高三数学复习 月考试卷一 理 新人教A版
2022-2023学年人教A版高三下数学月考试卷含答案及解析
2022-2023学年高中高三下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. (i4−4i)(4+i)=( )A.8+15iB.15iC.8−15iD.−15i2. 已知集合A＝{x|x2−2x−3<0}，B＝{x|0<x<m}，若A∪B＝{x|−1<x<5}，则m＝（ ）A.−1B.3C.5D.103. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2015年1月至2017年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4. 已知角θ的终边过点(1,−1)，则cos(π2−θ)=( )A.−√22B.√22C.−1D.15. 如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面均相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面均相切，则两个球在正方体的面AA1C1C上的正投影为（）A.B.C.D.6. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB=BC=CD，则该双曲线的离心率为( )A.√2B.√3C.3√55D.4√777. 记S n为数列{a n}的前n项和，若S n＝2a n+1，则S10＝（ ）A.−1024B.−1023C.1023D.1024(x+1√x)6的展开式中x6的系数为( )8. (x3−2)A.6B.10C.13D.159. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a+b=8，c=2√7，(2a−b)(a2+b2−c2)=2abc(1−2sin2B2)，则△ABC的面积为( )A.6√3B.3√3C.8√3D.4√310. 若圆(x−1)2+(y−1)2=5关于直线y=kx+2对称，则k=( )A.2B.−2C.1D.−111. 若f(x)=xe x−a有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）A.(1e,+∞)B.(1e,0)C.(−1e,+∞)D.(−1e,0)12. 函数f(x)=x 32x+2−x的部分图象大致为( )A. B.C.D.卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13. （5分）设随机变量ξ∼N(μ,σ2)，且P(ξ<−3)=P(ξ>1)=0.2，则P(−1<ξ<1)=________．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14. 已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，且a1=b1=1,a5+b3=13,a2+b2=5(1)求数列{a n},{b n}的通项公式；(2)设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．15. 产品质量是企业的生命线，为提高产品质量，企业非常重视产品生产线的质量，某企业引进了生产同一种产品的A，B两条生产线，为比较两条生产线的质量，从A，B生产线生产的产品中各自随机抽取了100件产品进行检测，把产品等级结果和频数制成了如图的统计图．(1)有多大的把握认为一级品与生产线有关？(2)生产一件一级品可盈利100元，生产一件二级品可盈利50元，生产一件三级品则亏损20元，以频率估计概率．①分别估计A，B生产线生产一件产品的平均利润；②你认为哪条生产线的利润较为稳定？并说明理由．附：①K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d②临界值表：P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82816. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2√2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．(1)证明：PC⊥平面BDE；(2)设二面角A−PB−C为直二面角，求PD与平面PBC所成角的大小．17. 已知O为坐标原点，椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，过焦点F2且不与x轴重合的直线l和椭圆C相交于A，B两点，△F1AB的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若→OA+→OB=→OM，→OA⋅→OB=−2，求四边形OAMB的面积S．18. 已知函数f(x)=mx−xlnx(x>1)．(1)讨论f(x)的极值；(2)若m为正整数，且f(x)<2x+m恒成立，求m的最大值.(参考数据：ln4≈1.39， ln5≈1.61) 19. 已知圆O的参数方程为{x=2cosθ,y=2sinθ(θ为参数，0≤θ<2π)．(1)求圆心和半径；(2)若圆O上点M对应的参数θ=5π3，求点M的坐标．参考答案与试题解析2022-2023学年高中高三下数学月考试卷一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】此题暂无解析【解答】解：(i4−4i)(4+i)=(1−4i)(4+i)=4+i−16i+4=8−15i.故选C.2.【答案】C【考点】并集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】A【考点】频率分布折线图、密度曲线【解析】此题暂无解析【解答】解：根据对折线图的理解，对于选项A，月接待游客量不是逐月增加，故A错误；对于选项B，月接待游客量呈现增长趋势，则年接待游客量逐年增加，故B正确；对于选项C，从题图中可以看出各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确；对于选项D，从折线图的走势看，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，折线图走势比较平稳，故D正确．故选A．4.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值任意角的三角函数【解析】答案未提供解析．【解答】解：因为角θ的终边过点(1,−1)，所以cos(π2−θ)=sinθ=−1√2=−√22．故选A．5.【答案】B【考点】简单空间图形的三视图【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可以判断出两球在正方体的面 AA 1C 1C 上的正投影与正方形相切．由于两球球心连线O 1O 2与平面ACC 1A 1不平行，所以O 1O 2的射影的长度小于两球半径的和，即两球的投影相交．故选B ．6.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】设出双曲线方程，把双曲线上的点的坐标表示出来并代入到方程中，找到a 、b 的关系即可求解．【解答】解：设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则OC =a ，因为AB =BC =CD ，所以CD =2OC ，所以OD =3OC =3a ，因为坐标轴和双曲线与圆O 的交点将圆O 的周长八等分，所以点(3√2a,3√2a )在双曲线上，代入双曲线方程得92−9a 22b 2=1，解得b 2a 2=97，所以双曲线的离心率为e =ca =√1+b 2a 2=√1+97=4√77.故选D ．7.【答案】B【考点】数列的求和数列递推式【解析】本题先根据公式a n＝代入进行计算即可发现数列{a n }是以−1为首项，2为公比的等比数列，然后根据等比数列的求和公式即可计算出S 10的值．【解答】由题意，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1+1，解得a 1＝−1，当n ≥2时，a n ＝S n −S n−1＝2a n +1−2a n−1−1，化简整理，得a n ＝2a n−1，∴数列{a n }是以−1为首项，2为公比的等比数列，∴S 10＝＝−1023．8.【答案】C【考点】二项展开式的特定项与特定系数二项式定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由于(x +1√x)6的展开式的通项公式为T r+1=C r6⋅x 6−3r2，令6−3r2=3，解得r =2，令6−3r2=6，解得r =0，所以(x 3−2)(x +1√x )6的展开式中x 6的系数为C 26−2C 06=15−2=13.故选C.9.【答案】B【考点】三角形的面积公式余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意， (2a−b)(a 2+b2−c2)=2abc⋅cosB ，即(2a−b)a 2+b2−c22ab=c⋅cosB，故(2a−b)⋅cosC=c⋅cosB，∴ 2acosC=bcosC+ccosB，∴2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sinA.∵sinA≠0，∴cosC=12.由余弦定理，c 2=a2+b2−2abcosC=(a+b)2−3ab，∴28=64−3ab，即3ab=36，则ab=12，∴△ABC的面积S=12absinC=6×√32=3√3.故选B.10.【答案】D【考点】关于点、直线对称的圆的方程直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：圆(x−1)2+(y−1)2=5关于直线y=kx+2对称，所以圆心(1,1)在直线y=kx+2上，解得，k=1−2=−1．故选D．11.【答案】D【考点】利用导数研究函数的极值函数的零点与方程根的关系【解析】利用函数与方程的关系，利用参数分离法进行分离，构造函数，求出函数的导函数，求出函数的最小值，根据函数的零点和最值关系即可得到结论．【解答】解：若f(x)=xe x −a 有两个零点，等价为f(x)=xe x −a =0，即a =xe x 有两个根，设h(x)=xe x ，则函数h(x)=xe x 的导函数h′(x)=(x +1)e x ，令h′(x)=0，则x =−1∵当x ∈(−∞,−1)时，h′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x ∈(−1,+∞)时，h′(x)>0，函数f(x)单调递增；故当x =−1时，函数取最小值h(−1)=−e −1，∵当x ≥0时，h(x)≥0，当x <0时，h(x)<0，∴若a =xe x 有两个根，则−1e <a <0，故选：D12.【答案】B【考点】函数的图象与图象变化函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：当x =1时，f(1)=1321+2−1>0，故选项A,D 错误；当x 趋近于+∞时，f(x)趋近于0，故选项C 错误.故选B.二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】0.3【考点】正态分布的密度曲线【解析】本题考查正态分布的性质．