数学分析20.1第一型曲线积分(含习题及参考答案)
第二十章 曲线积分 1第一型曲线积分一、第一型曲线积分的定义引例：设某物体的密度函数f(P)是定义在Ω上的连续函数. 当Ω是直线段时，应用定积分就能计算得该物体的质量.当Ω是平面或空间中某一可求长度的曲线段时，可以对Ω作分割，把Ω分成n 个可求长度的小曲线段Ωi (i=1,2,…,n)，并在每一个Ωi 上任取一点P i . 由f(P)为Ω上的连续函数知，当Ωi 的弧长都很小时，每一小段Ωi 的质量可近似地等于f(P i )△Ωi , 其中△Ωi 为小曲线段Ωi 的长度. 于是在整个Ω上的质量就近似地等于和式i ni i P f ∆Ω∑=1)(.当对Ω有分割越来越细密(即d=i ni ∆Ω≤≤1max →0)时，上述和式的极限就是该物体的质量.定义1：设L 为平面上可求长度的曲线段，f(x,y)为定义在L 上的函数.对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段L i (i=1,2,…,n)，L i 的弧长记为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max ，在L i 上任取一点(ξi ,ηi ),( i=1,2,…,n). 若有极限i ni i i T s f ∆∑=→1),(lim ηξ=J ，且J 的值与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为f(x,y)在L 上的第一型曲线积分，记作：⎰L ds y x f ),(.注：若L 为空间可求长曲线段，f(x,y,z)为定义在L 上的函数，则可类似地定义f(x,y,z)在空间曲线L 上的第一型曲线积分⎰L ds z y x f ),,(.性质：1、若⎰L i ds y x f ),((i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰∑=L ki i ids y x f c1),(=∑⎰=ki Li i ds y x f c 1),(.2、若曲线L 由曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL ds y x f ),((i=1,2,…,k)都存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(=∑⎰=ki L i ids y x f 1),(.3、若⎰L ds y x f ),(与⎰L ds y x g ),(都存在，且f(x,y)≤g(x,y)，则⎰Lds y x f ),(≤⎰Lds y x g ),(.4、若⎰L ds y x f ),(存在，则⎰L ds y x f ),(也存在，且⎰L ds y x f ),(≤⎰L ds y x f ),(.5、若⎰L ds y x f ),(存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得⎰L ds y x f ),(=cs, 这里),(inf y x f L≤c ≤),(sup y x f L.6、第一型曲线积分的几何意义：(如图)若L 为平面Oxy 上分段光滑曲线，f(x,y)为定义在L 上非负连续函数. 由第一型曲面积分的定义，以L 为准线，母线平行于z 轴的柱面上截取0≤z ≤f(x,y)的部分面积就是⎰Lds y x f ),(.二、第一型曲线积分的计算 定理20.1：设有光滑曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，函数f(x,y)为定义在L上的连续函数，则⎰L ds y x f ),(=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 证：由弧长公式知，L 上由t=t i-1到t=t i 的弧长为△s i =⎰='+'ii t t dt t t 1)()(22ψϕ.由)()(22t t ψϕ'+'的连续性与积分中值定理，有△s i =)()(22i i τψτϕ''+''△t i (t i-1<i τ'<t=t i )，∴i ni i i s f ∆∑=1),(ηξ=i i i ni i i t f ∆''+''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ (t i-1<i τ',i τ''<t=t i ). 设σ=[]i i i i i n i i i t f ∆'''+'''-''+''''''∑=)()()()())(),((22221τψτϕτψτϕτψτϕ，则有in i iis f ∆∑=1),(ηξ=i i i ni iit f ∆'''+'''''''∑=)()())(),((221τψτϕτψτϕ+σ.令△t=max{△t 1,△t 2,…,△t n }，则当T →0时，必有△t →0. 又复合函数f(φ(t),ψ(t))关于t 连续，∴在[α,β]上有界，即 存在常数M ，使对一切t ∈[α,β]，都有|f(φ(t),ψ(t))|≤M. 再由)()(22t t ψϕ'+'在[α,β]上连续，从而在[α,β]上一致连续，即 ∀ε>0, ∃δ>0，使当△t<δ时有)()()()(2222i i i i τψτϕτψτϕ'''+'''-''+''<ε, 从而|σ|≤εM ∑=∆ni i t 1=εM(β-α)， 即σlim 0→∆t =0. 又由定积分的定义，得i i i ni i i t t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())(),((lim221τψτϕτψτϕ=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22. 