第三章 三角函数、解三角形第五节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
因为 y＝sinx 的对称中心为(kπ，0)，k∈Z， π kπ π 令 2x＋6＝kπ，k∈Z，解得 x＝ 2 －12，k∈Z，
kπ π 所， π 其中离原点 O 最近的对称中心为 －12，0 。
π π π 以y＝sin 2x－2 ＋6＝6－cos x。 2 答案 π y＝6－cos2x
二、小题查验
π π 1．已知简谐运动f(x)＝2sin 3x＋φ |φ|<2 的图象经过点(0,1)，则该简谐
运动的最小正周期T和初相φ分别为( π A．T＝6，φ＝6 π C．T＝6π，φ＝6
第三章
第五节
三角函数、解三角形
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
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拓视野·提素养
★★★2018考纲考题考情★★★ 考纲要求 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ) 的物理意义；能画出y＝ Asin(ωx＋φ)的图象，了解 参数A，ω，φ对函数图象 变化的影响 2．了解三角函数是描述周 期变化现象的重要函数模 型，会用三角函数解决一 些简单实际问题 真题举例 2017· 全国卷Ⅰ· T9(5分)(三角 函数图象平移) 2017· 山东高考· T16(12分)(三 角函数表达式、最值) 2016· 全国卷Ⅰ· T12(5分)(三角 函数图象对称性、单调性) 2016· 全国卷Ⅱ· T7(5分)(三角 函数图象平移) 2016· 全国卷Ⅲ· T14(5分)(三角 函数图象平移) 命题角度 1.函数y＝ Asin(ωx＋φ)的 图象及变换 2．求函数y＝ Asin(ωx＋φ)的 解析式 3．三角函数图 象与性质的综 合应用
答案 (2)C
【解题导引】 (1)由最高点或最低点的纵坐标求A，由周期(可求半个周期)求ω，最后
π 根据最高点的坐标求φ。(2)由y＝3sin 6x＋φ ＋k的部分图象可得ymax＝3＋
k，ymin＝k－3，整理可求最大值。
【母题变式】 若本例(2)中，增加条件“10时水深达到最小值，且 π |φ|<2”，求水深不小于6.5 m的有多长时间。
0 π 12 0
π 2 π 3 5
π 7π 12 0
3π 2 5π 6 －5
2π 13π 12 0
π 则函数解析式为f(x)＝5sin 2x－6 。
π (2)由(1)知 f(x)＝5sin 2x－6 ，
π π π 因此 g(x)＝5sin2x＋6－6＝5sin2x＋6 。
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式。 π (2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移6个单位长度，得到y＝g(x)的图象，
求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心。
(3)说明函数f(x)的图象是由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到的。
π 解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－ 6 ，数据补全如下 表： ωx＋φ x Asin(ωx＋φ)
1 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的 π 曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2
1 解析 把曲线C1：y＝cosx各点的横坐标缩短为原来的 2 ，纵坐标不
π π 变，得曲线y＝cos2x，再向左平移 12 个单位长度，得曲线y＝cos2 x＋12 ＝ π π 2π π cos 2x＋6＝sin2＋2x＋6＝sin2x＋ 3 。故选D。
T 5π π π 2π 解析 由题意可知 4 ＝ 12 － 6 ＝ 4 ，T＝π＝ ω ，所以ω＝2。又因为
π π π 2 × ＋ φ sin ＝0，所以φ＝kπ－ ，k∈Z，当k＝0时，φ＝－ 。故选B。 6 3 3
答案
B
4．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π， 0]上的图象如图所示，则ω＝_________。
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考点一 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 π 【典例1】 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) ω>0，|φ|<2 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ x Asin(ωx＋φ) 0 0 π 2 π 3 5 π 3π 2 5π 6 －5 0 2π
2．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生 猪收购价格每四个月会重复出现。下表是今年前四个月的统计情况： 月份x 收购价格y(元/斤) 1 6 2 7 3 6 4 5
选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系 为____________。
解析
π T π π 2π (1)由题图知，A＝2， 2 ＝ 3 － －6 ＝ ，故 T ＝ π ， ω ＝ 2 π ＝2，所
π π 2π 以y＝2sin(2x＋φ)。因为图象过点 3，2 ，所以2sin 2×3＋φ ＝ 2 ，则 3 ＋φ＝ π π π 2kπ＋2(k∈Z)，取k＝0，则φ＝－6，故y＝2sin2x－6 。故选A。
π π (3)把 y＝sinx 的图象上所有的点向右平移6个单位长度， 得到 y＝sinx－6
π 1 的图象， 再把 y＝sin x－6 的图象上的点的横坐标缩短到原来的 2倍(纵坐标不
π π 变)，得到 y＝sin 2x－6的图象，最后把 y＝sin2x－6 上所有点的纵坐标伸长
π 到原来的 5 倍(横坐标不变)，即可得到 y＝5sin 2x－6 的图象。
φ 1．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移 ω (ω>0，φ>0)个单位 长度而非φ个单位长度。 2．平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为 同名函数，ω为负时应先变成正值。
解析
)
π B．向右平移12个单位 π D．向右平移3个单位
π π y＝sin 4x－3 ＝sin 4x－12 ，故只需将函数y＝sin4x的图象向右
π π 平移12个单位即可得到函数y＝sin4x－3 的图象。故选B。
解析
2π 2π T＝ 3 ＝ ω ，所以ω＝3。
答案 3
π 5．若将函数f(x)＝sin 2x＋4 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值为________。
π 解析 由题意知，平移后所得函数为f(x)＝sin 2x－2φ＋4 ，若其图象关 π π π kπ 于y轴对称，则sin －2φ＋4 ＝ ± 1 ，所以－ 2 φ ＋ ＝ k π ＋ ( k ∈ Z ) ，所以 φ ＝－ 4 2 2 π 3π －8(k∈Z)，当k＝－1时，φ取得最小正值为 8 。 3π 答案 8
) π B．T＝6，φ＝3 π D．T＝6π，φ＝3
2π 1 π 解析 最小正周期为T＝ π ＝6；由2sinφ＝1，得sinφ＝ 2 ，又|φ|< 2 ，故φ 3 π ＝6。故选A。 答案 A
π 2．要得到函数y＝sin 4x－3 的图象，只需将函数y＝sin4x的图象( π A．向左平移12个单位 π C．向左平移3个单位
答案 D
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【典例2】 (1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则( )
