向量的数量积和向量积PPT课件
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空间向量的数量积运算完整版课件
O→M、O→N、B→C，最后证O→G·B→C＝0 即可． [规范解答]连结 ON，
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
2分
又O→G＝12(O→M＋O→N)＝12[12O→A＋12(O→B＋O→C)]
＝14(a＋b＋c)，
B→C＝c－b. ∴O→G·B→C＝14(a＋b＋c)·(c－b)
数量 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ a·a
积的 性质
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b |a||b|
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|·cos θ的乘积．
名师点睛
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
1．空间向量夹角的理解 (1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围 同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]； (2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角
π 在(0， 2 ]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两
异面直线的夹角余弦值一定为非负数．
2．平面向量与空间向量数量积的关系 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间 两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义 和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等 都与平面向量相同．
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设O→A＝a，O→B＝b，O→C＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
2分
又O→G＝12(O→M＋O→N)＝12[12O→A＋12(O→B＋O→C)]
＝14(a＋b＋c)，
B→C＝c－b. ∴O→G·B→C＝14(a＋b＋c)·(c－b)
数量 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝ a·a
积的 性质
(3)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝
a·b |a||b|
.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
想一想：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 提示 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|·cos θ的乘积．
名师点睛
所以O→A·B→C＝O→A·A→C－O→A·A→B
＝|O→A||A→C|cos〈O→A，A→C〉－|O→A||A→B|cos〈O→A，A→B〉
＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°
＝－16 2＋24.
所以 cos〈O→A，B→C〉＝O|→O→AA·||B→B→CC|＝24－8×165
2＝3－52
1．空间向量夹角的理解 (1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围 同两平面向量夹角范围一样，即[0，π]； (2)空间向量的夹角在[0，π]之间，但空间两异面直线夹角
π 在(0， 2 ]内，利用向量求两异面直线夹角时注意转化，两
异面直线的夹角余弦值一定为非负数．
2．平面向量与空间向量数量积的关系 由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间 两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义 和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等 都与平面向量相同．
向量的数量积 第2课时 向量的向量积 课件(1)-人教A版高中数学必修第二册(共17张PPT)
【解析】 由于 a2≥0，b2≥0，所以，若 a2＋b2＝0，则 a＝b＝0， 故①正确；若 a＋b＝0，则 a＝－b，又 a，b，c 是三个非零向量， 所以 a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确；a，b 共线⇔a·b＝±|a||b|， 所以③不正确；对于④应有|a||b|≥a·b；对于⑤，应该是 a·a·a＝|a|2a； ⑥a2＋b2≥2|a||b|≥2a·b，故正确；当 a 与 b 的夹角为 0 时，也有 a·b>0， 因此⑦错；
小结：
数量积运算律
(1)a b b a（交换律） (2)(a) b (a b) (a) b（数乘结合律）
(3)(a b) c a c b c （分配律）
所以
(a b) c a c b c
思考：向量的数量积满足结合律 ( a b ) c a ( b c ) 吗？
说明： (a b) c 表示一个与 c 共线的向量 ， 而 a (b c) 表示一个与a 共线的向量 但 c 与 a 不一定共线，
(a b) c a (b c)
∴ 向量数量积不满足结合律 .
例1.对任意a,b R ,恒有 (a b)2 a2 2ab b2，(a b)(a b) a2面类似的结论？
(1)(a
2(a
b)2 b)
a
2
(a b)
2a
a
b b 2 2 b2
解：（1）(a b)2 (a b)(a b) a a a b b a b b
即a2
k
2
2
b
0
因为
2
a
32
2
9, b
42
16
所以 9 16k 2 0
所以,当 k 3时, 4
1.1.2 空间向量的数量积运算课件(人教版)
同理,AO⊥CO,BO⊥CO.
所以AO,BO,CO两两垂直.
2.两个非零向量a,b的夹角〈a,b〉的范围是③ [0,π] ;若〈a,b〉=0,则向量a,b方向④相同;若 〈a,b〉=π,则向量a,b方向⑤ 相反 ;若〈a,b〉=π ,则向量a,b⑥ 互相垂直 .
