平面向量(章节综合测验附有答案).doc
高中数学-平面向量(含详细答案)
＝
－
２ ３
→ＡＢ
Ｄ.Ａ→Ｑ ＝ Ｂ→Ｐ
２. 答案 Ｄ
３.( 教材习题改编) 如图ꎬＤꎬＥꎬＦ 分别是△ＡＢＣ 各边的中点ꎬ则下
列结论错误的是
( )
Ａ.Ｅ→Ｆ ＝ Ｃ→Ｄ
Ｂ.→ＡＢ与Ｄ→Ｅ共线
Ｃ.Ｂ→Ｄ与Ｃ→Ｄ是相反向量
Ｄ.→ＡＥ ＝
１ ２
｜ →ＡＣ ｜
３. 答案 Ｄ 根据向量的有关概念可知ꎬＥ→Ｆ ＝ Ｃ→Ｄꎬ→ＡＢ∥Ｄ→ＥꎬＢ→Ｄ
(２) ①是错误的ꎬ两个向量起点相同ꎬ终点相同ꎬ则两个向量
相等ꎻ但两个向量相等ꎬ不一定有相同的起点和终点. ②是错误的ꎬ ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ꎬ但 ａꎬｂ 方向不确定ꎬ所以 ａꎬｂ 的方向
不一定相等或相反.
③是正确的ꎬ因为→ＡＢ ＝ Ｄ→Ｃꎬ所以 ｜ →ＡＢ ｜ ＝ ｜ Ｄ→Ｃ ｜ 且→ＡＢ∥Ｄ→Ｃꎻ又
( )
( ２) 零向量与任意向量平行.
( )
(３) 若 ａ∥ｂꎬｂ∥ｃꎬ则 ａ∥ｃ.
( )
(４) 若向量→ＡＢ与向量Ｃ→Ｄ是共线向量ꎬ则 ＡꎬＢꎬＣꎬＤ 四点在一条
直线上.
( )
(５) 当两个非零向量 ａꎬｂ 共线时ꎬ一定有 ｂ ＝ λａꎬ反之成立.
( )
(６) 在△ＡＢＣ
①若两个向量相等ꎬ则它们的起点相同ꎬ终点相同ꎻ ②若 ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ ꎬ则 ａ ＝ ｂ 或 ａ ＝ －ｂꎻ
③若 ＡꎬＢꎬＣꎬＤ 是不共线的四点ꎬ且→ＡＢ ＝ Ｄ→Ｃꎬ则 ＡＢＣＤ 为平
行四边形ꎻ ④ａ ＝ ｂ 的充要条件是 ｜ ａ ｜ ＝ ｜ ｂ ｜ 且 ａ∥ｂꎻ ⑤已知 λꎬμ 为实数ꎬ若 λａ ＝ μｂꎬ则 ａ 与 ｂ 共线. 其中真命题的序号是 . 答案 (１)Ｄ (２)③
完整版)平面向量单元测试卷及答案
完整版)平面向量单元测试卷及答案平面向量单元测试卷一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.下列命题中的假命题是（）A、AB与BA的长度相等；B、零向量与任何向量都共线；C、只有零向量的模等于零；D、共线的单位向量都相等。
2.若a是任一非零向量，b是单位向量；①|a|。
|b|；②a∥b；③|a|。
|b|；④|b|= ±1；⑤a=|a|b，其中正确的有（）A、①④⑤B、③C、①②③⑤D、②③⑤3.设a，b，c是任意三个平面向量，命题甲：a+b+c=0；命题乙：把a，b，c首尾相接能围成一个三角形。
则命题甲是命题乙的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、非充分也非必要条件4.下列四式中不能化简为AD的是（A、(AB+CD)+BCB、(AM+MB)+(BC+CD)C、(AC+AB)+(AD-CB)D、OC-OA+CD5.设a=(-2,4)，b=(1,-2)，则（A、a与b共线且方向相反B、a与b共线且方向相同C、a与b不平行D、a与b是相反向量6.如图1，△ABC中，D、E、F分别是边BC、CA和AB 的中点，G是△ABC中的重心，则下列各等式中不成立的是（）A、BG=2BE/3B、DG=AG/2C、CG=-2FGD、DA+FC=BC7.设a=(-2,1-cosθ)，b=(1+cosθ,-4)，且a∥b，则锐角θ=( )A、π/4B、π/6C、π/3D、5π/6 或7π/68.若C分AB所成比为-3，则A分CB所成的比是（A、-3/2B、3/2C、-2/3D、-29.XXX<0，则a与b的夹角θ的范围是（）A、[π/2，π)B、[0，π/2)C、(π/2，π)D、(0，π/2]10.设a与b都是非零向量，若a在b方向的投影为3，b 在a方向的投影为4，则a的模与b的模之比值为（）A、3/4B、4/3C、3/7D、4/7cos(－)a·b=cos(－)=1/2sin(－)=±√3/2又∵∈（,），=，且sin(－)＞0sin(－)=√3/2π/3sin cos－cos sin=1/2sin(＋)=√3/22π/3sin=√3/217．（1）|a+b|=|e1+e2|=√2a+b|2=2a|2+|b|2+2a·b=2a·b=-1/2又kab·(a－3b)=0ka·a－3kb·b=0k=9/52）ka·b+3kb·b=0k=-3/5四、19．（1）设所求向量为c，则c·a=0，c·b=0 c·(a+b)=0又∵a+b=（1,1,1），∴c·（1,1,1）=0c与（1,1,1）垂直又∵c·(a－b)=0c·（1，－1，0）=0c与（1，－1，0）垂直c∥（0，0，1）c=k（0，0，1）又∵c·a=0k=－1/3所求向量为（0，0，1/3）2）设所求向量为c，则c∥a×b又∵a×b=（1，1，1）c∥（1，1，1）c=k（1，1，1）又∵c·a=0k=-1/3所求向量为（－1/3，－1/3，－1/3）165∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβcosαcosβ+sinαsinβcos(α-β)∵α∈(-π/2,π/2)sin(α-β)=-sinα=-(-cos(α-β)sinβ/cosβ)=cos(α-β)sinβ/cosβ5/4*sinβ+3/5*cosβ17.解：1) |a+b|²=|-2e₁+4e₂|²=4e₁²+16e₂²-8e₁e₂又e₁⊥e₂，e₁·e₂=0，e₁²+e₂²=1a+b|²=20a+b|=√20=2√5又|e₁|=|e₂|=1a|=|b|=√22) (ka+b)·(a-3b)=k|a|²-2k(a·b)+b·a-3|b|²又|a|=|b|=√2ka+b)·(a-3b)=2k-6+2=2k-4又(a+b)·(a-3b)=-4k=1918.解：1)a·b=cosx·cosx-sinx·sinx=cos2xa+→b|=√(4cos²x+4)=2√(cos²x+1)2)f(x)=a·b-2λ|a+b|=cos2x-4λcosx2cos²x-1-4λcosx2(cosx-λ)²-2λ²-1当λ<0时，f(x)无最小值当0≤λ≤1时，f(x)在cosx=λ时取得最小值-2λ²-1当λ>1时，f(x)在cosx=1时取得最小值1-4λ要使f(x)取得最小值-3，需解方程-2λ²-1=-3，解得λ=√2/2。
(完整word版)平面向量测试题及详解
k＝ 6λ
3.[解 由条件知，存在实数 λ<0，使 a＝λb，∴ (k,1)＝ (6λ， (k＋ 1)λ)，∴
，∴ k＝－ 3，
k＋1 λ＝ 1
故选 A.
4.[ 解析 ]
→ AF
＝
b
＋
1 2a，
→ DE
＝
a
－
1 2b，设
→ DH
＝ λD→E ，则
D→H ＝
λa －
1 2λb，∴
→ AH
＝ A→D＋ D→H
[
π， 2
π，］值域为
[2,5] ，求实数
a 与 b 的值．
19．△ ABC 中，a、b、c 分别是角
A、B、C
的对边，
向量
m
＝
(2sin
B,2
－
cos2B
)，n
＝
(2sin
2(π4＋
B 2 )，
－1)， m⊥ n.(1)求角 B 的大小； (2) 若 a＝ 3， b＝ 1，求 c 的值．
22．已知点
高考总复习
18．已知双曲线的中心在原点，焦点
F1、F 2 在坐标轴上，离心率为
2，且过点 (4，－ 10) ．
(1)求双曲线方程；
(2)若点 M (3，m)在双曲线上，求证
→ MF
→ 1·MF
2
＝
0.
