§1 第一型曲线积分 答案
第一类曲线积分
§1 第一类曲线积分的计算设函数(),,f x y z 在光滑曲线l 上有定义且连续，l 的方程为()()()()0x x t y y t t t T z z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩则()()()(),,,,Tlt f x y z ds f x t y t z t =⎡⎣⎰⎰. 特别地，如果曲线l 为一条光滑的平面曲线，它的方程为()y x ϕ=，()a x b ≤≤,那么有((,) , ()blaf x y ds f x x ϕ=⎰⎰.例：设l 是半圆周t a y t a x sin , cos ==, π≤≤t 0。
求22()lx y ds +⎰。
例:设l 是曲线x y 42=上从点) 0 , 0 (O 到点) 2 , 1 (A 的一段,计算第一类曲线积分lyds ⎰。
例：计算积分2lx ds ⎰,其中l 是球面2222a z y x =++被平面0=++z y x 截得的圆周。
例：求()lI x y ds =+⎰，此处l 为连接三点()0,0O ，()1,0A ，()1,1B 的直线段。
§2 第一类曲面积分的计算一 曲面的面积（1）设有一曲面块S ，它的方程为(),z f x y =。
(),f x y 具有对x 和y 的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY 平面上的投影xy σ为可求面积的.则该曲面块的面积为xyS σ=。
（2）若曲面的方程为()()(),,,x x u v y y u v z z u v =⎧⎪=⎨⎪=⎩令222u u u E x y z =++,u v u v u v F x x y y z z =++,222v v vG x y z =++， 则该曲面块的面积为S ∑=。
例：求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积。
例:求球面2222x y z a ++=含在柱面()220x y ax a +=>内部的面积. 二 化第一类曲面积分为二重积分（1)设函数(),,x y z φ为定义在曲面S 上的连续函数.曲面S 的方程为(),z f x y =。
1.第一型曲线积分
存在
在区间 , ]中插入分点 [ t 0 t1 t i 1 t i t n , 并记t i t i t i 1 , 相应于这种对[ , ]的分割， 得到L的一种分割.设[t i 1 , t i ]对应的弧段为 M i 1 M i，其弧长为si ( i 1,2, n)，则由弧 长公式及积分中值定理 知
§1 第一型曲线积分(对 弧长的曲线积分)
一、第一型曲线积分的概念 二、第一型曲线积分的性质
三、第一型曲线积分的计算
本章讨论的两种积分是定积分与重积 分的推广，其差别仅仅在于：在这里 “积分域”分别是坐标系中的曲线段 （平面曲线或空间曲线）及有界曲面； 被积函数是定义在相应“积分域”上的 有界函数.
lim
0
i 1
n
2 ( i ) 2 ( i ) t i f [ ( i ) , ( i ) ]
注意上式右端是连续函 数 f ( ( t ), ( t )) 2 ( t ) 2 ( t ) 在区间上的特殊分割、 取点的积分和的 极限，而连续函数一定 是可积分的，故 此积分和的极限应是定 积分
于是有
重要说明
定积分的下限 一定要小于上限 . 因为小弧段的 长度 si 总是大于零, 从而要求t i 0.
两种特殊情形
1. L : y y( x ), a x b. L : x x, y y( x ), a x b.
b a
L
f ( x , y )ds f [ x , y( x )] 1 y 2 ( x )dx (a b).
L L L
(2)若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧 L1和 L2 ,
则
L f ( x, y)ds L
第一型曲线积分
L xyds
2 0
a cos t b sin t ( a sin t )2 (b cos t )2 dt
ab02 sin t cos t a 2 sin 2 t b 2 cos2 t dt
ab 02 (a 2 b 2 ) sin 2 t b 2 d (sin 2 t ) 2
( x ) 0.
L ( x y )ds
2 ( x 0 ) 1 0 dx 0
2
0 x dx
2
2.
(2) L： x ( y ) 2, 0 y 3.
( x ) 0.
L ( x y )ds
2 ( 2 y ) 1 0 dy 0
x2 y2
x2 y2
ds. 其中曲线 x 2 y 2 a 2 , 直
线 x 0, y x 在第一象限中所围的图 形边界。
解
Le
ds ds AB e
x2 y2
oA e
x2 y2
ds oB e
x2 y2
ds
oA : x 0, 0 y a .
I xyz ds
0 a 2 cos sin k ( a sin )2 (a cos )2 k 2 d
2 2 2 a k a k 2
2Байду номын сангаас
0 sin 2 d
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
例5
计算
Le
0
ab(a 2 ab b 2 ) . 3(a b )
y
例2
计算
L ( x y ) ds.