π A．y＝2sin 2x－6 π C．y＝2sin x＋6
π B．y＝2sin 2x－3 π D．y＝2sin x＋3
【变式训练】 (2017· 全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin
2π 2x＋ 3 ，则下面结论正确的是(
)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的 π 曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的 π 曲线向左平移12个单位长度，得到曲线C2 1 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的 π 曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2
ωx＋φ __________
重点微提醒 函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法： 1．五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量 π 3π 代换，设z＝ωx＋φ，由z取0， 2 ，π， 2 ，2π来求出相应的x，通过列表，计 算得出五点坐标，描点后得出图象。 2．图象变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的 图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先φ后ω”)与“先伸缩后平 移”(即“先ω后φ”)。
解析 设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝
π 2π π 4，因为T＝ ω ，所以ω＝ 2 ，所以y＝sin 2x＋φ ＋6。因为当x＝1时， y＝6， π π π 所以6＝sin 2＋φ ＋ 6 ，结合表中数据得 ＋ φ ＝ 2 k π ， k ∈ Z ，可取 φ ＝－ 2 2 ，所
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自|主|全|排|查 1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如 下表所示。 x ωx＋φ y＝Asin(ωx＋φ)
φ －ω ______
φ π －ω＋2ω ________ π 2 ______
小|题|快|速|练 一、回归教材
三角函数Y=Asin(ωx+φ)课件
方法1： (按j , , A顺序变换 )
y
3
2 1
y=3sin(2x+ 3 )
y=sinx
o
3
6 -１
6 3
7 2 5 12 3 6
7 6
5 3
2
x
-2
-3
y=sin(x+ ) 3 y=sin(2x+ ) 3
（1）向左平移 3 函数 y=sinx
-2
2
5 6
x
1.y=sin(x+j )与y=sinx的图象关系 例2、试研究 y sin(x + ) 、y sin(x ) 3 6 y sin x 与 的图象关系
y
y sin (x +
3
)
1
o
yy y y y y y sin y y sin y sin y sin y sin y sin y sin x sin sin x sin x sin x sin x sin x sin x x x x x x x x
如下图在同一坐标系中作y=sin2x和y=sinx的图像
描点：
y=sin2x
2 y 1 O
2
y=sinx
2
3 x
1
2
对于函数y sin 1 x 2
2. 描点：
y y=sinx 1 2 O 1 3 y=sin 1 x 2 4
的图象间的变化关系。
y
2
1 y sin x 与 y sinx 函数 y sin2 x 、 2
象可以看作是把y=sinx的图象上所有点
函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件
1 2
参数ω对周期的影响 随着ω的增大，函数y=asin(ωx+φ)的周期会减 小；反之，随着ω的减小，函数的周期会增大。
参数φ对相位的影响 当φ增加时，函数图像会沿x轴向右移动；反之， 当φ减小时，图像会向左移动。
3
参数a对振幅的影响
a的大小决定了函数图像的振幅。当a增大时，图 像的振幅增大；反之，当a减小时，振幅减小。
使用数学软件绘制图像
MATLAB
MATLAB是一款强大的数学软件，可以用来绘制各种复杂的函数图像，包括函数 y=asin(ωx+φ)。使用MATLAB，用户可以自定义ω和φ的值，观察图像的变化。
Python (Matplotlib)
Matplotlib是Python的一个绘图库，也可以用来绘制函数y=asin(ωx+φ)。通过 Matplotlib，用户可以轻松地定制图像的样式和颜色。
在通信系统中，信号的传输通常会受到噪声和其他干扰的影响。利用函数 y=asin(ωx+φ)进行信号调制可以提高信号的抗干扰能力和传输质量。例如，在调 频（FM）通信中，调制信号的频率会随着声音信号的变化而变化，解调后可以得到 还原的声音信号。
04 函数y=asin(ωx+φ)的变 种形式
多参数变化的影响
函数图像的基本特征
周期性
极值点
由于正弦函数的周期性，函数 y=asin(ωx+φ)的图像也具有周期性， 周期取决于ω的取值。
函数图像在每个周期内有两个极值点， 极值点的位置和高度取决于参数ω、 φ的取值。
对称性
函数图像具有对称性，包括轴对称和 中心对称，具体对称轴和对称中心取 决于参数φ的取值。
02 函数y=asin(ωx+φ)的图 像绘制
高考数学第三篇三角函数、解三角形(、)第5节函数yasin(ωxφ)的图象及应用理高三数学
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考点二 求函数 y=Asin (ωx+ )+B 的解析式 【例 2】 (1)函数 y=Asin(ωx+ )的部分图象如图所示,则( ) (A)y=sin(x- π )
3 (B)y=sin( 2 x- 2π )
39 (C)y=cos(4x+ π )
6 (D)y=sin(2x+ π )
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解析:(2)显然 A=3, T =7-3=4,得ω= π ,
2
4
所以 f(x)=3sin( π x+ ),又 f(5)=3sin( 5π + )=-3,得 = π ,
4
4
4
所以 f(x)=3sin( π x+ π ),所以 g(x)=3sin[ π (2x-1)+ π ]=3sin πx ,
所以 y=sin(2x+ π ),故选 D. 3
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(2)设函数 f(x)=Asin(ωx+ )(A>0,ω>0,| |< π )的部分图象如图所示,则 f(0) 2
等于( ) (A) 3 (B) 3
2 (C) 2 (D)1
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知识(zhī shi)链条完善
考点 专项突 (kǎo diǎn) 破
第三页，共四十五页。
知识链条(liàntiáo)完善
知识(zhī shi)梳理
把散落的知识连起来
高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形3.5函数y=asinωx+φ的图象及应用课件文
【总结反思】 (1)五点法作简图：用“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ) 的简图，主要是通过变量代换，设 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，32π，2π 来求出相应的 x，通过列表， 计算得出五点坐标，描点后得出图象． (2)图象变换：由函数 y＝sinx 的图象通过变换得到 y ＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移 后伸缩”与“先伸缩后平移”.
