1-1-2余弦定理
1[1].2余弦定理
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学校：临清二中 学科：数学 编写人：史继忠 一审：李其智 二审：马英济课题:1．1．2余弦定理授课类型：新授课【教学目标】 1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
【教学重、难点】重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
【教学过程】[创设情景] C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B(图1．1-4)[探索研究]联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a = ，CA b = ，AB c = ，那么c a b =- ，则 b c()()=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ 2222 2c c c a b a ba ab b a b a b a bC a B 从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a cb B ac 222cos 2+-=b ac C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
#高中数学必修五：1.1.2-1《余弦定理》(人教A版必修5)
∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os C
3222232co1s2o0 19
AC 19
答：岛屿A与岛屿C的距离为 19 km.
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形。
cosA<0，A为钝角，△ABC为钝角三角形。 练习2：在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，
求边长c的取值范围。
解：∵coCsa2b2c2 0
a2c2b2
coBs
0
2bc
2ac
3c 5
∴
余弦定理：
推论:
a2b2c22bcco As
cos
b2 A
c2 a2 2bc
b2a2c22acco BscosBc2 a2 b2
例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1，
求它的最大内角。
解：设三角形的三边分别为a= 7 ,b=2,c=1
则最大内角为∠A
由余弦定理得coAs b2 c2 a2
2bc
22 12
2
7
221
120
练习1：在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6, 判断△ABC的形状。
a2b2c2
设
C a B ,C b A ,A c B
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2 cc (a b )(a b )
﹚
aa 2a b b2b22a ab bcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs
探 究： 若△ABC为任意三角形，已知角C，
1_2余弦定理(1)
1.2余弦定理（1）（时间：）1.掌握余弦定理的内容；2.掌握余弦定理的证明方法；余弦定理的证明及其应用.余弦定理的证明，余弦定理在解三角形时应用思路.读记教材交流问题1：余弦定理的内容是什么？问题2：怎么推导余弦定理？问题3：由余弦定理怎么判断角的大小？问题4：利用余弦定理能够解决斜三角形中的哪些类型问题？中，【例1】在ABC（1）已知3=b ，1=c ，︒=60A ，求a ；（2）已知654===c b a ，，，求A cos ，A tan ．【例2】用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C ∠为锐角时，222c b a >+；当C ∠为钝角时，222c b a <+．： ：1．在ABC ∆中，（1）已知︒=60A ，4=b ，7=c ，求a ； （2）已知7=a ，5=b ，3=c ，求A ．2.若三条线段的长分别为5，6，7，则用这三条线段能构成（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不是钝角三角形3.在ABC ∆中，已知222a b ab c ++=，求C 的大小．4.两游艇自某地同时出发，一艇以h km /10的速度向正北行驶，另一艇以8/km h 的速度向北偏东060方向行驶，问：经过30min ，两艇相距多远？一、填空题1．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ＝________.2．在△ABC 中，已知a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝______________.3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为________．4．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B ＝____________.5．△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________.6．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于________．7．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边)，则△ABC 的形状 为________．8．三角形三边长为a ，b ，a 2＋ab ＋b 2 (a >0，b >0)，则最大角为________．9．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为________．10．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C ＝________.二、解答题11．在△ABC 中，已知CB ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．12．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积．水平提升13．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是____________．14．在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断三角形的形状．1.2余弦定理(一)答案作业设计1．120° 2. 3 3.π6解析 ∵a>b>c ，∴C 为最小角， 由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32.∴C ＝π6. 