【解答】解：由P(ξ<−3)=P(ξ>1)=0.2得P(ξ>−1)=0.5，所以P(−1<ξ<1)=0.5−0.2=0.3．故答案为：0.3．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】解：（1）设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q,则{1+4d +q 2=131+d +q =5,’解得{d =2q =2.所以a n =1+2(n −1)=2n −1,b n =2n−1．（2）c n =a n b n =(2n −1)⋅2n−1，则S n =c 1+c 2+c 3+… +c n−1+c n =1+3×21+5×22+⋯+(2n −3)×2n−2+(2n −1)×2n−1，①2S n =1×21+3×22+⋯+(2n −5)×2n−2+(2n −3)×2n−1+(2n −1)×2n ，②①一②，得 −S n =1+2(2+22+⋯+2n−2+2n−1)−(2n −1)×2n =1+22(1−2n−1)1−2−(2n −1)×2n =1+2n+1−4−(2n −1)×2n =(3−2n)⋅2n −3所以S n =(2n −3)2n +3.【考点】数列的求和等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）设{a n }的公差为d,{b n }的公比为q,则{1+4d +q 2=131+d +q =5,’解得{d =2q =2.所以a n =1+2(n −1)=2n −1,b n =2n−1（2）c n =a n b n =(2n −1)⋅2n−1，则S n =c 1+c 2+c 3+… +c n−1+c n =1+3×21+5×22+⋯+(2n −3)×2n−2+(2n −1)×2n−1，①2S n =1×21+3×22+⋯+(2n −5)×2n−2+(2n −3)×2n−1+(2n −1)×2n ，②①一②，得 −S n =1+2(2+22+⋯+2n−2+2n−1)−(2n −1)×2n=1+22(1−2n−1)1−2−(2n −1)×2n =1+2n+1−4−(2n −1)×2n =(3−2n)⋅2n −3所以S n =(2n −3)2n +3.15.【答案】解：(1)根据已知数据可建立列联表如下：一级品非一级品合计A 2080100B3565100合计55145200K 2=n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)=200×(20×65−35×80)255×145×100×100≈5.643>5.024，所以有97.5%的把握认为一级品与生产线有关．(2)A 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为15,35,15．记A 生产线生产一件产品的利润为X ，则X 的取值为100，50,−20，其分布列为X10050−20P 153515B 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为720,25,14.记B 生产线生产一件产品的利润为Y ，则Y 的取值为100，50,−20，其分布列为Y 10050−20P7202514①E(X)=100×15+50×35+(−20)×15=46，E(Y)=100×720+50×25+(−20)×14=50.故A ，B 生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元．②D(X)=(100−46)2×15+(50−46)2×35+(−20−46)2×15=1464，D(Y)=(100−50)2×720+(50−50)2×25+(−20−50)2×14=2100．因为D(X)<D(Y)，所以A 生产线的利润更为稳定．【考点】独立性检验离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)根据已知数据可建立列联表如下：一级品非一级品合计A2080100B 3565100合计55145200K 2=n(ad −bc)2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)=200×(20×65−35×80)255×145×100×100≈5.643>5.024，所以有97.5%的把握认为一级品与生产线有关．(2)A 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为15,35,15．记A 生产线生产一件产品的利润为X ，则X 的取值为100，50,−20，其分布列为X10050−20P 153515B 生产线生产一件产品为一、二、三级品的概率分别为720,25,14.记B 生产线生产一件产品的利润为Y ，则Y 的取值为100，50,−20，其分布列为Y 10050−20P7202514①E(X)=100×15+50×35+(−20)×15=46，E(Y)=100×720+50×25+(−20)×14=50.故A ，B 生产线生产一件产品的平均利润分别为46元、50元．②D(X)=(100−46)2×15+(50−46)2×35+(−20−46)2×15=1464，D(Y)=(100−50)2×720+(50−50)2×25+(−20−50)2×14=2100．因为D(X)<D(Y)，所以A 生产线的利润更为稳定．16.【答案】(1)证明：以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A −xyz ，设D(√2,b,0)，则C(2√2,0,0)，P(0,0,2)，E(4√23,0,23)，B(√2,−b,0)，∴→PC=(2√2,0,−2)，→BE=(√23,b,23)，→DE=(√23,−b,23)，∴→PC⋅→BE=43−43=0，→PC⋅→DE=0，∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E，∴PC⊥平面BED.(2)解：→AP=(0,0,2)，→AB=(√2,−b,0)，→PB=(√2,−b,−2),设平面PAB的法向量为→m=(x,y,z)，{→m⋅→AB=√2x−by=0,→m⋅→AP=2z=0,则取→m=(b,√2,0),设平面PBC的法向量为→n=(p,q,r)，{→n·→BE=√23p+bq+23r=0,→n·→PB=√2p−bq−2r=0,则√2b,√2),取→n=(1,−∵平面PAB⊥平面PBC，∴→m⋅→n=b−2b=0．故b=√2,∴→n=(1,−1,√2)，→DP=(−√2,−√2,2)∴cos<→DP，→n>=|→n⋅→DP||→n|⋅|→DP|=12,设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0,π2]，则sinθ=12,∴θ=30∘,∴PD与平面PBC所成角的大小为30∘.【考点】直线与平面垂直的判定用空间向量求直线与平面的夹角【解析】（1）先由已知建立空间直角坐标系，设D(√2,b,0)，从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（2）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【解答】(1)证明：以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A−xyz ，设D(√2,b,0)，则C(2√2,0,0)，P(0,0,2)，E(4√23,0,23)，B(√2,−b,0)，∴→PC=(2√2,0,−2)，→BE=(√23,b,23)，→DE=(√23,−b,23)，∴→PC⋅→BE=43−43=0，→PC⋅→DE=0，∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E，∴PC⊥平面BED.(2)解：→AP=(0,0,2)，→AB=(√2,−b,0)，→PB=(√2,−b,−2),设平面PAB的法向量为→m=(x,y,z)，{→m⋅→AB=√2x−by=0,→m⋅→AP=2z=0,则取→m=(b,√2,0),设平面PBC的法向量为→n=(p,q,r)，{→n·→BE=√23p+bq+23r=0,→n·→PB=√2p−bq−2r=0,则√2b,√2),取→n=(1,−∵平面PAB⊥平面PBC，∴→m⋅→n=b−2b=0．故b=√2,∴→n =(1,−1,√2)，→DP =(−√2,−√2,2)∴cos <→DP ，→n >=|→n ⋅→DP ||→n |⋅|→DP |=12,设PD 与平面PBC 所成角为θ，θ∈[0,π2]，则sinθ=12,∴θ=30∘,∴PD 与平面PBC 所成角的大小为30∘.17.【答案】解：(1)设椭圆的焦距为2c ．由△F 1AB 的周长为8可得，4a =8，解得a =2 .又因为椭圆的离心率为12，所以c =1，b 2=a 2−c 2=3 .椭圆的标准方程为x 24+y 23=1 . (2)由→OA +→OB =→OM 知四边形OAMB 为平行四边形，且S =2S △OAB ，因为F 2(1,0)，所以设直线l 的方程为x =my +1，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2) .直线方程与椭圆方程联立得(3m 2+4)y 2+6my −9=0 ，且Δ=36m 2+4×9(3m 2+4)>0 .所以y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4. →OA ⋅→OB =x 1x 2+y 1y 2=(my 1+1)(my 2+1)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m (y 1+y 2)+1=(m 2+1)−93m 2+4+−6m 23m 2+4+1=−12m 2−53m 2+4=−2.解得m 2=12 .|AB |=√1+m 2√Δ3m 2+4=12(1+m 2)3m 2+4=3611，点{O}到直线{AB}的距离{d=\dfrac{1}{\sqrt{ m^{2} +1}}=\dfrac {\sqrt{6}}{3}} .四边形{OAMB}的面积{S=2S_{\triangle OAB}= | AB | \cdot d}{=\dfrac{12\sqrt{6}}{11}} . 【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线的综合问题【解析】此题暂无解析【解答】解：{(1)}设椭圆的焦距为{2c}．由{\triangle F_{1}AB}的周长为{8}可得，{4 a=8}，解得{a=2} .又因为椭圆的离心率为{\dfrac{1}{2}}，所以{c=1}，{b^2=a^2-c^2=3} .椭圆的标准方程为{\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1} .{(2)}由{\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {OM}}知四边形{OAMB}为平行四边形，且{S=2S_{\triangle OAB} \,\,\,}，因为{F_{2}\left(1, 0\right)}，所以设直线{l}的方程为{x=my+1}，{A\left(x_1,y_{1}\right)}，{B\left(x_{2}, y_{2}\right)} .