曲线曲面积分部分难题解答
曲线曲面积分部分难题解答1．（P201,第1题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）： （ⅰ）⎰lxyds ，l 为抛物线x y 22=上从原点)0,0(O 到点)2,2(A 的弧⋂OA ；（ⅱ）()⎰+l ds yx 22，l 为联结点)0,0(O 、)0,2(A 和)1,0(B 的三角形围线；（ⅲ）⎰+lsd y x 22，l 为圆周()022>=+a ax y x ；（ⅳ）()⎰++l ds zy x 222，l 为螺线()0,sin ,cos >===b bt z t a y t a x 的 一段弧()π20≤≤t ；（ⅴ）⎰l zds ，l 为曲线()⎩⎨⎧>===0,2222a ax y z y x 上从点)0,0,0(O 到)2,,(a a a A 的一段弧.解：（ⅰ）[]2,0,,21:2∈⎪⎩⎪⎨⎧==y y y y x l ，.1122dy y dy dy dx ds +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=所以dy y y y xyds l2221..21+=⎰⎰（令t y tan =） tdtt 332arctan 0sec .tan21⎰= ()t td t sec sec .tan21222arctan 0⎰=()()t td t sec sec .1sec21222arctan 0-=⎰()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=315153155121sec 31sec 5121352arctan35|t t.15135515255315521+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=（ⅱ）解：()⎰+l ds yx 22⎰⎰⎰++=OAABOB()()3801.022222222==++=+⎰⎰⎰dx x dx xds y xOA;，其中：.20,,0:≤≤⎩⎨⎧==x xx y OA()()[]()dy y y ds y xAB21222221.22-++-=+⎰⎰().5354855102=+-=⎰dy y y其中：.10,,22,:≤≤⎩⎨⎧-==y y x y y AB()().3101.22212222==++=+⎰⎰⎰dy y dy yds y xBO，其中：.10,,0:≤≤⎩⎨⎧==y y y x BO所以.3535+=++=⎰⎰⎰OAABOBI（ⅲ）解法一：.20,sin 2,cos 22:π≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t t a y t a a x l()().2cos 2sin 22222dt a dt t a t a dt t y t x ds =⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=所以，()dt at a t a s d y x l2sin 4cos 1420222222⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+π()dt t a⎰+=π202cos 124dt t a⎰=π20222sin2.24dt t a⎰=π2022sin2.22cos 22sin2202202|a t a t d t a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰ππ解法二：化l 为极坐标表示：().2,2,cos :⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππθθθa r l 则()().22,s i n .c o s s i n,c o s c o s :2πθπθθθθθθθ≤≤-⎩⎨⎧====a r y a r x l ()()()().sin cos 2222θθθθθad dt a a dt r r ds =-+='+=所以，()()[]θθθθππad a a s d y x l⎰⎰-+=+2222222sin cos cosθθππd a a ⎰-=2222cos .2sin 2cos 2220222|a a d a===⎰ππθθθ（ⅳ） ()()()()()dt b a dt b t a t a dt t z t y t x ds22222222cos sin +=++-='+'+'=()()()()[]dt b a bt t a t a ds z y x l2220222222.sin cos +++=++⎰⎰π()|203222220222223ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=⎰t b t a b a dt t b aba[].433222222b a b a++=ππ2．（P201,第2题）设有某种物质分布在椭圆1:2222=+by ax l 上，其密度().,y y x =μ求它的总质量.解：不妨假设.b a >⎰⎰==14l lydsds y M ，其中.2,0,sin ,cos ;1⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧==πt t b y t a x l ()()()().cos sincos sin 22222222dt t b t a dt t b t a dt t y t x ds +=+-='+'=所以dt t b t a t b yds M l 222220cos sinsin 441+==⎰⎰π()dt t b a a t b 222220cos sin 4--=⎰π()()t d t b a a b cos cos 4202222⎰---=π()du u b a a b 222214---=⎰()du u b a a b 222214--=⎰duu ba aba b ⎰---=22222224π（公式）|102222222222222arcsin .2.4⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---=u ba au ba au ba ab a b ()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---=21arcsin .2.42222222222ba aab a b a a b a b.arcsin..222222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=b ab a ba ab 3．（P202,第3题）设曲线l 的长度为L ，而函数f 在包含l 的某个区域内连续.证明：()().max .P f L dsP f lP l∈≤⎰证明：由第一型曲线积分的定义()()ini id ls P f dsP f ∆=∑⎰=→.lim1故()()ini id ls P f dsP f ∆=∑⎰=→.lim1()ini id s P f ∆=∑=→.lim1()ini id sP f ∆≤∑=→.lim1()ini lp d sP f ∆≤∑=∈→.m a x lim1().m a x .P f L lP ∈=4．（P202,第4题）从原点()0,0O 到点()2,1A 沿下列不同路径分别计算第二型曲线积分.⎰⋂-OAydx xdy（1）.⋂OA 为直线段；（2）.⋂OA 为抛物线22x y =上的弧；（3）.⋂OA 为从点()0,0O 经点()0,1B 到点()2,1A 的折线⋂OBA . 解： （1） .1~0:,,2:x xx x y OA ⎩⎨⎧==⋂[].022.1=-=-⎰⎰⋂dxx x ydx xdy OA（2）.1~0:,,2:2x x x x y OA ⎩⎨⎧==⋂[].323224.|10312==-=-⎰⎰⋂xdxx x x ydx xdy OA（3）.220=+=+=+⎰⎰⎰⋂OBBAOAydx xdy其中，.1~0:,.,0:x x x y OB ⎩⎨⎧==();000.1=-=-⎰⎰dxx ydx xdy OB其中，.2~0:,.,1:y y y x BA ⎩⎨⎧== ().20.12=-=-⎰⎰dyy ydx xdy BA5．（P202,第5题）计算曲线积分 .⎰+lxdy ydx（1）.l 为从点()0,a 点()0,a -的上半圆周()022>-=a xa y ；（2）. l 为从点()0,a 点()0,a -的直线段()0>a ； （3）. l 为逆时针方向的圆周.222a y x =+ 解： （1）.~0:,sin ,cos :πt t a y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l⎰⎰+-=+πcos .cos sin .sin ==⎰dt t aπ22cos 02sin 2|02=πt a.（2）.~:,,0:a a x x x y l -⎩⎨⎧==().00.0=+=+⎰⎰-dxx xdy ydxaal（3）.2~0:,sin ,cos :πt ta y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l⎰⎰+-=+π20cos .cos sin .sin ==⎰dt t aπ2022cos 02sin 2|202=πt a.6．（P202,第6题）计算沿逆时针方向的圆周()222a y x =+的曲线积分 ()().22⎰+--+lyx dyy x dxy x解：π2~0:,.sin ,cos :t t a y t a x l ⎩⎨⎧==，所以，()()⎰+--+lyx dyy x dxy x 22()()()()dtat a t a t a t a t a t a ⎰---+=π202cos .sin cos sin sin cos.22022ππ-=-=⎰dt aa7．