高中数学 双曲线范例例题
专题10双曲线问题(解答题)
专题10双曲线问题（解答题）一、解答题1．已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()-．(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =． (1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.3．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b -=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M -的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=u u u r u u u u r ，求b 的取值范围． 4．已知动点P 与定点(),0A m 的距离和P 到定直线2n x m=的距离的比为常数m n ．其中0,0m n >>，且m n ≠，记点P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程，并说明轨迹的形状；(2)设点(),0B m -，若曲线C 上两动点,M N 均在x 轴上方，AM BN P ，且AN 与BM 相交于点Q ．①当4m n ==时，求证：11AM BN+的值及ABQ V 的周长均为定值；②当m n >时，记ABQ V 的面积为S ，其内切圆半径为r ，试探究是否存在常数λ，使得S r λ=恒成立？若存在，求λ（用,m n 表示）；若不存在，请说明理由．5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10． (1)求C 的方程；(2)已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．6．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，右焦点为). (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线2y x =+与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，求AB . 7．已知双曲线E ：2214x y -=与直线l ：3y kx =-相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点． (1)当k 变化时，求点M 的轨迹方程；(2)若l 与双曲线E 的两条渐近线分别相交于C 、D 两点，问：是否存在实数k ，使得A 、B 是线段CD 的两个三等分点？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．8．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）实轴端点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，右焦点为F ，离心率为2，过1A 点且斜率1的直线l 与双曲线C 交于另一点B ，已知1A BF △的面积为92． (1)求双曲线的方程；(2)若过F 的直线l '与双曲线C 交于M ，N 两点，试探究直线1A M 与直线2A N 的交点Q 是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．9．过点()4,2的动直线l 与双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>交于,M N 两点，当l 与x 轴平行时，MN =l 与y 轴平行时，MN =(1)求双曲线E 的标准方程；(2)点P 是直线1y x =+上一定点，设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，若12k k 为定值，求点P 的坐标．10．已知双曲线E ：22221x y a b-=的左右焦点为1F ，2F ，其右准线为l ，点2F 到直线l 的距离为32，过点2F 的动直线交双曲线E 于A ，B 两点，当直线AB 与x 轴垂直时，6AB =． (1)求双曲线E 的标准方程；(2)设直线1AF 与直线l 的交点为P ，证明：直线PB 过定点．11．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且ABD △是直角三角形．(1)求双曲线C 的方程；(2)M 、N 是C 右支上的两动点，设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，若122k k =-，求点A 到直线MN 的距离d 的取值范围．12．已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为()2,0,F O 为坐标原点，过点F 作直线l 与一条渐近线垂直，垂足为A ，与另一条渐近线相交于点B ，且,A B 都在y 轴右侧，OA OB +=(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线1l 与双曲线C 的右支相切，切点为1,P l 与直线23:2l x =交于点Q ，试探究以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点.13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,,F F C 的离心率为2，直线l 过2F 与C 交于,M N 两点，当2OM OF =时，12MF F △的面积为3.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知,M N 都在C 的右支上，设l 的斜率为m .①求实数m 的取值范围；②是否存在实数m ，使得MON ∠为锐角？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.14．已知O 为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，且经过点. (1)求C 的方程：(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，求AB 的取值范围：(3)已知点P是C上的动点，是否存在定圆222:()0O x y r r+=>，使得当过点P能作圆O的两条切线PM，PN时（其中M，N分别是两切线与C的另一交点），总满足PM PN=？若存在，求出圆O的半径r：若不存在，请说明理由.15．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的焦点与椭圆2215xy+=的焦点重合，其渐近线方程为y=. (1)求双曲线C的方程；(2)若,A B为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线1:3l y x=过AB的中点，求直线AB的斜率.。
高中数学-双曲线例题
