第一型曲线积分
第一型曲线积分 第一型曲线积分的定义
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i )t i . (4)
令 t max{t1 , t 2 ,
t 0
, t n }, 则当 T 0 时, 必有
t 0. 现在证明 lim 0.
这里 t i 1 i, i ti . 设
f ( ( i), ( i))[ 2 ( i ) 2 ( i ) 2 ( i) 2 ( i)]ti ,
i 1 n
则有
f ( , )s
i 1 i i n i 1
n ||T || 0
, n). 若有极限
i i i
lim
f ( , )s
i 1
J,
且 J 的值与分割 T 与点 ( i , i ) 的取法无关, 则称此 极限为 f ( x , y ) 在 L 上的第一型曲线积分, 记作
L
f ( x , y )ds .
若 L 为空间可求长曲线段 , f ( x , y , z ) 为定义在 L上 的函数, 则可类似地定义 f ( x , y , z )在空间曲线 L 上
, k ) 都存在, 则 L f ( x , y )ds
也存在, 且
L
L
f ( x , y )ds f ( x , y )ds .
i 1 Li
k
3． 若 f ( x , y )ds 与 g ( x , y )ds都存在, 且在 L 上
L
f ( x , y ) g( x , y ), 则
且
L
f ( x , y )ds g ( x , y )ds .
L
第一型曲线积分
L xyds
2 0
a cos t b sin t ( a sin t )2 (b cos t )2 dt
ab02 sin t cos t a 2 sin 2 t b 2 cos2 t dt
ab 02 (a 2 b 2 ) sin 2 t b 2 d (sin 2 t ) 2
( x ) 0.
L ( x y )ds
2 ( x 0 ) 1 0 dx 0
2
0 x dx
2
2.
(2) L： x ( y ) 2, 0 y 3.
( x ) 0.
L ( x y )ds
2 ( 2 y ) 1 0 dy 0
x2 y2
x2 y2
ds. 其中曲线 x 2 y 2 a 2 , 直
线 x 0, y x 在第一象限中所围的图 形边界。
解
Le
ds ds AB e
x2 y2
oA e
x2 y2
ds oB e
x2 y2
ds
oA : x 0, 0 y a .
I xyz ds
0 a 2 cos sin k ( a sin )2 (a cos )2 k 2 d
2 2 2 a k a k 2
2Байду номын сангаас
0 sin 2 d
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
例5
计算
Le
0
ab(a 2 ab b 2 ) . 3(a b )
y
例2
计算
L ( x y ) ds.
曲线积分
(2) C f ( x, y) ds C 1 f ( x, y) ds C 2 f ( x, y) ds
(3) C ds l ( l 曲线C 的长度)
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3. 计算 • 对光滑曲线
2 2 f ( x , y ) d s ( t ) (t ) d t f [ (t ), (t )] C
1.引例: 曲线形物质的质量 假设曲线形细长物质在空间所占 弧段为AB , 其线密度为
B
Mk ( k ,k ) sk M k 1
计算此物质的质量.
n
采用 “大化小, 常代变, 近似求和, 求极限”
可得
M
A
k 1
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2.定义 设 二元函数f(x,y)在可求长曲线C(A,B)有定义. 若通过对 曲线C 的任意分割T和局部的任意取点, 下列“乘积和式极限”
2 3 a 2 X 2 a 3
圆C的圆心 在原点, 故
X 0
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例5. 计算
2 2 x y 其中C为球面
与平面 x z 1 的交线 . z2 9 2
则
1 2 1 2 1 2 (x 2) 4 y 1 解: C : , 化为参数方程 x z 1 x 2 cos 1 2 C : y 2 sin 0 2 z1 2 cos 2
2
I y C y ds.
2
(5) 曲线C的重心坐标
xds C x , C ds
yds C y . C ds
例1. 计算
第一型曲线积分
Li
L
k
也存在，且 f ( x, y)ds
f ( x, y)ds
L
i 1 Li
3 保号性若L f ( x, y)ds与L g( x, y)ds都存在，
且在 L上 f ( x, y) g( x, y)，
则L f ( x, y)ds L g( x, y)ds
4 积分绝对值 若L f ( x, y)ds存在，则 L f ( x, y)ds也存在，且| L f ( x, y)ds | L f ( x, y)ds
2(t) 2(t) 2(t)dt;
例1. 计算L yds. 其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)
的一段弧. 解1:
y 2
y2=2x
ds
1
dy dxyds 2 2x 1 1 dx
L
0
2x
0
2x
2 2x＋1dx 1 (5 5 1)
0
3
解2： L : x y2 , 0≤y≤2 2
f ( (t ), (t ))关于t 连续， 则
M>0, 使得 f ( (t ), (t )) M .
