边,AB BC 所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹);（2）在（1）的条件下，若9,12AC BC ==，求O 的半径．解析：（1）见解析；（2）O 的半径为4 【分析】（1）先作∠ABC 的角平分线，交AC 于点O ，然后过O 作AB 的垂线，交AB 于E ，以O 为圆心，OE 为半径作圆即可；（2）先利用勾股定理求出AB ，然后由OBC ABO ABC S S S ∆∆∆+=即可求出O 的半径．【详解】解:（1）如图所示：（2）设直线AB 与O 切于点D ，连接OD ，则,OD AB ⊥90,ACB ∴∠=︒22222291215AB AC BC ∴=+=+=．15,AB ∴=设O 的半径为,r由得OBC ABO ABC S S S ∆∆∆+=1215912,r r +=⨯4,r ∴=即O 的半径为4【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质，理解题意熟练掌握角平分线和垂线的作图是解题的关键．23．如图，AB 是O 的一条弦，⊥OD AB ，垂足为C ，OD 交O 于点D ，点E 在O 上，若50AOD ．（1）求DEB ∠的度数：（2）若3OC =，5OA =，①求弦AB 的长；②求劣弧AB 的长．解析：（1）25°；（2）①8；②25π9 【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理求解即可；（2）①根据勾股定理和垂径定理求解即可；②先求出100AOB ∠=︒，再根据弧长公式计算即可．【详解】解：（1）∵⊥OD AB ，∴AD BD =，∴11502522DEB AOD ∠=∠=⨯︒=︒；（2）①∵3OC =，5OA =，⊥OD AB ，∴22534AC =-=，∴AB=2AC=8；②∵50AOD ，AD BD =，∴100AOB ∠=︒， ∵5OA =，∴弧AB 的长π1005π25π1801809n r ⨯===．【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，以及弧长公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．24．已知点A 、B 在半径为2的⊙O 上，直线AC 与⊙O 相切，OC OB ，连接AB 交OC 于点D ．（1）如图①，若60ACO ︒∠=，求B ：（2）如图②，OC 与⊙O 交于点E ，若//BE OA ，求AB 的长．解析：（1）30°；（2）222+（1）由切线的性质可知∠OAC=90°，由三角形的内角和定理可知∠AOC=30°，由∠AOB=∠AOC+∠BOC 可得出∠AOB 的度数，结合OA=OB 可得出∠B=30°；（2）过B 作BH AO ⊥交AO 的延长线于H ，由BE ∥OA 可得出ABE OAB ∠=∠，结合等腰直角三角形的性质可得出45OBE ︒∠=，根据勾股定理得出2OH BH ==，最后再结合勾股定理即可得出结论．【详解】解：（1））∵AC 与⊙O 相切，∴∠OAC=90°∵∠OCA=60°∴∠AOC=30°∵OC ⊥OB ，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°∵OA=OB ， ∴180120302B ︒︒︒-∴∠==；（2）过B 作BH AO ⊥交AO 的延长线于H//BE OAABE OAB ∴∠=∠,90OB OE BOE ︒=∠=45OBE ︒∴∠=45HO B OAB OBA ABE OBA OBE ︒∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=2OA OB ==2OH BH ∴==2222(22)(2)AB AH BH ∴=+=++842222=+=+【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．25．如图，半径为2的⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB 、AE 相切于点M 、N ，求劣弧MN解析：45π 【分析】如图（见解析），先根据圆的切线的性质可得,OM AB ON AE ⊥⊥，再根据正五边形的内角和可得108A ∠=︒，然后根据四边形的内角和可得72MON ∠=︒，最后弧长公式即可得．【详解】如图：连接OM ，ON ，∵O 与正五边形ABCDE 的边AB 、AE 相切于点M 、N ，∴,OM AB ON AE ⊥⊥，90AMO ANO ∴∠=∠=︒，∵正五边形的每个内角为(52)1801085-⨯︒=︒， 108A ∴∠=︒，∴在四边形AMON 中，36072AMO ANO A MON ∠-∠=-∠∠︒-=︒，∵O 的半径为2，∴劣弧MN 的长度为72241805ππ⨯=．