2
空间向量的数量积
1.定义 已知两个非零向量a,b,则⑦ |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积,记作⑧ a·b . 即a·b=|a||b|cos〈a,b〉. 规定:零向量与任意向量的数量积为⑨ 0 . 2.运算律 (1)(λa)·b=⑩ λ(a·b) ,λ∈R; (2)交换律:a·b= b·a ; (3)分配律:a·(b+c)= a·b+a·c .
3.由于向量的夹角的取值范围为[0,π],而异面直线所成的角的取值范围为
0,
π 2
,因此利用向
量的数量积求异面直线所成的角时,要注意角度之间的关系,当〈a,b〉∈
0,
π 2
时,它们相等;
当〈a,b〉∈
π 2
,π
时,它们互补.
利用空间向量的数量积求距离(或线段长)
1.用数量积求两点间距离的步骤 (1)用向量的模表示此距离; (2)用已知模和夹角的向量表示此向量; (3)用公式a·a=|a|2求|a|; (4)|a|即为所求距离. 2.求模公式的推广 由公式|a|= a a 可以推广为|a±b|= （a b）= a2 2abb2.
(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则 AE
·AF =
;
(2)在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则OG ·
人教A版必修第二册6.2.1向量的数量积与向量投影课件
考虑a,b, a+b在c上的投影， 以及向量数量积的几何意义
思考3：(a b) c a c b c成立吗？
bB
A
a
c A1 O B1
C
(1)交换律:a b b a
(2)数乘结合律:(a) b (a b) a (b)
(3)分配律:(a b) c b c b c
a, b,c是任意三个向量， R
知 1. 向量数量积的物理背景，定义及几何意义. 识 2. 向量数量积公式的应用及重要性质.
3.数量积的运算律.
技 1. 灵活应用数量积公式解决垂直，距离等问题. 能 2. 向量数量积是一个工具性知识点，是沟通几何
和代数的桥梁，具有很强的功能作用。
思 想 方 法
1. 转化化归（将物理知识转化为数学知识） 2. 数形结合（灵活应用数量积的投影） 3. 分类讨论（讨论投影、数量积的正负等）
在物理课中，我们学过功的概念，一个物体在力 F 的
作用下产生位移 S，夹角为 ，那么力所做的功怎么求？
则力 F 所做的功为: W F S cos
F'
F
G
火箭弹在发射后受到内燃机的推力F，和火箭弹 的位移方向相同，所做的功为 W F S
火箭弹在发射后受到重力G，和火箭弹的位移方
向夹角为钝角 ，所做的功为 W G S cos
例.我们知道，对任意 a,b R 恒有 (a b)2 a2 2ab b2，(a b)(a b) a2 b2.
对任意向量 a，b，是否也有下面类似的结论？
(1)(a
b)2
2
a
2a b
2
b ;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2
《向量代数》课件
详细描述
向量的向量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的模长之积与它们夹角的正弦值的乘积，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。其几何意义是向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$所围成的平行四边形的面积。
总结词：向量的混合积是三个向量之间的混合乘积，其结果是一个标量。
VS
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。
详细描述
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。设有一组向量$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$经过线性变换得到一组新的向量$mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_n$，这个变换可以用一个矩阵表示，即$[mathbf{w}] = [mathbf{v}]A$，其中$A$是一个矩阵。
向量的模是描述向量大小的量，掌握向量的模的计算方法是学习向量代数的重要内容。
总结词