故⎰Lds y x f ),(=in i iit s f ∆∑=→∆1),(limηξ=i i i ni iit t f ∆'''+'''''''∑=→∆)()())(),((lim 221τψτϕτψτϕ+0lim →∆t σ=⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22.注：1、若曲线L 由方程y=ψ(x), x ∈[a,b]表示，且ψ(x)在[a,b]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+ba dx x x x f )(1))(,(2ψψ.2、当曲线L 由方程x=φ(y), y ∈[c,d]表示，且φ(y)在[c,d]上有连续的导函数时，则有⎰L ds y x f ),(=⎰'+dc dy y y y f )(1)),((2ϕϕ. 3、对空间曲线积分⎰L ds z y x f ),,(，当曲线L 由参量方程x=φ(t),y=ψ(t),z=χ(t), t ∈[α,β]表示时，有⎰Lds z y x f ),,(=⎰'+'+'βαχψϕχψϕdt t t t t t t f )()()())(),(),((222. 4、由第一型曲线积分的定义，在Oxy 平面上，线密度为ρ(x,y)的曲线状物体对x,y 轴的转动惯量分别为：J x =⎰L ds y x y ),(2ρ和J x =⎰L ds y x x ),(2ρ.例1：设L 是半圆周⎩⎨⎧==t a y ta x sin cos , t ∈[0,π]，试计算第一型曲线积分⎰+Lds y x )(22.解：⎰+L ds y x )(22=⎰++π022222222cos sin )sin cos (dt t a t a t a t a =⎰π03dt a =a 3π.例2：设L 是y 2=4x 从O(0,0)到A(1,2)的一段，试求第一型曲线积分⎰L yds . 解：⎰L yds =⎰+20241dy yy =⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++202241412y d y =202324134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y =)122(34-.例3：计算⎰L ds x 2，其中L 为球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面x+y+z=0所截得的圆周.解：由对称性知，⎰L ds x 2=⎰L ds y 2=⎰L ds z 2，∴⎰L ds x 2=⎰++L ds z y x )(31222=⎰L ds a 32=33πa .例4：求线密度ρ(x,y)=21xy +的曲线段y=lnx, x ∈[1,2]对于y 轴的转动惯量.解：J x =⎰L ds y x x ),(2ρ=⎰+Lds x y x 221=⎰++21222111ln dx xx x x =⎰21ln xdx x =ln4-43.习题1、计算下列第一型曲线积分：(1)⎰+L ds y x )(, 其中L 是以O(0,0), A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形； (2)⎰+L ds y x 22, 其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；(3)⎰L xyds , 其中L 为椭圆22a x +22by =1在第一象限中的部分；(4)⎰L ds y ||, 其中L 为单位圆周x 2+y 2=1；(5)⎰++L ds z y x )(222, 其中L 为螺旋线x=acost, y=asint, z=bt(0≤t ≤2π)的一段；(6)⎰L xyzds , 其中L 是曲线x=t, y=3232t , z=21t 2(0≤t ≤1)的一段； (7)⎰+L ds z y 222, 其中L 为x 2+y 2+z 2=a 2与x=y 相交的圆周. 解：(1) ⎰+L ds y x )(=⎰+OA ds y x )(+⎰+AB ds y x )(+⎰+BO dsy x )( =⎰10xdx +⎰102dx +⎰10ydy =1+2.(2)右半圆的参数方程为：x=Rcos θ, y=Rsin θ, -2π≤θ≤2π. ∴⎰+L ds y x 22=⎰-222ππθd R =πR 2.(3)方法一：∵y=22x a a b-, y ’=22xa a bx -, ∴⎰L xyds =⎰-+-adx x a a x b x a x a b 02222222)(1=⎰--adx x b a a a b 0222242)(2=)(3)(22b a b ab a ab +++.方法二：L 的参数方程为：x=acos θ, y=bsin θ,0≤θ≤2π.∴⎰L xyds =⎰+202222cos sin sin cos πθθθθθd b a ab=⎰-++-2022222cos 2cos 2)(224πθθd a b b a ab =)(3)(22b a b ab a ab +++. (4)方法一：圆的参数方程为：x=cos θ, y=sin θ,0≤θ≤2π， ∴⎰L ds y ||=⎰πθθ0sin d -⎰ππθθ2sin d =4. 方法二：∵|y|=21x -, (|y|)’=21xx --,∴⎰L ds y ||=2⎰--+-11222111dx x x x=2⎰-11dx =4. (5)⎰++L ds z y x )(222=⎰++π2022222)(dt b a t b a =2232b a +π(3a 2+4π2b 2).