直线方程与椭圆方程联立得{ \left(3 m^{2} +4\right)y^{2}+6my-9=0} ，且{\Delta =36m^2+ 4\times 9\left( 3m^{2} +4\right)\gt 0} .所以{y_1+y_2= -\dfrac{6m}{3m^2+4}}，{y_1y_2=-\dfrac{9}{3m^2+4}}.{\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}}{=x_1x_2+y_1y_2}{=(my_1+1)(my_2+1)+y_1y_2}{=\left( m^{2} +1\right)y_{1}y_{2}+m\left(y_{1}+y_{2}\right)+1}{=\left( m^{2} +1\right)\dfrac{-9}{3 m^{2} +4}+\dfrac{-6m^2}{{ 3m^{2} +4}}+1}{=\dfrac{-12m^2-5}{3m^2+4}}{=}{-2}.解得{m^{2} =\dfrac{1}{2}} .{|AB | =\sqrt{1+ m^{2} }\dfrac{\sqrt{\Delta }}{3 m^{2} +4}=\dfrac{12\left(1+ m^{2} \right)}{3 m^{2} +4}=\dfrac {36}{11}}，点{O}到直线{AB}的距离{d=\dfrac{1}{\sqrt{ m^{2} +1}}=\dfrac {\sqrt{6}}{3}} .四边形{OAMB}的面积{S=2S_{\triangle OAB}= | AB | \cdot d}{=\dfrac{12\sqrt{6}}{11}} .18.【答案】解：{(1)}∵{f\left(x\right)=mx-x\ln x \left(x\gt 1\right)}，∴{f^{\prime}(x)=m-1-\ln x(x\gt 1)}，当{m-1\le0}，即{m\le1}时，{f^{\prime}(x)\lt0}对{x\gt1}恒成立，∴{f(x)}在{(1,+\infty )}上单调递减，此时{f(x)}无极值；当{m-1\gt0}，即{m\gt1}时，令{f^{\prime}(x)=0}，得{x={\rm e}^{m-1}}，由{f^{\prime}(x)\gt0}，得{1\lt x\lt{\rm e}^{m-1}}；由{f^{\prime}(x)\lt0}，得{x\gt{\rm e}^{m-1}}，∴{f(x)}在{(1,{\rm e}^{m-1} )}上单调递增；在{({\rm e}^{m-1},+\infty )}上单调递减，∴{f(x)}在{x={\rm e}^{m-1}}处取得极大值，极大值为{f({\rm e}^{m-1})=m{\rm e}^{m-1}-(m-1){\rm e}^{m-1}={\rm e}^{m-1}}.综上所述，当{m\le1}时，{f(x)}无极值；当{m\gt1}时，{f(x)}有极大值为{{\rm e}^{m-1}}，无极小值．{(2)}∵当{x\gt1}时，{f(x)\lt2x+m}，∴当{x\gt1}时，{mx-x\ln x\lt2x+m}，即{m\lt\dfrac{x\ln x+2x}{x-1}}对{x\gt1}恒成立.令{h(x)= \dfrac{x\ln x+2x}{x-1}}，则{h^{\prime}(x)= \dfrac{x-\ln x-3}{(x-1)^2}}.令{g(x)=x-\ln x-3}，则{g^{\prime}(x)=1-\dfrac{1}{x}}.{\because}{x\gt1}，{\therefore}{g^{\prime}(x)=1-\dfrac{1}{x}\gt0}，{\therefore}{g(x)}是增函数.由{g(x_1)=x_1-\ln x_1-3=0}，得{\ln x_1=x_1-3}.∵{g(4)=4-\ln4-3=1-\ln4\approx1-1.39=-0.39\lt0}，{g(5)=5-\ln5-3=2-\ln5\approx2-1.61=0.39\gt0}.又{\because}{g(x_1)=0}，{g(x)}是增函数，{\therefore}{4\lt x_1\lt5}，∴当{x\in(1,x_1)}，{h^{\prime}(x)\lt0}，{h(x)}单调递减；当{x\in(x_1,+\infty )}，{h^{\prime}(x)\gt0}，{h(x)}单调递增，{\therefore}当{x=x_1}时，{h(x)}取得最小值，为{h(x_1)}，{\therefore}{m\lt h(x_1)=\dfrac{x_1\ln x_1+2x_1}{x_1-1}=\dfrac{x_1^2-x_1}{x_1-1}=x_1}.又{\because}{m}为正整数，∴{m\le 4}，{\therefore}正整数{m}的最大值为{4}．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：{(1)}∵{f\left(x\right)=mx-x\ln x \left(x\gt 1\right)}，∴{f^{\prime}(x)=m-1-\ln x(x\gt 1)}，当{m-1\le0}，即{m\le1}时，{f^{\prime}(x)\lt0}对{x\gt1}恒成立，∴{f(x)}在{(1,+\infty )}上单调递减，此时{f(x)}无极值；当{m-1\gt0}，即{m\gt1}时，令{f^{\prime}(x)=0}，得{x={\rm e}^{m-1}}，由{f^{\prime}(x)\gt0}，得{1\lt x\lt{\rm e}^{m-1}}；由{f^{\prime}(x)\lt0}，得{x\gt{\rm e}^{m-1}}，∴{f(x)}在{(1,{\rm e}^{m-1} )}上单调递增；在{({\rm e}^{m-1},+\infty )}上单调递减，∴{f(x)}在{x={\rm e}^{m-1}}处取得极大值，极大值为{f({\rm e}^{m-1})=m{\rm e}^{m-1}-(m-1){\rm e}^{m-1}={\rm e}^{m-1}}.综上所述，当{m\le1}时，{f(x)}无极值；当{m\gt1}时，{f(x)}有极大值为{{\rm e}^{m-1}}，无极小值．{(2)}∵当{x\gt1}时，{f(x)\lt2x+m}，∴当{x\gt1}时，{mx-x\ln x\lt2x+m}，即{m\lt\dfrac{x\ln x+2x}{x-1}}对{x\gt1}恒成立.令{h(x)= \dfrac{x\ln x+2x}{x-1}}，则{h^{\prime}(x)= \dfrac{x-\ln x-3}{(x-1)^2}}.令{g(x)=x-\ln x-3}，则{g^{\prime}(x)=1-\dfrac{1}{x}}.{\because}{x\gt1}，{\therefore}{g^{\prime}(x)=1-\dfrac{1}{x}\gt0}，{\therefore}{g(x)}是增函数.由{g(x_1)=x_1-\ln x_1-3=0}，得{\ln x_1=x_1-3}.∵{g(4)=4-\ln4-3=1-\ln4\approx1-1.39=-0.39\lt0}，{g(5)=5-\ln5-3=2-\ln5\approx2-1.61=0.39\gt0}.又{\because}{g(x_1)=0}，{g(x)}是增函数，{\therefore}{4\lt x_1\lt5}，∴当{x\in(1,x_1)}，{h^{\prime}(x)\lt0}，{h(x)}单调递减；当{x\in(x_1,+\infty )}，{h^{\prime}(x)\gt0}，{h(x)}单调递增，{\therefore}当{x=x_1}时，{h(x)}取得最小值，为{h(x_1)}，{\therefore}{m\lt h(x_1)=\dfrac{x_1\ln x_1+2x_1}{x_1-1}=\dfrac{x_1^2-x_1}{x_1-1}=x_1}.又{\because}{m}为正整数，∴{m\le 4}，{\therefore}正整数{m}的最大值为{4}．19.【答案】解：{(1)}∵圆{O}的参数方程为{\left\{ {\begin{matrix} {x= 2\cos \theta } ,\\ {y= 2\sin \theta }\end{matrix}} \right.(\theta }为参数，{0\leq \theta \lt 2\pi )}．∴平方得圆的普通方程为{x^{2}+ y^{2}= 4}，∴圆心{O(0,\, 0)}，半径{r= 2}．{(2)}当{\theta = \dfrac{5}{3}\pi }时，{x= 2\cos \, \theta = 1}，{y= 2\sin \, \theta = -\sqrt{3}}．∴点{M}的坐标为{(1,\, -\sqrt{3})}．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化参数方程与普通方程的互化【解析】（1）圆{O}的参数方程消去参数，得圆的普通方程，由此能求出圆心和半径．（2）当{\theta = \dfrac{5}{3}\pi }时，{x= 2\cos \, \theta = 1}，{y= 2\sin \, \theta = -\sqrt{3}}．由此能求出点{M}的坐标．【解答】解：{(1)}∵圆{O}的参数方程为{\left\{ {\begin{matrix} {x= 2\cos \theta } ,\\ {y= 2\sin \theta }\end{matrix}} \right.(\theta }为参数，{0\leq \theta \lt 2\pi )}．∴平方得圆的普通方程为{x^{2}+ y^{2}= 4}，∴圆心{O(0,\, 0)}，半径{r= 2}．{(2)}当{\theta = \dfrac{5}{3}\pi }时，{x= 2\cos \, \theta = 1}，{y= 2\sin \, \theta = -\sqrt{3}}．∴点{M}的坐标为{(1,\, -\sqrt{3})}．。
2021年高三数学上学期第一次月考试题 理 新人教A版
2021年高三数学上学期第一次月考试题理新人教A版一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知为虚数单位，若，则（）A． B． C．2 D．-13．已知命题：，则（）A． B．C． D．4．为了得到函数的图像，只需将函数图像上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度5．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．66．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的，可得这个几何体的体积是（）A．4 B．5 C．6 D．77．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有( )A ．96种B ．180种C ．240种D ．280种8．在在中，一椭圆与一双曲线都以为焦点，且都过,它们的离心率分别为则的值为( )A ．B ．C ．D ．9、在满足不等式组的平面点集中随机取一点，设事件=“”，那么事件发生的概率是( )A ．B ．C ．D ．10．对定义域为的函数，若存在距离为的两条平行直线和，使得当时，恒成立，则称函数在有一个宽度为的通道.有下列函数：①；②；③；④.其中在上通道宽度为的函数是（ ）A.①③B.②③C.②④D.①④二．填空题（本大题5个小题，每小题5分，共25分，只填结果，不要过程）11．在二项式的展开式中，含的项的系数是________ .(用数字作答)．12．已知为等比数列，若，则的值为_______.13．已知向量满足，，则的夹角为________.14．把一枚硬币任意抛掷三次，事件 “至少一次出现反面”，事件 “恰有一次出现正面”则________. .15．若函数在上的导函数为，且不等式恒成立，又常数，满足，则下列不等式一定成立的是________.①；②；③；④.三、解答题：本大题共6小题，满分75分。