方法 2：将 y＝sinx 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍 (纵坐标不变)，得到 y＝sin2x 的图象；再将 y＝sin2x 的图象向左平 移π6个单位长度，得到 y＝sin2x＋π6＝sin2x＋π3的图象；再将 y＝ sin2x＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不 变)，即得到 y＝2sin2x＋π3的图象.
(1)把函数 y＝sin(x＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵
0
描点画出图象，如图所示：
2 0 －2 0
(3)方法 1：把 y＝sinx 的图象上所有的点向左平移π3个单位长 度，得到 y＝sinx＋π3的图象；再把 y＝sinx＋π3的图象上所有点 的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x＋π3的图 象；最后把 y＝sin2x＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横 坐标不变)，即可得到 y＝2sin2x＋π3的图象．
答案：π3，510
热点命题·突破 02
课堂升华 强技提能
热点一 “五点法”作图及图象变换 【例 1】 已知函数 y＝2sin2x＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相； (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象； (3)说明 y＝2sin2x＋π3的图象可由 y＝sinx 的图象经过怎样的变 换而得到．
人教版数学必修第一册期末复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件
常见误区
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：
!
“左加右减，上加下减”．
(2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：
向左平移 个单位长度而非φ个单位长度．
典例剖析
考点 1 五点法作图及图象变换
[例1] 已知函数f(x)＝ 3 sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
6
f(x)＝2sin [2(x+ ) + ]
2． (变问法) 在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移
________个单位得到y＝f(x)的图象．
6
6
由[例1]知f(x)＝2sin (2x+ ) ，
4
向右平移 个单位长度
y＝2cos 2x
y＝2sin(2x＋ )
6
y＝2sin 2x
2
3
11
12
π
6
2
π
3
2
2π
13
6
1
2
0
－2
0
1
[例1] 已知函数f(x)＝ 3 sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
画图如下．
变式探究
1．(变问法)若将本例中函数f(x)的图象向左平移 个单位长度，把
3
所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)
2
1
点的横坐标缩短到原来的 倍，然后向左平移 个单位长度，得到y＝g(x)的图
2
6
象．则以下结论正确的是(
高考数学 一轮 第三章 三角函数 3.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单应用
ω
列出一个周期内的五个特殊点,当要画出某指定区间上的图象时,应列出
该区间内的特殊点. (2)图象变换法 ①平移变换 沿x轴平移,遵循“左加右减”法则; 沿y轴平移,遵循“上加下减”法则. ②伸缩变换
沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的1 (纵坐标不变);
12
t
3
,故有10-2sin
12
tt
3
<-
1 2
.
又0≤t<24,因此 7 < t+ <11 ,即10<t<18.
6 12 3 6
故10时至18时实验室需要降温.
ωx+φ
0
π
π
2
3π
2π
2
x
π
π
12
3
Asin(ωx+φ)
0
5
7π
5π
13π
12
6
12
0
-5
0
且函数表达式为f(x)=5sin
2x
6
.
(2)由(1)知
f(x)=5sin
2x
6
,
得g(x)=5sin
2x
2θ
6
.
令2x+2θ- =kπ,解得x=k + -θ,k∈Z.
6
2 12
由于函数y=g(x)的图象关于点
5 12
,
0
中心对称,
则可令 k + -θ=5 ,解得θ= k - ,k∈Z.
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第五节y=Asinωx+φ的图象及应用课件新人教版
其中所有正确结论的编号是( D )
A．①④
B．②③ C．①②③ D．①③④
[解析] 已知 f(x)＝sinωx＋π5(ω＞0)在[0,2π]有且仅有 5 个零点，如图， 其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时 f(x)在(0,2π)有且仅有 3 个极
大值点，但 f(x)在(0,2π)可能有 2 或 3 个极小值点，所以①正确，②不正 确；当 x∈[0,2π]时，ωx＋π5∈5π，2πω＋π5，由 f(x)在[0,2π]有且仅有 5 个 零点可得 5π≤2πω＋π5＜6π，得 ω 的取值范围是152，2190，所以④正确； 当 x∈0，1π0时，π5＜ωx＋π5＜π1ω0 ＋π5＜41090π＜π2，所以 f(x)在0，1π0单调递 增，所以③正确．
三角函数的零点、不等式问题的求解思路 (1)把函数表达式转化为正弦型函数情势y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0， ω>0)． (2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象． (3)利用图象解决有关三角函数的零点、不等式问题．
[题组突破]
1．(2021·佛山四校联考)已知x0＝
π 3
是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值
点，则f(x)的一个单调递减区间是( B )
A.6π，23π C.2π，π
B．3π，56π D．23π，π
角，∴2A＝π3，A＝π6，故tan
A＝
3 3.