(6)x ’=1, y ’=t 2, z ’=t,∴⎰L xyzds =⎰++⋅⋅102232121232dt t t t t t =⎰+129)1(32dt t t =143216. (7)依题意，L 的参数方程可表示为：x=y=2a cos θ, z=asin θ, 0≤θ≤2π，∴⎰+L ds z y 222=⎰πθ202d a =2a 2π.2、求曲线x=a, y=at, z=21at 2(0≤t ≤1, a>0)的质量，设线密度为ρ=az 2. 解：⎰L ds a z 2=⎰+10222dt t a a t =⎰+102212dt t a =)122(3-a.3、求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t ≤π)的质心，设其质量分布均匀.解：∵dx=dt t a t a 2222sin )cos 1(+-=2asin 2t dt ，m=2a ρ0⎰π02sin dt t=4a ρ0.∴质心坐标为x=⎰-πρ002sin 2)sin (1dt t a t t a m =⎰-π0)2sin sin 2sin (2dt t t t t a =34a;y=⎰-πρ002sin 2)cos 1(1dt t a t a m =34a .4、若曲线以极坐标ρ=ρ(θ) (θ1≤θ≤θ2)表示，试给出计算⎰L ds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线的积分： (1)⎰+L y x ds e22, 其中L 为曲线ρ=a (0≤θ≤4π)的一段； (2)⎰L xds , 其中L 为对数螺线ρ=ae k θ (k>0)在圆r=a 内的部分. 解：L 的参数方程为x=ρ(θ)cos θ, y=ρ(θ)sin θ, (θ1≤θ≤θ2)，ds=θθθd d dy d dx 22⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθρθρd )()(22'+，∴⎰L ds y x f ),(=⎰'+21)()()sin ,cos (22θθθθρθρθρθρd f .(1)⎰+L y x ds e22=⎰40πθd ae a =4πae a . (2)⎰L xds =a ⎰∞-+022222cos θθθθθd e k a e a e k k k=a 2⎰∞-+022cos 1θθθd ekk =1412222++k k ka .注：∵⎰∞-02cos θθθd e k =⎰∞-02cos 21θθk de k =⎰∞-∞-+202sin 21cos 21d e ke kk k θθθθ=θθk e d k k 202sin 4121⎰∞-+=⎰∞--022cos 4121θθθd e kk k ； ∴⎰∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛+022cos 411θθθd e k k =k 21，即⎰∞-02cos θθθd e k =1422+k k .5、证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L: x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]上连续，则存在点(x 0,y 0)∈L ，使得⎰L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L ，其中△L 为L 的弧长. 证：∵f 在光滑曲线L 上连续，∴⎰L ds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαdt t y t x t y t x f )()())(),((22.又f(x(t),y(t))与)()(22t y t x '+'在[α,β]上连续，由积分中值定理知， ∃t 0∈[α,β]，使⎰L ds y x f ),(=f(x(t 0),y(t 0))⎰'+'βαdt t y t x )()(22= f(x(t 0),y(t 0))△L. 令x 0=x(t 0), y 0=y(t 0), 则(x 0,y 0)∈L, 且⎰L ds y x f ),(=f(x 0,y 0)△L.。
第一型曲线积分
f ( x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为L f ( x, y)ds.
第一型曲线积分的计算
1．设 f ( x, y) 在曲线 L 上连续，L 的参数方程为 x x(t) ，
y y(t) ( t ) ，其中 x(t) ， y(t) 在[ , ]上有 连续的一阶导数，且 x2(t) y2(t) 0，则
L
x 2 y 2 1 到 B( 2 , 2 )处的一段劣弧. 22
解法 1 L ： x cost ， y sint ， t ，
42
y
被积函数 xe x 2 y 2 e cos t,
A
ds ( sint)2 (cost)2 dt dt,
o
x
B
xe
L
x2 y2 ds e
y x, ds 1 4x2 dx,
0 x 1
故 L yds OA AB B⌒O
1
0 dx
1
ydy
1
x
1 4x 2 dx
0
0
0
0 2 1 (5 5 1) 1 (5 5 7).
3 12
12
y
B
y x2 x1
o y0 A x
例2. 计算 xe x 2 y 2 ds, 其中L 是从 A( 0, 1 ) 沿圆周
分割 M1 ,M 2 , ,M n1 li ,
近似 ( i ,i )li ,
mi f ( i ,i )si .
求和
n
m f (i ,i )si .