（P202,第7题）计算下列曲线积分，曲线的方向与参数增加方向： （ⅰ）()()dy xy y dx xy x l⎰-+-2222，l 为抛物线()112≤≤-=x x y ；（ⅱ）()()dy y x dx yx l ⎰-++2222，l 为折线()2011≤≤--=x x y ；（ⅲ）()dz x yzdy dx zy l ⎰-+-2222，l 的参数方程为().10,,3,2≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t t z t y t x ；解：（ⅰ）.1~1:,:2-⎩⎨⎧==x xy x x l()()dy xy y dx xy xl⎰-+-2222()()[]d x x x x xxx x⎰--+-=1124222..2.2[].151454324|10531142-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰-x x dx x x （ⅱ）设点().0,1A 则()()dyyx dx y xL2222-++⎰()()dyyx dx y xOA2222-++=⎰()()dyyx dx y xAB2222-+++⎰其中 .1~0:,,:x x x x y OA ⎩⎨⎧==故()()()()[]d x xxxxdy yx dx y xOA⎰⎰-++=-++1022222222.32322|10312===⎰x dx x ;其中.2~1:,,2:x x x x y AB ⎩⎨⎧=-=故()()()()()()()[]d x x xx xdy yx dx y xAB⎰⎰---+-+=-++21222222221.22()().3232222|213212=-=-=⎰x dx x所以原式.343232=+=（ⅲ）()dz x yzdydx zy l ⎰-+-2222()[]d t t t t t ttt⎰-+-=102232643.2 (2)[].351527323|1571046=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰t t dttt8．（P202,第8题）设曲线l 的长度为L ，而函数()P f 在包含l 的某个区域内连续.证明：()).max ...P L d P f lP l∈≤⎰证明：设()()(){}.,21P f P f P f =由第二型曲线积分的定义及柯西不等式()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i iid ly P f xP f rd P f 121..lim.故()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i iid ly P f xP f d P f 121..lim.()()[]∑=→∆+∆≤ni i i iid y P f xP f 121..lim()()()()2212221.limi i ni i i d y x P f P f ∆+∆+≤∑=→)()()221.limi ini id y x P ∆+∆=∑=→)()())⎰∑=→=∆+∆≤li ini d ds P y x P .max .max lim221)P L =m a .9．（P209,第1题）求下列曲面块的面积：（ⅰ）球面2222a z y x =++包含在圆柱面()a b b y x ≤<=+0222内的那部分面积；（ⅱ）圆锥面22yx z +=被圆柱面x y x 222=+截下的那一部分；（ⅲ）圆柱面222a y x =+被圆柱面222a z y =+截下的那一部分.解：（ⅰ）画出示意图222:b y x D xy ≤+. 将曲面方程化为:z ∑=2z zx y∂∂=-=-∂∂，所以，d S d x d d x d y==. 因此d x d yyx a a S S xyD ⎰⎰--==22222上 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰⎰|022022202.2122bbra a ra a r d r d πθπ极().422b a a a --=π（ⅱ）画出示意图x y x D xy 2:22≤+. 由曲面方程22:yx z +=∑，得,22yx x xz +=∂∂,22yx y yz +=∂∂，所以，,2122d x d y d x d y y z x z dS =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+=.因此().222π===⎰⎰xy D D S dxdy S xy（ⅲ）利用对称性（仅在第一卦限内计算）18S S =，曲面1∑（1∑为∑在第一卦限的那部分，其面积设为1S ）向yoz 面上的投影区域为222:a z y D yz ≤+. 将曲面1∑方程化为22ya x -=，则,22ya y yx --=∂∂,0=∂∂zx ，所以，d y d zya a d y d z z x yx dS 22221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.因此d y d zya a S S yzD ⎰⎰-==22188 ⎰⎰--=22228ya a dz ya a dy .882a a d z a==⎰10．（P209,第2题）求下列曲面积分：（ⅰ）()⎰⎰++Sy x dS21，式中S 为四面体()1,0,0,0≤++≥≥≥z y x z y x 的表面；（ⅱ）()dS y x S⎰⎰+22，式中S 为圆柱体()h z a y x ≤≤≤+0,222的表面；（ⅲ）()dS z y x S⎰⎰++，式中S 为球面()2222a z y x =++的表面.解：（ⅰ）.4321S S S S S +++= 其中,0:1=z S dxdy dS =1，()()()dy y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++110222111111dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-101010211111|()212ln 211ln 2111|1010-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰x dx x ；,0:2=x S d y d z dS =2，()()()dz y dy dydz y y x dSyD S yz⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++1102221101112()()dy y y dy y y⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+-=102102111211()2ln 11ln 12||110-=+-+-=y y；,0:3=y Sd z d x dS =3，()()()dzx dx dzdx x y x dSxD S zx⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++1102221101113()()dx x x dx x x⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-=10212111211 ()2ln 11ln 12||1010-=+-+-=x x；,1:4y x z S --= d x d ydS 34=，()()()dz y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++101022211311314dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-1011021113113|().212ln 33211ln 321113|110⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎰x dx x；所以()⎰⎰++Sy x dS21()+++=⎰⎰121S y x dS()+++⎰⎰221S y x dS()⎰⎰++321S y x dS ()⎰⎰++421S y x dS()()().32ln 2213212ln 32ln 12ln 1212ln +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（ⅱ）.321S S S S ++=其中,0:1=z S d x d y dS =1，()()r d r r d d x d y y xdS y xaD S xy.420222221⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ24a π=；,:2h z S = d x d y dS =2，()()r d r r d d x d y y xdS y xaD S xy.420222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ24a π=；,:2223a yx S =+其向yoz面上的投影区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤.,0:a y a h z D yz . 将曲面3S 方程化为22y a x -±=，则,22ya y yx --=∂∂,0=∂∂zx ，所以，d y d z ya a d y d z z x yx dS 22221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.