黑龙江省双鸭山市第三十一中学2024学年高三下学期大联考数学试题

黑龙江省双鸭山市第三十一中学2024学年高三下学期大联考数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25 B ．2 C ．72 D ．32．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离3．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(0,3) C ．(0,2) D ．(0,1)4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,105．设函数22sin ()1x x f x x =+，则()y f x =，[],x ππ∈-的大致图象大致是的( ) A ． B ．C ．D ．6．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ）A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．(0,)e7．ABC ∆中，25BC =，D 为BC 的中点，4BAD π∠=，1AD =，则AC =（ ） A ．25B ．22C ．65-D ．2 8．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PF PA的最小值为（ ） A ．12 B ．22 C ．32 D ．2239．执行如图所示的程序框图，若输出的值为8，则框图中①处可以填（ ）．A ．7?S ≥B ．21?S ≥C ．28?S ≥D ．36?S ≥10．如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ）A ．12B ．122C 162D ．16311．设集合1,2,6,2,2,4,26{}{}{|}A B C x R x ==-=∈-<<，则()A B C = ( )A ．{}2B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{|15}x x ∈-≤≤R 12．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,2 D ．()2,e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．4()(2)x y x y -+的展开式中，32x y 的系数为____________.14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，满足22(sin )40a a B B -++=，b =则ABC ∆的面积为__．15．已知复数z 1＝1﹣2i ，z 2＝a +2i （其中i 是虚数单位，a ∈R ），若z 1•z 2是纯虚数，则a 的值为_____．16．已知函数()eln 2x f x x =，()22x g x x m=-，若函数()()()h x g f x m =+有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，则()()()1232f x f x f x ++的取值范围是_________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）传染病的流行必须具备的三个基本环节是：传染源、传播途径和人群易感性.三个环节必须同时存在，方能构成传染病流行.呼吸道飞沫和密切接触传播是新冠状病毒的主要传播途径，为了有效防控新冠状病毒的流行，人们出行都应该佩戴口罩.某地区已经出现了新冠状病毒的感染病人，为了掌握该地区居民的防控意识和防控情况，用分层抽样的方法从全体居民中抽出一个容量为100的样本，统计样本中每个人出行是否会佩戴口罩的情况，得到下面列联表：（1）能否有99.9%的把握认为是否会佩戴口罩出行的行为与年龄有关？（2）用样本估计总体，若从该地区出行不戴口罩的居民中随机抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++18．（12分）某大学开学期间，该大学附近一家快餐店招聘外卖骑手，该快餐店提供了两种日工资结算方案：方案()a 规定每日底薪100元，外卖业务每完成一单提成2元；方案()b 规定每日底薪150元，外卖业务的前54单没有提成，从第55单开始，每完成一单提成5元.该快餐店记录了每天骑手的人均业务量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[)[)[)[)[)[)[]2535354545555565657575858595，，，，，，，，，，，，，七组，整理得到如图所示的频率分布直方图.（1）随机选取一天，估计这一天该快餐店的骑手的人均日外卖业务量不少于65单的概率；（2）从以往统计数据看，新聘骑手选择日工资方案()a 的概率为13，选择方案()b 的概率为23.若甲、乙、丙、丁四名骑手分别到该快餐店应聘，四人选择日工资方案相互独立，求至少有两名骑手选择方案()a 的概率，（3）若仅从人日均收入的角度考虑，请你为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由.（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）19．（12分）在直角坐标系xOy 中，长为3的线段的两端点A B 、分别在x 轴、y 轴上滑动，点P 为线段AB 上的点，且满足||2||AP PB =.记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）若点M N 、为曲线E 上的两个动点，记OM ON m ⋅=，判断是否存在常数m 使得点O 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出常数m 的值和这个定值；若不存在，请说明理由.20．（12分）如图，空间几何体ABCDE 中，ACD 是边长为2的等边三角形，6EB EC ==，23BC =，90ACB ∠=︒，平面ACD ⊥平面ABC ，且平面EBC ⊥平面ABC ，H 为AB 中点.（1）证明：DH //平面BCE ；（2）求二面角E AB C --平面角的余弦值.21．（12分）已知椭圆22: 14x W y +=的右焦点为F ,过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆W 交于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点.（1）证明:点M 在y 轴的右侧;（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别相交于点,C D .若ODC △与CMF 的面积相等,求直线l 的斜率k22．（10分）在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为1x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin （θ+3π）. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求△MON 的面积.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B【解题分析】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，与y 轴交于点N ，由2FA AS =和抛物线的定义可求得TS ，利用抛物线的性质1122AF BF p+=可构造方程求得BF ，进而求得结果. 【题目详解】过点A 作准线的垂线，垂足为M ，AM 与y 轴交于点N ，由抛物线解析式知：(),0F p ，准线方程为x p =-. 2FA AS =，13SA SF ∴=，133p AN OF ∴==，43AM p ∴=， 由抛物线定义知：43AF AM p ==，1223AS AF p ∴==，2SF p ∴=， 2TS SF p ∴==.由抛物线性质11212AF BF p p +==得：3114p BF p+=，解得：4BF p =， 422FB p TS p∴==. 故选：B .【题目点拨】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.2．B【解题分析】化简圆到直线的距离 ，又两圆相交. 选B 3．D【解题分析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围.【题目详解】 由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111*********n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<-⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D.