【点睛】本题考查了正五边形的内角和、圆的切线的性质、弧长公式等知识点，熟练掌握正五边形的内角和是解题关键．26．如图，OA 、OB 、OC 分别是⊙O 的半径，且AC =CB ，D 、E 分别是OA 、OB 的中点．CD 与CE 相等吗？为什么？解析：CD=CE ．见解析．【分析】由题意易得OD=OE ，由等弧所对的圆心角相等可得DOC EOC ∠=∠，进而由全等三角形的判定证得△CDO ≌△CEO ，进而求证结论．【详解】CD=CE ．∵ D 、E 分别是OA 、OB 的中点， ∴12OD OA ，12OE OB =， ∴OD=OE ，∵AC CB =．∴DOC EOC ∠=∠，又∵OC=OC ，∴△CDO ≌△CEO ，∴CD=CE ．【点睛】本题主要考查圆圆周角定理、全等三角形的判定和性质，解题的关键是由等弧所对的圆心角相等求得DOC EOC ∠=∠．27．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，AD ⊥CD 于点D ，E 是AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点F ，连接OC ，AC ．（1）求证：AC 平分∠DAO ；（2）若∠DAO ＝105°，∠E ＝30°，①求∠OCE 的度数；②若⊙O 的半径为2EF 的长．解析：（1）见解析；（2）①45°，②32．【分析】（1）由切线性质知OC ⊥CD ，结合AD ⊥CD 得AD ∥OC ，即可知∠DAC ＝∠OCA ＝∠OAC ，从而得证；（2）①由AD ∥OC 知∠EOC ＝∠DAO ＝105°，结合∠E ＝30°可得结果；②作OG ⊥CE ，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CG ＝FG ＝OG ，由OC ＝2得出CG＝FG＝OG＝2，在Rt△OGE中，由∠E＝30°可得GE＝23，由此计算即可．【详解】（1）证明：∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD．∵AD⊥CD，∴AD∥OC．∴∠DAC＝∠OCA．∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC．∴∠OAC＝∠DAC．∴AC平分∠DAO．（2）①∵AD∥OC，∴∠EOC＝∠DAO＝105°．∵∠E＝30°，∴∠OCE＝180°－∠EOC－∠E ＝45°．②作OG⊥CE于点G，∵OC＝2∠OCE＝45°，∴CG＝OG＝2．∴FG＝2．在Rt△OGE中，∠E＝30°，∴GE＝3∴EF＝GE−FG＝32 ．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理等知识，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理是解题的关键．28．如图，AB是O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切O于点E，交AM 于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF．（1）求证：//OD BE ；（2）猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由．解析：（1）见解析；（2）（2）12OF CD =，理由见解析【分析】（1）连接OE ，利用直角三角形HL 判定Rt AOD Rt EOD ∆∆≌，根据全等三角形的性质可知AOD ABE ∠=∠，根据平行线的判定即可求证结论；（2）根据切线长定理可知DA=DE ，CB=CE ，根据切线的性质可知AB ⊥AD ，BC ⊥AB ，证得四边形ABCD 是梯形，根据梯形的中位线定理并代换即可求证.【详解】（1）证明：连接OE ，∵AM ，DE 是O 的切线，OA 、OE 是O 的半径，∴OA OE =，90DAO DEO ∠=∠=︒，又∵OD 为公共边∴Rt AOD Rt EOD ∆∆≌（HL ）∴12AOD EOD AOE ∠=∠=∠， ∵12ABE AOE ∠=∠， ∴AOD ABE ∠=∠，∴OD BE（2）12OF CD =，理由：∵AM 、DE 是圆的切线，∴DA=DE ，AB ⊥AD ，同理可得：CB=CE ，BC ⊥AB ，证得四边形ABCD 是梯形，∵F 是CD 的中点、O 是AB 的中点，∴OF ＝()12AD BC + ＝()12DE CE +， ∴12OF CD =．【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系、切线长定理、全等三角形的判定与其性质、梯形，解题的关键是综合运用所学知识.。

