层次分析法经典案例

误。如，已判断C1比C2重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C3更重要。 如果又判断C1比C3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行 一致性检验。 根据层次法原理， 利用A的理论最大特征值λmax与n之差检验一致性。一 致性指标：
CI 3.004 3 0.003 0.1 ，查同阶平均 0.002 <0.1， CR RI n 1 3 1 随机一致性指标（表 5 所示）知 RI 0.58 ， （一般认为 CI<0.1、 CR<0.1 时，
4）求特征向量W对应的最大特征值：
●求根法 1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根； wi 2, …, n） 2）将 wi 归一化，得到 wi
wi
n
a
j 1
n
ij
（i =1,
w
i 1
n
；W=（w1，w2，…wn ）T即为A的特
i
征向量的近似值； 3）求特征向量W对应的最大特征值：
表 6 层次总排序 层次 层次
C1 C2 C3 B1 B2 B3
0.230 0.105 0.258 0.637
0.648 0.592 0.333 0.075
.426 0.283 0.291
5、结论 由表 5 可以看出，3 种品牌设备的优劣顺序为： C1 ， C3 ， C 2 ，且品牌 1 明显优于其他两种品牌的设备。
(1)判断矩阵 A B 的特征根、特征向量与一致性检验 ①计算矩阵 A B 的特征向量。 计 算 判 断 矩 阵 A B 各 行 元 素 的 乘 积 Mi ， 并 求 其 n 次 方 根 ， 如
1 2 M 1 1 2 ， W1 3 M 1 0.874 ， 类 似 地 有 ， W2 3 M 2 2.466 ， 3 3 W3 3 M 3 0.464 。对向量 W [W1 , W2 , , Wn ]T 规范化，有 W1 W1
计算 CI
max n

判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较） 。 表 5 平均随机一致性指标
阶数 3 RI 0.58 4 0.89 5 1.12 6 1.26 7 1.36 8 1.41 9 1.46 10 1.49 11 1.52 12 1.54 13 1.56 14 1.58
按照公式计算判断矩阵最大特征根： n ( AW ) i 0.69 1.948 0.3666 max 3.004 nW 3 0 . 230 3 0 . 648 3 0 . 122 i 1 i ③一致性检验。 实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错
W
i 1
n

0.874 0.230 0.874 2.466 0.464
i
类似地有 W2 0.684 ， W3 0.122 。所求得的特征向量即为：
W [0.230, 0.648, 0.122]T
②计算矩阵 A B 的特征根
1 1 / 3 2 T AW 1 5 3 [0.230, 0.648, 0.122] 1 / 2 1 / 5 1 1 AW1 1 0.230 0.648 2 0.122 0.69 3 类似地可以得到 AW 2 1.948 ， AW3 0.3666 。
标度 1 3 5 7 9 2、4、6、8 倒数 定义（比较因素 i 与 j） 因素 i 与 j 同样重要 因素 i 与 j 稍微重要 因素 i 与 j 较强重要 因素 i 与 j 强烈重要 因素 i 与 j 绝对重要 两个相邻判断因素的中间值 因素 i 与 j 比较得判断矩阵 a ij，则因素 j 与 i 相比的判断为 aji=1/aij
(2)判断矩阵 B1 C 的特征根、特征向量与一致性检验 类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵 B1 C 的特征根、特征向量与 一致性检验如下： W [0.105, 0.258, 0.637]T ， max 3.039 ， CR 0.033 0.1 (3)判断矩阵 B2 C 的特征根、特征向量与一致性检验 类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵刀：—C 的特征根、特征向量 与一致性检验如下： W [0.592, 0.333, 0.075]T ， max 3.014 ， CR 0.012 0.1 (4)判断矩阵 B C 的特征根、特征向量与一致性检验 类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵 B C 的特征根、特征向量与一 致性检验如下： W [0.149, 0.066, 0.785]T ， max 3.08 ， CR 0.069 0.1 4、层次总排序
方案C1的重要度（权重）=0.230×0.105+0.648×0.529+0.122×0.149=0.426 方案C2的重要度（权重）=0.230×0.258+0.648×0.333+0.122×0.066=0.283 方案C3的重要度（权重）=0.230×0.637+0.648×0. 075+0.122×0.785=0.291 依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。 层次总排 序如表6所示。
3
2 1 1/5
C
7 5 1
B3 C1 C2 C3
C1
C2
C3
1 l/3 7
3 1 9
l/7 1/9 1
3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标 一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需 要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。 ●求和法 1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：bij= aij /Σaij； 2）将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij （i=1，2，3….n）； 3）将ci归一化：得到特征向量W=（w1，w2，…wn ）T，wi=ci /Σci ， W即为A的特征向量的近似值；
某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护 性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对 3 个不同品牌的设备进行综 合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次 结构如下图所示。以 A 表示系统的总目标，判断层中 B1 表示功能， B2 表示 价格， B3 表示可维护性。 C1 ， C 2 ， C3 表示备选的 3 种品牌的设备。
3 3
获得同一层次各要素之间的相对重要度后， 就可以自上而下地计算各级 要素对总体的综合重要度。设二级共有m个要素c1, c2,…,cm，它们对总值的 重要度为w1, w2,…, wm；她的下一层次三级有p1, p2,…,pn共n个要素，令要素 pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为：
A B1 B2 B3 B1 C1 C2 C3 B2 C1 C2 C3 B1 B2 B3
1 1/3 3 1 1/2 1/5 表 2 判断矩阵 B C
1
2 5 1
C3
C1
C2
1 l/3 3 1 5 3 表 3 判断矩阵 B2-C
C1 C2
1/5 1/3 1
C3
1 1/2 1/7 表 4 判断矩阵 B
注：aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系： aij=1/aji ；aii=1； i，j=1，2，…，n 显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。
2、构建判断矩阵 A 判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。 根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵： ●判断矩阵 A B (即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性 比较)如表1所示； ●判断矩阵 B1 C (相对功能，各方案的相对重要性比较)如表 2 所示； ●判断矩阵 B2 C (相对价格，各方案的相对重要性比较)如表 3 所示； ●判断矩阵 B3 C (相对可维护性，各方案的相对重要性比较)如表 4 所 示。 表 1 判断矩阵 A B
目标层 购买设备 A
判断层
功能 B1
价格 B2
维护性 B3
方案层
产品 C1
产品 C2 图 设备采购层次结构图
产品 C3
解题步骤：
1、标度及描述
人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重 要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相 邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。 为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、 7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较 强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折 衷值。