4．2解析 b cos C ＋c cos B ＝b·a 2＋b 2－c 22ab ＋c·c 2＋a 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2. 5．30°解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×cos 60°＝12，∴c ＝2 3.由正弦定理：a sin A ＝c sin C 得sin A ＝12.∵a<c ，∴A<60°，A ＝30°. 6.34解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2，b ＝2a ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a·2a ＝34. 7．直角三角形解析 ∵sin 2A 2＝1－cos A 2＝c －b 2c， ∴cos A ＝b c ＝b 2＋c 2－a 22bc⇒a 2＋b 2＝c 2，符合勾股定理． 故△ABC 为直角三角形． 8．120°解析 易知：a 2＋ab ＋b 2>a ，a 2＋ab ＋b 2>b ，设最大角为θ，则cos θ＝a 2＋b 2－(a 2＋ab ＋b 2)22ab ＝－12，∴θ＝120°. 9．45°解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C.由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴C ＝45° .10．－23解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝3，∴c ＝4.由余弦定理得， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－113，sin C ＝1213，∴tan C ＝－12＝－2 3. 11．解 由条件知：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49⇒x ＝7. 所以，所求中线长为7.12．解 (1)cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos (A ＋B)＝－12，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b)2－ab ＝10，∴AB ＝10.(3)S △ABC ＝12ab sin C ＝32. 13.3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC ＝22，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC·sin C ＝ 3.14．解 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 代入已知条件得a·b 2＋c 2－a 22bc ＋b·a 2＋c 2－b 22ac ＋c·c 2－a 2－b 22ab＝0， 通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2.根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．。
余弦定理公式大全
正弦、余弦定理 解斜三角形建构知识结构1．三角形基本公式：（1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC,cos2C =sin 2B A +, sin 2C =cos 2B A + （2）面积公式：S=21absinC=21bcsinA=21casinBS= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2cb a ++, r 为内切圆半径)（3）射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A 2．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===外 证明：由三角形面积111sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===得sin sin sin a b c A B C==画出三角形的外接圆及直径易得：2sin sin sin a b cR A B C===3．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA , 222cos 2b c aA bc+-=；证明：如图ΔABC 中，sin ,cos ,cos CH b A AH b A BH c b A ===-22222222sin (cos )2cos a CH BH b A c b A b c bc A=+=+-=+-当A 、B 是钝角时，类似可证。
正弦、余弦定理可用向量方法证明。
要掌握正弦定理、余弦定理及其变形，结合三角公式，能解有关三角形中的问题． 4．利用正弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；有三种情况：bsinA<a<b 时有两解；a=bsinA 或a=b 时有 解；a<bsinA 时无解。
5．利用余弦定理，可以解决以下两类问题：（1）已知三边，求三角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角。
人教版高中数学必修26.4.3 余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理 课件(二)
【跟踪训练3】
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2＋b2＋ 2ab＝c2，则角 C 为( )
π 3π π 2π A.4 B. 4 C.3 D. 3
小试牛刀
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)余弦定理只适用锐角三角形
(× )
(2)在△ABC 中，若 a2>b2＋c2，则△ABC 一定为钝角三角形
(√ )
(3)在△ABC 中，已知两边和其夹角时，△ABC 不唯一( × )
2．已知在△ABC 中，a＝1，b＝2，C＝60°，则 c 等于 ( )
答案 A
题型三 余弦定理在边角转化中的应用
例 3（1）在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c， 已知 bcos C＋ccos B＝2b，则ab＝________.
（2）在△ABC 中，若 lg(a＋c)＋lg(a－c)＝lg b－lgb＋1 c， 则 A＝________.
a2＋b2－c2 解析 （1）由余弦定理得 bcos C＋ccos B＝b· 2ab ＋ c·a2＋2ca2c－b2＝22aa2＝a，所以 a＝2b，即ab＝2.
解析 由余弦定理得
cos
a2＋c2－b2 1＋3－7 B＝ 2ac ＝2×1× 3＝－
3 2.
又∵0°<B<180°，
∴B＝150°.
