§20.1第一型曲线积分
高等数学-第七版-课件-20-1 第一型曲线积分
π
0
a 3 π.
数学分析 第二十章 曲线积分
高等教育出版社
§1 第一型曲线积分
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分的计算
例2 设 L 是 y 2 4 x 从 O(0,0) 到 A(1,2) 一段(图20-2),
试计算第一型曲线积分 L yds . 解
y
A
y2 4 x
L
yds
i 1 i i n i 1
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i ) 2 ( i )t i ,
这里 ti 1 i, i ti .
L
f ( x , y )ds f ( ( t ), ( t )) 2 ( t ) 2 ( t )dt (3)
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分的计算
于是前面讲到的质量分布在曲线段 L 上的物体的质 量可由第一型曲线积分 (1) 或 (2) 求得. 1. 若 f i ( x , y )ds( i 1, 2, , k ) 存在, ci ( i 1, 2, , k )
L
为常数, 则 L ci f i ( x , y )ds 也存在, 且
则有
f ( , )s
i 1 i i n i 1
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i )t i . (4)
令 t max{t1 , t2 ,, tn }, 则当 T 0 时, 必有 t 0. 下面证明 lim 0.
数学分析 第二十章 曲线积分
§1 第一型曲线积分
本 节将研 究定义 在平面或空间曲线段上 的第一型曲线积分 . 此 类积分的典型物理背景 是求非均匀分布的曲线 状物体的质量.
数学分析课件第一型曲线积分
详细描述
保守力场是指一种特殊的力场，其中存在一个势函数，使得力场沿任意路径的积分等于势函数在该路径起点和终 点的差值。这种力场的特点是，物体在其中运动时，其路径与起点无关，只与势函数有关。因此，保守力场与势 函数是描述物体在力场中运动的数学工具。
流量与流速场
速度场与线积分
总ห้องสมุดไป่ตู้词
速度场与线积分在物理中有着密切的联系，它们描述了物体 在空间中移动的规律。
详细描述
在物理中，速度场指的是物体在空间中移动的速度分布。线 积分则用于计算在给定路径上的速度场中，物体所经过的位 移量。因此，速度场与线积分共同描述了物体在空间中的运 动轨迹和规律。
保守力场与势函数
总结词
积分路径的无关性
曲线积分与路径无关的条 件
如果对于某个函数f(x,y)，有 ∮L[Pdx+Qdy]=0，则称曲线积分 ∫[a,b]Pdx+Qdy与路径无关。
证明方法
通过构造一个新的函数F(x,y)，并证明F(x,y) 满足偏微分方程组{∂F/∂y=Q, ∂F/∂x=-P}，
从而证明曲线积分与路径无关。
总结词
流量与流速场是描述流体运动的数学工具。
详细描述
流量是指单位时间内流过某一截面的流体量，而流速场则描述了流体在空间中的流动速度分布。在流 体力学中，流速场和流量是描述流体运动的两个重要参数，它们之间存在密切的联系和相互影响。通 过对流速场和流量的研究，可以深入了解流体运动的规律和特性。
05
第一型曲线积分的性质 与定理
如果曲线由参数方程$x=x(t), y=y(t)$表示，其中$t$是参数，则该 曲线称为参数曲线。
参数的选择
数学分析课件第一型曲线积分
定义：将曲线上的点与直角坐标系中的点一一对应，将曲线积分的计算转化为直角坐 标系中的定积分计算。
适用范围：适用于曲线方程为参数方程形式的情况。
计算步骤：首先将参数方程转换为直角坐标系中的普通方程，然后利用定积分的计算 方法进行计算。
注意事项：在转换过程中需要注意参数方程与直角坐标系中的普通方程之间的对应关 系，以及定积分的计算方法和技巧。
第一型曲线积分 第二型曲线积分 方向性 几何意义
物理应用：计算曲线形构件的质量、 重心、惯性矩等
经济应用：计算曲线形资产的净现 值、投资回报率等
添加标题
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工程应用：求解曲线形构件的静力 学问题和动力学问题
计算机图形学应用：绘制光滑曲线、 曲面等
参数方程的建立 参数方程的消元 参数方程的代入 参数方程的化简
添加文档副标题
目录
01.