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m， 则A＝M－2 m，b＝M＋2 m. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝2Tπ.
(3)求φ常用的方法： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入 图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在 降落区间上)． ②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体 如下：
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用讲义
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用讲义课前双击巩固1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0), x∈[0,+∞)AT= f=1T=2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:xωx+φy=Asin(ωx+φ)0 A 0 -A 03.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像的步骤图3-19-1题组一常识题1.[教材改编]函数y=sin x的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍得到的图像对应的函数解析式是.2.[教材改编]某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y=sin(x+π4),则原函数的解析式是.3.[教材改编] 若函数f (x )=sin ωx (0<ω<2)在区间0, π3上单调递增,在区间π3,π2上单调递减,则ω= .4.[教材改编] 已知简谐运动f (x )=2sin π3x+φ(|φ|<π2)的图像经过点(0,1),则该简谐运动的初相φ为 . 题组二 常错题◆索引:图像平移多少单位长度容易搞错;不能正确理解三角函数图像对称性的特征;三角函数的单调区间把握不准导致出错;确定不了函数解析式中φ的值.5.为得到函数y=cos (2x +π3)的图像,只需将函数y=sin 2x 的图像向 平移 个单位长度.6.设ω>0,若函数f (x )=sin ωx2cos ωx2在区间[-π3,π3]上单调递增,则ω的取值范围是 .7.若f (x )=2sin (ωx+φ)+m 对任意实数t 都有f (π8+t)=f (π8-t),且f (π8)=-3,则实数m= .8.已知函数f (x )=sin (ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图3-19-2所示,则φ= .图3-19-2 课堂考点探究探究点一 函数y=Asin (ωx+φ)的图像变换1 (1)将函数y=2sin 2x+π6的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为 ( )A.y=2sin2x+π4 B.y=2sin2x+π3C.y=2sin2x-π4 D.y=2sin2x-π3(2)函数y=cos 2x的图像可以由函数y=sin 2x的图像经过平移而得到,这一平移过程可以是( )A.向左平移π2个单位长度B.向右平移π2个单位长度C.向左平移π4个单位长度D.向右平移π4个单位长度[总结反思]由y=sin x的图像变换到y=Asin(ωx+φ)的图像,两种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是|φ|个单位长度;而先伸缩再平移,平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于ωx加减多少值.式题(1)把函数y=sin x的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移π6个单位长度,所得图像的函数解析式为( )A.y=sin(2x-π3) B.y=sin(2x-π6)C.y=sin(x2-π3) D.y=sin(x2-π6)(2)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=√2cos 3x的图像( )A.向右平移π12个单位长度B.向右平移π4个单位长度个单位长度C.向左平移π12个单位长度D.向左平移π4探究点二函数y=Asin(ωx+φ)的图像与解析式2 (1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图像如图3-19-3所示,则φ=.图3-19-3的部分图像如图3-19-4所示,其中A(2,3)(点A (2)已知函数f(x)=Msin(ωx+φ)M>0,|φ|<π2为图像的一个最高点),B-5,0,则函数f(x)=.2图3-19-4[总结反思]利用图像求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式主要从以下三个方面考虑:(1)根据最大值或最小值求出A的值.(2)根据周期求出ω的值.(3)根据函数图像上的某一特殊点求出φ的值.,1式题已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图像如图3-19-5所示,且Aπ2,B(π,-1),则φ值为.图3-19-5探究点三 函数y=Asin (ωx+φ)的图像与性质3 (1)已知函数f (x )=sin (ωx+φ)(ω>0,-π<φ<0)的最小正周期是π,将函数f (x )的图像向左平移π3个单位长度后所得图像过点P (0,1),则函数f (x )=sin (ωx+φ) ( ) A.在区间[-π6,π3]上单调递减 B.在区间[-π6,π3]上单调递增 C.在区间[-π3,π6]上单调递减 D.在区间[-π3,π6]上单调递增(2) 函数y=cos (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图像如图3-19-6所示,A ,B 分别为最高点与最低点,且|AB|=2√2,则该函数图像的一条对称轴为 ( )图3-19-6A.x=π2B.x=-π2C.x=2D.x=1[总结反思] 求y=Asin (ωx+φ)+B (A>0,ω>0)的解析式的一般步骤. (1)求A ,B.确定函数的最大值M 和最小值m ,则A=M -m 2,B=M+m 2.(2)求ω.确定函数的周期T ,则ω=2πT .(3)求φ.常用方法如下:①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上).②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.式题 已知函数f (x )=2sin (ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的部分图像如图3-19-7所示,若f (0)=√3,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =π28-8,B ,C 分别为最高点与最低点. (1)求函数f (x )的单调递增区间;(2)若将f (x )的图像向左平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图像,求函数g (x )在区间0,π2上的最大值和最小值.图3-19-7探究点四 三角函数模型的简单应用4 有一个半径为4 m 的水轮(如图3-19-8),水轮的圆心O 距离水面2 m ,已知水轮逆时针转动,且每分钟转动4圈,当水轮上的点P 从水中浮现(即到达图中点P 0)时开始计时. (1)将点P 距离水面的高度h (m )表示为时间t (s )的函数;(2)在水轮转动一圈的过程中,有多长时间点P 距水面的高度超过4 m.图3-19-8[总结反思](1)解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=Asin(ωx+φ)+k中的待定系数.(2)为函数f(x)所满足的条件,通过数学运算得到相关结论,.式题某城市一年中12个月的月平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acosπ6(x-6)(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的月平均气温为℃.课时作业一、填空题1．将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移π12个单位，得到函数g(x)＝sin(2x＋φ)0＜φ＜π2的图象，则φ等于________.2．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为________.3．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是________.①y＝sin(2x＋π2) ②y＝cos(2x＋π2) ③y＝sin(x＋π2) ④y＝cos(x＋π2)4．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为________.5．已知函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则________.①ω＝1，φ＝2π3②ω＝1，φ＝－2π3③ ω＝2，φ＝2π3④ ω＝2，φ＝－2π36．要得到函数y ＝sin(x －π6)的图象可将函数y ＝sin(x ＋π6)的图象上的所有点________.7．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.8．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________.9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f (x )＝________.10．设y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ＜(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称； ②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数； ④在[－π6，0]上是增函数．正确结论的编号为________．11．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 二、解答题12． 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相； (2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的图象．13．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动π6个单位长度，得到y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．。