＋ b， b>a. (1) 若 a>0，写出函数 y＝ f(x)的单调递增区间；
(2)若函数
y＝ f(x)的定义域为
a 与 c 的夹角为 120 °.
9.[ 解析 ] x2＋ y2－ 2x－ 2y＋1≥ 0，即 (x－ 1)2＋ (y－ 1)2≥ 1，画出不等式组表示的平面区域如图，
(完整版)平面向量练习题集答案(可编辑修改word版)
a •aa •a平面向量练习题集答案典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量AB 的长度与BA 的长度相等；②向量a 与向量b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量AB 与向量CD 是共线向量，则A、B、C、D 必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB 与CD 是共线向量，则A、B、C、D 可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝；②(a •b) •c＝a •(b •c)；③OA －OB ＝BA ；④在任意四边形ABCD 中，M 为AD 的中点，N 为BC 的中点，则AB ＋DC ＝2 MN ；⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a 与 b 不共线，则(a＋b)⊥(a－b).其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选D.| a|＝正确；(a •b) •c≠a •(b •c)；OA －OB ＝BA 正确；如下图所示，MN = MD + DC + CN 且MN = MA + AB + BN ，两式相加可得2 MN ＝AB ＋DC ，即命题④正确；因为a，b 不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b 为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC、BD 交于点O，点M 在线段DO上，且 DM = 1 DO ，点 N 在线段 OC 上,且ON = 1OC ,设 AB =a , AD =b ,试用 a 、b 表示 AM ， AN ，33MN .【解析】在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点 O ，1 1 1所以 DO ＝ DB ＝ ( AB － AD )＝ (a －b )，2 2 2 AO ＝ OC ＝1 AC ＝1( AB ＋ AD )＝1＋b ).(a2 2 2 1 1又 DM ＝ DO ， ON ＝ OC ，3 31所以 AM ＝ AD ＋ DM ＝b ＋ DO31 1 1 5 ＝b ＋ × (a －b )＝ a ＋ b ，3 2 6 6AN ＝ AO ＋ ON ＝ OC 1＋ OC34 4 1 2 ＝ OC ＝ × (a ＋b )＝ (a ＋b ). 3 3 2 3所以 MN ＝ AN － AM 2 1 5 1 1 ＝ (a ＋b )－( a ＋ b )＝ a － b . 3 6 6 2 6【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.【变式训练 2】O 是平面 α 上一点，A 、B 、C 是平面 α 上不共线的三点，平面 α 内的动点 P 满足OP ＝1OA ＋λ( AB ＋ AC )，若 λ＝ 时，则 PA • ( PB ＋ PC )的值为 .2【解析】由已知得OP － OA ＝λ( AB ＋ AC )，1 1即 AP ＝λ( AB ＋ AC )，当 λ＝ 时，得 AP ＝ ( AB ＋ AC )，2 2所以 2 AP ＝ AB ＋ AC ，即 AP － AB ＝ AC － AP ， 所以 ＝ ，所以 ＋ ＝ ＋ ＝0，所以 PA • ( PB ＋ PC )＝ PA • 0＝0，故填 0. 题型三 向量共线问题【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线.(1) 若 AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数 k ，使 k a ＋b 和 a ＋k b 共线.【解析】(1)证明：因为 AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b )， 所以 BD ＝ BC ＋ CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5 AB ， 所以 ， 共线.又因为它们有公共点 B ， 所以 A ，B ，D 三点共线. (2)因为 k a ＋b 和 a ＋k b 共线， 所以存在实数 λ，使 k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 所以(k －λ)a ＝(λk －1)b .因为 a 与 b 是不共线的两个非零向量，所以 k －λ＝λk －1＝0，所以 k 2－1＝0，所以 k ＝±1.【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练 3】已知 O 是正三角形 BAC 内部一点， OA +2 OB +3 OC =0，则△ OAC 的面积与△OAB 的面积之比是（）3 A.2 2 B.3 1 C.2D.3【解析】如图，在三角形 ABC 中， OA ＋2 OB ＋3 OC ＝0，整理可得OA ＋ OC ＋2( OB ＋ OC )＝0.1令三角形 ABC 中 AC 边的中点为 E ，BC 边的中点为 F ，则点 O 在点 F 与点 E 连线的 处，即 OE ＝2OF .31 h h 1设三角形 ABC 中 AB 边上的高为 h ，则 S △OAC ＝S △OAE ＋S △OEC ＝ • OE • ( ＋ )＝ OE ·h ，2 2 2 21 1 1S △OAB ＝ AB • h ＝ AB ·h ，2 2 42由于 AB ＝2EF ，OE ＝ EF ，所以 AB ＝3OE ，3 1S △ OAC OE • h 2 所以 ＝ 2 ＝ .故选 B.S △ OAB 总结提高1 AB • h 341. 向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2. 判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3. 当向量 a 与 b 共线同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |；当向量 a 与 b 共线反向时，|a ＋b |＝||a |－|b ||； 当向量 a 与 b 不共线时，|a ＋b |＜|a|＋|b |.典例精析题型一 平面向量基本定理的应用【例 1】如图▱ABCD 中,M ,N 分别是 DC ，BC 中点.已知 AM =a , AN =b ,试用 a ，b 表示 AB ， AD 与 AC【解析】易知 AM ＝ AD ＋ DM1＝ AD ＋ AB ，21AN ＝ AB ＋ BN ＝ AB ＋ AD ，2⎧AD + 1 AB = a , ⎪即⎨⎪AB + ⎩ 2 1AD = b . 2 2 2所以 AB ＝ (2b －a )， AD ＝ (2a －b ).3 32所以 AC ＝ AB ＋ AD ＝ (a ＋b ).3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知D 为△ABC 的边BC 上的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足 PA ＋ BP ＋ CP ＝| PD |0，则1 等于( )1A.3B.2C.1D.2【解析】由于 D 为 BC 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知 PB ＋ PC ＝2 PD ，因| PD |此结合 PA ＋ BP ＋ CP ＝0 即得 PA ＝2 PD ，因此易得 P ，A ，D 三点共线且 D 是 PA 的中点，所以即选 C.题型二 向量的坐标运算【例 2】 已知 a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b . (1)若 u ＝3v ，求 x ；(2)若 u ∥v ，求 x . 【解析】因为 a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，所以 u ＝(1，1)＋2(x ，1)＝(1，1)＋(2x ，2)＝(2x ＋1，3)， v ＝2(1，1)－(x ，1)＝(2－x ，1).＝1，⎪3 3 3⎨(1)u ＝3v ⇔(2x ＋1，3)＝3(2－x ，1) ⇔(2x ＋1，3)＝(6－3x ，3)， 所以 2x ＋1＝6－3x ，解得 x ＝1. (2)u ∥v ⇔(2x ＋1，3)＝λ(2－x ，1)⎧2x +1 = (2 - x ),⇔ ⎩3 =⇔(2x ＋1)－3(2－x )＝0⇔x ＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视. n π n π【变式训练 2】已知向量 a n ＝(cos 7 ，sin 7 )(n ∈N *)，|b|＝1.则函数 y ＝|a 1＋b|2＋|a 2＋b|2＋|a 3＋b|2＋…＋|a 141＋b|2 的最大值为.π【解析】设 b ＝(cos θ，sin θ)，所以 y ＝|a 1＋b|2＋|a2＋b|2＋|a 3＋b|2＋…＋|a 141＋b|2＝(a 1)2＋b 2＋2(cos7，sin π 141π 141π π 7)(cos θ，sin θ)＋… ＋(a 141)2＋b 2＋2(cos 7 ，sin 7 )(cos θ，sin θ)＝282＋2cos(7－θ)，所以 y 的最大值为 284. 