答案 150°
2．在△ABC 中，已知 a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，则 A＝ ________. 解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5
∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形 例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的 最大边长． 答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的 三边 分 别为 2,3,4 ， 则此 三 角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23， 所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b， 则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解 利用边的关系判断， 由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb， 又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c， 综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．
高中数学1-1-2 余弦定理(知识讲解)
1.1.2 余弦定理（知识讲解）一、基础知识1、余弦定理：A bc c b a cos 2222⋅-+=⇒bca cb A 2cos 222-+=；B ac c a b cos 2222⋅-+=⇒acb c a B 2cos 222-+=；C ab b a c cos 2222⋅-+=⇒abc b a C 2cos 222-+=；2、射影定理：B c C b a cos cos ⋅+⋅=，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，A b B a c cos cos ⋅+⋅=3、设a 、b 、c 是ABC ∆的角A 、B 、C 的对边，则：①若222c b a =+，则 90=C ；②若222c b a >+，则 90<C ； ③若222c b a <+，则 90>C 。
二、知识应用 1．余弦定理的概念例1-1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解。
( ) (2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形。
( ) (3)利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题。
( ) (4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例。
( ) 2．利用余弦定理解三角形例2-1．在ABC ∆中，3=a ，1=b ，2=c ，则=A ( )。
A 、 30B 、 45C 、 60D 、 75例2-2．ABC ∆中，7=AC ，2=BC ， 60=B ，则BC 边上的高等于( )。
A 、23 B 、263+ C 、233D 、2623+ 例2-3．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若ac b =2，且a c 2=，则=B cos ( )。
A 、41B 、43 C 、42 D 、32 例2-4．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC ∆的面积为S ，且22)(2c b a S -+=，则=C tan ( )。
高中数学《1.1.2 余弦定理》预习导学案 新人教A版必修5
必修五 第一章§5-2正 余弦定理【课前预习】阅读教材完成下面填空解三角形的四种类型1．已知A,B 及a(“角边角”型)利用正弦定理2．已知三边a,b,c(“边边边”型)用余弦定理 。
3.已知两边a,b 及夹角C(边角边型)余弦定理求c,再用余弦定理求两角。
4. 已知两边a,b 及一边对角(“边边角“型)(1) 当 时，有 解(2) 当 时，有 解(3) 当 时，有 解(4) 当 时，有 解【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3．在△ABC 中，若02,30b B ==，0135C =，a =则 。
4、在△ABC 中，若C cB bA acos cos cos ==，则△ABC 是【课中35分钟】边听边练边落实5、在△ABC 中，已知a=10，B=060 ,C=045，解三角形。
6．在△ABC 中，已知a=2,b=5,c=4,求最大角的正弦值。
7．已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．8、在△ABC 中，已知a=5，b=7，A= 030,解三角形。
9．在△ABC 中，A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=，其中R 是△ABC 外接圆的半径。
求证：C R A b B a sin 2cos cos =+。
【课末5分钟】 知识整理、理解记忆要点 1.2.3.4.【课后15分钟】 自主落实，未懂则问1．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为 ( )A ．9B ．18C ．93D ．1832．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为（ ）A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－143．在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝109，则BC ＝ 。
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根据两点间距离公式：
bcosC－a2＋bsinC－02 AB＝__________________________
∴c2＝b2cos2C－2abcosC＋a2＋b2sin2C， 即：c2＝a2＋b2－2abcosC.
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1.1
第2课时
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同理可证 a2 ＝b2 ＋c2 －2bccosA，b2 ＝a2 ＋c2 －2accosB. (2)用三角方法证明余弦定理．
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[点评]
已知三角形的边或角的关系式解三角形或判断三
角形的形状，可先观察条件式的特点，再依据此特点选取变形 方法，当等式两端各项都含有边时常用正弦定理变形，当等式 两边含有角的正弦的同次幂时，常用正弦定理变形，当含有边 的积式及边的平方和与差的形式时，常考虑用余弦定理变形等 等．
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命题方向
已知两边和夹角解三角形
[例 2]
(2010～2011· 福建福州高二期中)在△ABC 中， 边
a、b、c 所对的角分别为 A、B、C，b＝3，c＝5，A＝120° ， 则 a＝( A．7 ) B. 19 C．49 D．19
[答案] A
[解析]
解法一：∵b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，
∴利用正弦定理可得 sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sinB· sinC· cosB· cosC， ∵sinBsinC≠0，∴sinB· sinC＝cosBcosC， ∴cos(B＋C)＝0，∴cosA＝0， π ∵0<A<π，∴A＝2，∴△ABC 为直角三角形．
2
a2＋b2－2abcosC c2＝____________________.
b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 2bc 2ac 变式：cosA＝______________，cosB＝_____________， b2＋a2－c2 2ba cosC＝____________.
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[解析] 49，∴a＝7. [点评]
a2＝b2＋c2－2bccosA＝9＋25－2×3×5cos120° ＝
已知两边及其夹角解三角形时，先用余弦定理求
出第三边，再用正弦定理求其它角，或用余弦定理求其它角.
第一章பைடு நூலகம்
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成才之路· 数学
人教A版 ·必修5
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第一章
解三角形
第一章 解三角形
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第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
第一章 解三角形
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第一章
第 2 课时 余弦定理
第一章 解三角形
第一章 1.1 第2课时
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△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 c＝ 2， b＝ 6，B＝120° ，则 a 等于( A. 6 B．2 C. 3 D. 2
[答案] D
)
第一章
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[解析]
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课前自主预习 课堂巩固训练 思路方法技巧 课后强化作业 名师辩误做答
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第2课时
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课程目标解读
第一章
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通过对任意三角形边长与角度关系的探究，掌握余弦定 理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
若
1＋a>3 a<3，则 2 2 2 1 ＋a >3
，∴3>a> 8，
∴ 8<a< 10.