向量的模是指从原点到该向量的有向线段的长度。在二维空间中，向量的模可以用勾股定理计算；在三维空间中，向量的模则可以用勾股定理的推广计算。向量的模具有一些基本性质，如非负性、齐次性、三角不等式等。
详细描述
总结词
向量的加法与数乘是向量代数中的基本运算，掌握这些运算法则是理解向量代数的重要基础。
《向量代数》ppt课件
Contents
目录
向量代数概述向量的数量积与向量积向量的线性变换向量的空间几何意义向量代数在实际问题中的应用
向量代数概述
总结词
向量的定义与表示是学习向量代数的基础，需要掌握向量的基本概念和表示方法。
详细描述
向量的向量积定义为两个向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的模长之积与它们夹角的正弦值的乘积，记作$mathbf{A} times mathbf{B}$。其几何意义是向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$所围成的平行四边形的面积。
总结词：向量的混合积是三个向量之间的混合乘积，其结果是一个标量。
VS
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。
详细描述
矩阵是实现向量线性变换的一种常用工具，它可以表示和操作向量的变换。设有一组向量$mathbf{v}_1, mathbf{v}_2, ldots, mathbf{v}_n$经过线性变换得到一组新的向量$mathbf{w}_1, mathbf{w}_2, ldots, mathbf{w}_n$，这个变换可以用一个矩阵表示，即$[mathbf{w}] = [mathbf{v}]A$，其中$A$是一个矩阵。
向量的模是描述向量大小的量，掌握向量的模的计算方法是学习向量代数的重要内容。
总结词
向量的模是指从原点到该向量的有向线段的长度。在二维空间中，向量的模可以用勾股定理计算；在三维空间中，向量的模则可以用勾股定理的推广计算。向量的模具有一些基本性质，如非负性、齐次性、三角不等式等。
详细描述
总结词
向量的加法与数乘是向量代数中的基本运算，掌握这些运算法则是理解向量代数的重要基础。
《向量代数》ppt课件
Contents
目录
向量代数概述向量的数量积与向量积向量的线性变换向量的空间几何意义向量代数在实际问题中的应用
向量代数概述
总结词
向量的定义与表示是学习向量代数的基础，需要掌握向量的基本概念和表示方法。
详细描述
数学人教A版(2019)必修第二册6.2.4平面向量数量积(共15张ppt)
，求
∙ .
设 =12， =9， ∙ =-54 ，求与的夹角
向量的数量积的几何意义是什么？
B
a
A
b
C A1
B2
D
两个非零向量、，他们的夹角为，
探究向量在上的投影向量的情况.
两个非零向量、，他们的夹角为，是与方向相同的单位
向量.
（1） ∙ = , = .（求向量长度的工具）
如何规定向量的乘法.
向量的乘法的结果是什么量？这个值由那些量决定？符号
由什，我们把数量
cos量叫做、的数量积，记作 ∙
即 ∙ = cos
规定零向量与任一非零向量的数量积为0.
已知 = , = , 与的夹角 =
6.2.4向量的数量积
学习目标
1、向量数量积的运算.
2、向量投影及投影向量的概念
重点、难点 向量数量积的概念与运算律.
向量的概念源自哪一门学科？我们已经研究了向量的哪些
运算？这些向量的运算表运算结果是什么？
前面学习了向量的加，减，数乘（线性运算）.
其运算结果是向量.
向量能否相乘？如何规定向量的乘法？我们该怎样研究？
（2） ⊥ ⟺ ∙ =0.（直线垂直的重要条件）
（3） ∙ = ∙ = cos.
已知 = , = , 与的夹角 = °，求 ∙ ，
（ + ）2 ， + .
1、本节课学习了哪些知识和内容.
2、结合实例说明向量数量积的几何意义.
感谢聆听！
向量的数量积课件(共17张PPT)
则AOB （0 ）叫a与b 的夹角.
A
O
B
三、 抽象概念，建构新知
特殊的夹角
0
O
B
2
A
O
B
A
O
a与b 方向相同
a与b垂直 记作a b
B a与b 方向相反
三、 抽象概念，建构新知
2、向量数量积的定义：
已知两个非零向量a与b ，它们的夹角为，
我们把数量积 a b cos 叫做向量a与b 的数量积（或内积），
记作a b ，即a b a b cos.
A
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
O
B
四、 小试牛刀，巩固落实
课本P17例9 已知 a 5, b 4, a与b 的夹角 2 ，求a b.
3
变式：已知 a 5, b 4, a b 10，求a与b 的夹角.