02.
03.
04.
05.
06.
定义：曲线积分 是函数在曲线上 的积分，用于计 算曲线长度、面 积等
性质：曲线积分 满足线性性质， 即对于两个函数 的和或差的积分 等于它们各自积 分的和或差
方向性：曲线积 分具有方向性， 即沿着曲线的正 向或负向积分结 果不同
奇偶性：对于奇 函数或偶函数在 曲线上的积分， 结果具有奇偶性
内容1：第一 型曲线积分的
性质
内容2：第一 型曲线积分的
定理
内容3：第一 型曲线积分与 第二型曲线积
分的区别
内容4：第一 型曲线积分的
应用
第一型曲线积分的性质：与路径无关 第一型曲线积分的性质：对称性 第一型曲线积分的性质：可加性 第一型曲线积分的定理证明：通过定义和性质推导定理
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，是微积分中的一种重要概念与计算方法，它涉及曲线和向量场之间的积分。
本文将介绍第一型曲线积分的定义、性质和计算方法。
一、第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，也称为曲线的线积分，是指在曲线上某个有向长度元素$\mathrm{d}s$上的函数值与该长度元素的乘积$d\boldsymbol{s}$在整个曲线上的积分。
设$C$是曲线，其参数方程为$\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)), t\in[a,b]$，则$C$的长度由公式：$$ L(C)=\int_{C}\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}\left[\ left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\r ight)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\f rac{1}{2}} \mathrm{d}t $$计算曲线$C$上的一个标量函数$f(x,y,z)$在曲线上的第一型曲线积分，即为：$$ \int_{C} f(x, y, z) \mathrm{d}s=\int_{a}^{b}f\left(\boldsymbol{r}(t)\right)\left[\left(x^{\prim e}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}t $$若积分路径可以看成向量值函数$\boldsymbol{r}(t)$的积分，第一型曲线积分就可以写作：$$ \int_{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{r}(t)\right) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime}(t) \mathrm{d}t=\int_{a}^{b} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} $$其中$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$是向量场，$\mathrm{d}\boldsymbol{r}$表示一个有向长度元素，$\cdot$表示向量内积运算，$\mathrm{d}\boldsymbol{s}=\boldsymbol{r}^{\prime}(t ) \mathrm{d} t$表示线元素。
第一类曲线积分计算
第一类曲线积分计算【原创实用版】目录一、曲线积分的概述二、第一类曲线积分的计算方法1.直线参数方程2.圆参数方程3.一般曲线参数方程三、第一类曲线积分的应用实例正文一、曲线积分的概述曲线积分是一种数学工具，用于计算空间曲线上的向量场在某一段曲线上的积分。
它可以用来求解物理量，如质点在曲线路径上的速度、加速度等。
曲线积分分为两类，本篇主要介绍第一类曲线积分的计算方法。
二、第一类曲线积分的计算方法1.直线参数方程假设有一条直线 L，其参数方程为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为直线上的点。
我们可以通过以下步骤计算直线 L 上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在直线 L 上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算直线 L 上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。
2.圆参数方程假设有一个圆 C，其参数方程为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为圆上的点。
我们可以通过以下步骤计算圆 C 上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在圆 C 上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算圆 C 上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。