题型三 平行(共线)向量的坐标运算【例 3】已知△ABC 的角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，设向量 m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2). (1)若 m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形； π(2) 若 m ⊥p ，边长 c ＝2，角 C ＝3，求△ABC 的面积.【解析】(1)证明：因为 m ∥n ，所以 a sin A ＝b sin B . 由正弦定理，得 a 2＝b 2，即 a ＝b .所以△ABC 为等腰三角形. (2)因为 m ⊥p ，所以 m ·p ＝0，即 a (b －2)＋b (a －2)＝0，所以 a ＋b ＝ab .由余弦定理，得 4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以(ab )2－3ab －4＝0. 所以 ab ＝4 或 ab ＝－1(舍去). 1 1 3 所以 S △ABC ＝ ab sin C ＝ ×4× ＝ 3.2 2 2 【点拨】设 m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则 ①m ∥n ⇔x 1y 2＝x 2y 1；②m ⊥n ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.【变式训练 3】已知 a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边，向量 m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1).若 m ⊥n ，且 a ＋b ＝10，则△ABC 周长的最小值为()A.10－5B.10＋5C.10－2D.10＋2 1 【解析】由 m ⊥n 得 2cos 2C －3cos C －2＝0，解得 cos C ＝－ 或cos C ＝2(舍去)，所以 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 2C ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ＝100－ab ，由 10＝a ＋b ≥2 ab ⇒ab ≤25，所以 c 2≥75，即 c ≥5 3，所以 a ＋b ＋312 4 ×2 3 c ≥10＋5 3，当且仅当 a ＝b ＝5 时，等号成立.故选 B.典例精析题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题 【例 1】 已知 a ，b 夹角为 120°，且|a |＝4，|b |＝2，求： (1)|a ＋b |；(2)(a ＋2b ) ·(a ＋b )；(3) a 与(a ＋b )的夹角 θ.【解析】(1)(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b 1 ＝16＋4－2×4×2× ＝12，2 所以|a ＋b |＝2 3.(2)(a ＋2b ) ·(a ＋b )＝a 2＋3a ·b ＋2b 2 1 ＝16－3×4×2× ＋2×4＝12.21(3)a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝16－4×2× ＝12.2 所以 cos θ＝ a • (a + b ) ＝ ＝ | a || a + b |3 ，所以 2 πθ＝6.【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.【变式训练 1】已知向量 a ，b ，c 满足：|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，且 c ⊥a ，则 a 与 b 的夹角大小是 .【解析】由 c ⊥a ⇒c ·a ＝0⇒a 2＋a ·b ＝0， 1所以 cos θ＝－ ，所以 θ＝120°.2题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题【例 2】 在△ABC 中， AB ＝(2，3)， AC ＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求 k 的值.【解析】①当∠A ＝90°时，有 AB · AC ＝0， 2 所以 2×1＋3·k ＝0，所以 k ＝－ ；3②当∠B ＝90°时，有 AB · BC ＝0，又 BC ＝ AC － AB ＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)， 11 所以 2×(－1)＋3×(k －3)＝0⇒k ＝ 3 ；③当∠C ＝90°时，有 AC · BC ＝0， 所以－1＋k ·(k －3)＝0， 所以 k 2－3k －1＝0⇒k ＝3 ±213.2 113 ±13所以k 的取值为－，或.3 3 2【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.【变式训练2】△ABC 中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB .【解析】因为2 AB ·BC ＋2 BC ·CA ＋2 CA ·AB＝( AB ·BC ＋CA ·AB )＋( CA ·AB ＋BC ·CA )＋( BC ·CA ＋BC ·AB )( AB ＋BC )＋BC ·( CA ＋AB )( BC ＋CA )＋CA ·＝AB ·C B＝AB ·BA ＋C A ·AC ＋BC ·＝－42－62－52＝－77.77所以AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝－.2题型三平面向量的数量积的综合问题π，构成一个平面斜坐标系，e1，e2分别是与Ox，Oy 同向【例3】数轴Ox，Oy 交于点O，且∠xOy＝3的单位向量，设P 为坐标平面内一点，且OP ＝x e1＋y e2，则点P 的坐标为(x，y)，已知Q(－1，2). (1)求| OQ |的值及OQ 与Ox 的夹角；(2)过点Q 的直线l⊥OQ，求l 的直线方程(在斜坐标系中).1e2＝，【解析】(1)依题意知，e1·2且OQ ＝－e1＋2e2，所以OQ 2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1·e2＝3.所以| OQ |＝3.e1＝－e21＋2e1•e2＝0.又OQ ·e1＝(－e1＋2e2) ·所以OQ ⊥e1，即OQ 与Ox 成90°角.(2)设l 上动点P(x，y)，即OP ＝x e1＋y e2，又OQ ⊥l，故OQ ⊥ QP ，(－e1＋2e2)＝0.即[(x＋1)e1＋(y－2)e2] ·1所以－(x＋1)＋(x＋1)－(y－2) ·＋2(y－2)＝0，2所以y＝2，即为所求直线l 的方程.【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势.k 2＋a 2k 4 k 2＋a 2k 4 k 2＋a 2k 4 k 2＋a 2k 4 k ＋ k 2＋a 2k 4 k ＋ k 2＋a 2k 4 【变式训练 3】在平面直角坐标系 xOy 中，点 A (5，0).对于某个正实数 k ，存在函数 f (x )＝ax 2(a ＞0)，使得OP ＝λ • (OAOQ＋ | OQ |)(λ 为常数)，其中点 P ，Q 的坐标分别为(1，f (1))，(k ，f (k ))，则 k 的取值范围为()A.(2，＋∞)B.(3，＋∞)C.(4，＋∞)D.(8，＋∞)【解析】如图所示，设OA＝ OM ，| OA |OQ＝ ON ， OM ＋ ON ＝ OG ，则OP ＝λ OG .因为 P (1，a )， | OQ | kak 2kak 2Q (k ，ak 2)， OM ＝(1，0)， ON ＝(， )， OG ＝( ＋1， )，则直线 OG 的ak 2 ak 2方程为 y ＝ x ，又OP ＝λ OG ，所以 P (1，a )在直线 OG 上，所以 a ＝ ，所以 a 2＝1－2k . 因为| OP |＝1＋a 2＞1，所以 1 2 0，所以 k ＞2. 故选 A.－ ＞ k。
(完整word)平面向量单元测试题及答案,推荐文档
平面向量单元测试题2一，选择题：1，下列说法中错误的是 （ ）A ．零向量没有方向B ．零向量与任何向量平行C ．零向量的长度为零D ．零向量的方向是任意的2，下列命题正确的是 （ ）A. 若→a 、→b 都是单位向量，则 →a ＝→bB . 若AB =DC , 则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形 C. 若两向量→a 、→b 相等，则它们是始点、终点都相同的向量 D. AB 与BA 是两平行向量3，下列命题正确的是 （ ）A 、若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→c 。
B 、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同。
C 、向量的长度与向量的长度相等 ,D 、若非零向量与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线。
4，已知向量(),1m =a ，若，a=2，则 m = （ ）A ．1 3 C. 1± D.3±5，若→a =（1x ，1y ），→b =（2x ，2y ），，且→a ∥→b ，则有 （ ） A ，1x 2y +2x 1y =0， B ， 1x 2y ―2x 1y =0， C ，1x 2x +1y 2y =0， D ， 1x 2x ―1y 2y =0，6，若→a =（1x ，1y ），→b =（2x ，2y ），，且→a ⊥→b ，则有 （ ） A ，1x 2y +2x 1y =0， B ， 1x 2y ―2x 1y =0， C ，1x 2x +1y 2y =0， D ， 1x 2x ―1y 2y =0， 7，在ABC ∆中，若AC BC BA =+，则ABC ∆一定是 （ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定8，已知向量,,a b c r r r 满足||1,||2,,a b c a b c a ===+⊥u u r r r r r r r，则a b r r 与的夹角等于 （ ）A ．0120B 060C 030D 90o 二，填空题：（5分×4=20分）9。