又 2(t) 2(t)在[, ]上一致连续
。
即 0, 0,使当t<时有
2( ) 2( ) 2( ) 2( ) ,
从而
n
M ti M (b a) 0. i 1
由定积分的定义
5 平均值公式 若L f ( x, y) d存s在，L的弧长为s，
则存在常数c，使得L f ( x, y)ds cs。
其中inf f ( x, y) c sup f ( x, y)
L
L
二 第一型曲线积分的计算
定理 20.1
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，是微积分中的一种重要概念与计算方法，它涉及曲线和向量场之间的积分。
本文将介绍第一型曲线积分的定义、性质和计算方法。
一、第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，也称为曲线的线积分，是指在曲线上某个有向长度元素$\mathrm{d}s$上的函数值与该长度元素的乘积$d\boldsymbol{s}$在整个曲线上的积分。
设$C$是曲线，其参数方程为$\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)), t\in[a,b]$，则$C$的长度由公式：$$ L(C)=\int_{C}\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}\left[\ left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\r ight)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\f rac{1}{2}} \mathrm{d}t $$计算曲线$C$上的一个标量函数$f(x,y,z)$在曲线上的第一型曲线积分，即为：$$ \int_{C} f(x, y, z) \mathrm{d}s=\int_{a}^{b}f\left(\boldsymbol{r}(t)\right)\left[\left(x^{\prim e}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}t $$若积分路径可以看成向量值函数$\boldsymbol{r}(t)$的积分，第一型曲线积分就可以写作：$$ \int_{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{r}(t)\right) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime}(t) \mathrm{d}t=\int_{a}^{b} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} $$其中$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$是向量场，$\mathrm{d}\boldsymbol{r}$表示一个有向长度元素，$\cdot$表示向量内积运算，$\mathrm{d}\boldsymbol{s}=\boldsymbol{r}^{\prime}(t ) \mathrm{d} t$表示线元素。
第一类曲线积分的极坐标形式
第一类曲线积分的极坐标形式曲线积分是微积分中的一个重要概念，它描述了沿着一条曲线的积分过程。
在曲线积分中，第一类曲线积分是最基本的一种类型，它描述了沿着曲线的标量场积分。
而在极坐标系下，第一类曲线积分的计算方法也有其独特的形式。
首先，我们来回顾一下第一类曲线积分的定义。
设曲线L为参数方程r(t)=(x(t),y(t))，其中a≤t≤b，f(x,y)为定义在曲线L上的标量场，则曲线L上f(x,y)的第一类曲线积分为：∫L f(x,y)ds = ∫b_a f(x(t),y(t))√[x'(t)²+y'(t)²]dt其中，ds表示曲线L上的弧长元素，x'(t)和y'(t)分别表示x(t)和y(t)对t 的导数。
接下来，我们来看第一类曲线积分在极坐标系下的形式。
在极坐标系下，曲线L可以表示为r(θ)=(r(θ)cosθ,r(θ)sinθ)，其中a≤θ≤b，r(θ)为极径函数。
此时，曲线L上f(x,y)的第一类曲线积分可以表示为：∫L f(x,y)ds = ∫b_a f(r(θ)cosθ,r(θ)sinθ)√[r'(θ)²+r(θ)²]dθ其中，ds表示曲线L上的弧长元素，r'(θ)表示r(θ)对θ的导数。
通过上述公式，我们可以看出，在极坐标系下，第一类曲线积分的计算方法与直角坐标系下有所不同。
在直角坐标系下，我们需要计算曲线L上的弧长元素ds，而在极坐标系下，我们需要计算曲线L上的弧度元素dθ。
此外，由于极坐标系下的曲线L是由极径函数r(θ)和极角θ共同确定的，因此在计算曲线积分时，我们需要将f(x,y)表示为f(r(θ)cosθ,r(θ)sinθ)的形式。
总之，第一类曲线积分是微积分中的一个重要概念，它描述了沿着曲线的标量场积分。
在极坐标系下，第一类曲线积分的计算方法也有其独特的形式，需要注意弧度元素dθ的计算和将f(x,y)表示为f(r(θ)cosθ,r(θ)sinθ)的形式。
高数9-1(第一型曲线积分)
(3) L : r r( ),
L f ( x, y)ds
f [r ) cos, r( )sin ]
r2 ( ) r2 ( )d
推广 : x (t), y (t), z (t) ( t )
f ( x, y, z)ds
f [(t), (t),(t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt ( )
2 f ( x, y)ds,当f ( x, y) 是L上关于x (或y)的偶函数 L1
L1是曲线L落在y (或x)轴一侧的部分.