3.一般曲线参数方程对于一般的曲线，我们可以将其参数方程表示为：r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中 t 为参数，x、y、z 为曲线上的点。
我们可以通过以下步骤计算一般曲线上的第一类曲线积分：(1) 求出向量场 F 在曲线上的投影，记为 F·cosθ；(2) 计算曲线上的弧长 s，s = ∫dt；(3) 计算第一类曲线积分：∫(F·cosθ)·r(t)ds = ∫(F·cos θ)·(dx/dt, dy/dt, dz/dt)dt。
第一类曲线积分的计算
第一类曲线积分的计算第一类曲线积分是指对于一条空间曲线上的标量函数$f(x,y,z)$的积分。
通常情况下，计算第一类曲线积分可以分为参数化和积分两个步骤。
首先，我们需要用参数化的方式将曲线表示出来。
设曲线为$C$，则$C$可以用参数方程$\vec{r}(t)=(x(t), y(t), z(t))$来表示，其中$t$为曲线上的参数。
有了曲线的参数方程，我们可以得到曲线的切向量$\vec{T}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\fr ac{dz}{dt})$和曲线的长度$dS=|\vec{T}(t)|dt$。
然后，我们可以对函数$f(x,y,z)$在曲线$C$上进行积分，即：$$\int_Cf(x,y,z)ds=\int_{t_0}^{t_1}f(x(t),y(t),z(t))|\vec{T}(t)|dt$$其中$t_0$和$t_1$为曲线的参数范围。
如果曲线参数化时是按照弧长进行的，则有$dS=dt$，积分式可以简化为：$$\int_Cf(x,y,z)ds=\int_{t_0}^{t_1}f(x(t),y(t),z(t))dt$$接下来，我们来看一个计算第一类曲线积分的例子。
例：计算函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$在曲线$C$：$x=\cos t$, $y=\sin t$, $z=2t$，$0\leq t \leq \pi$上的积分。
解：首先，我们需要将曲线$C$进行参数化。
由于$x=\cos t$, $y=\sin t$, $z=2t$，所以可得：$$\vec{r}(t)=(\cos t, \sin t, 2t)$$其中$0\leq t \leq \pi$。
其切向量为：$$\vec{T}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=(-\sin t, \cos t, 2)$$其长度为：$$|\vec{T}(t)|=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+2^2}= \sqrt{6}$$因此，积分式为：$$\begin{aligned} \int_C f(x,y,z)ds & = \int_{t_0}^{t_1}f(x(t),y(t),z(t))|\vec{T}(t)|dt \\ & = \int_0^\pi (\cos^2 t + \sin^2 t + (2t)^2)\sqrt{6} dt\\ & = \int_0^\pi (4t^2 + 1)\sqrt{6} dt\\ & =\sqrt{6}\int_0^\pi 4t^2 dt + \sqrt{6}\int_0^\pi dt\\ & =\sqrt{6}(\frac{4}{3}\pi^3 + \pi) \approx 68.2525 \end{aligned}$$因此，函数$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$在曲线$C$：$x=\cos t$,$y=\sin t$, $z=2t$，$0\leq t \leq \pi$上的积分为约为$68.2525$。
一型曲线积分
一型曲线积分
一型曲线积分是指对一个曲线上的函数进行积分。
一型曲线积分常用于计算曲线的长度、质量、动量等物理量。
一型曲线积分的计算方法是将曲线分成若干小段，然后近似地计算每段的积分值，再将这些积分值相加得到整个曲线的积分值。
具体而言，设曲线为C，参数方程为x=f(t)，y=g(t)，t的取值范围为[a,b]。
则曲线上的函数可以表示为F(x(t),y(t))，其中F 为一个定义在曲线上的函数。
将曲线C分成n个小段，第i个小段的起点坐标为(x_i, y_i)，终点坐标为(x_i+1, y_i+1)，曲线上的函数值为F(x_i, y_i)。
对于每个小段，可以计算出其长度ds_i，然后将其与F(x_i,
y_i)相乘得到积分项dS_i = F(x_i, y_i) * ds_i。
将所有小段的积分项相加得到整个曲线的积分值：
∫(C) F(x,y) ds = ∑(i=1→n) F(x_i, y_i) * ds_i
当n趋向于无穷大时，这个和的极限就是曲线C上函数F(x,y)的一型曲线积分值。
在实际计算中，常常使用参数方程给出的曲线上的函数
F(x(t),y(t))和曲线上的元素长度ds计算曲线积分。
具体的计算方法则因具体情况而异，可以采用代换法、分部积分等技巧。
第一类曲线积分
第一类曲线积分曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程学和数学等领域中都有着广泛的应用。
曲线积分分为第一类和第二类曲线积分，本文将重点讨论第一类曲线积分的概念、性质和应用。