解：a b a b cos 分析：由a b a b cos
向量的数量积
册 别：必修第二册 学 科：高中数学（人教A版）
一、 温故知新，提出问题
问题1：前面我们学习了向 量的加、减运算，类比数 的运算，向量之间还可以
建立哪些运算？
二、 借助物理，创设情境
问题2：类比研究向量运算中 加法运算的基本路径， 怎样来研究向量的乘法？
物 理
力
力的合成
数 学
向 量
向量的加法
5 4 cos 2
3 5 4( 1)
2 10.
得到cos a b
ab
10 1 54 2
0， ，
2 .
3
五、 几何角度，深化理解
问题3：a b a b cos
其中 a cos，你能联想到其几何意义吗？
A b
A
O
B
三、 抽象概念，建构新知
特殊的夹角
0
O
B
2
A
O
B
A
O
a与b 方向相同
a与b垂直 记作a b
B a与b 方向相反
三、 抽象概念，建构新知
2、向量数量积的定义：
已知两个非零向量a与b ，它们的夹角为，
我们把数量积 a b cos 叫做向量a与b 的数量积（或内积），
记作a b ，即a b a b cos.
A
规定:零向量与任一向量的数量积为0.
O
B
四、 小试牛刀，巩固落实
课本P17例9 已知 a 5, b 4, a与b 的夹角 2 ，求a b.
3
变式：已知 a 5, b 4, a b 10，求a与b 的夹角.
解：a b a b cos 分析：由a b a b cos
向量的数量积
册 别：必修第二册 学 科：高中数学（人教A版）
一、 温故知新，提出问题
问题1：前面我们学习了向 量的加、减运算，类比数 的运算，向量之间还可以
建立哪些运算？
二、 借助物理，创设情境
问题2：类比研究向量运算中 加法运算的基本路径， 怎样来研究向量的乘法？
物 理
力
力的合成
数 学
向 量
向量的加法
5 4 cos 2
3 5 4( 1)
2 10.
得到cos a b
ab
10 1 54 2
0， ，
2 .
3
五、 几何角度，深化理解
问题3：a b a b cos
其中 a cos，你能联想到其几何意义吗？
A b
《向量数量积》课件
适用于任何可以图形表示的向 量，如二维和三维空间中的向 量。
注意事项
需要确保向量的图形表示是准 确的，并且测量过程中没有出
现误差。
向量分解法
定义
步骤
向量分解法是将一个向量分解为其他两个 向量的和，然后利用这两个向量的数积 来计算原向量的数量积。
首先，将一个向量分解为两个其他向量的 和，然后分别计算这两个向量的数量积， 最后将结果相加。
几何意义
总结词
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投影长度。
详细描述
向量数量积的几何意义可以理解为第一个向量在第二个向量上的投影长度，这 个长度与两个向量的夹角有关，夹角越小，投影长度越大，反之则越小。
向量数量积的标量性
总结词
向量数量积的结果是一个标量，而不是向量。
详细描述
由于向量数量积的定义中对应坐标相乘后求和，其结果是一个标量，而不是向量。这个标量表示两个 向量的相似程度，其值越大表示两个向量越相似或方向越一致，反之则越不相似或方向越不一致。
02
CATALOGUE
向量数量积的性质
非负性
总结词
向量数量积的非负性是指两个非零向 量的数量积大于等于0，当且仅当两 向量共线且方向相同时取等号。
详细描述
非负性是向量数量积的一个重要性质 ，它反映了向量之间的角度关系。如 果两个非零向量的数量积为0，则这两 个向量垂直。
向量数量积与模的关系
总结词
向量数量积与向量点积的区别与联系
总结词
向量数量积和点积都是两个向量的内积 ，但计算方式不同。点积计算时考虑向 量的方向，而数量积不考虑方向只考虑 大小。
VS
详细描述
点积计算时，将两个向量的每一个分量相 乘后求和，得到的结果是一个标量。而数 量积则只考虑两个向量的模长和夹角的余 弦值，不考虑方向。因此，点积的结果不 仅与向量的模长和夹角有关，还与向量的 方向有关。而数量积的结果只与向量的模 长和夹角有关，与方向无关。