高中数学-双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）． （2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹．二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上．（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223，解：（1）设双曲线方程为122=+n y m x∵ P 、Q 两点在双曲线上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259n m n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m ∴所求双曲线方程为191622=+-y x说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ）∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是1522=-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为181222=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。
高中选修双曲线经典例题
y
MC1 r 2 MC2 r 2
M
圆 M 与圆 C 2 内切
MC1 MC2 2 2 8
圆心 M 的轨迹是以 C 1 , C 2 为焦点的双曲线的右支
C1
O
C2
x
x y 1 ( x 2) 2 14
2
2
例 1： （1）求下列双曲线的渐近线方程
x2 y2 y2 x2 ① 1； ② 1 ； ③ x 2 y 2 4 ； 9 81 25 49
解：原方程化简为
kx2 y 2 1 8 4
若 k 0 ，表示 y 2 或 y 2 这两条直线 若 k 0 ，可化简为
x2 y2 1 8 4 k
若 k 0 ，表示双曲线（焦点在 y 轴） 若 k 2 ，表示圆（圆心在原点，半径为 2 ） 若 k 2 ，表示椭圆（焦点在 y 轴） 若 0 k 2 ，表示椭圆（焦点在 x 轴）
思考：给定双曲线，如何求渐近线方程？ 等轴双曲线的渐近线为
y
a x b
y x
c 3． 双曲线的焦距与长轴长的比 a
双曲线离心率的范围是 离心率越 离心率越 大
称为双曲线的离心率，用 ；
e 表示，即
e
c a
；
e1
，双曲线开口越大；
趋近于 1 ，双曲线开口越小。
三．直线与双曲线
1. 公共点问题： 代数运算：联立方程组 几何图形：交点个数 2. 弦长问题：
例 5： （1） F1 , F2 是双曲线
x2 y2 1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足 9 16
y
PF1 PF2 32 ，则 F1 PF2 ____； 90
双曲线性质总结及经典例题
双曲线性质总结及经典例题双曲线知识点总结1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）例题分析定义类1，已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x2双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y轴上时，23=b a ，313=e4 设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24 解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ②由①、②解得.4||,6||21==PF PF,52||,52||||2212221==+F F PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。
1已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C 的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22b y =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x－82y =1.解法二：设双曲线方程为kx -162－ky +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.2.已知双曲线的渐近线方程是2xy ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ； [解析]设双曲线方程为λ=-224y x ，当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ，综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y3.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x【例1】若椭圆()0122 n m ny m x =+与双曲线221x y a b-=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）A. a m -B. ()a m -21 C. 22a m -D.am -()1221m PF PF m∴+=，()1222a PF PF a∴-=±，()()()2212121244PF PF m a PF PF m a-⋅=-⇒⋅=-：，故选A.【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线127922=-y x 与点M（5，3），F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PMPF 21+最小，则P 点的坐标为XY O F(6,0)M(5,3)P N P ′N ′X=32【分析】待求式中的12是什么？是双曲线离心率的倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为32l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则122PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM 1375225PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127922=-y x 中，令3y =，得2122 3.xx x =⇒=±∴0，取23x =所求P 点的坐标为23（，）.【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 21±=的双曲线方程是【解析】设所求双曲线为()2214x y k -=点（1，3）代入：135944k =-=-.代入（1）： 22223541443535x y x y -=-⇒-=即为所求.【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b-=⇒±=即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为2222x y k a b-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.【例7】直线l 过双曲线12222=-by a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ） A .e >2 B.1<e <3 C.1<e <5 D.e >5【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线m的倾斜角为β.显然。