因此()()d y d zya a yya dS y xyzD S ⎰⎰⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+222222322.23⎰⎰-=-haadz ya dy a22312..2arcsin433|h a ayh a aπ==或者()..22..32232233h a ah a dS a dS y xS S ππ===+⎰⎰⎰⎰所以()⎰⎰++Sy x dS21()++=⎰⎰122S dSyx()++⎰⎰222S yx()dSy xS ⎰⎰+322().22223344h a ah a a a+=++=ππππ （ⅲ）由积分区域的对称性，及被积函数的奇偶性知，显然()dS z y x S⎰⎰+++=⎰⎰dSx SdS y S⎰⎰().0=+++⎰⎰dS z y x S11．（P210,第3题）证明泊松公式()()d uc b a uf dS cz by ax f S⎰⎰⎰-++=++112222π其中S 为球面0,1222222>++=++c b a z y x ，f 为连续函数.证明：取新的空间直角坐标系Ouvw ，其中原点不变，使坐标平面Ouvw 与平面=++cz by ax 重合，并使Ou 轴垂直于平面0=++cz by ax .则有其实根据坐标系Ouvw 选取方法的描述，我们不难看出Ou 轴上的单位向量就可取作平面0=++cz by ax 的单位法线向量.则 222cb a cz by ax u ++++=（1）（注意到，显然222cb a cz by ax u ++++=为点()z y x P ,,到平面0=++cz by ax 的距离）.则()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222显然在新坐标系下，球面的形状并未改变（仍记为S ），且它的方程应为 1222=++w v u （2） （因为在新的坐标系下，任何一个球面上的点到原点的距离仍然为1.）由（2）式可得： ()22221u w v -=+ （3）当u 固定时，（3）式其实就表示垂直于Ou 轴平面上的一个圆周. 进一步，我们把S 化为参数方程表示：.20,11,sin 1,cos 1,22πθθθ≤≤≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧-=-==u u w u v u u,1='uu ,cos 12θuu v u --=';sin 12θuu w u--=',0='θu ,sin 12θθu v --='.cos 12θθu w -='于是，;112222uw v u E u u u-='+'+'=;0...=''+''+''=θθθw w v v u u F u u u.12222u w v u G -='+'+'=θθθ因此， 曲面的元素dS =dudv = （4）故()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222()d u c b a u f d ⎰⎰-++=πθ2011222().211222⎰-++=du cb a u f π12（P210,第4题）设某种物质均匀分布在球面2222a z y x =++上（认为分布密度1=ρ）.求它对于oz 轴的转动惯量. 解：由公式 ()dSy xJ S⎰⎰+=22由对称性()dSy x J S ⎰⎰+=1228其中2221:yx a z S--=，则2z z x y∂∂=-=-∂∂，所以，d S d x d d x d y==. 因此()d x d yy x a a y x S S xyD ⎰⎰--+==222221.88 r d r ra rd a a.8022220⎰⎰-=πθ极()r d r r a aara a.4022222⎰-+-=πr d r r a a a.4022⎰--=πr d rra aa.140223⎰-+π()22022.2ra d r a a a--=⎰π()220223.12ra d ra a a---⎰π()|232232.2araa -=π|2232.2ara a --π434aπ-=44aπ+ .384a π=13（P217,第1题）沿圆锥面()122≤=+z yx S的下侧，求曲面积分S d r S.⎰⎰，其中{}.,,z y x r =解：⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdyydzdx xdydzS d r .化为第一型曲面积分计算.S 的向下的法向量{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++=-''=1,,1,,2222yx y yx x z z n y x，所以{}.c o s ,c o s ,c o s21,2,22222γβα=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++==yx yyx x n 故⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdyydzdx xdydzSd r . ()⎰⎰++=SdSz y x γβαcos .cos .cos .⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=SdSz yx y yx x222222222⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=SdS z y x 2222（根据第一型曲面积分的计算方法） ⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=xy D dxdy y x y x .0222222214（P217,第2题）沿椭球面1222222=++cz by ax 的外侧，求曲面积分.⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Sz dxdy y dzdx xdydz解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，222211:by ax c z S --=（上侧）；222221:by ax c z S ---=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为.1:2222≤+by ax D xy故dxdyby ax c zdxdy xyD S ⎰⎰⎰⎰--=2222111作变量代换： ⎩⎨⎧==.s i n,c o s θθbr y ar x由二重积分的换元法drabrd rc dxdy by ax c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111.其中 ()()abr br b ar a y ry xrx r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,10:πθr D所以=⎰⎰1S zdxdy drabrd rc dxdy by ax c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111dr r r d cab ⎰⎰-=πθ201211dr r rd cab ⎰⎰-=πθ201211所以，().212111|12212πππcab rcabrd rcab =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---=⎰（1）同理 dxdy by ax c zdxdy xyD S ⎰⎰⎰⎰----=2222112.2112222πcab dxdy by ax c xyD =--=⎰⎰（2）所以=⎰⎰Szdxdy +⎰⎰1S zdxdy .42πcab zdxdy S =⎰⎰（3）由轮换对称性，知：πa bc x dzdy S4=⎰⎰；.4πbac ydzdx S=⎰⎰故⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++Sz dxdy y dzdx xdydz +=⎰⎰Szdxdy +⎰⎰Sxdzdy ⎰⎰Sydzdx+=πc ab4πabc4().44222222ac c b b a abc b ac ++=+ππ15（P217,第3题）沿球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-的外侧，求曲面积分.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，()()2221:b y a x R c z S ----+=（上侧）；()()2222:b y a x R c z S -----=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为:xy D ()()222R b y a x ≤-+-故()()dxdy b y a x R c dxdy zxyD S ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=222221作变量代换：⎩⎨⎧+=+=.s i n ,c o sθθr b y r a x由二重积分的换元法()()[]r d r rR c d x d y b y a x R c D D xy⎰⎰⎰⎰'-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+2222222.