平面向量单元测试 Word版 含答案
平面向量一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在边长为3的等边三角形ABC 中，2CD DB = ，则AB CD ⋅等于( )A．-B ．3-C ．3D．【答案】C2．12、无论),,(321x x x a =，),,(321y y y b =，),,(321z z z c =,是否为非零向量，下列命题中恒成立的是( ) A ． 232221232221332211,cos y y y x x x y x y x y x b a ++⋅++++>=<B ．若//，//，则//C ． c b a ∙∙)()(c b a ∙∙=D ．【答案】D3．下列物理量：①质量 ②速度 ③位移 ④力 ⑤加速度 ⑥路程，其中是向量的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C4．已知,a b均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b += ( )A ．B ．C ． 4D ． 13【答案】A5．在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅的取值范围是( )A. [7,)+∞B.（0，16）C. (7,16] D ．[7,16)【答案】D6．设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a=e 1+2e 2,b=2e 1+e 2,,则|a+b|的值( ) A ．23 B ．9 C ．2918+ D ．223+ 【答案】D7．对于非0向时a,b,“a//b ”的正确是( )A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 【答案】A8．已知的夹角是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( )A ．14B ．12C ．1D ．2 【答案】B 10．在ABC ∆中，b AC c AB ==,。
平面向量综合练习(含答案)
平面向量(1)如果a , b是两个单位向量，则下列结论中正确的是的值为(7) 在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h .渡船要垂直地渡过长江，则航向为_______________________ .(8) 三个力F1 , F2 , F3的大小相等，且它们的合力为0,则力F2与F3的夹角为______________ .(9) 用向量方法证明：三角形的中位线定理.UUU UJU UUUT (10)已知平面内三点A、B、C三点在一条直线上，OA ( 2, m), OB (n,1) , OC (5, 1),UUU 且OA UUUOB，求实数m , n的值.(A) a b (B) a b = 1 2 , 2(C) a b (D) aUJUT UJU (2)在四边形ABCD中，若AC AB uuurAD，则四边形ABCD的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形(3) 若平行四边形的3个顶点分别是(4,2),( 5,7),( 3,4),则第4个顶点的坐标不可能是()(4)(5) (A)( 12，5)(B) (-2 ，9)(C) (3，7)(D) (-4，-1)已知正方形ABCD的边长为1,UUUAB a ,UUT UUTBC b, AC c,则a b c等于(A) 0 (B) 3 (D) 2、2已知a3，b 4，且向量b不共线, 若向量a k b与向量a k b互相垂直，则实数k UUU(6)在平行四边形ABCD中，ABuuu UUU a , CB b ,O为AC与BD的交点，点M在BD 上, BM1UULT-OD，ULUU则向量BM用a，b表示为ULUU；AM用a，b表示为uuu(11)已知点o 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且 0P(A)点P 在线段AB 上 (B)点P 在线段AB 的反向延长线上(C)点P 在线段AB 的延长线上(D)点P 不在直线AB 上uuu uuu uur(12)已知 D 、E 、F 分别是三角形ABC 的边长的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC a , CA b ,AB c ,uuu 1 1uuu1 uuu 11uuu uuu uuu则①EF cb ，② BE a -b ，③ CF— a -b ，④ AD BE CF 0 中正确的等式2 222 2的个数为 ()(A ) 1(B ) 2(C ) 3(D) 4(13)已知向量a (1,5) ,b(3, 2)，则向量 a 在b 方向上的投影为uuuuuuuuuu(14)已知OA a ，OB b ，点M 关于点A 的对称点为S,点S 关于点B 的对称点为N,则向量MN 用a 、b 表示为______________________________ . (15)已知向量a (m 2, m 3), b (2m 1, m 2)，若向量a 与b 的夹角为直角，则实数m 的值为 ___________________ ；若向量a 与b 的夹角为钝角，则实数 m 的取值范围为 __________________求CA CB 的最小值及取得最小值时 cos ACB 的值.uuu uuu30A 0B，则()2LULT (16)已知OP uuu (2, 1) , OAuuu(1,7) , OB (5, 1)，点O 为坐标原点，点 C 是直线OP 上一点,UJU UULU UJU UJU (17)如图，点A「A2是线段AB的三等分点，求证：OA i OA OA OB (1)般地，如果点A1, A2，…A n 1是AB的n (n 3)等分点，请写出一个结论，使(1)为所写结论的一个特例•并证明你写的结论.(18)已知等边三角形ABC的边长为2, O A的半径为1, PQ为O A的任意一条直径,UUU UUIU UUU UUU(I)判断BP CQ AP CB的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由;UUU UUU(n)求BP CQ的最大值.A参考答案或提示: （三）平面(1) D (2) A ( 3) C (4) D (5)(6)-a - b 6；5a - b ; ----6（7）北偏西30°(8) 1200(9)略(10)(1)由单位向量的定义即得 al b1，故选（D ）.uuur uuu uuruuur uuu uuuruuur uuur(2) 由于 AC AB AD ,AC AB AD ，即BC AD ，•线段BC 与线段AD等,••• ABCD 为平行四边形，选 (A).(3) 估画草图知符合条件的点有三个，这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三点 略解或提示: 平行且相 于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限，则排除（ 一象限只有一个点，且位于点（ 5, 7）的右侧，则该点的横坐标要大于由 B ）、（ D ）,而符合条件的点第 5，•排除（A ）,选（C ）. (4) 由于a be 2c •- a be 2c 2 2 , •••选(D ). (5) k b 与向量a k b 互相垂直，则（k b) (a k 2b 2, 依题意, 又OD (8)而a 2 a 2 9, b 2 uiur 1 uur••• BM -OD 而（3 uuuu uuu uuu • AMAB BM uuu 如图，渡船速度 OB 向量a (6) (7) 3 4 uuu i 1 uuu BD , • BM 2 5a - b6 uu u BD6 1 ujur 6(ADuuu AB) 1 iuu 6(B Cuuu AB) -a - b ； 6水流速度OA ，船实际垂直过江的速度uu u OA uur 12.5 , OB uuir 25 ,由于OADB 为平行四边形，贝V BD BD ，•在直角三角形 OBD 中，/ BOD = 30o ，•航向为北偏西 过点 uuu O 作向量OA 、 uuiu uur OB 、OC ，使之分别与力F 1 , F 2 , F 3相等，由于 F 1 , F 2 ,F 3的合力为 0 ,则以OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与OA 的长度相等，又由于力 F !