量子力学笔记

ℏ ∇ ψ ( x , t ) = Φ ( p , t ) p Φ ( p, t ) 。 i 9.薛定谔方程是一个作了“低能近似” （非相对论量子力学）和“外场近似”的 ∧ ∂ ℏ 近似方程。 iℏ ψ = H ψ 。概率流密度为： j = (ψ ∗ ∇ψ − ψ∇ψ ∗ ) ，定域的概 ∂t 2mi ∂P 率守恒： = −∇ ⋅ j 。 ∂t ℏ ℏ 10.不确定关系 （起着经典力学和量子力学分界线的作用） ： ∆x∆p ≥ , ∆E∆t ≥ 。 2 2 11.一维定态： （1）V=0 的自由粒子（连续谱） ； （2）一维无穷深势阱（离散谱） ； （3）一维有限深势阱（分别考虑束缚态和自由态） ：解的宇称； （4）一维方势垒 ——隧道效应（反射系数和透射系数） ； （5）一维δ势阱（考虑跃变点处波函数 性质） ； （6）一维简谐振子（厄米方程及其解，能级公式） 。 【注意：一维线性谐 1 振子的能级公式中出现 ℏω 的原因是不确定关系的存在。 】 2 12.对应原理：在大量子数极限下，量子论将渐近地趋于经典理论。 （Bohr 于量 子力学建立前提出） 13.量子态可以用波函数表示（波动力学） ，也可以用矩阵表示（矩阵力学） 。量 子力学中，态和力学量的各种表示方式称为表象。对于一个量子态，可以用多个 表象描述，只是基矢取得不同，得到的“坐标”不同而已。 14.大数的、相互独立的、处于相同宏观条件之下的系统的集合，是量子力学的 统计对象——叫做量子系综 量子多体问题的量子力学是单粒子量子力学的直接 . . . .。
采用的是 CGS（厘米克秒）单位制。 本章重点在于： （1）对定理、定义的理解； （2）对实验的熟悉以及对实验相关细节的理解； （3） 计算时需确定题中是否需要用相对论力学，并会用泰勒展开进行近似计算； （4） 对于题给数据要考虑是否在计算前进行修正。 二、量子力学的基本概念 1.量子力学的三大基本特征：几率幅描述；量子化现象；不确定关系。 2.根据德布罗意关系，物质是具有波动性的，而波动是时空的过程，因此ψ 是 x 和 t 的函数。由于薛定谔（ Schr o dinger ）方程中出现虚数 i，所以ψ 是个复数。 3.德布罗意波德统计解释： 在 t 时刻， 粒子落在 x 点附近 d 3 x 体积元中的概率为：
平均动量 p = ψ ( x, t )
推广。 本章重点在于： （1）态叠加原理的记忆及相关应用； （2）应用薛定谔方程对一维势的计算，包 括波函数， 能级， 波函数的奇偶性， 力学量的平均值， 反射与透射系数的计算等； （3） ∇ 2 = 1 ∂ 2 ∂ 1 ∂ ∂ 1 ∂2 （三维球坐标） ； r + sin θ + ∂θ r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2 r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ
7.态叠加原理：若ψ i ( x, t ) ，i=1,2,…，代表一定条件下允许的波函数（量子态） ， 则它们的线性叠加ψ ( x, t ) = ∑ ciψ i ( x, t ) 也是同样条件下允许的波函数（量子态） ，
i
其中 ci 为任意的复常数。叠加原理成立，要求ψ ( x, t ) 满足的演化规律应是线性的 微分方程，它反映微观系统的统计特性与经典统计有重大差别（这是波粒二象性 引起的） 。 8.平均位置 x = ψ ( x, t ) x ψ ( x, t ) ， （波函数在不同表象下都是归一的。 ）
2 6.非相对论情形下，自由粒子 E = p
2
2
2µ
，由德布罗意关系可知： ω =
E ℏk 2 = 。 ℏ 2µ
此时的物质波包的群速度为： V g =
dx dω ℏk ω E V = =V ， 相速度为： u dk
=
ℏ ω c2 ≠ 0 ，所以物质波包必然要扩散。对于相对论粒子， u = = 。 µ k V
高，阴极发射电子能力增强。 11. 对氢原子的初步分析：由于库仑力是有心力，这就保证了电子绕核运动的角 动量守恒。对于类氢原子，必须考虑它的折合质量。原子磁矩（近似可认为 是电子所形成的电流乘以其环绕面积，因为原子核磁矩 〈〈 电子磁矩）为：
i 1 − eυ 2 eℏ eℏ Mz = s = πa = − n ，记 M 0 = ≈ 0.93 × 10 − 20 (erg ⋅ G −1 ) ，这里 c c 2πa 2 µc 2 µc
量子力学