i 1
y
A o
B
L Mn1
(i ,i ) Mi
M2
M1
M i 1
x
数学分析课件第一型曲线积分
详细描述
保守力场是指一种特殊的力场，其中存在一个势函数，使得力场沿任意路径的积分等于势函数在该路径起点和终 点的差值。这种力场的特点是，物体在其中运动时，其路径与起点无关，只与势函数有关。因此，保守力场与势 函数是描述物体在力场中运动的数学工具。
流量与流速场
速度场与线积分
总ห้องสมุดไป่ตู้词
速度场与线积分在物理中有着密切的联系，它们描述了物体 在空间中移动的规律。
详细描述
在物理中，速度场指的是物体在空间中移动的速度分布。线 积分则用于计算在给定路径上的速度场中，物体所经过的位 移量。因此，速度场与线积分共同描述了物体在空间中的运 动轨迹和规律。
保守力场与势函数
总结词
积分路径的无关性
曲线积分与路径无关的条 件
如果对于某个函数f(x,y)，有 ∮L[Pdx+Qdy]=0，则称曲线积分 ∫[a,b]Pdx+Qdy与路径无关。
证明方法
通过构造一个新的函数F(x,y)，并证明F(x,y) 满足偏微分方程组{∂F/∂y=Q, ∂F/∂x=-P}，
从而证明曲线积分与路径无关。
总结词
流量与流速场是描述流体运动的数学工具。
详细描述
流量是指单位时间内流过某一截面的流体量，而流速场则描述了流体在空间中的流动速度分布。在流 体力学中，流速场和流量是描述流体运动的两个重要参数，它们之间存在密切的联系和相互影响。通 过对流速场和流量的研究，可以深入了解流体运动的规律和特性。
05
第一型曲线积分的性质 与定理
如果曲线由参数方程$x=x(t), y=y(t)$表示，其中$t$是参数，则该 曲线称为参数曲线。
参数的选择
1.第一型曲线积分
存在
在区间 , ]中插入分点 [ t 0 t1 t i 1 t i t n , 并记t i t i t i 1 , 相应于这种对[ , ]的分割， 得到L的一种分割.设[t i 1 , t i ]对应的弧段为 M i 1 M i，其弧长为si ( i 1,2, n)，则由弧 长公式及积分中值定理 知
§1 第一型曲线积分(对 弧长的曲线积分)
一、第一型曲线积分的概念 二、第一型曲线积分的性质
三、第一型曲线积分的计算
本章讨论的两种积分是定积分与重积 分的推广，其差别仅仅在于：在这里 “积分域”分别是坐标系中的曲线段 （平面曲线或空间曲线）及有界曲面； 被积函数是定义在相应“积分域”上的 有界函数.
lim
0
i 1
n
2 ( i ) 2 ( i ) t i f [ ( i ) , ( i ) ]
注意上式右端是连续函 数 f ( ( t ), ( t )) 2 ( t ) 2 ( t ) 在区间上的特殊分割、 取点的积分和的 极限，而连续函数一定 是可积分的，故 此积分和的极限应是定 积分
于是有
重要说明
定积分的下限 一定要小于上限 . 因为小弧段的 长度 si 总是大于零, 从而要求t i 0.
两种特殊情形
1. L : y y( x ), a x b. L : x x, y y( x ), a x b.
b a
L
f ( x , y )ds f [ x , y( x )] 1 y 2 ( x )dx (a b).
L L L
(2)若积分弧段L 可分成两段光滑曲线弧 L1和 L2 ,
则
L f ( x, y)ds L
第一型曲线积分
L xyds
2 0
a cos t b sin t ( a sin t )2 (b cos t )2 dt
ab02 sin t cos t a 2 sin 2 t b 2 cos2 t dt
ab 02 (a 2 b 2 ) sin 2 t b 2 d (sin 2 t ) 2
( x ) 0.
L ( x y )ds
2 ( x 0 ) 1 0 dx 0
2
0 x dx
2
2.
(2) L： x ( y ) 2, 0 y 3.
( x ) 0.
L ( x y )ds
2 ( 2 y ) 1 0 dy 0
x2 y2
x2 y2
ds. 其中曲线 x 2 y 2 a 2 , 直
线 x 0, y x 在第一象限中所围的图 形边界。
解
Le
ds ds AB e
x2 y2
oA e
x2 y2
ds oB e
x2 y2
ds
oA : x 0, 0 y a .
I xyz ds
0 a 2 cos sin k ( a sin )2 (a cos )2 k 2 d
2 2 2 a k a k 2
2Байду номын сангаас
0 sin 2 d
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
例5
计算
Le
0
ab(a 2 ab b 2 ) . 3(a b )
y
例2
计算
L ( x y ) ds.
第一型曲线积分
Li
L
k
也存在，且 f ( x, y)ds
f ( x, y)ds
L
i 1 Li
3 保号性若L f ( x, y)ds与L g( x, y)ds都存在，
且在 L上 f ( x, y) g( x, y)，
则L f ( x, y)ds L g( x, y)ds
4 积分绝对值 若L f ( x, y)ds存在，则 L f ( x, y)ds也存在，且| L f ( x, y)ds | L f ( x, y)ds
2(t) 2(t) 2(t)dt;
例1. 计算L yds. 其中 L 为y2=2x自点(0, 0)到点(2, 2)
的一段弧. 解1:
y 2
y2=2x
ds
1
dy dxyds 2 2x 1 1 dx
L
0
2x
0
2x
2 2x＋1dx 1 (5 5 1)
0
3
解2： L : x y2 , 0≤y≤2 2
f ( (t ), (t ))关于t 连续， 则
M>0, 使得 f ( (t ), (t )) M .