运用对称性简化对弧长的曲线积分 计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x, y)与积 分曲线L的对称性.
6/19
例 计算 ( x y3 )ds. 其中L是圆周 x2 y2 R2. L
(对路径具有可加性)
4/19
5．性质
(1) [ f ( x, y, z) g( x, y, z)]ds
f ( x, y, z)ds g( x, y, z)ds
(2) kf ( x, y, z)ds k f ( x, y, z)ds (k为常数)
(3) 与积分路径的方向无关, 即
(
⌒ f
f ( x, y)ds
b
f [ x, ( x)]
1 2( x)dx (a b)
L
a
ds 1 2( x)dx
(2) L : x ( y), c y d
f ( x, y)ds
d
f [( y), y]
1 2( y)dy (c d )
L
c
ds 1 2( y)dy
10/19
解 对称性,得
y x2 y2 R2
( x y3 )ds xds y3ds 0
L
曲线曲面积分公式(一)
曲线曲面积分公式(一)曲线曲面积分公式本文将介绍曲线曲面积分的相关公式，并通过举例进行解释说明。
一、曲线积分公式1. 第一型曲线积分第一型曲线积分表示对曲线上的函数在曲线长度方向上的积分，其公式为：(_C f(x, y, z) ds)其中，(C)为曲线，(f(x, y, z))为曲线上的函数，(ds)表示曲线微元的长度。
举例：考虑计算曲线(C: x = t, y = t^2, z = t^3)上函数(f(x, y, z) = x^2 + y + z)的第一型曲线积分。
首先需要计算曲线的参数方程可微分区间([a, b])上的导数：( = 1)( = 2t)( = 3t^2)曲线微元的长度(ds)可以表示为：(ds = dt = dt)因此，对函数(f(x, y, z) = x^2 + y + z)进行第一型曲线积分的结果为：(_C (x^2 + y + z) ds = _a^b (t^2 + t^2 + t^3) dt)2. 第二型曲线积分第二型曲线积分表示对曲线上的矢量场在曲线长度方向上的积分，其公式为：(_C d)其中，(C)为曲线，()为矢量场，(d)表示曲线微元的矢量。
举例：考虑计算曲线(C: x = t, y = t^2, z = t^3)上的矢量场( =(2xy, 3x^2, z))的第二型曲线积分。
首先需要计算曲线的参数方程可微分区间([a, b])上的导数：( = 1)( = 2t)( = 3t^2)曲线微元的矢量(d)可以表示为：(d = (, , ) dt = (1, 2t, 3t^2) dt)因此，对矢量场( = (2xy, 3x^2, z))进行第二型曲线积分的结果为：(_C (2xy, 3x^2, z) (1, 2t, 3t^2) dt = _a^b (2t(t^2),3(t2)2, t^3) (1, 2t, 3t^2) dt)二、曲面积分公式1. 第一型曲面积分第一型曲面积分表示对曲面上的函数在曲面面积方向上的积分，其公式为：(_S f(x, y, z) dS)其中，(S)为曲面，(f(x, y, z))为曲面上的函数，(dS)表示曲面微元的面积。
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f ( x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为L f ( x, y)ds.
第一型曲线积分的计算
1．设 f ( x, y) 在曲线 L 上连续，L 的参数方程为 x x(t) ，
y y(t) ( t ) ，其中 x(t) ， y(t) 在[ , ]上有 连续的一阶导数，且 x2(t) y2(t) 0，则
L
x 2 y 2 1 到 B( 2 , 2 )处的一段劣弧. 22
解法 1 L ： x cost ， y sint ， t ，
42
y
被积函数 xe x 2 y 2 e cos t,
A
ds ( sint)2 (cost)2 dt dt,
o
x
B
xe
L
x2 y2 ds e
y x, ds 1 4x2 dx,
0 x 1
故 L yds OA AB B⌒O
1
0 dx
1
ydy
1
x
1 4x 2 dx
0
0
0
0 2 1 (5 5 1) 1 (5 5 7).
3 12
12
y
B
y x2 x1
o y0 A x
例2. 计算 xe x 2 y 2 ds, 其中L 是从 A( 0, 1 ) 沿圆周
分割 M1 ,M 2 , ,M n1 li ,
近似 ( i ,i )li ,
mi f ( i ,i )si .