分类讨论思想在圆中的应用

分类讨论思想在圆(上) 中的应用庞各庄中学初三数学组陈晓健一、课题：分类讨论思想在圆(上)中的应用二、课型：复习课（专题性质）三、时间：2008年12月四、班级：初三（六）班五、学生情况分析：通过对分类方法的多次渗透，学生对分类思想已有了一定的认识，但学生在确定分类的依据和究竟哪些知识点需要分类讨论掌握不好，有待加强。

六、本课内容分析：圆（上）中的部分内容是对学生进一步加强和提高分类讨论意识的极好题材。

七、教学目标：1、了解分类讨论思想2、掌握圆(上)有关需要进行分类讨论的一些问题；并理解这些分类讨论的依据。

3、通过分类讨论问题的学习来训练学生的思维的条理性、缜密性和灵活性。

六、教学重点、难点：目标2、3七、教学方法：讲练法。

八、教学过程：1、引入：（1）过三点可以画圆吗?（2）查阅圆周角定理的证明过程。

2、复习提问：点与圆的位置关系分哪几种？例1、点P到⊙O的最短距离为3, 最长距离为5, 则⊙O 的半径为________。

分析: 根据点P与圆的三种位置关系去研究例题的结论3、提问：什么是外心？三角形外心的位置有哪几种情况？例2、已知点O为△ABC的外心，∠A= ，则∠BOC=________。

分析: 根据外心与三角形的三种位置关系去研究例题的结论4、提问:弦所对的圆周角有多少个?有几种?例3、圆中一弦等于半径，则此弦所对的圆周角的度数是________。

分析: 根据弦所对的圆周角的两种位置关系去研究例题结论练习:①一条弦将圆周分为1:5的两部分,则这条弦所对的圆周角的度数是多少?②圆内接正三角形的一条边所对的圆周角的度数是多少?5、弦的不同位置引发的分类讨论例4、（2005襄樊市中考题）⊙O的半径为5㎝，弦AB∥CD，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB和CD之间的距离是（）（A）7㎝（B）8㎝（C）7㎝或1㎝（D）1㎝分析：题中的弦AB、CD都比⊙O中的直径小，所以AB 和CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。

(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第四单元《圆》检测卷(含答案解析)(5)