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[点评]
(1)三角形的边长必须满足任意两边的和大于第三
边，因此较小两边的和大于最大边．(2)锐角三角形的最大边所 对内角为锐角，若三边长为 a，b，c，最长边为 a，则 b2＋c2>a2.
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解法二：已知等式可化为 b2－b2cos2C＋c2－c2· 2B＝2bccosBcosC， cos 由余弦定理可得
a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 2 2 b2＋c2－b2· －c2( 2ac ) 2ab
a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 ＝2bc· · 2ab 2ac ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC 为直角三角形．
a2＋c2－b2 由余弦定理得，cosB＝ ， 2ac
a2＋2－6 ∴cos120° ＝ ，整理得 a2＋ 2a－4＝0， 2 2a ∵a>0，∴a＝ 2. [点评] 已知两边和其中一边对角， 用正弦定理必须讨论，
用余弦定理有时可避免讨论.
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已知锐角三角形的边长分别为 1,3，a，则 a 的取值范围 是( ) A．(8,10) B．( 8， 10)
C．( 8，10) D．( 10，8)
[答案] B
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[解析]
若
1＋3>a a≥3，则 2 2 2 1 ＋3 >a
，∴3≤a< 10.
a2＋b2－c2 3 ∴cosC＝ 2ab ＝－ 2 ，∴C＝150° . [点评] 表达式中如有三边的平方，应考虑通过变形产生
其中一角的余弦．
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探索延拓创新
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命题方向
方程的思想
[例 4]
命题方向
综合应用
[例 5]
(2010· 天津理)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对
边分别是 a，b，c，若 a2－b2＝ 3bc，sinC＝2 3sinB，则 A ＝( ) A．30° B．60° C．120° D．150°
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4．已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，也 可以使用余弦定理．如：已知 a、b、A，可先由余弦定理求出 c，即 a2＝b2＋c2－2bccosA.此时，边 c 的解的个数对应三角形 解的个数． 5．应用余弦定理判断三角形形状时往往化角为边进行化 简．化简过程中不可随便约分，以免漏解．
1．余弦定理是勾股定理的推广．特别地，当有一个角为 直角(如角 A)时，有 a2＝b2＋c2. 在应用中，如果出现 a2＋b2＝c2，则为 Rt△；若 a2＋b2<c2 则为钝角三角形；但若出现 a2＋b2>c2，不能因此断定为锐角三 角形，只能说明角 C 为锐角．即： C 为锐角⇔a2＋b2>c2；C 为直角⇔a2＋b2＝c2；C 为钝角 ⇔a2＋b2<c2.
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AD＝bsinC，BD＝CD－BC＝bcosC－a. 在 Rt△ABD 中，依据勾股定理 AB2＝AD2＋BD2，代入整 理可得：c2＝a2＋b2－2abcosC，另外两个等式类似可证．
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课前自主预习
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1．余弦定理：设 a、b、c 为三角形三边，它们所对的角
b2＋c2－2bccosA b2＝______________； a2＋c2－2accosB 分别为 A、 C， a ＝______________； B、 则：
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△ABC 三边满足 a2＋b2＝c2－ 3ab，则此三角形的最大 内角为( )
A．150° B．135° C．120° D．60°
[答案] A
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[解析]
∵a2＋b2＝c2－ 3ab，
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解法三：已知等式变形为 b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB· cosC， ∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosB· cosC， ∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC ＝(bcosC＋ccosB)2＝a2， ∴b2＋c2＝a2，∴△ABC 为直角三角形．
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2．可以用方程的思想来看余弦定理，例如 b2＝a2＋c2－ 2accosB，我们可以将其看作以 a 为未知数的一元二次方程 a2 －2accosB＋c2 －b2 ＝0.这样一元二次方程的有关知识均可使 用，使余弦定理的应用更广泛，更灵活． 3．余弦定理是三角形边角关系的重要定理，应用余弦定 理可以解决以下两类解三角形的问题： 1° 已知三边，求三个角． 2° 已知两边和夹角，求其余的边角．