求和
n
m f (i ,i )si .
i 1
y
A o
B
L Mn1
(i ,i ) Mi
M2
M1
M i 1
x
n
取极限
令 d max{si },
1in
m lim f ( i ,i )si .
ds 2 ( ) 2 ( )d ,
f ( x, y)ds f [( )cos, ( )sin] 2 ( ) 2 ( )d
L
4. 若空间光滑曲线 L的参数方程为
x x(t) ， y y(t) ， z z(t) ( t ) ，则
ds x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt ，
L[ f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds .
性质2 (可加性) 设 L1 与 L2 首尾相接成 L, 则有
L f ( x, y)ds L1 f ( x, y)ds L2 f ( x, y)ds ,
简记为 L f ( x, y)ds L1 L2 .
例 1．计算 yds ，其中 L 为抛物线 y x2 ，直线 L x1 及 x 轴所围成的曲边三角形的整个边界.
解：L
OA
AB
⌒
BO
y
B
OA :
y0 ,
y 0, ds dx,
0 x 1
y x2 x1
AB
y , ds dy,
0 y 1
y0 A x
⌒
BO :
y
x2
,
2
A
被积函数 xe x 2 y 2 e 1 y2 ,
o
x
B
xy
y ,
1 y2
ds
1
x
2 y
dy
dy , 1 y2
xe
x2 y2 ds e
1 2
L
2
1 y2
dy
(1
1 y2
2 )e. 2
例 3. 计 算 ( x 2 y 2 z 2 )ds , 其 中 L 为 球 面
L
x 2 y 2 z 2 9 与 平 面 x z 1 的 交 点. 2
d 0i1
2．第一型曲线积分的定义
设 L 为oxy 面上的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，
f ( x, y) 在 L 上有界.任取点列 M1 , M 2 , , M n1 ，把 L 分为 n 小 段 li (i 1, 2, , n) ，并以si 表示 li 的弧
n
长. 任取 (i ,i ) si ，作和式 f ( i ,i )si ，设
1
y2 ( x)dx.
若 L由 方 程 x x( y) (c y d ) 给 出, 则 取 y 为 参 数,
ds 1 x2 ( y)dy,
d
L f ( x, y)ds c
f [x( y), y]
1 x2 ( y)dy.
3．若 L由方程 ( ) ( ) 给出，则取 为参数，
f ( x, y, z)ds f [x(t), y(t), z(t)] x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt
L
注意：
（1）第一型曲线积分与曲线的方向无关，化为关于 参数的定积分计算时，上限必须大于下限.
（2）对 f ( x, y)ds 来说， f ( x, y) 是定义在 L 上的， L 被积函数中的 x，y 应满足 L 的方程，故可利 用 L 的方程化简被积函数.
2
cos tdt
(1
4
2 )e. 2
解法 2 L 的极坐标方程为 1 ， ，
42
被积函数 xe x 2 y 2 e cos ,
y A
ds 2 2 d d ,
o
x
B
xe
x2 y2 ds e
2
cos d (1
2 )e. 2
L
4
解法 3 L ： x 1 y2 ， 2 y1 ， y
（1）当 f ( x, y) 在光滑曲线 L 上连续时， f ( x, y)ds 存在. L
（2）将上述定义推广，可得空间曲线 L 上的第一型曲线
n
积分：
L
f
( x,
y, z)ds
lim
d 0i1
f
( i
,i
,
i
)si
.
第一型曲线积分的性质
性质1 (线性性质) 设 f , g 可积, 又, 为常数, 则有
解： L :
x 2
y2
z2
9 2
x z 1
( x
1)2 2
y2
2
4
z 1 x.
i 1
d max {si } ，如果当d 0时 ，和式的极限总存在，
1in
则称此极限为 f ( x, y) 在曲线弧 L 上的第一型曲线积分
或对弧长的曲线积分，记作 f ( x, y)ds ，即 L
被积函数
弧长元素
n
L
f (x, y)
ds lim f (i ,i )si
d 0i1
注：
积分弧
ds x2 (t) y2 (t)dt,
L f (x, y)ds
f [x(t), y(t)]
x2(t) y2 (t)dt.
2. 若 L由 方程 y y( x) (a x b) 给 出, 则 取 x 为 参数,
ds 1 y2 ( x)dx,
b
L f ( x, y)ds a f [ x, y( x)]