注意事项
需要确保向量的图形表示是准 确的，并且测量过程中没有出
现误差。
向量分解法
定义
步骤
向量分解法是将一个向量分解为其他两个 向量的和，然后利用这两个向量的数积 来计算原向量的数量积。
首先，将一个向量分解为两个其他向量的 和，然后分别计算这两个向量的数量积， 最后将结果相加。
几何意义
总结词
向量数量积的几何意义是表示一个向量在另一个向量上的投影长度。
详细描述
向量数量积的几何意义可以理解为第一个向量在第二个向量上的投影长度，这 个长度与两个向量的夹角有关，夹角越小，投影长度越大，反之则越小。
向量数量积的标量性
总结词
向量数量积的结果是一个标量，而不是向量。
详细描述
由于向量数量积的定义中对应坐标相乘后求和，其结果是一个标量，而不是向量。这个标量表示两个 向量的相似程度，其值越大表示两个向量越相似或方向越一致，反之则越不相似或方向越不一致。
02
CATALOGUE
向量数量积的性质
非负性
总结词
向量数量积的非负性是指两个非零向 量的数量积大于等于0，当且仅当两 向量共线且方向相同时取等号。
详细描述
非负性是向量数量积的一个重要性质 ，它反映了向量之间的角度关系。如 果两个非零向量的数量积为0，则这两 个向量垂直。
向量数量积与模的关系
总结词
向量数量积与向量点积的区别与联系
总结词
向量数量积和点积都是两个向量的内积 ，但计算方式不同。点积计算时考虑向 量的方向，而数量积不考虑方向只考虑 大小。
VS
详细描述
点积计算时，将两个向量的每一个分量相 乘后求和，得到的结果是一个标量。而数 量积则只考虑两个向量的模长和夹角的余 弦值，不考虑方向。因此，点积的结果不 仅与向量的模长和夹角有关，还与向量的 方向有关。而数量积的结果只与向量的模 长和夹角有关，与方向无关。
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θ为边CA，CB的夹角。 A 证明：如图所示的△ABC，可得
那么
AB CB CA B
θ C
2
AB
( CB CA )2
( CB CA )•( CB CA )
2
2
CB CA 2CB • CA
令 | CB | a,| CA| b,| AB| c, 所以
c2 a2 b2 2ab cos
| a || b |
3
3 运算律
（1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。
4 数量积的计算公式
设向量
a x1i y1 j z1k,
则有
b x2i y2 j z2k
证毕
9
二、两向量的向量积
1 定义 设向量c由两个向量a和b按下列规定给出：
（1）|c|=|a| |b| sinθ，θ为向量a和b的夹角； （2）c a, c b ，且向量a，b ， c的方向满足右 手定则，如图； 那么向量c称为向量a和b的向量积，记作a×b，即
C= a×b 向量积又称为叉积。
i jk
ab 2 3 1 4i 2 j 2k
0 1 1
所以，
( a b )• c ( 4i 2 j 2k )•( i j k )
=4-2-2=0
因而a，b，c共面。
15
例6 求以点A（1，2，3），B（3，4，5）和C（-1， -2，7）为顶点的三角形的面积S。
设A为空间一点，u轴已知，如图。 过点A作与轴垂直的平面，平面与轴 A
的交点A‘称为A在轴上的投影。
对于已知向量 AB，u轴上的有向
A'
线段 AB 的模称为向量 AB 在轴u
上的投影，它是一个数量，记作
Pr ju AB
B
B'
u
6
那么
Pr ju AB | AB| cos
θ为向量 AB 与轴u的夹角。
此时，对于非零向量a，b，有 a // b x1 y1 z1 x2 y2 z2
约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。
13
例3 设向量 a 3i 2 j k,b 2i j 3k, 求a b.