一、量子力学的实验基础 1. 卢瑟福实验：a 粒子的质量远大于电子，两者的质心几乎就在 a 粒子上。虽 然二体系统有内部的相互作用，但它们的质心是自由运动的，故电子对 a 粒 子的作用不影响 a 粒子的运动。a 粒子散射时，原子的正电荷部分受到反冲 力，导致薄片晶格的振动。 2. 原子光谱是原子内部电子运动情态的反映。光谱项 T。氢原子光谱的频谱是 离散的，且不是连续谱亦非由基频和倍频构成的频谱，这个性质直接来源于 原子中电子运动具有能级的特性以及光具有粒子性。 3. 光电效应实验中无法用经典物理学解释的现象： （1）反向遏止电压和入射光 强无关； （2）反向遏止电压和入射光的频率呈线性关系； （3）电子逸出相对 于光的照射而言几乎无时间延迟。 4. 爱因斯坦方程： T = ℏω − φ ，表示金属电子吸收一份光能量而获得 T 的动能 逸出金属， φ 为脱出功，与材料有关。 5. 光子： （1）博特实验（W. Bothe experiment）表明每份光能量是集中的； （2） 贾诺希实验（L. Janossy experiment）表明每份光子落在何处是偶然事件， 也就是说电磁波是光子的概率幅波。 （量子力学有整体性，光子的运动受到 整个环境的影响。 ） 6. 爱因斯坦关系： p = ℏk , E = ℏω 。P 和 E 描写光子，k 和 ω 描写单色波。 【注 意：说光有波粒二象性是沿用经典物理的语言。光有波动性，是指光的运动 没有轨道；光具有粒子性，是指光与电子相互作用时像粒子那样，而不像经 典的波场那般。 】 7. 康普顿（A. H. Compton）效应应用了“静电子模型” （靶原子的外层电子） 。 � 2πℏ 康普顿波长： Λ = = 0.0242621 A 。计算过程中考虑了能量守恒（相对论 mc θ 力学）和动量守恒（矢量力学） ， ∆λ = 2Λ sin 2 。 （1）对于原子内层的“束 2 缚电子” ， 由于它们与原子核束缚的紧， 应作为一个整体看待， “静电子模型” 不成立。 光子撞不动整个原子， 只是自己改变方向。 因此实验中出现了 ∆λ = 0 的成分。 （2）对于可见光，能量和动量小，靶原子的外层电子应作束缚电子 看待， “静电子模型”不成立。 8. 德布罗意关系（物质表现波动性）是光的爱因斯坦关系的推广，表示有确定 E 和 p 的自由粒子联系一个有确定 k 和 ω 的单色平面波。 实验证明：戴维孙革末（Davisson-Germer）电子衍射实验。 9. 定态是指能量的本征态。Bohr 初等量子理论的要点： （1）定态概念； （2） 定 态之间的跃迁概念； （3）角动量量子化概念——表现为量子化条件。Bohr 理论的缺陷：理论应用于简单程度仅次于氢原子的氦原子时，结果与实验不 符。对于氢原子，该理论只能求出谱线频率，而不能求出谱线的强度。 10. 弗兰克-赫兹实验：峰值提高的原因是由于阴极发射电子的能力与灯丝温度 有关，灯丝温度越高，发射电子能力越强，提高灯丝电压，灯丝温度相应提
∧+
∧
∧
∧+
∧
∧
1
本征值属于离散谱情形
当本征值 a n 属于离散谱，相应的本征函数是可归一化的，综合正交和归一性，
* 有 ∫ψ m ψ n d 3 x = δ mn ；
②本征值简并情形——正交化手续 （可使用施密特正交化方法，重新选取合适的 基矢，构建正交归一的函数系。 ） ③本征值属于连续谱情形（可以采用箱归一化定常数，然后规格化。 ） 对于力学量算符 A 的连续本征值谱， Aψ a ( x ) = aψ a ( x ) ， a 连续变化。对应不同
∧ ∧
C
2
，C 为 A 和 B 的对易。 （可取含实参量ξ的积
2
分： I (ξ ) = ∫ d 3 x ( A− a )ψξ + i ( B − b)ψ
≥ 0 来进行演算。 ） 【测量是对量子系综进行
的。 】 5.厄米算符的本征函数的性质： （1）正交归一性，证明如下： 设 Aψ n ( x ) = a nψ n ( x) , Aψ m ( x ) = a mψ m ( x ) ，这里的 n 和 m 仅表示 a n ≠ a m ，并不意 味着 a n 和 am 属于离散谱。因为 A = A ，其本征值 a n 和 a m 总都是实数。那么：
* ψ ( x) = 0, a ′ ≠ a ， 本征值的本征函数是正交的， 故 ∫ψ a 但对于连续的本征值 a ， ′ ( x)
∧ ∧
a
从 a 到 a + ∆a （ ∆a 是小量）对于实验测量是无法区别的，这导致本征值谱连续
* 时本征函数的规格化条件为： ψ a′ ψ a = ∫ψ a ψ a ( x)d 3 x = δ (a ′ − a) 。 ′ ( x) * * （2）完备性，基的完备性条件： ∑ψ n ( x )ψ n ( y ) + ∫ daψ a ( x)ψ a ( y ) = δ ( x − y ) （考
* * * * 0 = ∫ψ m Aψ n d 3 x − ∫ψ m A ψ n d 3 x = ∫ψ m Aψ n d 3 x − ∫ψ n ( Aψ m ) * d 3 x = (a n − a m ) ∫ψ m ψ nd 3 x
* 如果 a n ≠ a m ，则ψ m 和ψ n 正交， ∫ψ m ψ n d 3 x = 0, m ≠ n 。 * 如果 a n = a m ，则 ∫ψ m ψ n d 3 x 不一定正交。下面，分别讨论三种情形： ∧ ∧
∇2 =
∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∂2 ∂2 2 ∂ 1 ∂2 2 （三维柱坐标） ； （二维） 。 + + + ∇ = + + ∂r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2 ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2