首先，我们来了解一下第一类曲线积分的定义。
设曲线C是由参数方程。
\begin{cases}。
x=x(t)\\。
y=y(t)。
\end{cases}。
给出，其中a≤t≤b。
函数f(x, y)在曲线C上有定义，那么我们定义函数f(x, y)在曲线C上的第一类曲线积分为。
\int_C f(x,y)ds=\int_a^b f(x(t),y(t))\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt。
其中ds=\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}dt表示曲线元素。
从定义可以看出，第一类曲线积分实质上是函数f(x, y)沿着曲线C的弧长的积分，因此也常被称为弧长积分。
接下来，我们来探讨一下第一类曲线积分的性质。
首先是线性性质，即对于任意的常数α、β，以及在曲线C上有定义的函数f(x, y)和g(x, y)，有。
\int_C (αf(x,y)+βg(x,y))ds=α\int_C f(x,y)ds+β\int_C g(x,y)ds。
这个性质使得我们可以将曲线积分拆分成多个部分进行计算，从而简化计算过程。
其次是路径无关性质，即如果曲线C可以由两条不同的曲线C1和C2组成，且函数f(x, y)在C1和C2上有相同的积分，那么曲线C上的积分也相同。
这个性质在实际问题中有着重要的应用，可以简化对曲线积分的计算。
最后是保号性质，即如果函数f(x, y)在曲线C上恒大于等于0（或恒小于等于0），那么曲线积分也大于等于0（或小于等于0）。
除了这些性质，第一类曲线积分还有着一些重要的应用。
其中最重要的应用之一就是计算曲线上的质量、质心和转动惯量。
在物理学和工程学中，我们经常需要计算曲线上分布的质量，并根据质量分布计算质心和转动惯量，这时就需要用到曲线积分。
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t
例4 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin , z k 的一段. (0 2 ) 解
I a 2 cos sin k a 2 k 2 d
0
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
a ab 2 u2du 2 b a b
2 0
2 0
(令u a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t )
ab(a ab b ) . 3(a b)
2 2
x a cos t 例 2 设 L 是半圆周 , , 0t . y a sin t
计算: ( x 2 y 2 )ds .
z
f ( x, y , z )
L
o
y
]
(t ) 连续可导, 则对 L 上的
连续函数 f ( x, y, z ) , 有
x
[
L
f ( x, y, z )ds f (t ) , (t ) , (t ) 2 (t ) 2 (t ) 2 (t )dt
f ( x, y, z ) 在空间曲线 L 上的第一型曲线积分为
L
f ( x, y, z )ds lim f (i ,i , i ) si .
T 0 i 1
n
(2)
Ex.仿定义１，叙述此定义。
L
f ( x, y )ds的几何意义
z f ( x, y)
当 f ( x, y )表示立于L上的 柱面在点( x, y )处的高时,
Li
k
k
i L
fi ( x, y )ds
(2)若曲线段 L 由曲线 L1 , L2 ,, Lk 首尾相接而 成,且 f ( x, y)ds (i 1,2,, k ) 都存在,则
L
f ( x, y )ds 也存在,且
L
f ( x, y)ds f ( x, y)ds
i 1 Li
k
(3)若 f ( x, y )ds 与 g ( x, y )ds 都存在,且在 L
L L
上 f ( x, y ) g ( x, y ) ,则 f ( x, y )ds g ( x, y )ds .
L L
(4)若 f ( x, y )ds 存在,则 f ( x, y ) ds 也存在,
L
f ( x, y )ds
弧长微元
(1)
被 ( x, y)ds lim f (i ,i ) si .
T 0 i 1
n
积分和式
积分曲线
曲线形构件的质量Ｍ
当 f ( x, y)表示 上的线密度时,
M f ( x, y )ds.
推广 若 L 是空间可求长曲线段,类似地，定义
y
B
lim f (i ,i ) si J
T 0 i 1
n
L M n 1
( i , i ) M i M2 M i 1 A M1
且 J 的值与分割T 与点 (i ,i ) 的 取法无关,
o
x
也称为,对弧长的曲线积分
则称此极限为 f ( x, y ) 在 L 上的第一型曲线积分, 记作
证明分析 :
来证: f ( x, y)ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t )dt
L
(1)由曲线积分定义,
L
f ( x, y )ds lim f (i ,i )si
T 0 i 1
n
lim f ( i), ( i) 2 ( i) 2 ( i)ti
L L
且
L
f ( x, y)ds f ( x, y) ds .