2023-2024学年全国高中高三下数学人教A版月考试卷(含解析)
2023-2024学年全国高三下数学月考试卷考试总分：95 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合，则（ ）A.B.C.D.2. 已知复数，为的共轭复数，则 A.B.C.D.3. 给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得 ；③若、是第一象限角且，则 ；④是函数的一条对称轴方程；⑤函数的图象关于点成中心对称图形．其中正确的序号为（ ）A.①③B.②④C.①④D.④⑤A ={x|x −1≥0},B ={0,1.2}A ∩B ={0}{1}{1,2}{0,1,2}z =1−i z¯¯¯z =1+zz¯¯¯()1−3i21+i 23+i 21+3i 2y =cos(x +)23π2αsin α+cos α=32αβα<βtan α<tan βx =π8y =sin(2x +)5π4y =sin(x +)23π2(，0)π124. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A.B.C.D.5. 若函数在区间上有极值点，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.6. 箱子里有个黑球和个红球（球都有编号），从中依次摸出，红球全被摸出时即停止摸球．若恰好摸了次就停止了，则不同的摸出方案的种数为（ ）A.B.C.D.7. 已知向量、满足、，且在方向上的投影与在方向上的投影相等，则等于（ ）A.B.C.D.P =2x y 2P (0,2)P 17−−√235–√92f(x)=−+x +1x 33a 2x 2(,3)12a (2,)52[2,)52(2,)103[2,)10382332364048a →b →||=1a →||=2b →a →b →b →a →|−|b →a →35–√3–√1A −BCDOAB ⊥BCDAB =2–√8. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，且平面， ，，，则球的表面积为( )A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 年月日，国家统计局统计了年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制了饼图（如图），则下列说法正确的是 A.第一季度居民人均每月消费支出约为元B.第一季度居民人均收入为元C.第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多D.第一季度居民在居住项目的人均消费支出为元10. 点在圆上，点在圆上，则( )A.的最小值为B.的最大值为C.两个圆心所在的直线斜率为D.两个圆相交弦所在直线的方程为11. 在正方体中，是面对角线上的动点，是棱的中点，过，，三点的平面与正方体的表面相交，所得截面多边形可能是( )A −BCD O AB ⊥BCD AB =23–√AC =AD =4CD =22–√O 18π36π24π20π20194232019()163349001029P :+=1C 1x 2y 2Q :+−6x +8y +24=0C 2x 2y 2|P Q|0|P Q|7−436x −8y −25=0ABCD −A 1B 1C 1D 1P BD Q C 1D 1A 1P QA.三角形B.四边形C.五边形D.六边形12. 已知函数， 为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是( )A.B.在上存在零点，则的最小值为C.在上单调递增D.在有且仅有一个极大值点卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13. （5分） 求值： ________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14. 已知等差数列中，，．求数列的通项公式；记，求数列 的前项和 .f (x)=cos(2x +φ)(|φ|<)π2F (x)=f (x)+(x)3–√2f ′tanφ=3–√f (x)[−a,a]a π6F (x)(,)π43π4f (x)(0,)π2=1−tan 75∘1+tan 75∘{}a n =6a 2+=27a 3a 6(1){}a n (2)=b n 1a n a n+1{}b n n B n S记数列的前项和为，且，若对于一切正整数，总有成立，求实数的取值范围．15. 已知，，分别是的三个内角，，的对边，且.求证：；若．求．16. 年月底，为严防新型冠状病毒疫情扩散，有效切断病毒传播途径，坚决遏制疫情蔓延势头，确保人民群众生命安全和身体健康，多地相继做出了封城决定．某地在月日至日累计确诊人数如下表：日期(月)日日日日日日日人数(人)由上述表格得到散点图（月日为封城第一天）.根据散点图判断与，均为大于的常数）哪一个适宜作为累计确诊人数与封城后的天数的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；并根据上表中的数据求出回归方程；随着更多的医护人员投入疫情的研究，月日武汉影像科医生提出存在大量核酸检测呈阴性（阳性则确诊），但观其 肺片具有明显病变，这一提议引起了广泛的关注，月日武汉疾控中心接收了份血液样本，假设每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性样本的概率为，核酸试剂能把阳性样本检测出阳性结果的概率是（核酸检测存在阳性样本检测不出来的情况，但不会把阴性检测呈阳性），求这份样本中检测呈阳性的份数的期望．参考数据：其中，，参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．17. 如图所示，在三棱锥中，平面，，，，分别为线段，上的点，且，．(3){}a n n S n =T n S n3⋅2n−1n ≤m T n m a b c △ABC A B C sinAcosB =sinB(2−cosA)(1)c =2b (2)b +c =a 3–√A 2020112329123242526272829611213466101196123(1)y =a +bx y =c ⋅(d x c d 0y x (2)220CT 22010000.70.991000y¯¯¯w¯¯¯¯ ∑i=17x i y i ∑i=17x i w i 100.5462.141.542.53550.12 3.47=lg w i y i =w ¯¯¯¯17∑i=17w i (,)u 1w 1(,)u 2w 2(,)u n w n =+u wˆαˆβˆ=βˆ −n ∑i=1nu i w i u ¯¯¯w ¯¯¯¯−n ∑i=17u 2i u ¯¯¯2=−a ˆw ¯¯¯¯βˆu¯¯¯P −ABC P C ⊥ABC P C =2∠ACB =π2D E AB BC CD =DE =2–√CE =2EB =2证明：平面平面；求锐二面角的余弦值．18. 椭圆的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，．求椭圆的方程；若直线过圆的圆心，交椭圆于，两点，且，关于点对称，求直线的方程．19. 已知函数．若，求曲线在点处的切线方程；若的两个极值点为，，且，不等式恒成立，求实数的取值范围．(1)P DE ⊥P CD (2)A −P D −C C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 2P C P ⊥F 1F 1F 2|P |=F 143|P |=F 2143(1)C (2)l ++4x −2y =0x 2y 2M C A B A B M l f (x)=2a (lnx −x)+12x 2(1)a =12y =f (x)(1,f(1))(2)f (x)x 1x 2>x 2e 2x 1f ()−f ()>b(−)x 1x 2x 21x 22b参考答案与试题解析2023-2024学年全国高三下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解．∵，∴．故选．2.【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算共轭复数【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，所以.A ={x|x −1≥0}={x|x ≥1},B ={0,1,2}A ∩B ={x|x ≥1}∩{0,1,2}={1,2}C z =1−i =1+i z¯¯¯1+z z¯¯¯=2−i1+i =(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=1−3i 2A故选.3.【答案】C【考点】余弦函数的对称性正弦函数的对称性正弦函数的定义域和值域【解析】①根据诱导公式化简，即可得到是奇函数，从而正确；②求出的最大值，发现最大值，从而可得到不存在实数，使得；③找两个特殊角、，满足，比如，但是不满足要求，故不对；④把代入得到，是函数的一条对称轴；⑤把代入得到，故点不是函数的对称中心．【解答】解：①函数是奇函数；②由的最大值为，因为，所以不存在实数，使得；③，是第一象限角且．例如：，但，即不成立；④把代入，所以是函数的一条对称轴；⑤把代入函数，所以点不是函数的对称中心．综上所述，只有①④正确．故选．4.【答案】A y =cos(x +)23π2sinα+cosα<2–√32αsinα+cosα=32αβα<β<+45∘30∘360∘tan >tan(+)45∘30∘360∘x =π8y =sin(2x +)=sin =−15π43π2x =π8y =sin(2x +)5π4x =π12y =sin(x +)=sin =123π2π2(，0)π12y =sin(x +)23π2y =cos(x +)=−sin x 23π223sinα+cosα=sin(α+)2–√π42–√<2–√32αsinα+cosα=32αβα<β<+45∘30∘360∘tan >tan(+)45∘30∘360∘tanα<tanβx =π8y =sin(2x +)=sin =−15π43π2x =π8y =sin(2x +)5π4x =π12y =sin(x +)≠023π2(，0)π12y =sin(x +)23π2C抛物线的定义【解析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得，再求出的值即可．【解答】解：依题设在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为，则，依抛物线的定义知到该抛物线准线的距离为，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和．故选．5.【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】由函数在区间上有极值点，我们易得函数的导函数在区间内有零点，分离参数，确定范围即可得到答案．