【题目点拨】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.4．C【解题分析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足0+=i j a a 的i 的取值集合.【题目详解】设公差为d ，由题知43a =-⇒133a d +=-， 1224S =⇒1121112242a d ⨯+=， 解得19a =-，2d =， 所以数列为9,7,5,3,1,1,3,5,7,9,11,-----，故{}1,2,3,4,5i ∈.故选：C.【题目点拨】 本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.5．B【解题分析】采用排除法：通过判断函数的奇偶性排除选项A ；通过判断特殊点(),2f f ππ⎛⎫⎪⎝⎭的函数值符号排除选项D 和选项C 即可求解.【题目详解】对于选项A:由题意知,函数()f x 的定义域为R ，其关于原点对称，因为()()()()()2222sin sin 11x x x x f x f x x x ---==-=-+-+, 所以函数()f x 为奇函数,其图象关于原点对称，故选A 排除； 对于选项D:因为2222sin 2202412f ππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭==> ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭,故选项D 排除; 对于选项C:因为()()22sin 01f ππππ==+,故选项C 排除; 故选:B【题目点拨】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点函数值符号判断函数图象;考查运算求解能力和逻辑推理能力;选取合适的特殊点并判断其函数值符号是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.6．D【解题分析】由题可知，可转化为曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点，可转化为方程2ln ax x -=有两解，构造函数2ln ()x h x x+=，利用导数研究函数单调性，分析即得解 【题目详解】函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在ln y x =上， 即曲线()2g x ax =-与ln y x =有两个公共点，即方程2ln ax x -=有两解， 即2ln x a x+=有两解， 令2ln ()x h x x+=， 则21ln ()x h x x--'=， 则当10x e <<时，()0h x '>；当1x e >时，()0h x '<， 故1x e =时()h x 取得极大值1h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，也即为最大值， 当0x →时，()h x →-∞；当x →+∞时，()0h x →，所以0a e <<满足条件．故选：D【题目点拨】本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题. 7．D【解题分析】在ABD ∆中，由正弦定理得sin 10B =；进而得cos cos 45ADC B π⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭，在ADC ∆中，由余弦定理可得AC .【题目详解】在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin 4AD BD B π=，得sin B =BD AD >，所以B为锐角，所以cos B =cos cos 45ADC B π⎛⎫∴∠=+= ⎪⎝⎭， 在ADC ∆中，由余弦定理可得2222cos 4AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=，2AC ∴=.故选：D【题目点拨】本题主要考查了正余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力.8．B【解题分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值．【题目详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -， 过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩， 解得：2222(24)0k x k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±，所以45NPA ∠=︒， ||2cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【题目点拨】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题． 9．C【解题分析】根据程序框图写出几次循环的结果，直到输出结果是8时.【题目详解】第一次循环：0,1S i ==第二次循环：1,2S i ==第三次循环：3,3S i ==第四次循环：6,4S i ==第五次循环：10,5S i ==第六次循环：15,6S i ==第七次循环：21,7S i ==第八次循环：28,8S i ==所以框图中①处填28?S ≥时，满足输出的值为8.故选：C【题目点拨】此题考查算法程序框图，根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决，属于简单题目.10．C【解题分析】过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，易知CE BD ⊥，PE CE =，从而可证BD ⊥平面PCE ，进而可知1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=，当PCE S 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，可得EF PC ⊥，再由2112PCE S PC EF PE =⋅=-，求出PE 的最大值即可. 【题目详解】在BPD △和BCD 中，PB BC PD CD BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以BPD BCD ≌，则PBD CBD ∠=∠，过P 作PE BD ⊥于E ，连接CE ，显然BPE BCE ≌，则CE BD ⊥，且PE CE =，又因为PE CE E =，所以BD ⊥平面PCE ，所以1833P BCD B PCE D PCE PCE PCE V V V S BD S ---=+=⋅=， 当PCE S 最大时，P BCD V -取得最大值，取PC 的中点F ，则EF PC ⊥，所以2112PCE S PC EF PE =⋅=-， 因为10,8PB PD BD +==，所以点P 在以,B D 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，焦距长为8， 所以PE 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故PE 最大值为22543-=，所以PCE S ∆最大值为22，故P BCD V -的最大值为8223⨯1623=. 故选：C.【题目点拨】本题考查三棱锥体积的最大值，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.11．B【解题分析】直接进行集合的并集、交集的运算即可．【题目详解】解：{}2,1,2,4,6A B ⋃=-；∴(){}1,2,4A B C ⋃⋂=．故选：B ．【题目点拨】本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.12．A【解题分析】试题分析：由题意得()ln 120f x x ax =+-='有两个不相等的实数根，所以()120f x a x -'=='必有解，则0a >，且102f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭'，∴102a <<． 考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f′（x ）―→求方程f′（x ）＝0的根―→列表检验f′（x ）在f′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。