其中 ()()r r r y ry xrx r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,0:πθR r D所以=⎰⎰12S dxdy z[]rdr rR c D 222⎰⎰'-+()drr rR c d R⎰⎰-+=πθ20222()rdr rR c R2222⎰-+=π()r dr r R rR c c R⎰-+-+=02222222πrdr r R c rdr c RR⎰⎰-+=0222222ππ()rdr r RR⎰-+0222π()()|||0222023220222132.222R RR r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ.2344322R cRRc πππ++=（1）同理()()dxdy b y a x R c dxdy z xyD S ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=222221[]rdr rR c D 222⎰⎰'---=()dr r rR c d R⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πθ20222()rdr rR c R2222⎰---=π()r dr r R rR c c R⎰-+---=02222222πrdr r R c rdr cR R⎰⎰-+-=0222222ππ()rdr r RR⎰--0222π()()|||0222023220222132.222R RR r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ.2344322R cRRc πππ-+-=（2）所以=⎰⎰Sdxdy z 2+⎰⎰12S dxdy z 32382cRdxdy z S π=⎰⎰； （3）由轮换对称性，知：=⎰⎰Sdydz x 2338aRπ；=⎰⎰Sdzdx y 2.383bR π故.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x⎰⎰=Sdydzx2⎰⎰Sdzdxy 2⎰⎰Sdxdyz2().383c b a R ++=π16（P217,第4题）设S 为长方体()c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的表面.沿外侧求曲面积分⎰⎰Sxyzdxdy解：把S 分割为654321,,,,,S S S S S S 六个部分. 其中()b y a x c z S ≤≤≤≤=0,0:1的上侧； ()b y a x z S ≤≤≤≤=0,00:2的下侧； ()c z b y a x S ≤≤≤≤=0,0:3的前侧； ()c z b y x S ≤≤≤≤=0,00:4的后侧； ()c z a x b y S ≤≤≤≤=0,0:5的右侧； ()c z a x y S ≤≤≤≤=0,00:6的左侧.注意到除21,S S 外，其余四片曲面在xoy 面上的投影为零，因此=⎰⎰Sxyzdxdy+⎰⎰1S xyzdxdy⎰⎰2S xyzdxdy⎰⎰=xyD xycdxdy⎰⎰-xyD dxdyxy 0.c b a yd y x d x c ab.422⎰⎰==17（P225第1题）利用格林公式计算下面的曲线积分（l 的方向为正方向）： （ⅰ）()dy xy dx y x l22+-⎰，l 为圆周()222a y x =+；（ⅱ）()()dy y x dx y x l--+⎰，l 为椭圆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+12222b ya x ； （ⅲ）()xdy dx y l+-⎰，l 为曲线()1=+y x ；（ⅳ）()()dy y y e dx y e x lx sin cos 1---⎰，l 为区域().sin 0,0x y x D <<<<π；18（P225第2题）求()()dy m y e dx my y eI xxL-+-=⎰cos sin ，（m 为常数）其中l 是自点()0,a A 经过圆周()022>=+a ax y x 的上半部分到点O(0,0)的半圆 周.（提示：作辅助线后用格林公式）.解：cos ,cos xxP Q e y m e y yx∂∂=-=∂∂.所以，由格林公式：221...428A OO A D DQ P a dxdy m dxdy m m a x y ππ⋂⎡⎤∂∂+=-===⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 所以，2220.888AOOAma ma ma I πππ⋂==-=-=⎰⎰（因为，⎰⎰==OAadx 0.00）19（P225第5题）设函数()x f 在正半轴()0>x 上有连续导数()x f '且().21=f 若 在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx x l求函数().x f解：()y x y x P 34,=，()()x xf y x Q =,都是右半平面上的连续函数，由于在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx xl故有xQ yP ∂∂=∂∂即()()x f x x f x '+=34 化简，得()()241xx f xx f =+' （1）（1）为一阶线性微分方程，其通解为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c e x e x f dx xdx x 1214[]()cdx xx c e x e x x +=+=⎰⎰-3ln 2ln 414().1134xcx c xx+=+=（2）代入条件()21=f ，得 .1=c故().13x x x f +=20（P226第6题）设D 是以光滑曲线l 为正向边界的有界闭区域，而函数()y x u u ,= 在闭区域D 上具有连续的二阶偏导数且记 2222yu xuu ∂∂+∂∂=∆证明：⎰⎰⎰∆=∂∂Dludxdy ds nu其中()()y n yu x n xu nu ,cos ,cos ∂∂+∂∂=∂∂表示函数()y x u u ,=沿边界曲线l 外法线方向的方向导数.证明：设τ为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos τ、()y ,cos τ，则 有()()y x n ,,τ=，()().,,x y n τπ-= 故()()y x n ,c o s ,c o s τ=，()().,cos ,cos x y n τ-=()()ds x y u y xu ds nul l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系）dx yu dy xul⎰∂∂-∂∂=（格林公式）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u y x u x=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=⎰⎰Ddxdy y u x u 2222.⎰⎰∆Dudxdy21（P226第7题）在第6题的假设和记号下，证明：.22ds nu uudxdy u dxdy y u x u D lD⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂证明：仿上题 ()()ds x y uy xu u ds nu ul l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系） dx yu udy xu ul⎰∂∂-∂∂=（格林公式）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u u y x u u x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=Ddxdy y u u y u y u x u u x u x u 2222....dxdy y ux u u dxdy y u x u DD⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰222222udxdyu dxdy y u x u DD∆+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰22移项，即得 .22ds nu uudxdy u dxdy y u x u D lD⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂22（P227第8题）格林第二公式 若函数()y x u u ,=和()y x v v ,=都满足第6题中的假设，证明： dsvun v n udxdy vuv u lD⎰⎰⎰∂∂∂∂=∆∆证明：我们有 ()()ds x y u y xu v ds nu vl l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ （由两型曲线积分之间的联系）dx yu vdy xu vl⎰∂∂-∂∂=（格林公式）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u v y x u v x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=Ddxdy y u v y u y v x u v x u x v 2222....⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DDdxdy y u x u v dxdy y v y u x v x u 22.. ...⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DDudxdy v dxdy y v y u x v x u （1）由轮换对称性，知 dsnv ul⎰∂∂ ...⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DDvdxdy u dxdy y v y u x v x u （2）于是ds n v u n uv ds vun v n ul l⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=⎰⎰⎰⎰DDudxdy v dxdy y v y u x v x u ..⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎰⎰⎰⎰DD vdxdy u dxdy y v y u x v x u ..