双曲线优秀经典例题讲解
双 曲 线是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）.解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m).设双曲线的方程为12222=-by a x （a >0,b >0）令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y－55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以,1)55(12252222=--b y .112132222=-by解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--(2)11213(1) 1)55(122522222222b y b y 由方程（2）得 b y 125= （负值舍去）.代入方程（1）得,1)55125(12252222=--bb化简得 19b 2+275b －18150=0 （3） 解方程（3）得 b ≈25 (m).所以所求双曲线方程为：.162514422=-y x 例2. ABC ∆中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 21sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程．解：取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，因为4=BC ，所以B(0,2-)，)0,2(c ．利用正弦定理，从条件得2421=⨯=-b c ，即2=-AC AB ．由双曲线定义知，点A 的轨迹是B 、C 为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为32的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为1322=-y x (1>x )． 变式训练3：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准线的距离为l .（1）求双曲线的方程；（2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值.典型例题（1）解：依题意有：.3,1,,12,3222222==⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==b a c b a c aa b解得可得双曲线方程为.1322=-y x （2）解：设).,(,),,(0000y x N y x M --可得由双曲线的对称性,33,33,13.),,(222020220222020000-=-==---=++⋅--=⋅P P P P P P P P PNPM P P x y x y y x x x y y x x y y x x y y k k y x P 同理所以又则设所以.3333322202=-+--=⋅x x x x k k P P PNPM 例3. 设双曲线C ：1222=-y x 的左、右顶点分别为A 1、A 2，垂直于x 轴的直线m 与双曲线C 交于不同的两点P 、Q 。
双曲线函数的最值问题举例(附练习、答案)
双曲线函数的最值问题举例(附练习、答案)双曲线函数是数学中常见的一类函数，对于这类函数的最值问题，我们可以通过一些实际例子来加深理解。
下面提供了一些练题和相应的答案，帮助读者更好地掌握双曲线函数的最值问题。
练题1. 设函数 $f(x) = e^x - e^{-x}$，求函数 $f(x)$ 在定义域内的最小值和最大值。
2. 函数 $g(x) = \sinh(x)$ 在 $[-1, 1]$ 区间上是增函数还是减函数？并求其最小值和最大值。
3. 对于任意正实数 $a$，函数 $h(x) = \cosh(ax)$ 在定义域内的最大值是否存在？如果存在，是多少？答案1. 解答：首先求函数的一阶导数：$$f'(x) = e^x + e^{-x}$$然后求导数为零的点，即：$$e^x + e^{-x} = 0$$由于 $e^x$ 恒大于零，所以 $e^x + e^{-x}$ 恒大于零，即不存在导数为零的点。
因此函数 $f(x)$ 在定义域内没有极值点，也就是没有最小值和最大值。
2. 解答：首先求函数的一阶导数：$$g'(x) = \cosh(x)$$函数 $g(x)$ 的一阶导数为 $\cosh(x)$，根据双曲函数的性质可知 $\cosh(x) > 0$，即在定义域内函数 $g(x)$ 是增函数。
当 $x = 0$ 时，$\sinh(0) = 0$，所以函数 $g(x)$ 在 $[-1, 1]$ 区间上最小值为 0。
当 $x = 1$ 时，$\sinh(1) \approx 1.1752$，所以函数 $g(x)$ 在$[-1, 1]$ 区间上最大值为约 1.1752。
3. 解答：函数 $h(x) = \cosh(ax)$ 为双曲余弦函数，其定义域为实数集。
双曲余弦函数的最大值为 $\cosh(0) = 1$，当且仅当 $ax = 0$ 时取到最大值。
因此，函数 $h(x)$ 在定义域内的最大值为 1。
高中数学双曲线题型归纳
高中数学双曲线题型归纳类型一 双曲线的定义【例1】已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．1-1设P 是双曲线1201622=-y x 上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|＝( ) A ．1 B ．17 C ．1或17 D ．以上答案均不对1-2已知F 是双曲线112422=-y x 的左焦点，A (1，4)，P 是双曲线右支上的动点， 则|PF |＋|P A |的最小值为( ) A ．5 B ．5＋43 C ．7 D ．91-3已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则|PF 1|＋|PF 2|的值为________．