又 2(t) 2(t)在[, ]上一致连续
。
即 0, 0,使当t<时有
2( ) 2( ) 2( ) 2( ) ,
从而
n
M ti M (b a) 0. i 1
由定积分的定义
5 平均值公式 若L f ( x, y) d存s在，L的弧长为s，
则存在常数c，使得L f ( x, y)ds cs。
其中inf f ( x, y) c sup f ( x, y)
L
L
二 第一型曲线积分的计算
定理 20.1
数学分析简明教程答案
第二十一章曲线积分与曲面积分§1 第一型曲线积分与曲面积分1.对照定积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质。
解：第一型曲线积分的性质:1（线性性）设⎰L ds z y x f ),,(,⎰L ds z y x g ),,(存在，21,k k 是实常数，则[]ds z y x g k z y x f kL ⎰+),,(),,(21存在，且[]ds z y x g k z y x f k L⎰+),,(),,(21⎰⎰+=LLds z y x g kds z y x f k ),,(),,(21;2l ds L=⎰1,其中l 为曲线L 的长度;3(可加性)设L 由1L 与2L 衔接而成，且1L 与2L 只有一个公共点，则⎰Lds z y x f ),,(存在⇔⎰1),,(Lds z y x f 与⎰2),,(L ds z y x f 均存在，且=⎰Lds z y x f ),,(⎰1),,(L ds z y x f +⎰2),,(L ds z y x f ;4(单调性)若⎰L ds z y x f ),,(与⎰L ds z y x g ),,(均存在，且在L 上的每一点p 都有),()(p g p f ≤则⎰⎰≤L L ds p g ds p f )()(;5若⎰L ds p f )(存在，则⎰L ds p f )(亦存在，且≤⎰ds p f L)(⎰Ldsp f )(6（中值定理）设L 是光滑曲线，)(p f 在L 上连续，则存在L p ∈0，使得l p f ds p f L)()(0=⎰,l 是L 的长度;第一型曲面积分的性质: 设S 是光滑曲面，⎰⎰S ds p f )(,⎰⎰S ds p g )(均存在，则有1（线性性）设21,k k 是实常数，则[]⎰⎰+Sds p g k p f k)()(21存在, 且[]⎰⎰+Sds p g k p f k )()(21⎰⎰⎰⎰+=SSds p g k ds p f k )()(21;2s ds S=⎰1, 其中s 为S 的面积;3(可加性)若S 由1S ,2S 组成21S S S =，且1S ,2S 除边界外不相交，则⎰⎰Sds p f )(存在⇔⎰⎰1)(S ds p f 与⎰⎰2)(S ds p f 均存在，且⎰⎰Sds p f )(=⎰⎰1)(S ds p f +⎰⎰2)(S ds p f4 (单调性)若在S 上的的每一点p 均有),()(p g p f ≤则⎰⎰⎰⎰≤SSds p g ds p f )()(;5⎰⎰S ds p f )(也存在，且≤⎰⎰Sdsp f )(⎰⎰Sds p f )(;6 （中值定理）若)(p f 在S 上连续，则存在S p ∈0,使得使得s p f ds p f S⎰⎰=)()(0，其中s 为S 的面积。
曲线积分第一型曲线积分
y b
(t)asit,n(t)bcot.s
0
t
2
.
o ax
Lxyds 0 2 a cto b ss ti( n a sti)2 n (b cto )2 dst
a0 2 b sticn to a 2 s2 it n b 2 c2 o tdst
ab 2(a 2 b 2 )s2 itn b 2d (s2ti)n
解
2
I a2co2sa2si2nk22
0
• (asin)2(acos)2k2d
2(a2k2 2)a2k2d 0
2 a2k2(3a242k2).
3
曲线积分第一型曲线积分
例7 求I x2ds, 其中 为圆周 x2 y2 z2 a2, x yz 0.
解 由对称性, 知 x2d s y2d sz2d.s
AB
4 2 e( a cto ) 2 ( a s sti ) 2 n ( a ct) o 2 ( a s sti ) 2 n dt 曲线积分第一型曲线积分
A :x B a ct,o y s a st, in 4 t 2 .
x a sti,n y a cto . s
e x2y2ds
的扇形的整个边界轴在第一象限内所围成直线为圆周其中oa变到bo变到都化成定积分解之cd的对称式方程直线其参数方程07期中考ccdbcab则有空间曲线的质心密度的均匀圆弧中心角为求半径为dsds其中计算是垂直直线时是水平直线时课堂练习p2143条件定理如图方向逆时针内作小圆周cossin是奇点内不连续曲线l上的积分可以化成同方向的小圆周abboboab为在抛物线其中积分利用格林公式计算曲线p21453题解法一如图所围区域为使之封闭boabdxdy由于dybaob为在抛物线其中积分利用格林公式计算曲线p21453题解法二面上连续在xoy面上曲线积分与路径无xoy的折线到点到点改成从点p21454题的解法与此题类似
数学分析第二十一章课件曲线积分与曲面积分
k f(x ,y ,z )d s k f(x ,y ,z )d s
» A B
» A B
(4) f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z ) d s
» A B
» A C
C » B
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例1
设L 是椭圆
x2 a2
y b
2
在2 第1 一象限部分，
f( x ,y ,z ) d s f( x ,y ,z x ,y )1 z x 2 x ,y z 2 y x ,y d x d y
S
D x y
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当 S : x x ( u , v ) ,y y ( u , v ) , z z ( u , v ) , ( u , v ) D 时
第二十一章 曲线积分与曲面积分
2020/6/1
i §1. 第一型曲线积分与曲面积分
背景：前面，求几何体的质量 1.第一型曲线曲、面积分
我们的问题是,设有空间的曲线段L，其上每点有线性密度, 如何
求其质量为简单起见,设空间曲线段L是可以求长的,其端点为A,B又设
密度函数f (x, y, z) 在曲线L上连续,我们来求这曲线段L的质量.