三角函数y=Asin(ωxφ)图像解读
函数 y =sin x , x R（其中 >0且 1） 的图像，可以看作把正弦曲线上所有点的横坐 标缩短（当 >1时）或伸长（当 0< <1时） 到原来的1/ 倍（纵坐标不变）而得到。
问题：画出y=sin(x+ 3 ), x R, y=sin(x- )的 4
图像。演示
4.9 函数 y=Asin ( x+ )的图像
4.9 函数 y=Asin ( x+ )的图像
复习：函数 y=Asin ( x+ ) ,x R中, A是指振幅, T= 2 。
要求：弄清楚 A ， ， 这三个变量对 图像的影响。
1 画出函数y= 2 sinx, x R , y= sinx, x R的图像 2
解：
x sinx 0 0
2
1
0
3 2
-1
2
0
2sinx
0
0
2
0
0
-2
0
0
1 sinx 2
1 2
1 2
y
-2
1
2
o -1
2
3 2
2
x
-2
弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍（横坐标不 作把正弦曲线上所有点的纵坐标缩短到原来的 变）而得到。从而函数 y= 2 sinx, x R 的值域是[-2,2], 1/2（横坐标不变）而得到。 最大值是2，最小值是 –2。
6
12
3
7 12
5 6
0
2
3
0
3 2
-3
2
0
0
演示：
第五节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用
第五节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的应用考试要求1．了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义，能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．[知识排查·微点淘金]知识点1 y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)振幅 周期 频率 相位 初相 AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ知识点2 用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找出五个关键点，如下表所示： x －φω π2ω－φω π－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A[微思考]“五点法”作图时，五个关键点的横坐标之间有什么关系？提示：“五点法”作图时，相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的14.知识点3 由函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤[微提醒] 两种变换的区别①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度．常用结论1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位长度得到的．(√) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．(×)(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.(√)(4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的函数值与最低点的函数值确定的．(√)2．(链接教材必修4 P 55练习T 2)为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( )A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度答案：A3．(链接教材必修4 P 62例4)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：月份x 1 2 3 4 收购价格y /(元/斤)6765．解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x . 答案：y ＝6－cos π2x4．(图象平移方向出错)为了得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象向________平移______个单位长度．解析：因为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以只需将y ＝cos 2x 的图象向左平移π6个单位长度．答案：左 π65．(识图不准出错)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )＝________．解析：设f (x )的最小正周期为T ，根据题图可知，T 2＝π2，所以T ＝π，故ω＝2，根据2sin ⎝⎛⎭⎫2·π12＋φ＝0(增区间上的零点)可知，π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，又|φ|<π2，故φ＝－π6.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6一、基础探究点——y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换(题组练透)1．(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，则f (x )＝( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2－7π12 B ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 D ．sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 解析：选B 依题意，将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4 ――――――――――――――――――――――→将其图象向左平移π3个单位长度 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的图象―――――――――――――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12的图象．2．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a 的最大值为2.(1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)在坐标系上作出f (x )在[0，π]上的图象． 解：(1)∵f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋a ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＋a ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1＋a 的最大值为2， ∴a ＝－1，最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，列表： x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π 2x ＋π6π6 π2 π 3π2 2π 13π6 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 12－21画图如下：1.y ＝A sin （ωx ＋φ）的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标.2.由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin （ωx ＋φ）图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.二、综合探究点——由三角函数图象求解析式(思维拓展)[典例剖析][例1] (1)(2021·全国甲卷)[一题多解]已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π2＝________．解析：解法一(五点作图法)：由题图可知34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，即T＝π，所以2πω＝π，即ω＝2.故f (x )＝2cos(2x ＋φ)．点⎝⎛⎭⎫π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×π3＋φ＝π2， 得φ＝－π6，即f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6＝－ 3. 解法二(代点法)：由题意知，34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，所以T ＝π，2πω＝π；即ω＝2.又点⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以2cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，所以2×π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，令k ＝0，则φ＝－π6，所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6＝－2cos π6＝－ 3.