一、选择题1．在平面直角坐标系中，以点()3,4-为圆心，半径为5作圆，则原点一定（） A ．与圆相切B ．在圆外C ．在圆上D ．在圆内 2．已知正方形的边长a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则::R r a =（） A ．2:1:2 B ．2:1:1 C ．2:1:1 D ．2:2:4 3．已知O 的直径10CD cm ，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，且8AB cm =，则AC 的长为（） A ．25B ．43C ．25或45D ．23或43 4．在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连结CD ．如图，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，则∠BDC 的度数（）A ．45°B ．55°C ．65°D ．70° 5．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，其中6AB =，120AOC ∠=︒，P 为O 上的动点，连AP ，取AP 中点Q ，连CQ ，则线段CQ 的最大值为（）A ．37B ．3272+C ．237+D ．33722+ 6．以O 为中心点的量角器与直角三角板ABC 如图所示摆放，直角顶点B 在零刻度线所在直线DE 上，且量角器与三角板只有一个公共点P ，∠POB ＝40°，则∠CBD 的度数是（）A ．50°B ．45°C ．35°D ．40°7．如图，EM 经过圆心O ，EM CD ⊥于M ，若4CD =，6EM =，则CED 所在圆的半径为（）A ．103B ．83C ．3D ．48．已知O 的半径为4，点P 在O 外，OP 的长可能是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59．如图，PA 切O 于点,A PB 切O 于点B PO ，交O 于点C ，下列结论中不一定成立的是（）A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．AB OP ⊥D ．2PAB APO ∠=∠ 10．在下列命题中，正确的是( )A ．弦是直径B ．半圆是弧C ．经过三点确定一个圆D ．三角形的外心一定在三角形的外部 11．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD 丄AB ，∠CAB =20°，则∠BOD 等于（）A ．20°B ．40°C ．50°D ．60° 12．一个圆锥的底面直径为4 cm ，其侧面展开后是圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的侧面积等于（）A ．4πcm 2B ．8πcm 2C ．12πcm 2D ．16πcm 2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．一排水管截面如图所示，截面半径13dm OA =，水面宽10dm AB =，则圆心O 到水面的距离OC=______dm．14．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是____________．15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在DE上，则∠CFD＝_____度．16．在平面直角坐标系xOy中，A（5，6），B（5，2），C（3，0），△ABC的外接圆的圆心坐标为____．17．如图，在⊙O中，弦AC、BD相交于点E，且AB BC CD==，若∠BEC=130°，则∠ACD的度数为_____18．如图，⊙O 的半径为3，点A是⊙O 外一点，OA＝6，B是⊙O上的动点，线段AB的中点为P，连接 OA、OP．则线段 OP的最大值是______．19．如图所示，在⊙O中，AB为弦，交AB于AB点D，且OD=DC，P为⊙O上任意一点，连接PA，PB，若⊙O的半径为1，则S△PAB的最大值为_____.20．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值________．三、解答题21．如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．（1）画出△OAB关于绕着点O逆时针旋转180°得到的△OA1B1，并写出点B1的坐标；（2）点A旋转到点A1所经过的路径长为__________（结果保留π）．22．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上．（1）若∠ABC=120°，求∠AOC的度数；（2）在（1）的条件下，若点B是弧AC的中点，求证：四边形OABC为菱形．23．如图，在直角坐标系中，A （0，4）、B （4，4）、C （6，2），（1）写出经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标：______；（2）判断点()5,2D -与圆M 的位置关系．24．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2，求大正方形的面积．25．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点C 的切线互相垂直，垂足为D ．（1）求证：AC 平分DAB ∠；（2）若4CD =，8AD =，试求O 的半径． 26．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，P 是⊙O 外一点，AC ⊥PD 于点E ，AD平分∠BAC ．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若3∠BAC=60°，求⊙O的半径．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设点（-3，4）为点P，原点为点O，先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．【详解】解：∵设点（-3，4）为点P，原点为点O，∴OP225，34而⊙P的半径为5，∴OP等于圆的半径，∴点O在⊙P上．故选：C．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．2．A解析：A【分析】经过圆心O作正方形一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠AOC=45°．OC是边心距r，OA即半径R，进而即可求解【详解】如图：作出正方形的边心距，连接正方形的一个顶点和中心可得到一直角三角形在中心的直角三角形的角为360°÷4÷2=45°，∴内切圆的半径为2a ，外接圆的半径为22a ， ∴::R r a =22a ：2a ：a=2:1:2 故选A【点睛】本题主要考查正多边形的外接圆与内切圆的半径，掌握相关概念，作出图形，是解题的关键．3．C解析：C【分析】连结OA ，由AB CD ⊥，根据垂径定理可以得到4AM =,结合勾股定理可以得到3OM =．在分类讨论，如图，当8CM =和2CM =时，再结合勾股定理即可求出AC ．【详解】连结OA ，∵AB CD ⊥，∴118422AM BM AB ===⨯=，在Rt OAM 中，5OA =，∴223OA OM AM -==，当如图时，538CM OC OM =+=+=，在Rt ACM △中，2245AC AM CM =+=，当如图时，532CM OC OM =-=-=，在Rt ACM △中，2225AC AM CM =+=故选C ．【点睛】本题考查垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”．分类讨论思想也是解决本题的关键．4．C解析：C【分析】连接BC ，求出∠B ＝65°，根据翻折的性质，得到∠ADC+∠B ＝180°，进而得到∠BDC=∠B ＝65°．【详解】解：连接BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝25°，∴∠B ＝90°﹣∠BAC ＝90°﹣25°＝65°，根据翻折的性质，AC 所对的圆周角为∠B ，ABC 所对的圆周角为∠ADC ，∴∠ADC+∠B ＝180°，∴∠BDC=∠B ＝65°，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，根据题意添加适当辅助线是解题关键．5．D解析：D【分析】如图，连接OQ ，作CH ⊥AB 于H ．首先证明点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大，利用勾股定理求出CK 即可解决问题；【详解】如图，连接OQ ，作CH ⊥AB 于H ．∵AQ ＝QP ，∴OQ ⊥PA ，∴∠AQO ＝90°，∴点Q 的运动轨迹为以AO 为直径的⊙K ，连接CK ，当点Q 在CK 的延长线上时，CQ 的值最大,∵120AOC ∠=︒∴∠COH ＝60°在Rt △OCH 中，∵∠COH ＝60°，OC=12AB=3， ∴OH ＝12OC ＝32，CH 2233OC OH +=，在Rt △CKH 中，CK 223332⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭372 ∴CQ 的最大值为33722 故选：D ．【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点Q 的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 6．D解析：D【分析】根据切线的性质得到∠OPB ＝90°，证出OP //BC ，根据平行线的性质得到∠POB ＝∠CBD ，于是得到结果．【详解】∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OPB ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴OP //BC ，∴∠CBD ＝∠POB ＝40°，故选D ．【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．7．A解析：A【分析】如图，连接OD ，设半径为r ，则OM=6-r;再由垂径定理求出MD 的长，然后根据勾股定理解答即可．【详解】解：如图，连接OD ，设半径为r ，则OM=6-r∵EM CD ⊥∴MD=12CD=2 在Rt △MOD 中，OD=r ，OM=6-r ，MD=2 ∴222OM MD OD +=,即()22262r r -+=，解得r=103．故答案为A ．【点睛】本题考查了圆的垂径定理和勾股定理，根据垂径定理求得MD 的长是解答本题的关键． 8．D解析：D【分析】根据题意可以求得OP 的取值范围，从而可以解答本题．【详解】解：∵O 的半径为4，点P 在⊙O 外，∴OP ＞4，故选：D ．【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP 的取值范围． 9．D解析：D【分析】利用切线长定理证明△PAG ≌△PBG 即可得出．【详解】解：连接OA，OB，AB，AB交PO于点G，由切线长定理可得：∠APO＝∠BPO，PA＝PB，又∵PG=PG，∴△PAG≌△PBG，从而AB⊥OP．因此A．B．C都正确．无法得出AB＝PA＝PB，可知：D是错误的．综上可知：只有D是错误的．故选：D．【点睛】本题考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质，关键是利用切线长定理解答．10．B解析：B【分析】根据命题的“真”“假”进行判断即可．【详解】解：A、弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；B、半圆是弧，说法正确，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；D、三角形的外心不一定在三角形的外部，原说法错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．11．B解析：B【分析】由线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，根据垂径定理的即可求得=BC BD，然后由圆周角定理，即可求得答案．【详解】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=BC BD，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°．故选：B．【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．12．D解析：D【分析】设展开后的圆半径为r，根据圆锥性质可知底面周长就等于展开后扇形的弧长，然后算出展开后扇形的半径，进而计算出扇形的面积．【详解】解：设展开后的扇形半径为r，由题可得：4π=2rπ解得r=8∴S扇形=14π×82=16π故选：D【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥侧面展开图与各部分对应情况是解题关键．二、填空题13．12【分析】根据垂径定理求出AC=5dm再根据勾股定理求出OC即可【详解】∵OC⊥AB∴AC=5dm在Rt△AOC中∴OC==12dm故答案为：12【点睛】此题考查垂径定理勾股定理熟记垂径定理是解题解析：12【分析】根据垂径定理求出AC=5dm，再根据勾股定理求出OC即可．