，F 2， F 3的大小相等, • OA OB OC ，则三角形OCD 和三角形OBD C均为正三角形，• COB120o ，即任意两个力的夹角均为 120o .OUULT (9) 解：由于DE uu u CEuuur CD ，而 uuuCE LUU 1 UUU •- DE -CB 2 1 uu u -CA 2 1 uuu 尹uuu CA) 1 UU U -CB , 2 1 uuu -AB 2 uu uCD 1 uur-CA 2C(10)由于O 、A 、B 三点在一条直线上，则uuur AC //uurAB ，而uuur AC uur uuu OC OA(7, 1m),UUU UUU UUUuuu uurAB OB OA (n 2, 1 m) • 7(1 m)( 1 m)( n 2) 0，又 OA OB ,2n m 0则 DE // AB ，且 DE 3 m 联立方程组解得 6 或 1 一 AB ，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半. 2 (11)B (12 )C (13) 3 (14) 2 b 2a 13 (15)4或2；35.5 2 11^,2)(16) 8,4 1717 (17 )答案不唯 uujr 如OA ULU ULTOAn 1uuu u OA 2 ULUL UU OA n 2uu OA uu OB 或UULT LULU OA OA 2 LUU ULT OAn 1 n 1 uur uuu (OA OB) uuu (18) (I) BP uu u CQ uu u AP uu uCB 略解或提示: (11)由于 uuu 2OP uuu 3OA uuu OB , uuu uuu • 2OP 2OAuu u OA uu u OBUUU ，即 2AP uur BA ,• AP UJ U 1 uur-BA , 2则点P 在线段AB 的反向延长线上, UUT (12)v EF (B). uuu 由于BE uu uBC 1 UU U CB2 uuu CE a，又a 2 uuu BC uuu b c 0 ,• E Fuuur • CF UU LT AD uu u BE uu u CF 1 uur CA 2 1a -b ，即②是正确的；同理 2 1 b ,即③是正确2 c) 即④是正确的.选( C ). a 在b 方向上的投影为 CO S丄b ,2uuu CF即①是错误的;1尹uuur ADb b _(14 ) 由于A 为SM 中点， B 为 UUU 1 OB - 2 uu uur uuu (OS ON)，两式相减得 OB uuuu • MN uur uuu uuuu2(OB OA), • MN 2b设a 与b 的夹角为 ，则向量 (13) SN 中点，• 2a.uu u OA1 UUT 1(ON uu uOA1 uuu 評Suuur OM), uuuuOM), 173 吊-uuuu 也可直接根据中位线定理MN uuu2AB 2b 2a .(15)若a 与b 的夹角为直角, 则 a b 0，即(m 2)(2m 1) (m 3)(m 2) 若向量a 与b 的夹角为钝角，则 a b 0，且a 与b 不共线，则(m 2)(2m 1) (m 3)(m 2) 0,且(m 2)( m 2) (m 3)(2m 1) 0, 4 解得- 3 55 11^5 或 — 2 2 11 (16)由于点 C 是直线OP 上一点，设点 C (2m, m) uur CA uuu (1 2m, 7 m) ,CB (5 2m,1 m), uu u CA uu u CB2 5(m 2) 8 , • m uuu uuu CA CB 的最小值为 8 ;而m 2时, uuu CA(3,5)， uuu CB (1, 1), cos uuu 2时, 4、万 uu uuuu 同理OA 2 uuir AA 1 uuu — AB , 3 UULT •- OA 1 uuu OA uur AA uuu OA 1 uuu AB3 uuuOAuuuir uuu uur uuur uuuir uuu uuu uuu 2OB OA m 2OB OA OB 2OA (17)解: 3 3 3 1 uuu 1(OB uuuOA) uuu OBuu 2OA uuu uuuOA OB ;uur uiuur 一般结论为 OA OA n 1uuuu OA uuiuuu OA L uur OA uuu OB UUU k UUU 证明：：AA , AB , •uuu OA k UJU OA uuuu AR uur OA k^ AB , nn k uu u OA uuu OA uuuui u 而OA n uuiuu AA n kuuuu • • OAk uuuuuuOAn kuuu OA 注：也可以将结论推广为 UJI T OAk uuu UUU uuu k uuuAB OA AB AB n uuu k uur OB ABn uuuu OA , uu u OA n uuu OB uuuuirOA n 1uuu (OA uu u OB uuu OB) k uuu -AB n证明类似，从略. uuu uuur uuu uuu (18) (I)由于 BP CQ AP CB uuu (AP uuu AB) uuur (AQ uuur ACuuu )A P uuu (AB uuurAC), uuur 而AQuuu AP ,uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuuUU U uuu u ur则BP CQ AP CB (AP AB)( AP AC) AP (AB AC) APAB A C1uuu U ULT uuu uuruuu 2 uuu AB AC AB AC cos ABC 2 , AP AP 2 uuu 二 BPuur CQ uuu uu AP CB uuu 2 AP uu AB uur AC 1,uu u BP uuur uuu CQ AP uuuCB 的值不会随点 P 的变化而变化; uuu uur uuu (n)由于 BP CQ AP mu CB uuu 1 , ••• BP uur CQ uuu uuu1 AP CB , uuu uuu :AP CBuuu uuuuuu uuu ••• AP CB uuu uuu AP CB2 (等号当且仅当 uu u uuu uuu AP CB cos AP,CB uuu AP 与CB 同向时成立)，• BP uu u CQ 的最大值为3.。
(完整版)平面向量综合检测、解析及答案
平面向量综合检测、分析及答案一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1. 平面向量a与b的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b| ＝1，则 | a＋2b| ＝ ()A. 3B．2 3C．4D．12分析： | a＋2b| ＝( a＋2b) 2＝4＋4＋4＝2 3.答案： B2. 已知 |a| ＝1，|b| ＝6，a·(b －a) ＝2，则向量 a 与 b 的夹角是 ()ππA. 6B. 4ππC. 3D. 2分析：由 a·(b－a)＝2得 a·b＝2＋1＝3＝6×cos<a，b>，∴cos<a，1b>＝2，又<a，b>∈[0，π]，π∴<a，b>＝3.答案： C3.一质点遇到平面上的三个力 F1、F2、F3( 单位：牛顿 ) 的作用而处于均衡状态．已知 F1、F2 成 60°角，且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为()A．2 7B．2 5C．2D．6分析：由题意得 F1＋F2＋F3＝0.答案： A4.(2009 ·福建福州模拟 ) 把一颗骰子扔掷两次，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点数为b，向量 m＝ (a ，b) ，n＝(1,2) ，则向量 m与向量 n 不共线的概率为 ()15A. 12B. 12711C.12D. 12分析： m 与 n 共线的情况共有三种： m ＝(1,2) ，m ＝(2,4) ，m ＝(3,6) ，3 11故 m 与 n 不共线的概率 P ＝1－36＝12.答案： D5. 已知向量 a ＝(λ2＋6和 j ＝(0,1) ，若 a ·j ＝－ 3，3 ，λ) ，i ＝(1,0)且向量 a 与 i 的夹角为 θ，则 cos θ 的值为 ()3 3A ．－ 2 B. 2 1 1 C ．－2 D. 2答案： Buuur uuur uuur uuur)6．四边形 ABCD 中，AB · BC ＝0，且 AB ＝ DC，则四边形 ABCD 是( A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 uuuruuuruuur分析：由AB ＝可知为平行四边形，由 AB ·BC ＝0 知∠＝DCABCDABC90°，故 ABCD 为矩形．答案： B7．设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－ (b －2a) 共线，则λ＝ ( )1A ．0B ．－ 21C ．－ 2D.2分析：由题意得 a ＋λb ＝－ k ( b －2a ) ∴2k ＝1,，＝－ k1∴λ＝－ 2. 答案： B8. 设向量 a ，b 知足： |a| ＝3，|b| ＝4，a ·b ＝0，以 a ，b ，a －b 的模为第2页共 8页分析：三角形的内切圆半径为 1，将圆平移，最多有 4 个公共点． 答案： B9．设 a ，b ，c 是非零向量，以下命题中正确的选项是 ( )A ．( a ·b ) ·c ＝a ·(b ·c )B ．| a －b | 2＝| a | 2－2| a || b | ＋| b | 2C ．若 | a | ＝| b | ＝| a ＋b | ，则 a 与 b 的夹角为 60°D ．若 | a | ＝| b | ＝| a －b | ，则 a 与 b 的夹角为 60°分析：A 、B 明显不正确． 由平行四边形法例可知， 若| a | ＝| b | ＝| a ＋b | ，可知 <a ，b >＝120°，故 C 不正确．答案为 D.答案： D10. 设 a 、b 、c 是单位向量，且 a ·b ＝0，则 (a －c) ·(b －c) 的最小值为()A ．－ 2B. 2－2C ．－ 1D ．1－ 2分析：( a －c ) ·(b －c ) ＝a ·b －b ·c ＋c 2－a ·c ＝1－( a ＋b ) · c ，又 a ·b＝0，| a | ＝| b | ＝1，∴|a ＋b | ＝ 2.设 a ＋b 与 c 的夹角为 θ，则上式＝ 1－2cos θ当 cos θ＝1 时( a －c ) ·(b －c ) 获得最小值 1－ 2. 答案： Duuur uuuruuur11．点 O 在△ABC 内部且知足 OA ＋2 OB ＋2 OC＝0，则 △ABC 的面积与△OBC 的面积之比为 ( )5A.4 B ．3 C ．4 D ．