说明 1）公式的记忆：“代进去”
2）S的方程为xxy,z,y,zDyz或 y yz,x, z,xDzx 时公式如何
3）当 f(x,y,z)1时，为曲面S的面积公式
4)当光滑曲面S由参数方程：x x u ,v ,y y (u ,v ),z (u ,v ),u,vD
时面积元素 ds EGF2dudv 这时
f( x ,y ,z ) d s f( x ( u ,v ) ,y u ,v ,z u ,v )E G F 2 d u d v
数学分析22.1第一型曲面积分(含习题及参考答案)
第二十二章 曲面积分 1 第一型曲面积分一、第一型曲面积分的概念定义1：设S 是空间中可求面积的曲面，f(x,y,z)为定义在S 上的函数，对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块S i (i=1,2,…,n)， 以△S i 记小曲面块S i 的面积，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}，在S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)，若极限i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ存在， 且与分割T 及(ξi ,ηi ,ζi ) (i=1,2,…,n)的取法无关，则称此极限为f(x,y,z)在S 上的第一型曲面积分，记作⎰⎰SdS z y x f ),,(.性质：1、存在性：若f(x,y,z)在光滑曲面S 上连续，则第一型曲面积分存在.2、可加性：若曲面S 由互不相交的曲面S 1,S 2,…,S k 组成，且⎰⎰iS dS z y x f ),,((i=1,2,…,k)都存在，则⎰⎰SdS z y x f ),,(也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(=∑⎰⎰=ki S idS z y x f 1),,(.3、线性：若⎰⎰Si dS z y x f ),,( (i=1,2,…,k)存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则⎰⎰∑=S k i ii dS z y x f c 1),,(=∑⎰⎰=ki SiidS z y x f c 1),,(.4、若⎰⎰SdS z y x f ),,(与⎰⎰SdS z y x g ),,(都存在，且f(x,y,z)≤g(x,y,z)，则⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x g ),,(.5、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，则⎰⎰SdS z y x f |),,(|也存在，且⎰⎰SdS z y x f ),,(≤⎰⎰SdS z y x f |),,(|.6、若⎰⎰SdS z y x f ),,(存在，S 的表面积为s ，则存在常数c ，使得⎰⎰SdS z y x f ),,(=cs, 这里),,(infz y x f S≤c ≤),,(sup z y x f S.注：当f(x,y,z)=1时, 曲面积分⎰⎰SdS 就是曲面块S 的面积.二、第一型曲面积分的计算定理22.1：设光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D ，函数f(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(. 证：由定义知⎰⎰SdS z y x f ),,(=i ni i i i T S f ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 其中 △S i =⎰⎰∆++iD y x dxdy z z 221=i i i y i i xD z z ∆++),(),(122ηξηξ. ∴⎰⎰SdS z y x f ),,(=i i i y i i x ni i i i i T D z z z f ∆++∑=→),(),(1)),(,,(lim 221ηξηξηξηξ =⎰⎰++Dy x dxdy z z y x z y x f 221)),(,,(.例1：计算⎰⎰SzdS，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=a 2被平面z=h(0<h<a)所截的顶部.解：曲面S 的方程为z=222y x a --, 定义域为圆域x 2+y 2≤a 2-h 2.∵221yxz z ++=222222221y x a y y x a x --+--+=222yx a a--,∴⎰⎰Sz dS =⎰⎰--⋅--D dxdy y x a ay x a 2222221=⎰⎰--D dxdy y x a a 222=⎰⎰--2202220h a rdr ra a d πθ=2a πln h a.例2：计算⎰⎰++SdS z y x )(222, 其中(1)S ：x 2+y 2+z 2=a 2；(2)S ：x 2+y 2+z 2=2az.解：(1)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SdS a 2= a 2·4πa 2=4πa 4.(2)⎰⎰++SdS z y x )(222=⎰⎰SazdS 2=⎰⎰12S azdS +⎰⎰22S azdS ，其中S 1=z 1=a+)222y x a --, (x,y)∈D; S 2=z 2=a-222y x a --, (x,y)∈D.