解法三(平移法)：由题意知，34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，所以T ＝π，2πω＝π，即ω＝2.函数y ＝2cos 2x 的图象与x 轴的一个交点是⎝⎛⎭⎫π4，0，对应函数f (x )＝2cos(2x ＋φ)的图象与x 轴的一个交点是⎝⎛⎭⎫π3，0，所以f (x )＝2cos(2x ＋φ)的图象是由y ＝2cos 2x 的图象向右平移π3－π4＝π12个单位长度得到的，所以f (x )＝2cos(2x ＋φ)＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×π2－π6＝－2cos π6＝－ 3. 答案：－ 3 [拓展变式][变条件]若本例条件变为“f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的部分图象如图所示”则f ⎝⎛⎭⎫π2＝______．解析：设f (x )的最小正周期为T ， 由题中图象可知 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3得T ＝π， 则ω＝2πT ＝2ππ＝2，又图象过点⎝⎛⎭⎫5π12，2， 则f ⎝⎛⎭⎫5π12＝2，即2sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1. ∵－π2<φ<π2，∴π3<φ＋5π6<4π3，∴5π6＋φ＝π2，∴φ＝－π3. ∴f ⎝⎛⎭⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π2－π3＝ 3. 答案：3确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m 2；(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT；(3)求φ，常用方法有以下两种代入法把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入五点法确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口[学会用活]1．(2021·兰州实战考试)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________．解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，由0<φ<π，取k ＝0，则φ＝π2，所以f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2，所以f (1)＝－ 3. 答案：－ 3三、应用探究点——函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及综合应用(多向思维)[典例剖析]思维点1 三角函数性质的综合问题[例2] 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω＞0)，已知f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910. 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④解析：已知f (x )＝sin(ωx ＋π5)(ω＞0)在[0，2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a ，b )上，此时f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点，但f (x )在(0，2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x ∈[0，2π]时，ωx ＋π5∈⎣⎡⎦⎤π5，2πω＋π5，由f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋π5＜6π，得ω的取值范围是⎣⎡⎭⎫125，2910，所以④正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π10时，π5＜ωx ＋π5＜πω10＋π5＜49π100＜π2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10上单调递增，所以③正确．故选D. 答案：D三角函数的图象和性质综合问题的求解策略先将y ＝f (x )化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，将ωx ＋φ视为一个整体，借助正弦函数的图象和性质解决相关问题(如单调性、对称性、零点、极值点等)，强化数形结合思想、转化与化归思想、整体代换思想的应用．思维点2 三角函数模型的简单应用[例3] (2021·山东师大附中月考)如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8 m ，圆环的圆心O 距离地面的高度为10 m ，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P 0处．(1)试确定在时刻t (min)时蚂蚁距离地面的高度h (m)；(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面不低于14 m?解：(1)设在时刻t (min)时蚂蚁达到点P ，则以Ox 为始边，OP 为终边的角的大小为2π12t－π2＝π6t －π2，故P 点的纵坐标为8sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2，则h ＝8sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π2＋10＝10－8cos π6t ，所以在t 时刻时蚂蚁距离地面的高度h ＝10－8cos π6t (t ≥0)．(2)由(1)知，h ＝10－8cos π6t .令10－8cos π6t ≥14，可得cos π6t ≤－12， 所以23π＋2k π≤π6t ≤43π＋2k π(k ∈Z )，解得4＋12k ≤t ≤8＋12k (k ∈Z )，又0≤t ≤12，所以4≤t ≤8.即在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4 min 蚂蚁距离地面不低于14 m.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[学会用活]2．将函数f (x )＝a sin x ＋b cos x 的图象向右平移π3个单位长度得到g (x )的图象，若g (x )的图象的对称中心为坐标原点，关于函数f (x )有下述四个结论：①f (x )的最小正周期为2π； ②若f (x )的最大值为2，则a ＝1； ③f (x )在[－π，π]有两个零点； ④f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－5π6，π6上单调． 则所有正确结论的序号是( ) A ．①③④ B ．①②④ C ．②④D ．①③解析：选A f (x )＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba ，由题意得g (x )＝a 2＋b 2·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ－π3的图象关于坐标原点对称，故φ－π3＝k π(k ∈Z )，φ＝k π＋π3(k ∈Z )，故f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋k π＋π3，k ∈Z ，故①正确，且③也正确；对于②，当f (x )的最大值为2时，a 2＋b 2＝2，又tan φ＝tan ⎝⎛⎭⎫k π＋π3＝ba ＝3，两式联立可解得a ＝±1，故②不正确；根据三角函数图象的性质，易判断④正确．故选A.3．示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标M (2，4)和P (6，0)，已知M ，P 是曲线上相邻的最高点和平衡位置，则曲线的方程是________．解析：由题意，可设曲线方程为y ＝4sin(ωx ＋φ)(ω>0)．因为T 4＝4，所以T ＝16，所以ω＝2π16＝π8，所以y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ.又曲线经过点M (2，4)，所以π8·2＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋2k π，k ∈Z ，令k ＝0，φ＝π4，所以y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4. 答案：y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4三角函数中有关ω的问题求解三角函数中ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．类型一 利用三角函数的单调性求解[案例1] [一题多解]若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，3π2上单调递增，则正数ω的最大值为( ) A ．18B ．16C ．14D ．13[解法探究] 解法一：因为f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，3π2上单调递增， 所以⎩⎨⎧2ω·⎝⎛⎭⎫－3π2＝－3ωπ≥－π2，2ω·3π2＝3ωπ≤π2，解得0<ω≤16，所以正数ω的最大值是16.解法二：易知f (x )＝3sin 2ωx ＋1，可得f (x )的最小正周期T ＝πω，所以⎩⎨⎧－T 4＝－π4ω≤－3π2，T 4＝π4ω≥3π2，解得0<ω≤16，所以正数ω的最大值是16.[答案] B本题中因为指定区间含有0，所以可以直接利用－3ωπ与－π2的大小关系及3ωπ与π2的大小关系建立参数所满足的不等式(组)．若指定区间不含0，则需要先求出函数的单调递增区间，再利用子集关系建立参数所满足的不等式(组)求解．类型二 利用三角函数的最值，对称性求解[案例2] [一题多解]已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，直线x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A ．11 B ．9 C ．7D ．