5uuuruuuruuur1 uuuruuur1 uuur分析：由 OA ＋2 OB ＋2OC ＝0，∴2( OB ＋ OC ) ＝4AO ，∴△ABC△OBC底边 BC 的高之比为 5 1，∴ S △ABC S △OBC ＝5 1.答案： D12．在直角 △ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则以下等式不建立的是( )uuur2uuuruuurA ．| AC | ＝AC· AB uuur2uuuruuurB ．|BC | ＝BA · BCuuur 2uuuruuurC ．| AB | ＝AC · CDuuurD ．| CD |uuur uuuruuur uuur2 （ACgAB ）（BA gBC ） ＝uuur 2ABuuur uuur uuur分析：∵AB ·AC ＝| ACuuur uuur uuur uuur（AC gAB ）（BA gBC ）同理：uuur 2AB| 2 uuuruuur 2，故 B 建立．故 A 建立，又 BA ·BC ] ＝| BC |uuur uuurACBA＝uuur 2ABuuuruuur uuuruuur又| AC |·|BC | ＝| AB || CD |uuuruuuruuuruuur uuuruuur 2ACACuuur 2∴|CD |2 ＝uuur2，故 D 也正确．，又AC ·CD ＝| CD≠|| ，故AB AB选 C.答案： Cm13．设两个向量 a ＝( λ＋2，λ2－cos2α) 和 b ＝(m ，2＋sin α) ，此中λλ， m ，α 为实数，若 a ＝2b ，则 m 的取值范围是 ()A ．[ －6,1]B ．[4,8]C ．[ －1,1]D ．[ －1,6]＋ ＝①,分析：由 a ＝2b 知2 2m,2－2＝ ＋ ②)cos m 2sin , ＝2m －2,∴2－m ＝ cos 2 ＋2sin又 cos 2α＋2sin α＝－ (sin α－1) 2＋2∴－ 2≤cos 2 α＋2sin α≤2，即－ 2≤ λ2－m ≤2，由 λ＝2m －22 1 －2≤(2 m －2) －m ≤2，得 4≤m ≤2λ 2m －22∴＝＝2－ ∈[ －6,1] ． mm m答案： A二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．uuur uuur uuur uuuruuuur14．在? ABCD 中， AB ＝a ，AD ＝b ，AN＝3 NC ，M 为 BC 的中点，则 MNuuur uuur分析：由 AN ＝3 NC 得 4 AN ＝3 AC ＝3( a ＋b ) ．uuuur1AM ＝a ＋2b ，uuuur 3111∴ MN ＝4( a ＋b ) －( a ＋2b ) ＝－ 4a ＋4b .1 1答案：－ 4a ＋4b711715．向量 c 与 a ＝( 2，2) ，b ＝( 2，－ 2) 的夹角相等，且 |c| ＝1，则 c ＝________.x2＋ 2＝分析：设 c ＝( x ，y ) ，由题意得：y 1,得 ＝bgcagcx= 4 , x=-455 ,y= 3 y=- 355434 3答案： ( 5，－ 5) 或( －5，5)16．已知点 G 为△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB 、AC 两边分别交于 M 、Nuuuur uuur uuur uuur 1 1两点，且 AM ＝xAB ， AN ＝ y AC ，则 ＋ ＝________.xyuuur1 uuuruuur1 1 uuuur1 uuur1分析： AG ＝3( AB ＋ AC ) ＝3( x AM ＋y AC ) ，∵M 、N 、G 三点共线， ∴3x11 1＋3y ＝1，即 x ＋y ＝3.答案： 317. 如图，在平面斜坐标系 xOy 中， ∠xOy ＝60°，平面上任一点 P 在斜uuur OPuuur轴方向同样的单位向量 ) ，则点 P 的斜坐标为 (x ，y) ．若点 P 知足 |OP| ＝1，则点 P 在斜坐标系 xOy 中的轨迹方程是 ________．uuuruuur22122又| OP | ＝1，∴ x ＋y ＋2xy ×2＝1，即 x ＋y ＋xy ＝1. 答案： x2＋y2＋xy ＝1三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．uuur uuur uuur uuur uuur18．(10 分) 在△ ABC 中， AB · AC ＝ | AB － AC | ＝2，求|AB|2 ＋| AC|2. 解：由题意可知uuur uuuruuurABgAC 2uuur 2 uuur2＝8.2 uuur uuur uuur 得| AB | ＋| AC| AB2 ABgAC AC 4uuuruuuruuuruuur uuur19．(12 分) 如图 |OA| ＝|OB|＝1，| OC|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥ OC.uuuruuuruuur设 OC ＝x OA ＋y OB，求 x 、y 的值．uuur uuur uuur解： ∵ OC ＝x OA ＋y OB uuur 2uuur uuur uuur uuur①∴ OB · OC ＝x OA · OB＋y OBuuur 2uuur uuur uuuruuurOC ＝x OA· OC ＋y OB · OC ②将①②联立得12x ＋y ＝0332×( － 2 ) x ＝3 得 x ＝－2,y ＝1π20．(12 分 ) 已知 a ，b 知足 |a| ＝3，|b| ＝ 1，a 与 b 的夹角为 3 ，求 2a＋3b 与 a －b 的夹角的余弦值．1 3解： ∵a ·b ＝| a || b |cos< a ，b >＝3×1× 2＝2又(2 a ＋3b ) 2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝36＋9＋18＝63， ∴|2 a ＋3b | ＝3 7.同理可得 | a －b | ＝ 7 ∵ (2 a ＋3b ) ·(a －b ) ＝2a 2＋a ·b －3b 23 33 ＝18＋2－3＝ 2＋ · －333b )211(2 a( a b ) ＝∴cos 〈 (2 a ＋3b ) ，( a －b ) 〉＝a －b | ＝ .|2 a ＋3b ||37·7 1421．(12 分) (2009 ·上海 ) 已知 △ABC 的角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ，b ，c ，设 m ＝(a ，b) ，n ＝(sinB ，sinA) ，p ＝(b －2，a －2)(1) 若 m ∥n ，求证 △ABC 为等腰三角形；π(2) 若 m ⊥p ，边长 c ＝2，∠C ＝ 3 ，求 △ABC 的面积． 解： (1) 证明：∵ m ∥n ，∴ a sin A ＝b sin B .由正弦定理得 a 2＝b 2，a ＝b ，∴△ ABC 为等腰三角形． (2) ∵m ⊥p ，∴ m ·p ＝0. 即 a ( b －2) ＋b ( a －2) ＝0 ∴a ＋b ＝ab由余弦定理得 4＝a 2＋b 2－ab ＝( a ＋b ) 2－3ab 即( ab )2－3ab －4＝0，∴ ab ＝4 或 ab ＝－ 1( 舍)11 π∴S △ABC ＝2ab sin C ＝2×4×sin 3 ＝ 3.uuur uuuruuur22．(12 分) 已知 OA ＝(3 ，－ 4) ， OB ＝ (6 ，－ 3) ， OC＝(5 －m ，－ 3－m)．(1) 若点 A 、B 、C 不可以组成三角形，务实数 m 知足的条件；(2) 若△ABC 为直角三角形，务实数 m 的值．解： (1) uuur uuur∵ OA ＝(3 ，－ 4) ， OB ＝(6 ，－ 3)uuurOC ＝(5 －m ，－3－m ) ．若 A 、B 、C 三点不可以组成三角形， 则这三点共线，uuur∵ AB ＝(3,1)uuur1AC ＝(2 －m,1－m ) ，∴ 3(1 － m ) ＝2－m ，得 m ＝2(2) ∵△ ABC 为直角三角形．uuuruuur7若∠ A ＝90°，则 AB · AC ＝0，∴ 3(2 － m ) ＋(1 －m ) ＝0，得 m ＝4.uuuruuuruuur若∠ B ＝90°，则 AB · BC ＝0，又 BC ＝( －1－m ，－ m )3∴ 3( －1－m ) ＋( －m ) ＝0 得 m ＝－ 4.uuur uuur若∠ C ＝90°，则 BC ⊥ AC .1± 5∴(2 －m ) ·( － 1－m ) ＋(1 －m ) ·( －m ) ＝0，得 m ＝2731±5综上得 m＝4或 m＝－4或 m＝223．(12 分) 已知 a＝(1,2) ，b＝( －2,1) ，k、t 为正实数， x＝a＋(t2 ＋1 11)b ，y＝－k a＋t b(1)若 x⊥y，求 k 的最大值；(2)能否存在 k、t ，使 x∥y？若存在，求出 k 的取值范围，若不存在，说明原因．解： x＝a＋( t 2＋1) b＝(1,2)＋( t 2＋1)(－2,1)＝(－2t2－1，t2＋3)1111y＝－k a＋t b＝－k(1,2)＋t(－2,1)1 2 2 1＝( －k－t，－k＋t )2 1 22 2 1(1) 若x⊥y，则x·y＝ 0，即：( －2t－1) ·( －k－t ) ＋( t＋3)( －k＋t )＝0t111整理得：k＝t2＋1＝1≤2(当且仅当t＝t即t＝1时“＝”建立)故k maxt＋t1＝2.(2)假定存在正实数 k、t ，使 x∥y，则221212( －2t－1)(－k＋t ) －( t＋3)( －k－t ) ＝0t 2＋113整理得k＋t＝0，即t＋t ＋k＝0∵k、t 为正实数，故知足上式的k、t 不存在．即不存在这样的正实数k、t 使 x∥y.。
(完整word)平面向量练习题(附答案)
平面向量练习题一．填空题。
