高三第一轮复习正弦定理、余弦定理与三角形面积公式

解斜三角形

正弦定理、余弦定理与三角形面积公式

【提纲挈领】

主干知识归纳

ABC 的6个基本元素： a,b,c,A,B,C .其中三内角 A,B,C 所对边边长分别为 a,b,c .

1．正弦定理

变式： a 2Rsin A,b

2Rsin B,c 2RsinC

2．余弦定理

3. 三角形面积公式

1

2

ac sin B 2R sin A sin B sinC.

2

（ 2 ）秦九韶 —海伦公式： S ABC 方法规律总结

1. 基本量观念： ABC 的 6个基本元素： a,b,c,A,B,C ．已知三个基本量（至少一个为边）确定一个 三

角形，正余弦定理是“量化”依据，是初中全等三角形判定定理由定性向定量的转换 .

2. 方程观念： 正余弦定理和面积公式是方程的粗坯， 是解三角形的依据， 从三角形 6 个基本元素来说是

“知 三求三” .有两条主线：一是统一为边（消角）的关系，归结为边为元的代数方程；二是统一为角（消边） 的关系，归结为三角方程 . 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理 更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的 正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

3. 转化思想：利用正余弦定理实现边角间的相互转化 .

4. 利用正弦定理解三角形主要是以下两类： （1）已知两边和一对角； （2）已知两角和一边 . 利用余弦定

理解三角形主要是以下两类： （1）已知三边；（ 2）已知两边及其夹角 . 对于复杂问题需综合利用正余弦定理实现边角关系向统一转化 .

【指点迷津】

【类型一】定理的推导与证明

【例 1】（2011 陕西理 18）叙述并证明余弦定理 .

【解析】 : 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积 的两

abc sin A sin B sinC

2R （其中 R 是 ABC 的外接圆的半

径）

a 2

b 2

c 2

2

2bc cos A ，

b 2

c 2 a 2

2ca cos B ， c 2

a 2

b 2

2abcosC .

变式：

cosA

2 2 2

b c a

,cosB

2bc a 2 b 2

,cosC

2ac

b 2

2ab

1 )

S ABC

11

ab sin C bcsin A

22

p(p a)(p b)(p c),其中 p

abc 2

倍.或：在ABC 中，a,b,c 为A,B,C 的对边，有

a 2

b 2

c 2 2bc cos A 2 2 2

b a

c 2ac cos B 2 2 2

c

a b

2ab cosC

证法一 如图

uuuv uuuv BC

uuuv uuuv uuuv uuuv

(AC AB)?(AC AB)

uuuv 2 uuuv uuuv uuuv 2 AC 2AC?AB AB

I )证明： sinB cosA ；

3

(II) 若sinC sin A cosB ，且 B 为钝角，求 A,B,C .

4 sinA sin A

以 sinB cosA ；(II)

解析】 :(I )由题根据正弦定理结合所给已知条件可得 ，所

uuuv 2 AC

uuu v AC

uuuv

AB COSA uuu v 2

AB

22

b 2

2bc cos A c 2

2 2 2

即 a b c 2bc cos A

2 2 2

同理可证 b a c 2ac cos B

2 2 2

c a b 2ab cosC

证法二 已知 ABC 中 A,B,C 所对边分别为 a,b,c, 以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标 系，则 C(bcosA,bsinA),B(c,0) ,

2 2 2 2

a 2 BC 2 (bcosA c)2 (bsin A)2

b 2 cos 2 A 2b

c cos A c 2 b 2 sin 2 A 2 2 2

b a

c 2ac cos B

同理可证

2 2 2 b c a 2ca cosB, c 2 a 2 b 2 2ab cosC.

类型二】解三角形

例 1】【 2015 湖南，文 17】设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a

btanA .

cosA sinB

4

3 2 3 根据两角和公式化简所给条件可得 sinC sin AcosB cosAsin B

，可得 sin 2 B ，结合 44

所给角 B 的范围可得角 B,进而可得角 A, 由三角形内角和可得角 C.

答案】（I ）略； （II ） A 30o ,B 120o ,C 30.o

例 2】［2014·辽宁卷］ 在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 a>c.已知BA ·BC ＝2，cos

B

1 ＝3

1，b ＝ 3.求：

(1)a 和 c 的值； (2)cos(B －C)的值． → →

1 ［解析 ］： (1)由 BA ·BC ＝

2 得 c ·a ·cos B ＝ 2，又 cos B ＝ 3，所以 ac ＝6.

由余弦定理，得 a 2＋c 2＝b 2＋2accos B ，又 b ＝3，所以 a 2＋ c 2＝ 9＋2× 2＝ 13.

ac ＝ 6， a ＝ 2 ， a ＝ 3，

解

2 2 得 或

a 2＋ c 2＝ 13， c ＝ 3 c ＝ 2. 因为 a >c ，所以 a ＝ 3，c ＝ 2.

sin B ＝ 1 － cos 2

B

＝

sin C ＝

c 2

·

2 2＝ 4 2

sin C ＝

b sin B ＝3· 3 ＝

9

因为 a ＝b >c ，所以 C 为锐角，

求 AD 的长 .

(2)在△ ABC

中，

由正弦定理，得 因此

所以

cos （B －C ）＝cos Bcos C ＋sin Bsin C ＝13×7

9＋ 2 2 4 2 23 × ＝

.

3 9 27.

[答案 ](1)a ＝3，c ＝2.(2)

23

. 27.

例3【】2015安徽，理16】在 ABC 中，A

3

,AB

6,AC

3 2 ,点 D 在 BC 边上， AD BD ，

22 3

cos C ＝ 1－sin 2C ＝ 4 2 2＝ 7.

9

＝

9.