解：
ijk
a b 3 2 1 5i 11 j 7k
2 1 3
例4 设向量 a 2i 问a×b与c是否平行？
9
（2） cos(
a ,b
)
|
a a
•b || b
|
9
1
12 12 ( 4 )2 12 ( 2 )2 22
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
8
例2 求证余弦定理 c2 a2 b2 2ab cos
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a；
（2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b
（λ为常数）
（3）（a+b）×c=a×c+b×c
12
4 两向量的向量积的坐标表示 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
i
jk
a b x1 y1 z1 x2 y2 z2
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
4
证明：
a • b (x1i y1 j z1k ) • (x2i y2 j z2k )
x1x2i • i x1 y2i • j x1z2i • k y1x2 j • i y1y2 j • j y1z2 j • k z1x2k • i z1y2k • j z1z2k • k
而M的方向垂直于 OP 与F所决定的平面，M的指向是
是按右手规则从 OP 以不超过π的角的转向F来确定， 因而实际上
M OP F
11
2 两向量积的性质 （1）a×a=o；
ii j j kk o
（2）a || b a b o
（3）若a≠o，b≠o，a，b的夹角为θ，则
sin | a b |
★向量积模的几何意义是：以
a，b为邻边的平行四边形的面积。
c
b θ a
10
★力学意义：力矩， 如下图所示。
O为一根杠杆L的支点，
F
有一个力F作用于其上点P处， O
F与OP 的夹角为θ，由力学
规定，力F对支点O的力矩是 一个向量M， 它的模
θ
P
L
Q
M OP F
| M ||OQ|| F ||OP|| F | sin
如右图，则力对物体做的功为
θ
A
S
B
W | F || S | cos 2
2 性质： （1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
第三节 向量的数量积和向量积
一、 两向量的数量积 二、 两向量的向量积
1
一、两向量的数量积
1 定义 两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积，
称为向量a与b的数量积， 记作a·b,即
a • b | a || b | cos(a, b)
数量积也称点积。
力学意义：一物体在力F的作用下，
F
沿直线AB移动了S， F与AB的夹角为α,
3
j
k,bi源自k,ci1 3
j
k
解：
ijk
a b 2 3 1 3i j 3k
1 0 1
显然
故a×b//c.
14
例5 问向量 a = -2i+ 3j + k,b = -j + k,c = i - j - k
是否共面？ 解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个
向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。（为什么？） 由于
用e表示u轴上的单位向量， 则a·e为向量a在e方向 上的投影，那么有
a • e | a || e | cos | a | cos
例1 已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求： （1）a·b； （2）a与b的夹角； （3）a在b上的投影。
7
解：（1）a •b 11 1( 2 ) (-4) 2
x1x2 y1 y2 z1z2
则有两非零向量a和b的夹角θ的余弦坐标表示为
cos a • b
x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
x12 y12 z12 x22 y22 z22
5
此时，对于非零向量a，b，有
a b x1x2 y1 y2 z1z2
5 向量在轴上的投影
那么
AB CB CA B
θ C
2
AB
( CB CA )2
( CB CA )•( CB CA )
2
2
CB CA 2CB • CA
令 | CB | a,| CA| b,| AB| c, 所以
c2 a2 b2 2ab cos
| a || b |
3
3 运算律
（1）交换律 a •b b • a
（2）分配律 (a b) • c a • c b • c
（3）结合律 (a) • b (a • b) a • (b)
其中λ为常数。
4 数量积的计算公式
设向量
a x1i y1 j z1k,
则有
b x2i y2 j z2k
证毕
9
二、两向量的向量积
1 定义 设向量c由两个向量a和b按下列规定给出：
（1）|c|=|a| |b| sinθ，θ为向量a和b的夹角； （2）c a, c b ，且向量a，b ， c的方向满足右 手定则，如图； 那么向量c称为向量a和b的向量积，记作a×b，即
C= a×b 向量积又称为叉积。
i jk
ab 2 3 1 4i 2 j 2k
0 1 1
所以，
( a b )• c ( 4i 2 j 2k )•( i j k )
=4-2-2=0
因而a，b，c共面。
15
例6 求以点A（1，2，3），B（3，4，5）和C（-1， -2，7）为顶点的三角形的面积S。
设A为空间一点，u轴已知，如图。 过点A作与轴垂直的平面，平面与轴 A
的交点A‘称为A在轴上的投影。
对于已知向量 AB，u轴上的有向
A'
线段 AB 的模称为向量 AB 在轴u
上的投影，它是一个数量，记作
Pr ju AB
B
B'
u
6
那么
Pr ju AB | AB| cos
θ为向量 AB 与轴u的夹角。
此时，对于非零向量a，b，有 a // b x1 y1 z1 x2 y2 z2
约定：若分母中有零，相应地，分子也为零。
13
例3 设向量 a 3i 2 j k,b 2i j 3k, 求a b.