1． BA CD DB AC +++等于________．2．若向量a ＝(3,2），b ＝（0,－1)，则向量2b －a 的坐标是________．3．平面上有三个点A （1,3），B （2，2），C （7,x )，若∠ABC ＝90°，则x 的值为________．4。
向量a 、b 满足｜a ｜=1，|b ｜=2,（a +b )⊥（2a -b ）,则向量a 与b 的夹角为________．5．已知向量a ＝（1,2），b ＝（3，1)，那么向量2a －21b 的坐标是_________． 6．已知A （－1,2），B （2，4），C （4，－3），D （x ，1)，若AB 与CD 共线,则｜BD |的值等于________．7．将点A （2，4)按向量a ＝(－5，－2）平移后，所得到的对应点A ′的坐标是______． 8。
已知a=(1,－2）,b=(1,x)，若a ⊥b,则x 等于______9。
已知向量a ，b 的夹角为 120,且|a|=2,｜b ｜=5，则（2a-b ）·a=______10. 设a=(2，－3)，b=（x ，2x ），且3a ·b=4，则x 等于_____11。
已知BC CD y x BC AB 且),3,2(),,(),1,6(--===∥DA ,则x+2y 的值为_____12. 已知向量a+3b ，a-4b 分别与7a —5b,7a —2b 垂直，且|a|≠0,｜b|≠0,则a 与b 的夹角为____13． 在△ABC 中,O 为中线AM 上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC +的最小值是 。
14．将圆222=+y x 按向量v =（2,1)平移后，与直线0=++λy x 相切，则λ的值为 .二．解答题。
1．设平面三点A （1，0），B （0，1），C （2,5）．（1）试求向量2AB ＋AC 的模; （2）试求向量AB 与AC 的夹角；（3）试求与BC 垂直的单位向量的坐标．2.已知向量a =（θθcos ,sin ）（R ∈θ)，b =（3,3)（1)当θ为何值时，向量a 、b 不能作为平面向量的一组基底（2)求|a －b ｜的取值范围3．已知向量a 、b 是两个非零向量,当a +t b （t ∈R ）的模取最小值时，（1）求t 的值（2)已知a 、b 共线同向时，求证b 与a +t b 垂直4。
(完整版)平面向量综合试题(含答案)
BACD平面向量一.选择题: 1. 在平面上，已知点A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)．给出下面的结论：①BCCAAB=-②OBOCOA=+③OAOBAC2-=其中正确．．结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．0个2．下列命题正确的是（）A．向量AB的长度与向量BA的长度相等B．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同C．若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线D．若→a→b→c，则→a→c3. 若向量= (1,1), = (1,－1), =(－1,2),则等于( )A.+B.C.D.+4．若，且与也互相垂直，则实数的值为( )A． B.6 C. D.35．已知=(2,3) , =(,7) ,则在上的正射影的数量为（）A. B. C. D. 6．己知(2,－1) .(0,5) 且点P在的延长线上,, 则P点坐标为( )A.(－2,11)B.(C.(,3)D.(2,－7)7．设，a b是非零向量，若函数()()()f x x x=+-a b a b的图象是一条直线，则必有（）A．⊥a b B．∥a b C．||||=a b D．||||≠a b8．已知D点与ABC三点构成平行四边形，且A（－2,1），B（－1,3），C（3,4），则D点坐标为（）A.（2,2）B.（4,6）C. （－6,0）D.（2,2）或（－6,0）或（4,6）9.在直角ABC∆中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（A）2AC AC AB=⋅（B）2BC BA BC=⋅（C）2AB AC CD=⋅（D）22()()AC AB BA BCCDAB⋅⨯⋅=10．设两个向量22(2,cos)aλλα=+-和(,sin),2mb mα=+其中,,mλα为实数.若2,a b=则mλ的取值范围是 ( ) A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]-10．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于()A．{(1,1)} B．{(－1,1)} C．{(1,0)} D．{(0,1)}二. 填空题:11．若向量a b，的夹角为60，1a b==，则()a a b-=．12．向量2411()()，，，a=b=．若向量()λ⊥b a+b，则实数λ的值是．13．向量a 、b=1，a 3-=3，则a +3 =14． 如图，在ABC ∆中，120,2,1,BAC AB AC D ∠=︒==是边BC 上一点，2,DC BD =则AD BC =__________.15．如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．三. 解答题：16.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果AB =e 1+e 2,=BC 2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线; ⑵试确定实数k,使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.17. 已知△ABC 中,A (2,4),B (-1,-2),C (4,3),BC 边上的高为AD .⑴求证:AB ⊥AC ;⑵求点D 与向量AD 的坐标.17．(10分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)．(1)求sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值；(2)求cos(2α－3π4)的值．18．已知矩形相邻的两个顶点是A （－1，3），B （－2，4），若它的对角线交点在x 轴上，求另两个顶点的坐标．19. 已知△ABC 顶点的直角坐标分别为)0,()0,0()4,3(c C B A 、、. （1）若5=c ，求sin ∠A 的值;（2）若∠A 是钝角，求c 的取值范围.20．已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<<．(1)若a b ⊥，求θ； (2)求a b +的最大值．21.设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期； （Ⅱ）求使不等式3()2f x ≥成立的x 的集合.22．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝255． (1)求cos(α－β)的值； (2)若0<α<π2，－π2<β<0，且sin β＝－513，求sin α．平面向量参考答案一、选择题：1-5:BABBC 6.A 7. A 【解析】222()()()(||||)f x x x x x =+-=-+-+a b a b a b a b a b ,若函数()f x 的图象是一条直线，即其二次项系数为0， ∴a b =0， ⇒⊥a b.8.D 9. C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅，通过等积变换判断为正确.10. A 【分析】由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2m b m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km m k m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A 10. A二、填空题： 11. 21【解析】()2211cos60122a a b a a b a a b -=-⋅=-⋅︒=-=。
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3、设0是正方形ABCD 的中心, 则向量而，无，况,05是（A 、相等的向量 C 、有相同起点的向量4、判断下列各命题的真假：B 、平行的向量D 、模相等的向量（1）向量力3的长度与向量84的长度相等;(2) 向量方与向量片平行, 则方与方的方向相同或相反;5、若；为任一非零向量，方为模为1的向量，下列各式:② a //b③|。
0④|囱=±1,其中正确的是（2. 1平面向量的实际背景及基本概念一、选择题1、 下列说法正确的是（）A 、 数量可以比较大小，向量也可以比较大小.B 、 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小.C 、 向量的大小与方向有关.D 、 向量的模可以比较大小.2、 给出下列六个命题：%1 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； %1 若\a\=\b\f 则a = b ；%1 若4B = DC,则四边形ABCD 是平行四边形; %1 平行四边形ABCD 中，一定有AB = DC ；%1 若 m = n, n = k ,贝U m = k ； ©aQb , bDc ,则ode. 其中不正确的命题的个数为（）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个（3） 两个有共同起点的而且相等的向量，其终点必相同;（4） 两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）向量布和向量己万是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上; （6）有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为（）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个A、®®B、③6、下列命中，正确的是(A、\a\=\b \^> a=b C、①②③ D、②③)B、|。