()⎰⎰∆-∆=Ddxdyv u u v .dxdy vuv u D⎰⎰∆∆=23（P227第9题）计算高斯(Gauss)积分 ()(b a I ⎰=,其中l 为简单（光滑）闭合曲线，r 为不在l 上的点()b a ,到l 上动点()y x ,的向量，而n 为l 上动点()y x ,处的法向量.解：设τ为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos τ、()y ,cos τ，则 有()()y x n ,,τ=，()().,,x y n τπ-= 又设()(){}y n x n n ,cos ,,cos 0= ，{}b y a x r --=,，则()()()()()()().,c o s .,c o s .,c o s ,c o s 2200b y a x y n b y x n a x n r n r -+--+-==⎪⎭⎫ ⎝⎛= 故(()()()()()().,cos .,cos .22b y a x y n b y x n a x -+--+-=()()()()()()()[]ds y n b y x n a x b y a x b a I l ,cos ,cos .1,22-+--+-=⎰()()()()()()[]ds x b y y a x b y a x l,cos ,cos .122ττ----+-=⎰()()()().22⎰-+----=l b y a x dx b y dya x记 ()()(),,22b y a x by y x P -+---=()()().,22b y a x ax y x Q -+--=则()()()(),2222b y a x a x b y yP -+-----=∂∂()()()().2222b y a x a x b y x Q -+-----=∂∂它们在xo y 平面内除点 ()b a ,外处处连续，且.0=∂∂-∂∂yP xQ（一）若点()b a ,在l 所包围的区域D 外，原式=0；（二）若点()b a ,在l 所包围的区域D 内，以点()b a ,为中心作一个充分小的圆()()).0(:222>=-+-εεεb y a x l 取逆时针方向，使之完全包含在l 为边界的区域内.记介于εl 和l 之间的区域为'εD . 则在'εD 由格林公式可得：)()()()⎰-+----lb y a x dxb y dy a x 22()()()()⎰-+-----εl b y a x dx b y dy a x 22.0⎰⎰'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=εD dxdy y P x Q所以，()()()()⎰-+----=l b y a x dx b y dya x I 22()()⎰---=εεl dxb y dy a x 2()()⎰---=εεl dx b y dy a x 21（格林公式）()()ππεεεεε2.22112222===⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-∂-∂-∂=⎰⎰⎰⎰DD dxdy dxdy y y b x a x .24（P227第10题）利用斯托克斯公式重新计算积分（例3） ()()(),⎰-+-+-=ldz y x dy z x dx y z I 其中l 是曲线⎩⎨⎧=+-=+.2,122z y x y x方向为从oz 轴正方向往负方向看去是顺时针方向. 解一：由斯托克斯公式d x d y yx zx yz z y x d x d y d z d x d y d z 2=---∂∂∂∂∂∂.取∑为平面2=+-z y x 上由椭圆所围成的那一小块曲面.（取下侧），因此{}1,1,1-=n ,.31,33,33⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=n ） ()()()dSdxdy dz y x dy z x dx y z I l⎰⎰⎰⎰⎰∑∑-=-=-+-+-=3122.2.23.312⎰⎰⎰⎰-=-=-=xyxyD D dxdy dxdy π解二：（直接计算）()()()⎰⎰⎰∑=-+-+-=dxdydz y x dy z x dx y z I l2其中，.1:22≤+y x D xy所以，.22π-=-=⎰⎰dxdy I xyD .25（P238第1题）下面的向量场是否为保守场？若是，并求位势:u(){};sin cos 2,sin cos 2122y x x y x y y x f --=解：（1）这里()x y y x y x P sin cos 2,2-=，().sin cos 2,2y x x y y x Q -=因为xQ x y y x yP ∂∂=--=∂∂sin 2sin 2，()2,R y x ∈所以{}y x x y x y y x f sin cos 2,sin cos 222--=是定义在全平面上的保守场.所以，()+-dx x y y x sin cos22()dyy x x y sin cos 22-是某一个函数()y x u ,的全微分.故可取()()()()()dyy x x y dx x y y x y x u y x sin cos 2sin cos 2,2,0,02-+-=⎰()()dyy xx y dx x x yx⎰⎰-+-=0202sin cos 2sin 00cos 2[]||0222c o s c o s yx yx x y x++=()[]2222c o s c o s xy x x yx -++=.cos cos 22y x x y +=则，所求的位势为().cos cos ,22c y x x y c y x u ++=+(){}.sin ,cos ,222z y ex z xef yy--=--解：这里()()().sin ,,,cos ,,,2,,2z y z y x R e x z z y x Q xez y x P yy-=-==--。
数学分析简明教程答案
第二十一章曲线积分与曲面积分§1 第一型曲线积分与曲面积分1.对照定积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质。
解：第一型曲线积分的性质:1（线性性）设⎰L ds z y x f ),,(,⎰L ds z y x g ),,(存在，21,k k 是实常数，则[]ds z y x g k z y x f kL ⎰+),,(),,(21存在，且[]ds z y x g k z y x f k L⎰+),,(),,(21⎰⎰+=LLds z y x g kds z y x f k ),,(),,(21;2l ds L=⎰1,其中l 为曲线L 的长度;3(可加性)设L 由1L 与2L 衔接而成，且1L 与2L 只有一个公共点，则⎰Lds z y x f ),,(存在⇔⎰1),,(Lds z y x f 与⎰2),,(L ds z y x f 均存在，且=⎰Lds z y x f ),,(⎰1),,(L ds z y x f +⎰2),,(L ds z y x f ;4(单调性)若⎰L ds z y x f ),,(与⎰L ds z y x g ),,(均存在，且在L 上的每一点p 都有),()(p g p f ≤则⎰⎰≤L L ds p g ds p f )()(;5若⎰L ds p f )(存在，则⎰L ds p f )(亦存在，且≤⎰ds p f L)(⎰Ldsp f )(6（中值定理）设L 是光滑曲线，)(p f 在L 上连续，则存在L p ∈0，使得l p f ds p f L)()(0=⎰,l 是L 的长度;第一型曲面积分的性质: 设S 是光滑曲面，⎰⎰S ds p f )(,⎰⎰S ds p g )(均存在，则有1（线性性）设21,k k 是实常数，则[]⎰⎰+Sds p g k p f k)()(21存在, 且[]⎰⎰+Sds p g k p f k )()(21⎰⎰⎰⎰+=SSds p g k ds p f k )()(21;2s ds S=⎰1, 其中s 为S 的面积;3(可加性)若S 由1S ,2S 组成21S S S =，且1S ,2S 除边界外不相交，则⎰⎰Sds p f )(存在⇔⎰⎰1)(S ds p f 与⎰⎰2)(S ds p f 均存在，且⎰⎰Sds p f )(=⎰⎰1)(S ds p f +⎰⎰2)(S ds p f4 (单调性)若在S 上的的每一点p 均有),()(p g p f ≤则⎰⎰⎰⎰≤SSds p g ds p f )()(;5⎰⎰S ds p f )(也存在，且≤⎰⎰Sdsp f )(⎰⎰Sds p f )(;6 （中值定理）若)(p f 在S 上连续，则存在S p ∈0,使得使得s p f ds p f S⎰⎰=)()(0，其中s 为S 的面积。
第一型曲线积分
0 z f ( x , y )的部分的面积就是 f ( x , y )ds .
L
z
z f ( x, y)
O
y
x
L
图 20 1
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二． 第一型曲线积分的计算
x ( t ), t [ , ], 定理20.1 设有光滑曲线 L : y ( t ), f ( x , y ) 为定义在 L 上的连续函数, 则
L
L
f ( x , y )ds f ( x , y )ds .
i 1 Li
k
3． f ( x , y )ds 与 g ( x , y )ds都存在, 且在 L 上 若
L
f ( x , y ) g( x , y ), 则
且
L
f ( x , y )ds g ( x , y )ds .
L
L
f ( x , y )ds cs ,
L
这里 inf f ( x , y ) c sup f ( x , y ).
6. 第一型曲线积分的几何意义 若 L 为坐标平面 Oxy上的分段光滑曲线, f ( x , y ) 为L 上定义的连续非负函数. 由第一型曲线的定义, 易见 以 L为准线, 母线平行于 z 轴的柱面上截取
(1) 分割：把 分成 n 个可求长度的小曲线段 i
( i 1, 2, , n).