【解答】解：∵函数，∴，若函数在区间上有极值点，则在区间内有零点，由可得，∵，∴，当时，函数的导函数等于零时值只有，可是两边的单调性相同，所以不能等于.故选.d =|P F |+|P A |≥|AF ||AF |P P ′F F(，0)12P |P P |=|P F |′P A(0,2)P d =|P F |+|P A |≥|AF |==(+12)222−−−−−−−−√17−−√2A f(x)=−+x +1x 33a 2x 2(,3)12(,3)12f(x)=−+x +1x 33a 2x 2(x)=−ax +1f ′x 2f(x)=−+x +1x 33a 2x 2(,3)12(x)=−ax +1f ′x 2(,3)12−ax +1=0x 2a =x +1xx ∈(,3)122≤a <103a =2f(x)1a 2CA【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】解：根据题意，摸出方案的种数为：共有．故选.7.【答案】B【考点】向量的投影平面向量数量积【解析】由投影相等可得向量、的夹角为满足，由模长公式代入数据计算可得．【解答】解：设向量、的夹角为，由题意可得，代入数据可得，∴故选：8.【答案】D【考点】=32C 12C 18A 22A a →b →θcosθ=0a →b →θ||cosθ=||cosθa →b →cosθ=0|−|==b →a →(−b →a →)2−−−−−−−−√−2⋅+a →2a →b →b→2−−−−−−−−−−−−−−−−√==−2×1×2×0+1222−−−−−−−−−−−−−−−−−−√5–√B球内接多面体球的表面积和体积【解析】无【解答】解：∵平面，∴，，∴，在中，，∴，∴．设球的半径为，则，∴，∴球的表面积为.故选．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C,D【考点】扇形统计图【解析】可以从衣着类支出元及占比${9\% }$【解答】解：，第一季度居民人均消费支出约为元，第一季度居民人均每月消费支出约为元，故正确；，由于消费支出和收入是不同的概念，故错误；，第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出所占比例最大，即最多，故正确；，第一季度居民在居住项目的人均消费支出约为元，故正确．故选．10.【答案】B,CAB ⊥BCD AB ⊥BC AB ⊥BD BC =BD ==2−42(2)3–√2−−−−−−−−−−√△BCD CD =22–√C =B +B D 2C 2D 2BC ⊥BD O R 2R =B +B +B A 2C 2D 2−−−−−−−−−−−−−−−√==2++(2)3–√22222−−−−−−−−−−−−−−√5–√R =5–√O 20πD 441A 441÷0.09=49004900÷3≈1633A B B C C D 4900×21％=1029D ACD【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的标准方程与一般方程的转化相交弦所在直线的方程【解析】求得两圆圆心与半径，结合问题逐项判定即可.【解答】解：圆，圆心坐标为，，圆，即,圆心坐标为，.，当，，，四点按顺序共线时，取最小值，即，故错误；，当，，，四点按顺序共线时，取最大值，即，故正确；，由两圆的圆心坐标可得，两个圆心所在直线的斜率为，故正确；，因为，所以两个圆相离，不存在相交弦，故错误.故选.11.【答案】A,B,C【考点】截面及其作法棱柱的结构特征【解析】是对角线上的动点，分与，重合时和在线段上时两种情况讨论得出结论．【解答】解：因为是对角线上的动点，分两种情况，①与，重合时，过，，三点的平面与正方体表面相交所得截面为三角形，故符合题意；②取的中点，则为与的交点时，可知截面为矩形，即四边形，故符合题意；③如图，当点位于位置时，:+=1C 1x 2y 2(0,0)r =1:+−6x +8y +24=0C 2x 2y 2+=1(x −3)2(y +4)2(3,−4)r =1A C 1P Q C 2|P Q||P Q =5−1−1=3|min A B P C 1C 2Q |P Q||P Q =5+1+1=7|max B C −43C D ||==5C 1C 2+3242−−−−−−√D BC P BD P B D P BD P BD P B D A 1P Q A CD Q ′P A Q ′BD B P P 1所得截面的边有，，，，，所以所得截面为五边形，故符合题意.故选．12.【答案】B,C【考点】利用导数研究函数的单调性函数的零点奇函数正弦函数的单调性【解析】结合导数的运算法则和辅助角公式可得，由为奇函数，可推出，从而判断；由可知，导函数解析式，根据正弦函数的图象与性质，可确定在上与的大小关系，从而得的单调性与极值情况，由此判断；令，求出的值后即可判断极大值点；根据正弦函数的单调性确定在上单调情况，由此判断单调性．【解答】解：对于， ，，∴，∵为奇函数，∴，即，∴，，又，E A 1EG GF FQ Q A 1C ABC F (x)=2cos(2x +φ+)π3F (x)φ=π6f (x)(0,)π20f (x)f (x)=0x F (x)=−2sin2x (,)π43π4A ∵f (x)=cos(2x +φ)(x)=−2sin(2x +φ)f ′F (x)=f (x)+(x)3–√2f ′=cos(2x +φ)−sin(2x +φ)3–√=2cos(2x +φ+)π3F (x)F (0)=0cos(φ+)=0π3φ=+kππ6k ∈Z |φ|<π2=π∴， ，故错误；对于，由可知，,当时，，单调递减；当时，, 单调递增，∴在上有一个极小值点，没有极大值点，故错误；对于，令，得 ,，若在上存在零点，则且的最小值为，故正确；对于，，在上单调递增，故正确.故选三、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）13.【答案】【考点】两角和与差的正切公式【解析】此题暂无解析【解答】解： ．故答案为：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）14.【答案】解：设等差数列的公差为，φ=π6tanφ=tan =π63–√3A D A (x)=−2sin(2x +)f ′π6x ∈(0,)5π12(x)<0f ′f (x)x ∈(,)5π12π2(x)>0f ′f (x)f (x)(0,)π2D B f (x)=cos(2x +)=0π6x =+kπ2π6k ∈Z f (x)[−a,a]a >0a π6B C F (x)=−2sin2x F (x)(,)π43π4C BC.−3–√3=1−tan 75∘1+tan 75∘tan −tan 45∘75∘1+tan tan 45∘75∘=tan(−)=tan(−)=−tan =−45∘75∘30∘30∘3–√3−3–√3(1){}a n d +d =62+7d =27由，．可得，，解得，即有；∵，∴.，，由，可得…即有，取得最大值．对于一切正整数，总有成立，则有．即有的取值范围是．【考点】数列与不等式的综合数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）设等差数列的公差为，运用等差数列的通项公式，计算即可得到；（2）由等差数列的求和公式和数列的单调性，可得的最大值，再由恒成立思想，即可得到的范围．【解答】解：设等差数列的公差为，由，．可得，，解得，即有；∵，∴.，=6a 2+=27a 3a 6+d =6a 12+7d =27a 1=d =3a 1=+(n −1)d =3n a n a 1(2)===(−)b n 1a n a n+113n[3(n +1)]191n 1n +1=(1−+−+⋅⋅⋅+−)T n 191212131n 1n +1=(1−)=191n +1n 9(n +1)(3)===T n S n 3⋅2n−1(3+3n)n 123⋅2n−1n(n +1)2n =T n+1(n +1)(n +2)2n+1=T n+1T n n +22n <≤>>>...>>T 1T 2T 3T 4T 5T n ==T 2T 332n ≤m T n m ≥32m [,+∞)32{}a n d T n m (1){}a n d =6a 2+=27a 3a 6+d =6a 12+7d =27a 1=d =3a 1=+(n −1)d =3n a n a 1(2)===(−)b n 1a n a n+113n[3(n +1)]191n 1n +1=(1−+−+⋅⋅⋅+−)T n 191212131n 1n +1=(1−)=191n +1n 9(n +1)(3)===T n S n 3⋅2n−1(3+3n)n 123⋅2n−1n(n +1)2n +1(n +1)(n +2)，由，可得…即有，取得最大值．对于一切正整数，总有成立，则有．即有的取值范围是．15.【答案】证明：由，得，即 ，因为，所以，由正弦定理，得.解：将代入，得 ，由余弦定理，得，因为，所以.【考点】余弦定理正弦定理两角和与差的正弦公式【解析】利用正弦定理和两角和与差的三角函数即可证明；利用余弦定理即可求解.【解答】证明：由，得，即 ，因为，所以，由正弦定理，得.解：将代入，得 ，由余弦定理，得，因为，=T n+1(n +1)(n +2)2n+1=T n+1T n n +22n <≤>>>...>>T 1T 2T 3T 4T 5T n ==T 2T 332n ≤m T n m ≥32m [,+∞)32(1)sinAcosB =sinB(2−cosA)sinAcosB =2sinB−cosAsinB sin(A +B)=2sinB A +B =π−C sinC =2sinB c =2b (2)c =2b b +c =a 3–√a =b 3–√cosA ===+−b 2c 2a 22bc +4−3b 2b 2b 24b 2120<A <πA =π3(1)(2)(1)sinAcosB =sinB(2−cosA)sinAcosB =2sinB−cosAsinB sin(A +B)=2sinB A +B =π−C sinC =2sinB c =2b (2)c =2b b +c =a 3–√a =b 3–√cosA ===+−b 2c 2a 22bc +4−3b 2b 2b 24b 2120<A <π=π所以.16.【答案】解：由散点图可知选择，由两边同时取常用对数可得：，设，∴.计算，，，，把样本中心点代入可得，∴.∴，，∴关于的回归直线方程为.这份样品中检测出呈阳性的份数为，则每份检测出阳性的概率为.由题意可知：，∴(人)，故这份样品中检测出呈阳性的份数为人.【考点】离散型随机变量的期望与方差求解线性回归方程【解析】由散点图可知选择，两边同时取常用对数可得：，设，利用公式求解即可；由题意得到，进而求出即可.【解答】解：由散点图可知选择，由两边同时取常用对数可得：，设，∴.计算，，，，把样本中心点代入可得，∴.A =π3(1)y =c ⋅d x y =c ⋅d x lgy =lgc +lgd ⋅x lgy =w w =lgc +lgd ⋅x =4x ¯¯¯=1.54w ¯¯¯¯=140∑i=17x 2i lg =d ˆ−7∑i=17x i w i x ¯¯¯w¯¯¯¯−7∑i=17x 2i x ¯¯¯2===0.2550.12−7×4×1.54140−7×42728(4,1.54)w =lgc +lgd ⋅x lg =0.54c ˆ=0.54+0.25x wˆ0.54=lgc 0.25=lgd y x =3.47×y ˆ100.25x (2)1000X P =0.7×0.99=0.693X ∼B =(1000，0.693)E(X)=1000×0.693=6931000693(1)y =c ⋅d x y =c ⋅d x lgy =lgc +lgd ⋅x lgy =w (2)X ∼B =(1000，0.693)E(X)(1)y =c ⋅d x y =c ⋅d x lgy =lgc +lgd ⋅x lgy =w w =lgc +lgd ⋅x =4x¯¯¯=1.54w ¯¯¯¯=140∑i=17x 2i lg =d ˆ−7∑i=17x i w i x ¯¯¯w¯¯¯¯−7∑i=17x 2i x ¯¯¯2===0.2550.12−7×4×1.54140−7×42728(4,1.54)w =lgc +lgd ⋅x lg =0.54c ˆ=0.54+0.25x wˆ0.54=lgc 0.25=lgd∴，，∴关于的回归直线方程为.