|>|方 |=> a>b—• —e—•—eC、 a = b a // bD、I Q I =0=> a =07、下列物理量：①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程，其中是向量的有()A、2个B、3个C、4个D、5个二、填空题8、平行向量是否一定方向相同？9、不相等的向量是否一定不平行？10、与零向量相等的向量必定是什么向量？11、与任意向量都平行的向量是什么向量？12、若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？13、两个非零向量相等的充要条件是什么？三、解答题14、如图所示，四边形ABCD为正方形，ABCE为等腰直角三角形,(1)找出图中与丽共线的向量;(2)找出图中与AB相等的向量；(3)找出图中与I AB I相等的向量;(4)找出图中与EC相等的向量.15、如图，。
是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED, OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：分别写出与无，前相等的向量;写出与而共线的向量；(3)写出与花模相等的向量；(4)向量花与宓是否相等？《2. 1平面向量的实际背景及基本概念》参考答案一、选择题I、D； 2、C； 3、D； 4、C； 5、B： 6、C； 7、C二、填空题8、不一定9、不一定10、零向量II、零向量12、平行向量13、长度相等且方向相同三、解答题14、解：..・E、F分别是AC、AB的中点.・・EF〃BC且EF=^BC2 又因为D是BC的中点.•.①与京共线的向量有：FE,BD,DB,DC,CD f ~BC.CB%1与EF的模大小相等的向量有FE, BD,万万,DC, CD%1与京相等的向量有：DB^CD.15、解：(1) AO = BF, BO = AE；(2)与而共线的向量为：BF.CO.DE(3)与而模相等的向量有：CO.DO,BO,BF,CF.AE,DE(4)向量无与宓不相等.因为它们的方向不相同.A.QPC.SP2.2平面向量的线性运算一、选择题1. 化简OP —QP+PS+SP 的结果等于（B. OQD.SQ2. 己知的三个顶点力、B 、C 及平面内一点尸满足B4+PB=PC,下列结论中正 确的是（） A. 尸在左ABC 的内部 B. 尸在左ABC 的边AB A1 C. P 在刀8边所在直线上 D. P 在的外部3. 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（）\.AB=DC B. AD+AB=AC C. AB-AD=Bb D. AD+CB=O4. （07-湖南）若。
、E 、尸是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ）\.EF=OF+OE B. EF=OF-OE C. EF=-OF+OE D. EF=-OF-OE5. 在平面上有A, B, C 三点，iSLm=AB+BC, n=AB~BC,若m 与〃的长度恰好相 等，则有（）A. A, B, C 三点必在一条直线上B. /XABC 必为等腰三角形且N8为顶角C. /XABC 必为直角三角形且为直角D. △力BC 必为等腰直角三角形DAA. A. B 、C 三点共线B. A. B 、F 三点共线C. A.C 、F 三点共线D.B 、C 、P 三点共线6. 已知向量。
与力反向，且|。
|=尸，网=&，b=Aa ，则人的值等于（ ）r「 , B. fR C. 一一D.- rr7. 己知。
是△如C 所在平面内一点,D%BC 边中点，且2OA + OB+O^=0,那么（）K.AO=OD B.ib=2 沥C.A0=3db D. 2A0=db8. 已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB=XPA+PB ，其中2ER,则点P 一定在（） A. M4BC 的内部 B. AC 边所在直线上 C. 边所在直线上 D.边所在直线上9. G 为MBC 内一点，且满足GA + GB+GC=Q t 则G 为04BC 的（ ）A.夕卜心B.内心C.垂心D.重心10. （2010-河北唐山）已知R A. B 、C 是平面内四个不同的点，旦PA+PB+PC=AC,则（）二、 填空题11. 已知x 、*是实数，向量口，力不共线，若（x+y —l ）a + （x —y ）b = 01贝U x=,y =•12. 若网=5,力与〃的方向相反，且|。
|=7,贝ijo=b.13. （2010-浙江宁波十校）在平行四边形A BCD 中，AB=e v AC=e 2, NC=^AC, BM= ；味，则MN=（用e” e2表示）.三、解答题14.如图，ABCD是一个梯形，AB//CD,且AB=2CD, M、N分别是OC和刀B的中点, 己知4B=a, AD=b,试用0、b 表示BC^\MN.15.若G、力都是非零向量，在什么条件下向量a+b与a—b共线?CD AE 1 一一16.如图，在左ABC中，D、E分别为刀C、刀8边上的点，R=K=3，记BC=〃，G4=b, UA LnZ求证：DE=^(b—a).17.点E、尸分别为四边形如CZ）的对角线ZC、3。
的中点，设BC=a. DA = b,试用①b 表示EF.18.己知MBCD的边BC、CO的中点分别是A/、N,设京=o, AN=b,试用。
、b表示用、 BC.《2.2平面向量的线性运算》参考答案1、［答案］B［解析］原式=(OP+PQ)+(PS+ SP)= OQ+0=OQ.2、［答案］DD［解析］由已知得x+y~l=0 x~y=0［解析］由PA+PB=PC可得R4=PC-PB=BC,..・四边形P8C4为平行四边形.可知点P在△力8C的外部.选D.3、［答案］C［解析］A显然正确,由平行四边形法则知B正确.C中届一AD=DB,故C 错误.D中AI)^-CB=Ab+DA=O.4、［答案］B［解析］由向量的减法的定义求解.5、［答案］C［解析］以扇，万&为邻边作平行四边形ABCD,则m=AB+BC=AC, n=AB-BC=AB-AD=DB1由血，〃的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形・..•选C.长度相等的向量.如图，以血，C8为相邻的两边作口BGCD,则GD = GB+GC f所以莅）= -GA f在oBGCD中，设BC与GD交于中E,则BE=EC, GE=ED,故力已是左ABC中BC 边上的中线且\GA\ = 2\GE\.从而点G是的重心.选D.10、借案］B［解析］•: AC=PC~PA,:.原条件式变形为：PB=-2PAt:.PB//PA, :.A. B、P 三点共线.11、［答案］| |A12、［答案］一§［解析］.・M = 5,网=7,.・.禺=§又方向相反,2513、［答案］一§幻+百。
2［解析］局=坂?=土，・，・CN=—%，—► 1 —►—► —► —> —> —>V BM=^MC, BM+MC=BC=AC—AB=e2—e\.), MN= MC+ CN=|(e2—i)—i.,.MC=^(e2—e［14、［解析］连结CN, •: N是"的中点，AB=2CD,.・.—N缺DC,:.四边形ANCD是平行四边形，A CN=-AD=~b,又尿+藏+灰?=0,：.BC=-NB~CN=-^a+b.15、［解析］因a、b都是非零向量，向量a+b与a—b中至少有一个不为零向量，不妨设。
+力尹0.则由a+b与a-b共线，知存在实数X使a~b=A(a+b),・..(1 一加=(1+小，・・*0且*0, ..以尹±1,由上可知，当a//b时，a+b与a—b共线.. 1 . ］ . . I . 2 . 2 . . .16、［解析］因为AE=T^B=T（CB—CA）=^（—a—b）9 AD=^AC=—^b，所以DE=AE~AD =11—2, 1 f—耳仅一gb i =§（。
—“） .17、［解析］如图所示，取如中点P,连结时，FP,A在ZUBC中，EP是与BC平行的中位线，:.PE=^BC=^a.在△刀8。
中，/沪是与40平行的中位线，NDMBABf 1 f 1.•■PF=*D=-5b.在4EFP 中，EF=EP+PF=-PE+PF=—土―—%+〃).18、［分析］•:M. N 分别为MBCD 的边8C 、C 。
的中点，故以届、必作为基向:量较易表 示出亦/、AN,然后，解方程组即可求出花、AD.［解析］在口ABCD 中，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点、,:.AN=AD+DN=BC+^AB,2、B、1 一—ci—已知，A (2, 3), B (-4, 5),3 一1 - C、—a ---------- b2 2D、-W+"则^AB共线的单位向量是3 而V10 io，-fFD _ , 3应而赫,3应应、B、e =(------- ,——)或( ----- , ---- )10 10 10 10C、e = (-6,2)D、e = (-6,2)或(6,2)A、17B、18C、19D、20r 一1 —BC+^AB=b—►―► 1 —►2AM=AB+^BC, _ —AB+^BC=a,_>4 2 一4 2解得AB=^a—^b, BC=^b~^a.2. 3平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题1、若向*5 = (1,1), 5 = (1,—1), c =(T,2),则0等于( )3、巳知；二(1,2仍=(一3,2),房+方与打一3&垂直时k值为 ( )4、己知向量。