∵21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =22221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =222yx a a --, ∴⎰⎰12S azdS =⎰⎰----+Ddxdy y x a a y x a a a 222222)(2,⎰⎰22S azdS =⎰⎰-----Ddxdy yx a ay x a a a 222222)(2,∴⎰⎰++SdS z y x )(222=4⎰⎰--Ddxdy y x a a 2223=4a3⎰⎰-ar a rdr d 02220πθ=8πa 4.注：在由参量形式表示的光滑曲面S ：⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D上的第一型曲面积分的计算公式为：⎰⎰SdS z y x f ),,(=⎰⎰-Ddudv F EG v u z v u y v u x f 2)),,(),,(),,((, 其中E=x u 2+y u 2+z u 2, F=x u x v +y u y v +z u z v , G=x v 2+y v 2+z v 2, 且雅可比行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂中至少有一个不等于0.例3：计算⎰⎰SzdS ,其中S 为螺旋面的一部分.⎪⎩⎪⎨⎧===vz v u y vu x sin cos , (u,v)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤π200v a u . 解：E=x u 2+y u 2+z u 2=cos 2v+sin 2v=1; G=x v 2+y v 2+z v 2=u 2sin 2v+u 2cos 2v+1=u 2+1; F=x u x v +y u y v +z u z v =-usinvcosv+ucosvsinv=0；∴⎰⎰SzdS =⎰⎰+Ddudv u v 12=dv v du u a⎰⎰+π20021=2π2[])1ln(122++++a a a a .习题1、计算下列第一型曲面积分：(1)⎰⎰++SdS z y x )(，其中S 为上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0；(2)⎰⎰+SdS y x )(22，其中S 为立体22y x +≤z ≤1的边界曲面；(3)⎰⎰+Syx dS 22，其中S 为柱面x 2+y 2=R 2被平面z=0, z=H 所截取的部分； (4)⎰⎰SxyzdS ，其中S 为平面x+y+z=1在第一卦限中的部分.解：(1)∵z=222yx a --, z x 2=22z x , z y 2=22z y , ∴221y x z z ++=222zx a a --. 又D={(x,y)|x 2+y 2≤a 2}. ∴⎰⎰++SdS z y x )(=()⎰⎰----++Ddxdyz x a y x a y x a 222222 =a ⎰⎰+-+πθθθ20220)1sin cos (rd r a r r dr a=2πa ⎰ardr 0=πa 3.(2)S=S 1+S 2, 其中S 1：z 1=22y x +, S 2：z 2=1.∵21⎪⎭⎫⎝⎛∂∂x z =222y x x +; 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y z =222y x y +; ∴21211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =2. 又22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =1, D={(x,y)|x 2+y 2≤1}； ∴⎰⎰+1)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(222=⎰⎰103202dr r d πθ=22π; ⎰⎰+2)(22S dS y x =⎰⎰+Ddxdy y x )(22=⎰⎰1320dr r d πθ=2π; ∴⎰⎰+SdS y x )(22=⎰⎰+1)(22S dS y x +⎰⎰+2)(22S dS y x =)12(2+π.(3)⎰⎰+Sy x dS 22=⎰⎰SdS R 21=21R ·2πRH=RH π2. (4)z=1-x-y, z x =-1, z y =-1, ∴221y x z z ++=3.又D={(x,y)|x+y ≤1,0≤x ≤1}, ∴⎰⎰SxyzdS =⎰⎰--Ddxdy y x xy )1(3=⎰⎰---xdyy x xy dx 1010)1(3=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-10432612121613dx x x x x =1203.2、求均匀曲面：x 2+y 2+z 2=a 2, x ≥0,y ≥0,z ≥0的质心. 解：∵z=222yx a --, z x 2=2222y x a x --, z x 2=2222yx a y --,∴221y x z z ++=222y x a a--, 又曲面面积为21πa 2,D 为四分之一圆域x 2+y 2≤a 2在第一象限部分.∴x =⎰⎰SxdS a22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222cos 2θθππ=⎰20cos 2πθθd a =2a ；y =⎰⎰SydS a 22π=dr r a ar d a a⎰⎰-022222sin 2θθππ=⎰20sin 2πθθd a =2a；z =⎰⎰SzdS a22π=dr ar d a a⎰⎰222πθπ=2a . ∴曲面的质心为(2a ,2a ,2a ).3、求密度为ρ的均匀球面x 2+y 2+z 2=a 2 (z ≥0)对于z 轴的转动惯量. 解：J z =⎰⎰SdS z ρ2=ρdr r a ar d a⎰⎰-02220πθ=34πa 4ρ.4、计算.