L
L
(5)若 f ( x, y )ds 存在 L 的弧长为 s ,则存在常 数 c ,使得 f ( x, y )ds cs
L
这里inf f ( x, y ) c sup f ( x, y ). L
L
20.1.3. 第一型线积分的计算
i 1 n
o
x
M lim f ( Pi ) i .
d 0 i 1
n
近似值 精确值 (d max i )
1i n
2.第一型曲线积分的定义
定义 1. 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f ( x, y ) 为 定义在 L 上的函数,对曲线 L 作任意分割T ,分点为：
例3 求I yds,
L 2
P.200
例２
y2 4 x
其中L : y 4 x, 从(0,0)到(1,2)一段.
解
I
2
0
y 2 y 1 ( ) dy 2
3 2 2
2 y2 2 1 3 4
4 (2 2 1) 3
0
推广:
空间曲线 L 上的第一型曲线积分: x (t ) 设空间曲线 L : y (t ) ， z (t ) t [ , ]. 函数 (t ) , (t ) ,
(t ), (t )在 [ , ]上连续,
且不同时为0.
x (t ), 定理 20.1 设有 光滑 曲线, L : 光滑 t [ , ], y (t ),
f ( x, y ) 是定义在 L 上的连续函数.
则
L
f ( x, y)ds f (t ) , (t ) 2 (t ) 2 (t )dt .
C1
其中C1为C 在第一象限部分。
20.1.2. 第一型曲线积分的性质
(1).设 fi ( x, y )ds 存在,Ci 为常数, (i 1,2,, k )
L
则
L
C f ( x, y)ds 也存在,且
i 1 i i
k
C f ( x, y)ds C
L i 1 i i i 1
L
f ( x , y )ds f [ x , ( x )] 1 2 ( x )dx. ( a b )
b a
(2) 若曲线方程为L : x ( y)
L
c y d. 则
f ( x , y )ds
d
c
2 ( y )dy. (c d ) f [ ( y ), y ] 1
物理意义
(1) 当 f ( x, y)表示 上的线密度时,
M f ( x, y )ds ;
(2) 曲线弧对 x轴及 y轴的转动惯量 ,
I x x 2 ds,
L
I y y 2 ds.
L
(3) 曲线弧的重心坐标
xds , x ds
L L
yds . y ds
L
P.200 例 1
解法1: L
( x 2 y 2 )ds
(a cos t )2 (a sin t )2 (a sin t )2 (a cos t ) 2 dt 0 a
3
0
dt a3.
x2 y 2 a2
解法2: L上 :
( x 2 y 2 )ds a 2 ds a3. L L
§20.1第一型曲线积分
20.1.1. 第一型曲线积分的定义 20.1.2. 第一型曲线积分的性质 20.1.3. 第一型线积分的计算
20.1.1. 第一型曲线积分的定义
1.实例:曲线形构件的质量 i).为直线段---定积分 y B 设某物体的密度函数 f ( P ) 是定 M n 1 义在 上的连续函数，求质量？
x a cos t , 例１ 求 I xyds, L : 椭圆 (第象限). L y b sin t ,
解 I a cos t b sin t ( a sin t ) 2 ( b cos t ) 2 dt
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt
n
只要证,lim 0.
t 0
i 1
f (t ), (t ) 在 , 上连续, 有界,
即M 0, t , , 有: f (t ), (t ) M 又 2 (t ) 2 (t )在 , 上连续, 一致连续,
A M1 , M 2 ,, M n1 , M n B ，把 L 分成 n 个可求长度的 小曲线段 L M M (i 1,2,, n) , L 的弧长记为 s ,
i i 1 i
i
i
记 T max si 称为分割 T 的细度,在 Li 上任取一点
1i n
(i ,i ) (i 1,2,, n) ,若有极限
t 0 i 1
2
n
其中 si
(t ) (t )dt 2 ( i) 2 ( i)ti , t (i ,i ) ( i), ( i) , ti 1 i, i ti , t max ti .
2
i 1
ti
中值定理
(2)由定积分定义,
1i n
记
f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t )dt
lim f ( i), ( i) 2 ( i) 2 ( i)ti ,
t 0 i 1 n
f ( i), ( i) 2 ( i) 2 ( i) 2 ( i) 2 ( i) ti
例5 求I x ds,