【详解】∵OC⊥AB，10dmAB=，∴AC=5dm，在Rt△AOC中，13dmOA=，∴=，故答案为：12【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，熟记垂径定理是解题的关键．14．【分析】连接DO交AC于点F由垂径定理得F是AC中点再由中位线定理得接着证明得到DF=CB就可以求出OF的长就得到BC的长最后用勾股定理求出AC 的长【详解】解：如图连接DO 交AC 于点F ∵D 是的中点∴ 解析：42【分析】连接DO ，交AC 于点F ，由垂径定理得F 是AC 中点，再由中位线定理得12OF BC =，接着证明()EFD ECB AAS ≅，得到DF=CB ，就可以求出OF 的长，就得到BC 的长，最后用勾股定理求出AC 的长．【详解】解：如图，连接DO ，交AC 于点F ，∵D 是AC 的中点，∴OD AC ⊥，AF CF =，∴90DFE ∠=︒，∵OA OB =，AF CF =，∴12OF BC =， ∵AB 是直径， ∴90ACB ∠=︒，在EFD △和ECB 中，90DFE BCE DEF BECDE BE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()EFD ECB AAS ≅，∴DF BC =， ∴12OF DF =， ∵3OD =，∴1OF =，∴2BC =，在Rt ABC 中，2242AC AB BC =-=．故答案是：2【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理．15．36【分析】连接OCOD求出∠COD的度数再根据圆周角定理即可解决问题【详解】如图连接OCOD∵五边形ABCDE是正五边形∴∠COD==72°∴∠CFD=∠COD=36°故答案为：36【点睛】本题考解析：36．【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【详解】如图，连接OC，OD．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠COD=3605=72°，∴∠CFD=12∠COD=36°，故答案为：36．【点睛】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．16．(14)【分析】如图作AB和BC的垂直平分线它们的交点为△ABC的外接圆的圆心然后直接读出△ABC的外接圆的圆心坐标【详解】解：如图所示：点P 即为所求；所以点P的坐标为（14）故答案为（14）【点睛解析：(1，4)【分析】如图，作AB和BC的垂直平分线，它们的交点为△ABC的外接圆的圆心，然后直接读出△ABC的外接圆的圆心坐标．【详解】解：如图所示：点P即为所求；所以点P的坐标为（1,4）．故答案为（1,4）．【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，掌握三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点是解答本题的关键．17．105°【分析】根据圆周角定理的推论可得∠BCA＝∠CBD＝∠CDB然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BCA与∠CED再在△CDE中利用三角形的内角和求解即可【详解】解：∵∴∠BCA＝∠CBD＝∠解析：105°【分析】根据圆周角定理的推论可得∠BCA＝∠CBD＝∠CDB，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BCA与∠CED，再在△CDE中利用三角形的内角和求解即可【详解】解：∵AB BC CD==，∴∠BCA＝∠CBD＝∠CDB，∵∠BEC＝130°，∴∠BCA＝∠CBD＝25°，∠CED＝50°，∴∠CDB＝25°，∴∠ACD＝180°﹣50°﹣25°＝105°．故答案为：105°．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论和三角形的内角和定理，熟练掌握上述知识是解题的关键．18．【分析】如图连接OB设OA交⊙O于点T连接PT利用三角形中位线定理求出PT根据OP≤PT+OT可得结论【详解】如图连接OB设OA交⊙O于点T连接PT∵OA=6OT=3∴OT=TA∵AP=PB∴PT=解析：9 2【分析】如图，连接OB，设OA交⊙O于点T，连接PT．利用三角形中位线定理求出PT，根据OP≤PT+O T ，可得结论．【详解】如图，连接OB ，设OA 交⊙O 于点T ，连接PT ．∵OA=6，OT=3，∴OT=TA ，∵AP=PB ，∴PT=12OB=32， ∵OP≤PT+OT ， ∴OP≤92，故答案为：92．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题．19．【分析】作直径CE 连OAAEBE 利用垂经定理的AD=BD 在利用勾股定理计算出AD 则AB=2AD 当点P 与点E 重合时P 点到AB 的距离最大然后根据三角形面积公式求解即可【详解】延长CD 交⊙O 于点E 连接OA 解析：334【分析】作直径CE ，连OA 、AE 、BE ，利用垂经定理的AD=BD ，在利用勾股定理计算出AD ，则AB=2AD ，当点P 与点E 重合时，P 点到AB 的距离最大，然后根据三角形面积公式求解即可．【详解】延长CD 交⊙O 于点E ，连接OA ，AE ，BE 如图，∵OA=OC=1，OD=CD ，∴OD=CD=12OC=12， ∵OC ⊥AB ，∴2232OA OD -=，AD=BD=12AB ， AB=2AD=3，∴sin ∠OAD=12OD OA =， ∴∠OAD=30º， ∴∠AOD =90º-∠OAD =60º，∵OA =OE ，∴∠OAE=∠OEA ，∵∠AOD=∠OAE+∠OEA ，∴∠OAE=∠OEA=30º，∵CE ⊥AB ，∴AE=BE ，∴∠OEB=∠OEA=30º，∴∠AEB=∠OEB+∠OEA=60º，∴△ABE 是等边三角形，∴AE=AB=3，DE=2232AE AD -=， S △ABE =1332AB DE =， ∵在△ABP 中，当点P 与点E 重合时，AB 边上的高取最大值，此时△ABP 的面积最大， ∴S △ABP 的最大值=334．故答案为：334．【点睛】本题考查三角形面积，掌握垂经定理，勾股定理，和引辅助线构造图形，找到当点P 与点E 重合时，P 点到AB 的距离最大，然后根据三角形面积公式求解是解题关键．20．a-b 【分析】根据圆外一点到圆的最大距离是过圆心的直线与圆相交的最远的点到圆的最小距离是点与圆心的连线与圆相交的最近点求解即可【详解】解：空间站A 与星球B 飞船C 在同一直线上时S 取到最小值a-b 故答案解析：a-b【分析】根据圆外一点到圆的最大距离是过圆心的直线与圆相交的最远的点，到圆的最小距离是点与圆心的连线与圆相交的最近点求解即可．