(2) 近似求和：在每一个 i 上任取一点 Pi . 由于
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f ( P ) 为 上的连续函数, 故当 i 的弧长都很小时,
每一小段 i 的质量可近似地等于f ( Pi ) i , 其中 i
曲线积分习题答案
曲线积分习题答案曲线积分习题答案曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
在学习曲线积分的过程中，我们常常会遇到一些习题，通过解答这些习题可以加深对曲线积分的理解。
本文将给出一些曲线积分习题的详细解答，希望能够帮助读者更好地掌握曲线积分的概念和计算方法。
1. 计算曲线积分∮(x^2+y^2)ds，其中C为圆周x^2+y^2=a^2。
解答：首先，我们需要确定曲线C的参数方程。
由于C是一个圆周，我们可以选择极坐标系来描述它。
令x=a*cosθ，y=a*sinθ，其中0≤θ≤2π。
接下来，我们需要计算ds，即弧长元素。
根据极坐标系的定义，ds的表达式为ds=√(dx^2+dy^2)=√(a^2*cos^2θ+a^2*sin^2θ)dθ=a*dθ。
将ds代入曲线积分的定义中，得到∮(x^2+y^2)ds=∮(a^2*cos^2θ+a^2*sin^2θ)a*dθ=∮a^3dθ。
由于θ的取值范围为0到2π，所以曲线积分的结果为∮(x^2+y^2)ds=a^3∮dθ=a^3*2π=2πa^3。
2. 计算曲线积分∮(x^2+y^2)ds，其中C为抛物线y=x^2的一段，起点为(0,0)，终点为(1,1)。
解答：为了计算曲线积分，我们需要确定曲线C的参数方程。
由于C是抛物线y=x^2的一段，我们可以选择直角坐标系来描述它。
令x=t，y=t^2，其中0≤t≤1。
接下来，我们需要计算ds，即弧长元素。
根据直角坐标系下的弧长元素表达式，ds的表达式为ds=√(dx^2+dy^2)=√(1+4t^2)dt。
将ds代入曲线积分的定义中，得到∮(x^2+y^2)ds=∮((t^2)+(t^2)^2)√(1+4t^2)dt=∮(t^2+t^4)√(1+4t^2)dt。
由于t的取值范围为0到1，所以曲线积分的结果为∮(x^2+y^2)ds=∫(0到1)(t^2+t^4)√(1+4t^2)dt。
在这个例子中，我们无法通过初等函数求出积分的解析表达式。
11.1第一型(关于弧长)曲线积分1
特别地，
如果平面曲线 L 由参数方程表示：
L : x x t , y y t , ( t )
2
则
L
f x, y dl
f x t , y t x t y t dt ;
2
如果平面曲线 L 的方程由直角坐标表示：
如果 L 是闭曲线 , 则记为：
L
思考:
(1) 若在曲线 Γ 上
积分
dl 表示什么？
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?
否! 对弧长的曲线积分要求 dl 0 , 但定积分中 dx 可能为负。 注: 第一型（弧长）的曲线积分的无方向性。 即 则 f x, y, z dl f x, y, z dl f x, y, z dl
1
y
B(1,1)
yx L
2
1 5 5 1 . 12
机动
o
1x
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例 2. 计算曲线积分
解:
2 2 2 x y z dl
其中 为螺旋线：
的一段弧。
a k
2
2
2 0
2 2 2 a k t dt
2 3
a 2 k 2 3a 2 4 2 k 2 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 3. 计算
其中L为双纽线：
2
x y
2
2
a 2 x 2 y 2 ( a 0)
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为：
y
L1 : r a cos 2 , 0 4
数学分析22.1第一型曲面积分(含习题及参考答案)
第二十二章 曲面积分 1 第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念定义1：设S 是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S 上的函数，对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块S i (i=1,2,…,n)， 以△S i 记小曲面块S i 的面积，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}，在S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)，若极限i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ存在， 且与分割T 及(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S 上的第一型曲面积分，记作⎰⎰SdS z y x f ),,(.性质：1、存在性：若f(x,y,z)在光滑曲面S 上连续，则第一型曲面积分存在.2、可加性：若曲面S 由互不相交的曲面S 1,S 2,…,S k 组成，且⎰⎰iS dS z y x f ),,((i=1,2,…,k)都存在，则⎰⎰SdS z y x f ),,(也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(=∑⎰⎰=ki S idS z y x f 1),,(.3、线性：若⎰⎰Si dS z y x f ),,( (i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰⎰∑=S k i ii dS z y x f c 1),,(=∑⎰⎰=ki SiidS z y x f c 1),,(.4、若⎰⎰SdS z y x f ),,(与⎰⎰SdS z y x g ),,(都存在，且f(x,y,z)≤g(x,y,z)，则⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x g ),,(.5、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，则⎰⎰SdS z y x f |),,(|也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x f |),,(|.6、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，S 的表面积为s ，则存在常数c ，使得⎰⎰SdS z y x f ),,(=cs, 这里),,(infz y x f S≤c ≤),,(sup z y x f S.注：当f(x,y,z)=1时, 曲面积分⎰⎰SdS 就是曲面块S 的面积.二、第一型曲面积分的计算定理22.1：设光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D ，函数f(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(. 证：由定义知⎰⎰SdS z y x f ),,(=i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 其中 △S i =⎰⎰∆++iD y x dxdy z z 221=i i i y i i xD z z ∆++),(),(122ηξηξ. ∴⎰⎰SdS z y x f ),,(=i i i y i i x ni i i i i T D z z z f ∆++∑=→),(),(1)),(,,(lim 221ηξηξηξηξ =⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(.例1：计算⎰⎰SzdS，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z=h(0<h<a)所截的顶部.解：曲面S 的方程为z=222y x a --, 定义域为圆域x 2+y 2≤a 2-h 2.∵221yxz z ++=222222221y x a y y x a x --+--+=222yx a a--,∴⎰⎰Sz dS =⎰⎰--⋅--D dxdy y x a ay x a 2222221=⎰⎰--D dxdy y x a a 222=⎰⎰--2202220h a rdr ra a d πθ=2a πln h a.例2：计算⎰⎰++SdS z y x )(222, 其中(1)S ：x 2+y 2+z 2=a 2；(2)S ：x 2+y 2+z 2=2az.解：(1)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SdS a 2= a 2·4πa 2=4πa 4.(2)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SazdS 2=⎰⎰12S azdS +⎰⎰22S azdS ，其中S 1=z 1=a+)222y x a --, (x,y)∈D; S 2=z 2=a-222y x a --, (x,y)∈D.