这份样品中检测出呈阳性的份数为，则每份检测出阳性的概率为.由题意可知：，∴(人)，故这份样品中检测出呈阳性的份数为人.17.【答案】证明：因为，，所以，所以为直角三角形，且，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面.过作于，因为为等腰直角三角形，且，所以，因为，所以，所以，即，得，因为平面，，所以，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，0.54=lgc 0.25=lgd y x =3.47×y ˆ100.25x (2)1000X P =0.7×0.99=0.693X ∼B =(1000，0.693)E(X)=1000×0.693=6931000693(1)CD =DE =2–√CE =2C +D =+=4=C D 2E 2()2–√2()2–√2E 2△CDE ∠CDE =90∘CD ⊥DE P C ⊥ABC DE ⊂ABC P C ⊥DE CD ∩P C =C DE ⊥P CD DE ⊂P DE P DE ⊥P CD (2)D DF ⊥BC F △CDE CE =2DF =CE =112∠ACB =π2DF//AC =DF AC BF BC =1AC 23AC =32P C ⊥ABC ∠ACB =π2CA CB CP C CA CB CP x y z C (0,0,0)A(,0,0)32D(1,1,0)E(0,2,0)P (0,0,2)=(−1,1,0)DE −→−=(−1,−1,2)DP −→−=(,−1,0)DA −→−12P AD =(x,y,z)n → =−x −y +2z =0，−→−则 令，则，，所以，由可知平面，所以是平面的一个法向量，设锐二面角的平面角为，则，所以锐二面角的余弦值为．【考点】平面与平面垂直的判定用空间向量求平面间的夹角【解析】此题暂无解析【解答】证明：因为，，所以，所以为直角三角形，且，所以，因为平面，平面，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面.过作于，因为为等腰直角三角形，且，所以，因为，所以，所以，即，得，因为平面，，所以，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，⋅=−x −y +2z =0，n →DP −→−⋅=x −y =0，n →DA −→−12x =2y =1z =32=(2,1,)n →32(1)DE ⊥P CD =(−1,1,0)DE −→−P CD A −P D −C θcosθ=|cos , |=||=n →DE −→−−2+1+0×4+1+94−−−−−−−−√1+1−−−−√58−−√29A −P D −C 58−−√29(1)CD =DE =2–√CE =2C +D =+=4=C D 2E 2()2–√2()2–√2E 2△CDE ∠CDE =90∘CD ⊥DE P C ⊥ABC DE ⊂ABC P C ⊥DE CD ∩P C =C DE ⊥P CD DE ⊂P DE P DE ⊥P CD (2)D DF ⊥BC F △CDE CE =2DF =CE =112∠ACB =π2DF//AC =DF AC BF BC =1AC 23AC =32P C ⊥ABC ∠ACB =π2CA CB CP C CA CB CP x y z则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则 令，则，，所以，由可知平面，所以是平面的一个法向量，设锐二面角的平面角为，则，所以锐二面角的余弦值为．18.【答案】解：由于，则，由，则，即有，则，，即．故椭圆方程为：.设，的坐标分别为，，由题意得圆的方程，可知圆心为.直线斜率不存在时不合题意，可设直线的方程为：，代入椭圆的方程，可得，，由于，关于点对称，则，解得，C (0,0,0)A(,0,0)32D(1,1,0)E(0,2,0)P (0,0,2)=(−1,1,0)DE −→−=(−1,−1,2)DP −→−=(,−1,0)DA −→−12P AD =(x,y,z)n → ⋅=−x −y +2z =0，n →DP −→−⋅=x −y =0，n →DA −→−12x =2y =1z =32=(2,1,)n →32(1)DE ⊥P CD =(−1,1,0)DE −→−P CD A −P D −C θcosθ=|cos , |=||=n →DE −→−−2+1+0×4+1+94−−−−−−−−√1+1−−−−√58−−√29A −P D −C 58−−√29(1)|P |+|P |=2a =+=6F 1F 243143a =3P ⊥F 1F 1F 2|P −|P =|=(−(=20F 2|2F 1|2F 1F 2|2143)243)22c =25–√c =5–√=−=9−5=4b 2a 2c 2b =2C +=1x 29y 24(2)A B (,)x 1y 1(,)x 2y 2(x +2+(y −1=5)2)2M (−2,1)l l y =k(x +2)+1C (4+9)+(36+18k)x +36+36k −27=0k 2x 2k 2k 2A B M =−=−2+x 1x 2218+9k k 24+9k 2k =89Δ=(36+18k −4(4+9)(36+36k −27)>02222代入判别式，则成立．所以直线的方程为，即．【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线的综合问题【解析】（1）由椭圆的定义，可得，，再由勾股定理，即可得到，再由，，的关系，解得，进而得到椭圆方程；（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，消去，得到的方程，由中点坐标公式，即可得到，检验判别式，即可得到直线方程．【解答】解：由于，则，由，则，即有，则，，即．故椭圆方程为：.设，的坐标分别为，，由题意得圆的方程，可知圆心为.直线斜率不存在时不合题意，可设直线的方程为：，代入椭圆的方程，可得，，由于，关于点对称，则，解得，代入判别式，则成立．所以直线的方程为，即．19.【答案】解：当时，，．因为，，所以所求切线方程为，即．因为，所以，是方程的两个正根．令，则解得．Δ=(36+18k −4(4+9)(36+36k −27)>0k 2)2k 2k 2l y =(x +2)+1898x −9y +25=02a =6a =3c a b c b l y x k (1)|P |+|P |=2a =+=6F 1F 243143a =3P ⊥F 1F 1F 2|P −|P =|=(−(=20F 2|2F 1|2F 1F 2|2143)243)22c =25–√c =5–√=−=9−5=4b 2a 2c 2b =2C +=1x 29y 24(2)A B (,)x 1y 1(,)x 2y 2(x +2+(y −1=5)2)2M (−2,1)l l y =k(x +2)+1C (4+9)+(36+18k)x +36+36k −27=0k 2x 2k 2k 2A B M =−=−2+x 1x 2218+9k k 24+9k 2k =89Δ=(36+18k −4(4+9)(36+36k −27)>0k 2)2k 2k 2l y =(x +2)+1898x −9y +25=0(1)a =12f(x)=lnx −x +12x 2(x)=−1+x =f ′1x −x +1x 2x (1)=1f ′f(1)=−12y −(−)=1×(x −1)122x −2y −3=0(2)(x)=f ′−2ax +2a x 2x x 1x 2−2ax +2a =0x 2g(x)=−2ax +2a x 2 Δ=4−8a >0,a 2a >0,g(0)=2a >0,a >2因为，所以．由，可得．因为，所以，即恒成立．令，因为，所以，则，整理得．令，，则，，所以在上单调递减，所以．由，解得，故的取值范围是．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究不等式恒成立问题【解析】无无【解答】+==2a x 1x 2x 1x 2f()−f()x 2x 1=(2a ln −2a +)−(2a ln −2a +)x 2x 212x 22x 1x 112x 21=ln −(−)x 1x 2x 2x 112x 22x 21f()−f()>b(−)x 1x 2x 21x 22f()−f()−b(−)x 2x 1x 22x 21=ln −(+b)(−)<0x 1x 2x 2x 112x 22x 21>0x 1x 2ln −(+b)(−)<0x 2x 112x 2x 1x 1x 2(+b)(−)−ln >012x 2x 1x 1x 2x 2x 1t =x 2x 1>x 2e 2x 1t >e 2(+b)(t −)−lnt >0121t +b >=12lnt t −1t t lnt −1t 2h(t)=t lnt −1t 2t >e 2(t)=h ′(lnt +1)(−1)−2lnt t 2t 2(−1t 2)2=<0(−1)−(+1)lnt t 2t 2(−1t 2)2h(t)(,+∞)e 2h(t)<h()=e 22e 2−1e 4b +≥122e 2−1e 4b ≥−=2e 2−1e 412−+4+1e 4e 22(−1)e 4b [,+∞)−+4+1e 4e 22(−1)e 4=1(x)=lnx −x +1解：当时，，．因为，，所以所求切线方程为，即．因为，所以，是方程的两个正根．令，则解得．因为，所以．由，可得．因为，所以，即恒成立．令，因为，所以，则，整理得．令，，则，，所以在上单调递减，所以．由，解得，(1)a =12f(x)=lnx −x +12x 2(x)=−1+x =f ′1x −x +1x 2x (1)=1f ′f(1)=−12y −(−)=1×(x −1)122x −2y −3=0(2)(x)=f ′−2ax +2a x 2x x 1x 2−2ax +2a =0x 2g(x)=−2ax +2a x 2 Δ=4−8a >0,a 2a >0,g(0)=2a >0,a >2+==2a x 1x 2x 1x 2f()−f()x 2x 1=(2a ln −2a +)−(2a ln −2a +)x 2x 212x 22x 1x 112x 21=ln −(−)x 1x 2x 2x 112x 22x 21f()−f()>b(−)x 1x 2x 21x 22f()−f()−b(−)x 2x 1x 22x 21=ln −(+b)(−)<0x 1x 2x 2x 112x 22x 21>0x 1x 2ln −(+b)(−)<0x 2x 112x 2x 1x 1x 2(+b)(−)−ln >012x 2x 1x 1x 2x 2x 1t =x 2x 1>x 2e 2x 1t >e 2(+b)(t −)−lnt >0121t +b >=12lnt t −1t t lnt −1t 2h(t)=t lnt −1t 2t >e 2(t)=h ′(lnt +1)(−1)−2lnt t 2t 2(−1t 2)2=<0(−1)−(+1)lnt t 2t 2(−1t 2)2h(t)(,+∞)e 2h(t)<h()=e 22e 2−1e 4b +≥122e 2−1e 4b ≥−=2e 2−1e 412−+4+1e 4e 22(−1)e 4,+∞)−+4+142故的取值范围是．b [,+∞)−+4+1e 4e 22(−1)e 4。