5[解法探究] 解法一：因为x ＝－π4为函数f (x )的零点，直线x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝π2＝kT 2＋T 4(k ∈Z ，T 为最小正周期)， 化简得T ＝2π2k ＋1(k ∈Z )，则ω＝2πT ＝2k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以T 2≥5π36－π18， 结合T ＝2π2k ＋1(k ∈Z )可得，k ≤112且k ∈Z .当k ＝5时，ω＝11，φ＝－π4，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上不单调；当k ＝4时，ω＝9，φ＝π4，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，满足题意，故ω的最大值为9.解法二：依题意，有⎩⎨⎧ω·⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝m π，ω·π4＋φ＝n π＋π2(m ，n ∈Z )，解得⎩⎨⎧ω＝2（n －m ）＋1，φ＝2（m ＋n ）＋14π.又|φ|≤π2，所以m ＋n ＝0或m ＋n ＝－1.由f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，得πω≥5π36－π18， 所以0<ω≤12.当m ＋n ＝0时，ω＝4n ＋1，φ＝π4，取n ＝2，得ω＝9，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，符合题意． 当m ＋n ＝－1时，φ＝－π4，ω＝4n ＋3，取n ＝2，得ω＝11，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，此时，当x ∈⎝⎛⎭⎫π18，5π36时，11x －π4∈⎝⎛⎭⎫1336π，2318π，f (x )不单调，不合题意．故ω的最大值为9.[答案] B利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的等式或不等式，进而求出ω的值或取值范围．[应用1] 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，23 B ．⎣⎡⎦⎤0，32 C.⎣⎡⎦⎤23，3D ．⎣⎡⎦⎤32，3解析：选D 令π2＋2k π≤ωx ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，所以⎩⎨⎧π2ω＋2k πω≤π3，k ∈Z ，π2≤3π2ω＋2k πω，k ∈Z ，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3.又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，解得0≤k <34，所以k ＝0.故32≤ω≤3. [应用2] (2021·武汉市高三二调)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的图象在[0，1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为( )A ．[2π，4π]B ．⎣⎡⎭⎫2π，9π2C ．⎣⎡⎭⎫13π6，25π6D ．⎣⎡⎭⎫2π，25π6 解析：选C 由函数f (x )在[0，1]上恰有两个极大值点，及正弦函数的图象可知ω＋π3∈⎣⎡⎭⎫2π＋π2，4π＋π2，则13π6≤ω<25π6.故选C. 限时规范训练 基础夯实练1．(2021·湖南永州模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象大致是( )解析：选A 由y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6可知，函数的最大值为2，故排除D ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0，故排除B ；又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎫－π12，2，故排除C. 2．(2021·昆明市高三诊断测试)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，则所得图象的对称轴可以为( )A ．x ＝－π6B ．x ＝π4C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：选B 由题意知，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度后，函数解析式变为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，由2x ＝π2＋k π(k ∈Z )，得平移后的图象的对称轴为x ＝π4＋k π2(k ∈Z )，令k ＝0，则对称轴为x ＝π4，故选B. 3．(2021·济南市质量评估)为了得到函数y ＝2cos 2x 的图象，可以将函数y ＝cos 2x －3sin 2x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：选B 因为y ＝cos 2x －3sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以要得到函数y ＝2cos 2x 的图象，可以将函数y ＝cos 2x －3sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度，故选B.4．(2021·福州市质量检测)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A ．⎣⎡⎦⎤π4＋4k π3，11π12＋4k π3，k ∈ZB ．⎣⎡⎦⎤－13π12＋k π，－5π12＋k π，k ∈Z C ．⎣⎡⎦⎤π4＋2k π，11π12＋2k π，k ∈Z D ．⎣⎡⎦⎤－13π12＋3k π4，－5π12＋3k π4，k ∈Z 解析：选A 由题中图象可知，34T ＝7π12－⎝⎛⎭⎫－5π12＝π，∴T ＝4π3，又∵2πω＝4π3∴ω＝32，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋φ，又函数图象过点⎝⎛⎭⎫－5π12，－1， ∴－1＝sin ⎝⎛⎭⎫－5π8＋φ， ∴－5π8＋φ＝－π2＋2k π，(k ∈Z )，∴φ＝π8＋2k π，(k ∈Z )，取φ＝π8，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫32x ＋π8， 由π2＋2k π≤32x ＋π8≤3π2＋2k π，(k ∈Z )， 解得π4＋4k π3≤x ≤11π12＋4k π3，(k ∈Z )，∴f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π4＋4k π3，11π12＋4k π3，k ∈Z .5．(2021·江西吉安检测)在平面直角坐标系xOy 中，将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到的图象经过原点，则φ的最小值为( )A.π3 B ．π4C.π6D ．π12解析：选B 将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后得到的图象对应的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤3（x ＋φ）＋π4，因为其图象经过原点，所以sin ⎝⎛⎭⎫3φ＋π4＝0，所以3φ＋π4＝k π，k ∈Z ，解得φ＝k π3－π12，k ∈Z ，又φ>0，所以φ的最小值为π3－π12＝π4. 6．(2021·福州市适应性考试)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变，得到函数y ＝g (x )的图象．若g (x 1)g (x 2)＝－2，则|x 1－x 2|的最小值为________．解析：f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 故g (x )的周期为π，且g (x )max ＝2，g (x )min ＝－ 2.因为g (x 1)g (x 2)＝－2，所以g (x 1)＝－g (x 2)＝2，或g (x 1)＝－g (x 2)＝－2，所以|x 1－x 2|＝π2＋k π，k ∈N ，所以|x 1－x 2|min ＝π2.答案：π27．(2021·西北工业大学附中高三一模)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．解析：由题图知T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则周期T ＝π，即2πω＝π，则ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)．由五点对应法得2·⎝⎛⎭⎫－π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，即函数的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z .答案：2 ⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π，(k ∈Z ) 8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3且函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为________．解析：因为f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，所以x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝±1，所以π6ω＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以ω＝6k ＋2，k ∈Z ，所以T ＝π3k ＋1(k ∈Z )．又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点，所以π6≤T 4≤π2－π6，所以2π3≤T ≤4π3，所以2π3≤π3k ＋1≤4π3(k ∈Z )，所以－112≤k ≤16，又因为k ∈Z ，所以k ＝0，所以T ＝π.答案：π9．