解：
ijk
a b 3 2 1 5i 11 j 7k
2 1 3
例4 设向量 a 2i 问a×b与c是否平行？
9
（2） cos(
a ,b
)
|
a a
•b || b
|
9
1
12 12 ( 4 )2 12 ( 2 )2 22
2
所以
( a,b ) 3
（3） 因为
4
a • b | a || b | cos( a,b ) | b | Pr jba
所以
Pr
ju AB
a•b |b|
9 3
3
8
例2 求证余弦定理 c2 a2 b2 2ab cos
| a || b |
3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a；
（2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b
（λ为常数）
（3）（a+b）×c=a×c+b×c
12
4 两向量的向量积的坐标表示 设向量
a x1i y1 j z1k, b x2i y2 j z2k
则有
i
jk
a b x1 y1 z1 x2 y2 z2
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
4
证明：
a • b (x1i y1 j z1k ) • (x2i y2 j z2k )
x1x2i • i x1 y2i • j x1z2i • k y1x2 j • i y1y2 j • j y1z2 j • k z1x2k • i z1y2k • j z1z2k • k
而M的方向垂直于 OP 与F所决定的平面，M的指向是
是按右手规则从 OP 以不超过π的角的转向F来确定， 因而实际上
M OP F
11
2 两向量积的性质 （1）a×a=o；
ii j j kk o
（2）a || b a b o
（3）若a≠o，b≠o，a，b的夹角为θ，则
sin | a b |
★向量积模的几何意义是：以
a，b为邻边的平行四边形的面积。
c
b θ a
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★力学意义：力矩， 如下图所示。
O为一根杠杆L的支点，
F
有一个力F作用于其上点P处， O
F与OP 的夹角为θ，由力学
规定，力F对支点O的力矩是 一个向量M， 它的模
θ
P
L
Q
M OP F
| M ||OQ|| F ||OP|| F | sin
如右图，则力对物体做的功为
θ
A
S
B
W | F || S | cos 2
2 性质： （1） a·a=|a|2
i • i 1, j • j 1, k • k 1
（2）a b a •b 0
i • j 0, j • k 0, k • i 0
（3）θ表示两非零向量a和b的夹角，则有
cos a • b
第三节 向量的数量积和向量积
一、 两向量的数量积 二、 两向量的向量积
1
一、两向量的数量积
1 定义 两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积，
称为向量a与b的数量积， 记作a·b,即
a • b | a || b | cos(a, b)
数量积也称点积。
力学意义：一物体在力F的作用下，
F
沿直线AB移动了S， F与AB的夹角为α,
3
j
k,bi源自k,ci1 3
j
k
解：
ijk
a b 2 3 1 3i j 3k
1 0 1
显然
故a×b//c.
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例5 问向量 a = -2i+ 3j + k,b = -j + k,c = i - j - k
是否共面？ 解：判断三个向量是否共面，只要判断其中的两个
向量的向量及与第三个向量是否垂直即可。（为什么？） 由于
用e表示u轴上的单位向量， 则a·e为向量a在e方向 上的投影，那么有
a • e | a || e | cos | a | cos
例1 已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}，求： （1）a·b； （2）a与b的夹角； （3）a在b上的投影。
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解：（1）a •b 11 1( 2 ) (-4) 2
x1x2 y1 y2 z1z2
则有两非零向量a和b的夹角θ的余弦坐标表示为
cos a • b
x1x2 y1 y2 z1z2
| a || b |
x12 y12 z12 x22 y22 z22
5
此时，对于非零向量a，b，有
a b x1x2 y1 y2 z1z2
5 向量在轴上的投影