⎰⎰SdS z2, 其中S 为圆锥表面的一部分S ：⎪⎩⎪⎨⎧===θθϕθϕcos sin sin sin cos r z r y r x , (r,φ)∈D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤πϕ200a r ,θ为常数(0<θ<2π). 解：E=x r 2+y r 2+z r 2=cos 2φsin 2θ+sin 2φsin 2θ+cos 2θ=1; G=x φ2+y φ2+z φ2=r 2sin 2φsin 2θ+r 2cos 2φsin 2θ=r 2sin 2θ; F=x r x φ+y r y φ +z r z φ=-rsin φcos φsin θ+rsin φcos φsin θ=0； ∴⎰⎰S dS z 2=⎰⎰⋅Ddrd r r ϕθθsin cos 22=sin θcos 2θdr r d a⎰⎰0320πϕ=24a πsin θcos 2θ.。
数学分析20曲线积分总练习题(含参考答案)
第二十章 曲线积分总练习题1、计算下列曲线积分：(1)⎰L yds , 其中L 是由y 2=x 和x+y=2所围的闭曲线； (2)⎰L ds y , 其中L 为双纽线(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2)；(3)⎰L zds , 其中L 为圆锥螺线x=tcost, y=tsint, z=t ，t ∈[0,t 0]；(4)ydx x dy xy L 22-⎰, 其中L 为以a 为半径，圆心在原点的右半圆周从最上面一点A 到最下面一点B ； (5)⎰--Lyx dxdy , 其中L 是抛物线y=x 2-4, 从A(0,-4)到B(2,0)的一段； (6)dz x dy z dx y L 222++⎰,L 是维维安尼曲线x 2+y 2+z 2=a 2, x 2+y 2=ax (z ≥0,a>0),若从x 轴正向看去，L 是沿逆时针方向进行的.解：(1)解方程组⎩⎨⎧=+=22y x x y ，得⎩⎨⎧-==24y x ，⎩⎨⎧==11y x .∴曲线L 抛物线段为x=y 2, y ∈[-2,1], ds=241y +dy; 直线段为x=2-y, y ∈[-2,1], ds=2dy; ∴⎰L yds =dy y y ⎰-+12241+dy y ⎰-122=1232)41(121-+y +12222-y=223)171755(121-- (2)双纽线的极坐标方程为：r 2=a 2cos2θ, θ∈[-4π,4π]∪[43π,45π], ∴ds=θd r r 22'+=θθd ra r 22422sin +=θd r a 2，由被积函数与L 的对称性， 有⎰Lds y =4θθπd r a r ⎰402sin =4a 2θθπd ⎰40sin =4a 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-221.(3)ds=dt z y x 222'+'+'=dt t 22+. ∴⎰L zds =dt t t t 2200+⎰=[]22)2(3120-+t.(4)L: x=acost, y=asint, -2π≤t ≤2π.∴ydx x dy xy L 22-⎰=dt t t a ⎰-22224sin cos 2ππ=)4()4cos 1(16224t d t a⎰--ππ=44πa -.(5)⎰--L y x dx dy =dx x x x ⎰+--202412=-)4(412202----⎰x x d x x =-ln|x 2-x-4|2=ln2.(6)设x=asin 2t, 则维维安尼曲线的参量方程为：x=asin 2t, y=asintcost, z=acost, 当t 从2π减少到-2π时，就是曲线的方向， ∴dz x dy z dx y L 222++⎰=a3dt t t t t t t )sin cos sin cos cos sin 2(52222433--+⎰-ππ= a 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰--dt t t dt t 2222222cos sin 2cos ππππ= a 3⎪⎭⎫ ⎝⎛+-42ππ=4π-a 3.2、设f(x,y)为连续函数，试就如下曲线： (1)L:连接A(a,a), C(b,a)的直线段；(2)L:连接A(a,a), C(b,a), B(b,b)三点的三角形(逆时针方向)， 计算下列曲线积分：⎰L ds y x f ),(, ⎰Ldx y x f ),(,⎰Ldy y x f ),(.解：(1)⎰L ds y x f ),(=dx a x f ba ⎰),(; ⎰Ldx y x f ),(=dx a x f b a⎰),(;⎰Ldy y x f ),(=0.(2)∵⎰L =⎰AC +⎰CB +⎰BA ,∴⎰L ds y x f ),(=dx a x f ba ⎰),(+dy yb f ba ⎰),(+dt t t f ba 2),(⎰;⎰Ldx y x f ),(=dx a x f b a⎰),(+0+dt t t f ba⎰),(;⎰Ldy y x f ),(=0+dy y b f b a⎰),(+dt t t f ba⎰),(.3、设f(x,y)为定义在平面曲线弧段⌒AB上的非负连续函数，且在⌒AB上恒大于0.(1)试证明⎰⋂ABdsyxf),(>0；(2)在相同条件下，第二型曲线积分⎰⋂ABdxyxf),(>0是否成立？为什么？(1)证：∵存在点(x0,y0)∈⌒AB，使得⎰L dsyxf),(=f(x0,y0)△L，△L为⌒AB的弧长. 又f(x,y)在⌒AB上恒大于0，即f(x0,y0)>0，∴⎰⋂ABdsyxf),(>0.(2)解：不一定成立，如取⌒AB为从A(0,0)到B(0,1)的直线段，取f(x,y)=0,则⎰⋂ABdxyxf),(=0.。