(2021·浙江卷)设函数f (x )＝sin x ＋cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值． 解：(1)因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x －sin x ， 所以y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22＝(cos x －sin x )2＝1－sin 2x . 所以函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π22的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝2sin x ，所以y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin x (sin x ＋cos x ) ＝2(sin x cos x ＋sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋22. 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，函数y ＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值，且y max ＝1＋22. 10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间． 解：(1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π，∴ω＝2ππ＝2. 故f (x )＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0， 由已知可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． 综合提升练11．(2021·成都市诊断性检测)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f (x )的图象，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫8x ＋π6D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫8x －π3 解析：选A y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后对应的图象的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，再把所得图象向左平移π6个单位长度后对应的图象的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 12．定义在[0，π]上的函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)有零点，且值域M ⊆⎣⎡⎭⎫－12，＋∞，则ω的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤12，43 B ．⎣⎡⎦⎤43，2 C ．⎣⎡⎦⎤16，43D ．⎣⎡⎦⎤16，2解析：选C 由0≤x ≤π，得－π6≤ωx －π6≤ωπ－π6，当x ＝0时，y ＝－12.因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6在[0，π]上有零点，所以0≤ωπ－π6，即ω≥16.因为函数的值域为M ⊆⎣⎡⎭⎫－12，＋∞，所以ωπ－π6≤π＋π6，即ω≤43，从而16≤ω≤43.故选C.13．在某港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h ，低潮时水深为9 m ，高潮时水深为15 m ．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y (m)关于时间t (h)的函数图象可以近似地看成函数y ＝A sin(ωt ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的图象，其中0≤t ≤24，且t ＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是( )A ．y ＝3sin π6t ＋12B ．y ＝－3sin π6t ＋12C ．y ＝3sin π12t ＋12D ．y ＝3cos π6t ＋12解析：选A 由相邻两次高潮的时间间隔为12 h ，知T ＝12＝2πω(ω>0)，得ω＝π6，又由高潮时水深15 m 和低潮时水深9 m ，得A ＝3，k ＝12，由题意知，当t ＝3时，y ＝15.故将t ＝3，y ＝15代入解析式y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋12中，得3sin ⎝⎛⎭⎫π6·3＋φ＋12＝15，得π6·3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝2k π(k ∈Z )．所以该函数的解析式可以是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋2k π＋12＝3sin π6t ＋12.14．(2021·昆明一模)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4(ω>0)在(0，2π)上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是________．解析：令ωx －π4＝φ，∵0<x <2π，ω>0，∴－π4<ωx －π4<2ωπ－π4，即－π4<φ<2ωπ－π4，由题意知y ＝sin φ在⎝⎛⎭⎫－π4，2ωπ－π4上有且仅有两个零点，则 ⎩⎨⎧2ωπ－π4>π，2ωπ－π4≤2π，∴58<ω≤98. 答案：⎝⎛⎦⎤58，98创新应用练15．函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f (x )的最小正周期为2；②f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－12；③f (x )在⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 上是减函数； ④f (x )的最大值为A .则正确的结论为________(填序号)．解析：由题图可知，函数f (x )的最小正周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2，故①正确；因为函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫14，0和⎝⎛⎭⎫54，0，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝12×⎝⎛⎭⎫14＋54＋kT 2＝34＋k (k ∈Z )，故直线x ＝－12不是函数f (x )图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当14－T4＋kT ≤x ≤14＋T 4＋kT (k ∈Z )，即2k －14≤x ≤2k ＋34(k ∈Z )时，f (x )是减函数，故③正确；若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是－A ，故④不正确．答案：①③16．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，且f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值． 解：(1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z . 故ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0<ω<3，所以ω＝2. (2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.17．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条休闲大道，它的前一段OD 是函数y ＝k x (k >0)图象的一部分，后一段DBC 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈[4，8]的图象，图象的最高点为B ⎝⎛⎭⎫5，833，DF ⊥OC ，垂足为F .(1)求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2)若在草坪内修建如图所示的儿童游乐园，即矩形PMFE ，问点P 落在曲线OD 上何处时，儿童游乐园的面积最大？ 解：(1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，由图象可知，A ＝833，ω＝2πT ＝2π4（8－5）＝π6， 将B ⎝⎛⎭⎫5，833代入y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ中， 可得sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝1，故5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， φ＝2k π－π3(k ∈Z )． 因为|φ|<π2，所以φ＝－π3. 故y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3，x ∈[4，8]． (2)在y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3中，令x ＝4，得y ＝4，故D (4，4)，从而得OD 对应的函数为y ＝2x (0≤x ≤4)．设点P ⎝⎛⎭⎫t 24，t (0≤t ≤4)， 则矩形PMFE 的面积S ＝⎝⎛⎭⎫4－t 24t (0≤t ≤4)． 因为S ′＝4－3t 24，由S ′＝0，得t ＝433， 当t ∈⎝⎛⎭⎫0，433时，S ′>0，S 单调递增； 当t ∈⎝⎛⎭⎫433，4时，S ′<0，S 单调递减．所以当t ＝433时，S 最大，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，433. 即点P 落在曲线OD 上点⎝⎛⎭⎫43，433处时，儿童游乐园的面积最大．。