2021-2022年高三数学上学期第一次月考试题 理 新人教A版
2021-2022年高三数学上学期第一次月考试题 理 新人教A 版一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。
1．已知集合{}{}1,0,1,0,1,2M N =-=，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ C ）A ．B ．C ．D ． 2．“函数有零点”是“a<4”的（ B ）A. 充分不必要条件B. 必要充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是（ D ）A ．B ．C ．D ． 4．已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则的值为（ D ）A. B. C. D.5．曲线y ＝12x 2＋x 在点(2,4)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( D )A ．1B ．2 C.43 D.236.已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x ＋a e x ，(a ∈R ，e 是自然对数的底数)，在区间[0,1]上单调递增，则a 的取值范围是(c )A ．[0,1]B ．[－1,0]C ．[－1,1]D ．(－∞，－e 2)∪[e 2，＋∞)7．若函数f(x)＝ax 2＋(a 2－1)x －3a 为偶函数，其定义域为[4a ＋2，a 2＋1]，则f(x)的最小值为( D )A ．3B ．0C ．2D ．－18．设函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则的值为（ A ）A. B. C. 2 D.-29．在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（）A.在区间上是减函数，区间上是增函数B.在区间上是减函数，区间上是减函数C.在区间上是增函数，区间上是增函数D.在区间上是增函数，区间上是减函数12．已知函数2342013()12342013x x x xf x x=+-+-++则下列结论正确的（ C ）A．在上恰有一个零点 B. 在上恰有两个零点C．在上恰有一个零点 D．在上恰有两个零点第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）。
2021年高三数学上学期月考(3)理 新人教A版
2021年高三数学上学期月考（3）理新人教A版本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其他答案标号。
山东省一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合2=-<<==+∈R则集合M x x N y y x x{|23},{|1,},A．（-2，+∞）B．（-2，3）C．D．R2．已知函数则A．- B．C． D．3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是A．2 B．C．D．4．下列命题中，真命题是A．存在B．是的充分条件C．任意D．的充要条件是5．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，则A．-2 B．2 C．0 D．6．若，且，则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．7．若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围是A．[2，6] B．[-6，-2] C．（2，6）D．（-6，-2）8．已知函数则，，的大小关系为A．B．C．D．9．已知函数满足：，则；当时，则A．B．C．D．10．如图所示为函数的部分图像，其中A，B两点之间的距离为5，那么A．-1 B．C．D．111．如果函数图像上任意一点的坐标都满足方程，那么正确的选项是A．是区间上的减函数，且B．是区间上的增函数，且C．是区间上的减函数，且D．是区间上的增函数，且12．设定义在R上的函数是最小正周期为的偶函数，的导函数，当时，；当且时，，则方程在上的根的个数为A． 2 B．5 C．8 D．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：1．将第Ⅱ卷答案用0.5mm的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上。
2021年高三数学上学期第一次月考试题 理(含解析)新人教A版
2021年高三数学上学期第一次月考试题 理（含解析）新人教A 版【试卷综析】试题考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说比较高，综合知识、创新题目的题考的有点少,试题适合阶段性质考试.第I 卷 （选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）【题文】1．已知集合，，若，则实数的取值范围是 A ． B ． C ． D ． 【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】A 解析：由M 中不等式变形得：， 解得：，即M=，∵，且，∴a≥2，则a 的范围为．故选：A ．【思路点拨】求出M 中不等式的解集确定出M ，根据N 以及M 为N 的子集，确定出a 的范围即可．【题文】2．下列四个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<⎝ ⎛⎭⎪⎫13xp 2：∃x ∈(0，1)，log 12x>log 13xp 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x p 4：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<log 13x 其中的真命题是A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 【知识点】全称命题，特称命题。
A2【答案解析】D 解析：对于p 1：在(0，＋∞)中，不存在x 的值使⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，故p 1错误； 对于p 3：令x= ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>log 12x 不成立；故p 3错误；p 2 ，p 4正确。
故选D. 【思路点拨】利用指数、对数函数的性质依次判断即可。
【题文】3．如图所示，程序框图的输出结果是 A ． B ． C ． D ．【知识点】程序框图.L1 【答案解析】C 解析：，选C ．【思路点拨】根据程序框图的流程指向，依次计算s 的值即可。
2021年高三数学上学期第三次月考 理 新人教A版
2021年高三数学上学期第三次月考 理 新人教A 版一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知复数，则等于（ ）A ．8B ．C ．D ．2、已知集合2{|2,0},{|lg(2)}x M y y x N x y x x ==>==-，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．3、等于（ ）A ．3B ．6C ．9D ．34、已知向量，则 “”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、在递增的等比数列中，，且前n 项和，则项数n 等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．36、已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如下，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图面积为（ ）A ．B ．2C ．4D ．7、具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，则下列函数： ①；②；③；④(01)0(1)1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩中所有满足“到负”交换的函数是（ ）A ．①③B ．②④C ．①④D ．①③④8、已知非零向量，且为垂足，若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．9、已知，且成等差数列，则的最小值为（ ）A ．B ．5C ．D ．1510、已知函数()11sin()cos()()222f x x x πθθθ=+-+<的图象关于中对称，则在下列哪个区间上是减函数（ ）A ．B ．C ．D ．11、如果变量满足约束条件，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．12、已知函数，若，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
13、已知，则14、已知，且与的夹角，则15、已知函数的图象经过点，设，若，则实数16、已知等差数列满足，点在直线上，设，数列的前n 项和为，则点到直线的最小距离为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）在中，角的对边分别为，且。
2021年高三理科数学复习：6月考试卷 一 新人教A 含答案
2021年高三理科数学复习：6月考试卷一新人教A 含答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集，集合，则为（）（A）（B）（C）（D）2.设且，则“函数在上是减函数”，是“函数在上是增函数”的( )（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件3.定义在上的函数满足.当时，，当时，。