【详解】解：空间站A 与星球B 、飞船C 在同一直线上时，S 取到最小值a-b ．故答案为：a-b ．【点睛】本题考查了圆外一点到圆的最大距离和最短距离，最大距离和最短距离都在过圆心的直线上．属于基础知识．三、解答题21．（1）作图见解析，B 1（-4，-2）；（2）4π．【分析】（1）将点A 和点B 分别绕点O 逆时针旋转90°后所得对应点，再顺次连接即可得；（2）根据弧长公式计算可得．【详解】解：（1）∴△OA 1B 1即为所求作三角形，如图，点B 1（-4，-2）．（2）∵OA ＝4，∠1AOA ＝180°，∴点A 旋转到点A 1所经过的路径长为1804180π⋅=4π．【点睛】本题主要考查作图−旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点，及弧长公式．22．（1）∠AOC=120°；（2）见解析【分析】（1）先由圆内接四边形的性质得∠ADC=60°，再由圆周角定理即可得出答案；（2）证△OAB 和△OBC 都是等边三角形，则AB=OA=OC=BC ，根据菱形的判定方法即可得到结论．【详解】（1）∵A、B、C、D四点都在⊙O上∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ABC=120°，∴∠ADC=60°，∴∠AOC=2∠ADC=120°；（2）连接OB，如图所示：∵点B是弧AC的中点，∠AOC=l20°，∴∠AOB=∠BOC=60°，又∵OA=OC=OB，∴△OAB和△OBC都是等边三角形，∴AB=OA=OC=BC，∴四边形OABC是菱形．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．23．（1）（2，0）；（2）在圆内．【分析】（1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点M，根据图形即可得出点M的坐标；（2）用两点间距离公式求出圆的半径和线段DM的长，当DM小于圆的半径时点D在圆内．【详解】（1）如图1，点M就是要找的圆心；圆心M 的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；（2）圆的半径AM =2224+=25．线段MD =22(52)2-+=13＜25，所以点D 在⊙M 内．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，坐标与图形性质以及垂径定理，利用网格结构得到圆心M 的坐标是解题的关键．24．64cm 2【分析】连接OA 、OB 、OE ，证Rt △ADO ≌Rt △BCO ，推出OD=OC ，设AD=a ，则OD=12a ，由勾股定理求出OA=OB=OE=5a ，求出EF=FC=4cm ，在△OFE 中由勾股定理求出a ，即可求出答案．【详解】解：连接OA 、OB 、OE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC ，∠ADO=∠BCO=90°，∵在Rt △ADO 和Rt △BCO 中∵OA OB AD BC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADO ≌Rt △BCO ，∴OD=OC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC ，设AD=acm ，则OD=OC=12DC=12AD=12acm ，在△AOD 中，由勾股定理得：OA=OB=OE=5acm ， ∵小正方形EFCG 的面积为16cm 2，∴EF=FC=4cm ，在△OFE 中，由勾股定理得：(5a)2=42+(12a+4)2，解得：a=-4（舍去），a=8，∴正方形面积为264cm故答案为：64cm²．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想．25．（1）证明见解析；（2）5．【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质可得OC CD ⊥，再证//AD OC ，然后再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明12∠=∠即可；（2）作OE AD ⊥于点E ，设O 的半径为x ，先证四边形OEDC 是矩形，进而求得OE 和AE ，然后根据勾股定理解答即可．【详解】（1）证明：如图1：连接OC ，∵CD 是切线，∴OC CD ⊥．∵AD CD ⊥，∴//AD OC ，∴13∠=∠．∵OA OC =，∴23∠∠=，∴12∠=∠，∴AC 平分DAB ∠；（2）解：如图2，作OE AD ⊥于点E ，设O 的半径为x ．∵AD CD ⊥，OE AD ⊥，∴90OED EDC DCO ∠=∠=∠=︒，∴四边形OEDC 是矩形，∴4OE CD ==，8AE AD DE x =-=-，∴()22248x x +-=， ∴228016x x x -+=，解得5x =，∴O 的半径是5．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质以及勾股定理等内容，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．26．（1）见解析；（2）2【分析】（1）连接OD ，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠DAE ，根据等腰三角形的性质得到∠ODA=∠OAD ，由垂直的定义得到∠AEP=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BD ，根据角平分线的定义得到∠BAD=∠DAE=30°，推出AB=2BD ，设BD=x ，则AB=2x ，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠DAE ，∵OA=OD ，∴∠ODA=∠OAD ，∴∠ODA=∠DAE ，∴OD∥AE，∵AC⊥PD，∴∠AEP=90°，∴∠ODP=∠AEP=90°，∴OD⊥PE，∵OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BAD=∠DAE=30°，∵AC⊥PE，∴AD=2DE=∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AB=2BD，设BD=x，则AB=2x，∵AD2+BD2=AB2，∴()222+=(2x x∴BD=2，AB=4，∴AO=2，∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。

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