∵21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =22221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =222yx a a --, ∴⎰⎰12S azdS =⎰⎰----+Ddxdy y x a a y x a a a 222222)(2,⎰⎰22S azdS =⎰⎰-----Ddxdy yx a ay x a a a 222222)(2,∴⎰⎰++SdS z y x )(222=4⎰⎰--Ddxdy y x a a 2223=4a3⎰⎰-ar a rdr d 02220πθ=8πa 4.注：在由参量形式表示的光滑曲面S ：⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D上的第一型曲面积分的计算公式为：⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰-Ddudv F EG v u z v u y v u x f 2)),,(),,(),,((, 其中E=x u 2+y u 2+z u 2, F=x u x v +y u y v +z u z v , G=x v 2+y v 2+z v 2, 且雅可比行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂中至少有一个不等于0.例3：计算⎰⎰SzdS ,其中S 为螺旋面的一部分.⎪⎩⎪⎨⎧===vz v u y vu x sin cos , (u,v)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤π200v a u . 解：E=x u 2+y u 2+z u 2=cos 2v+sin 2v=1; G=x v 2+y v 2+z v 2=u 2sin 2v+u 2cos 2v+1=u 2+1; F=x u x v +y u y v +z u z v =-usinvcosv+ucosvsinv=0；∴⎰⎰SzdS =⎰⎰+Ddudv u v 12=dv v du u a⎰⎰+π20021=2π2[])1ln(122++++a a a a .习题1、计算下列第一型曲面积分：(1)⎰⎰++SdS z y x )(，其中S 为上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0；(2)⎰⎰+SdS y x )(22，其中S 为立体22y x +≤z ≤1的边界曲面；(3)⎰⎰+Syx dS 22，其中S 为柱面x 2+y 2=R 2被平面z=0, z=H 所截取的部分； (4)⎰⎰SxyzdS ，其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.解：(1)∵z=222yx a --, z x 2=22z x , z y 2=22z y , ∴221y x z z ++=222zx a a --. 又D={(x,y)|x 2+y 2≤a 2}. ∴⎰⎰++SdS z y x )(=()⎰⎰----++Ddxdyz x a y x a y x a 222222 =a ⎰⎰+-+πθθθ20220)1sin cos (rd r a r r dr a=2πa ⎰ardr 0=πa 3.(2)S=S 1+S 2, 其中S 1：z 1=22y x +, S 2：z 2=1.∵21⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x z =222y x x +; 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y z =222y x y +; ∴21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =2. 又22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =1, D={(x,y)|x 2+y 2≤1}； ∴⎰⎰+1)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(222=⎰⎰103202dr r d πθ=22π; ⎰⎰+2)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰1320dr r d πθ=2π; ∴⎰⎰+SdS y x )(22=⎰⎰+1)(22S dS y x +⎰⎰+2)(22S dS y x =)12(2+π.(3)⎰⎰+Sy x dS 22=⎰⎰SdS R 21=21R ·2πRH=RH π2. (4)z=1-x-y, z x =-1, z y =-1, ∴221y x z z ++=3.又D={(x,y)|x+y ≤1,0≤x ≤1}, ∴⎰⎰SxyzdS =⎰⎰--Ddxdy y x xy )1(3=⎰⎰---xdyy x xy dx 1010)1(3=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-10432612121613dx x x x x =1203.2、求均匀曲面：x 2+y 2+z 2=a 2, x ≥0,y ≥0,z ≥0的质心. 解：∵z=222yx a --, z x 2=2222y x a x --, z x 2=2222yx a y --,∴221y x z z ++=222y x a a--, 又曲面面积为21πa 2,D 为四分之一圆域x 2+y 2≤a 2在第一象限部分.∴x =⎰⎰SxdS a22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222cos 2θθππ=⎰20cos 2πθθd a =2a ；y =⎰⎰SydS a 22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222sin 2θθππ=⎰20sin 2πθθd a =2a；z =⎰⎰SzdS a22π=dr ar d a a⎰⎰222πθπ=2a . ∴曲面的质心为(2a ,2a ,2a ).3、求密度为ρ的均匀球面x 2+y 2+z 2=a 2 (z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解：J z =⎰⎰SdS z ρ2=ρdr r a ar d a⎰⎰-02220πθ=34πa 4ρ.4、计算.⎰⎰SdS z2, 其中S 为圆锥表面的一部分S ：⎪⎩⎪⎨⎧===θθϕθϕcos sin sin sin cos r z r y r x , (r,φ)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤πϕ200a r ,θ为常数(0<θ<2π). 解：E=x r 2+y r 2+z r 2=cos 2φsin 2θ+sin 2φsin 2θ+cos 2θ=1; G=x φ2+y φ2+z φ2=r 2sin 2φsin 2θ+r 2cos 2φsin 2θ=r 2sin 2θ; F=x r x φ+y r y φ +z r z φ=-rsin φcos φsin θ+rsin φcos φsin θ=0； ∴⎰⎰S dS z 2=⎰⎰⋅Ddrd r r ϕθθsin cos 22=sin θcos 2θdr r d a⎰⎰0320πϕ=24a πsin θcos 2θ.。
第一型曲线积分
于是曲面的面积微元
′ dS = 1 + ( z ′ 1 + 4 x 2 + 4 y 2 dσ x ) + ( z y ) dσ =
2 2
所以
∫∫
Σ
zdS = ∫∫ ( x + y ) 1 + 4 x + 4 y dσ =
2 2 2 2 Dxy
∫
2π
0
dθ ∫ r 2 1 + 4 x 2 rdr
1 2 0
2 2 2
例 2.1 计算 解
∫∫
∑
( x + y + z )dS , ∑ : x 2 + y 2 + z 2 = a 2
z≥0
曲面 ∑ 在 x0 y 平面上的投影区域
Duv = {( x, y ) x 2 + y 2 ≤ a 2 }
因为 z =
a 2 − x 2 − y 2 ，所以
∂z −x = 2 ∂x a − x2 − y 2
12.2
12.2.1 光滑曲面
第一型曲线积分
所谓的光滑曲面， 是指曲面上每点都有切平面， 且切平面的法方向随着曲面上的点的连 续变动而连续变化。而所谓的逐片光滑曲面，是指曲面是由有限个光滑曲面逐片并起来的。 例如椭球面是光滑曲面， 立方体的边界面是逐片光滑曲面。 本节所指的曲面都是有界的光滑 或逐片光滑曲面。 如果曲面
上的连续函数。 将曲面
∑
任意分割成 n 个
小曲面片（图 2.1）
∑1 , ∑ 2 L ∑ n 其面积分别记为 ∆S1 , ∆S 2 ,L ∆S n 。记曲面 ∑ 的这种分法为 ∆ 。对于任意点
处的密度 ρ
Pk (ξ k ,η k , ζ k ) ∈ ∑ k ，当曲面片 ∑ k 很小时，由于 ρ ( x, y, z ) 的连续性，可用曲面 ∑ 在点 Pk