则( )（A）335 （B）338 （C）1678 （D）xx4.函数的图像大致为( )5. 设是定义在上的奇函数，当时，，则（）（A）(B) （Ｃ）１（Ｄ）36.若点(a,b)在图像上，,则下列点也在此图像上的是( )（A）（，b）(B) (10a,1b) (C) (,b+1) (D)(a2,2b)7.（福建文10）若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( )A．2 B．3 C．6 D．98.设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A．+|g(x)|是偶函数B．-|g(x)|是奇函数C．|| +g(x)是偶函数D．||- g(x)是奇函数9.曲线在点处的切线的斜率为（）A．B．C．D．10.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为（）A．1 B．C．D．11.若函数为奇函数，则a=( )A．B．C．D．112.函数的图象大致是第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．)13.计算______．14.已知函数有零点，则的取值范围是__ _______．15.已知实数，函数，若，则a的值为______16.）设函数若，则．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知条件，条件．若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. (本小题满分12分)已知函数．（1）对任意，比较与的大小；（2）若时，有，求实数a的取值范围．19. (本小题满分12分)设，其中为正实数（Ⅰ）当时，求的极值点；（Ⅱ）若为上的单调函数，求的取值范围。
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月考试卷（一）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}1,2,3,2,4A B ==，则U C AB 为（）（A ）{}1,2,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}0,2,4 （D ）{}0,2,3,4 2.设0a >且1a ≠，则“函数()xf x a =在R 上是减函数 ”，是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的( )（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件3.定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=.当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =。
则(1)(2)(3)(2012)f f f f +++⋅⋅⋅=( )（A ）335 （B ）338 （C ）1678 （D ）2012 4.函数cos 622x xxy -=-的图像大致为( )5. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（） （A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）36.若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是( )（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a 10,b+1) (D)(a2,2b)7.（福建文10）若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9 8.设函数()f x 和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ( ) A ．()f x +|g(x)|是偶函数 B ．()f x -|g(x)|是奇函数 C ．|()f x | +g(x)是偶函数 D ．|()f x |- g(x)是奇函数9.曲线sin1sin cos2xyx x=-+在点(,0)4Mπ处的切线的斜率为（）A．12-B．12 C．2-D．210.设直线x t=与函数2(),()lnf x xg x x==的图像分别交于点,M N，则当||MN达到最小时t的值为（）A．1 B．12 C．52 D．2211.若函数))(12()(axxxxf-+=为奇函数，则a=( ) A．21B．32C．43D．112.函数2sin2xy x=-的图象大致是第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．)13.计算121(lg lg25)100=4--÷______．14.已知函数axexf x+-=2)(有零点，则a的取值范围是__ _______．15.已知实数0≠a，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(xaxxaxxf，若)1()1(afaf+=-，则a的值为______ 16.）设函数.1cos)(3+=xxxf若11)(=af，则=-)(af．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知条件2:{10}p A x R x ax =∈++≤，条件2:{320}q B x R x x =∈-+≤．若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18. (本小题满分12分)已知函数2(),()f x x a x R =+∈．（1）对任意12,x x R ∈，比较121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小； （2）若[1,1]x ∈-时，有()1f x ≤，求实数a 的取值范围．19. (本小题满分12分)设()1xe f x ax =+，其中a 为正实数 （Ⅰ）当a43=时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。
本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.20. (本小题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力.21. (本小题满分12分)设axx x x f 22131)(23++-=.（1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（2）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.22.(本小题满分12分)已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.(Ⅰ)求k 的值；(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.月考试卷（一）参考答案一、选择题：C A BD A D D A B D A C二、填空题：13.20- 14.(,2ln 22]-∞- 15. 34a =- 16. 9- 三、解答题：17.解：:{12}q B x R x =∈≤≤，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则A B ⊆． 若A =∅，则240a -<，即22a -<<；若A ≠∅，则240,a x ⎧-≥≤≤解得522a -≤≤-． 综上所述，522a -≤< 18.解：（1）对任意1x ，2x R ∈，212121211[()()]()()0224x x f x f x f x x ++-=-≥ 故12121[()()]()22x x f x f x f ++≥． （2）又()1f x ≤，得1()1f x -≤≤，即211x a -≤+≤，得2max 2min (1),[1,1](1),[1,1]a x x a x x ⎧≥--∈-⎪⎨≤-+∈-⎪⎩，解得10a -≤≤19. 解：对)(x f 求导得.)1(1)(222ax axax e x f x+-+=' ①（I ）当34=a ，若.21,23,0384,0)(212===+-='x x x x x f 解得则综合①,可知所以,231=x 是极小值点,212=x 是极大值点.（II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知0122≥+-ax ax在R 上恒成立，因此,0)1(4442≤-=-=∆a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤<a 20. 解：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a 故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；x)21,(-∞21)23,21(23),23(∞)(x f ' + 0 － 0 + )(x f↗极大值↘极小值↗当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ， 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000． 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．21.解:（1）)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即存在某个子区间),32(),(+∞⊆n m 使得0)('>x f .由a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-=，)('x f 在区间),32[+∞上单调递减，则只需0)32('>f 即可。
由0292)32('>+=a f 解得91->a ， 所以，当91->a 时，)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间.（2）令0)('=x f ，得两根28111a x +-=，28111a x +-=，28112ax ++=.所以)(x f 在),(1x -∞，),(2+∞x 上单调递减，在),(21x x 上单调递增 当20<<a 时，有4121<<<x x ，所以)(x f 在]4,1[上的最大值为)(2x f又06227)1()4(<+-=-a f f ，即)1()4(f f <所以)(x f 在]4,1[上的最小值为3163408)4(-=-=a f ，得1=a ，22=x ，从而)(x f 在]4,1[上的最大值为310)2(=f .22.解：(I)1ln ()e xx k x f x --'=，由已知，1(1)0ekf -'==，∴1k =. (II)由(I)知，1ln 1()e xx x f x --'=.设1()ln 1k x x x =--，则211()0k x x x'=--<，即()k x 在(0,)+∞上是减函数， 由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>， 当1x >时()0k x <，从而()0f x '<.综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.(III)由(II)可知，当1x ≥时，()()g x xf x '=≤0＜1+2e -，故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.当01x <<时，e x ＞1，且()0g x >，∴1ln ()1ln e xx x xg x x x x --=<--.设()1ln F x x x x =--，(0,1)x ∈，则()(ln 2)F x x '=-+， 当2(0,e )x -∈时，()0F x '>，当2(e ,1)x -∈时，()0F x '<， 所以当2e x -=时，()F x 取得最大值22()1e F e --=+. 所以2()()1e g x F x -<≤+.综上，对任意0x >，2()1e g x -<+.。