类型二 几何性质【例2】设F 1，F 2分别为双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ＋4y ＝02-1若双曲线()013222>=-b b y x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的41，则该双曲线的虚轴长是（ ） A .2B .1C .55 D .5522-2设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．2-3中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2， 且F 1F 2＝213，椭圆的半长轴长与双曲线半实轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求△F 1PF 2的面积．类型三双曲线的标准方程【例3】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(－5，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0，2)，则双曲线的方程是( )3-1双曲线mx2+ y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于（）A.- 14B.-4 C.4 D.143-2设双曲线与椭圆1362722=-yx有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是．3-3根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为5 4；(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；(3)经过两点P(－3，27)和Q(－62，－7)．类型四直线与双曲线的位置关系【例4】(1)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，实轴长为23.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C左支交于A，B两点，求k的取值范围．【例4】(2)双曲线12=2x的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）-yA. 1y D. 3=x2+=x2-y2-=xy B. 22-=xy C. 34-1已知双曲线,问过点A （1，1）能否作直线,使与双曲线交于P 、Q 两点，并且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
双曲线(高考数学压轴题常考题型)
双曲线 (高考数学压轴题常考题型)例1.已知双曲线22:1,2x c y -=设过点(A -的直线l 的方向向量(1,)e k =当直线l 与双曲线C 的一条渐近线m 平行时，求直线l 的方程及l 与m 的距离；证明：当k>2时，在双曲线C 的右支上不存在点Q 使之到直线l。
解：（1）双曲线C的渐近线0m y ±=，即0x ±=∴直线l的方程0x ±+=∴直线l 与m的距离d ==（2）证法一：设过原点且平行于l 的直线:0,b kx y -=则直线l 与b 的距离d=，当2k >时，d >又双曲线C的渐近线为0x ±=，∴双曲线C 的右支在直线b 的右下方， ∴双曲线C 右支上的任意点到直线l。
故在双曲线C 的右支上不存在点Q 00(,)x y 到到直线l证法二：假设双曲线C 右支上存在点Q00(,)x y 到直线l，则2200(1)22(2)x y =-=⎪⎩ 由（1）得00y kx =+设t =当k >时，0t =>：20t ==>将00y kx t =+代入（2）得22200(12)42(1)0k x tkx t ---+=， （*）2k >，0t >∴22120,40,2(1)0.kkt t -<-<-+<∴方程（*）不存在正根，即假设不成立， 故在双曲线C 的右支上不存在点Q00(,)x y 到直线l例 2. （07江西）设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，且存在常数(01)λλ<<，使得212sin d d θλ=．（1）证明：动点P 的轨迹C 为双曲线，并求出C 的方程；（2）过点B 作直线双曲线C 的右支于M N ，两点，试确定λ的范围，使OM ON =0，其中点O 为坐标原点．解：（1）在PAB △中，2AB =，即222121222cos 2d d d d θ=+-，2212124()4sin d d d d θ=-+，即122d d -==（常数），点P 的轨迹C 是以A B ，为焦点，实轴长2a =的双曲线．方程为：2211x y λλ-=-．（2）解法一：设11()M x y ，，22()N x y ，①当MN 垂直于x 轴时，MN 的方程为1x =，(11)M ，，(11)N -，在双曲线上．y即211111012λλλλλ-±-=⇒+-=⇒=-，因为01λ<<，所以12λ=． ②当MN 不垂直于x 轴时，设MN 的方程为(1)y k x =-．由2211(1)x y y k x λλ⎧-=⎪-⎨⎪=-⎩得：2222(1)2(1)(1)()0k x k x k λλλλλ⎡⎤--+---+=⎣⎦， 由题意知：2(1)0k λλ⎡⎤--≠⎣⎦， 所以21222(1)(1)k x x k λλλ--+=--，2122(1)()(1)k x x k λλλλ--+=--． 于是：22212122(1)(1)(1)k y y k x x k λλλ=--=--．因为0OM ON =，且M N ，在双曲线右支上，所以2121222122212(1)0(1)121011231001x x y y k x x k x x λλλλλλλλλλλλλλλ-⎧+=⎧-⎧=⎪>⎪⎪⎪+-+>⇒⇒⇒<<+--⎨⎨⎨⎪⎪⎪>+->>⎩⎩⎪-⎩．由①②知，23λ<． 解法二：设11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()E x y ，．①当121x x ==时，221101MB λλλλλ=-=⇒+-=-，因为01λ<<，所以12λ=；②当12x x ≠时，221102202211111MN x y x k y x y λλλλλλ⎧-=⎪⎪-⇒=⎨-⎪-=⎪-⎩．又01MN BE y k k x ==-．所以22000(1)y x x λλλ-=-；由2MON π=∠得222002MN x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由第二定义得2212()222MN e x x a ⎛⎫+-⎡⎤= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭220001(1)21x x x λλ==+---． 所以222000(1)2(1)(1)y x x λλλλ-=--+-． 本店铺更多免费资料于是由22000222000(1)(1)2(1)(1)y x x y x x λλλλλλλ⎧-=-⎪⎨-=--+-⎪⎩得20(1)23x λλ-=- 因为01x >，所以2(1)123λλ->-，又01λ<<，解得：23λ<<．由①②知23λ<．。
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例题 1 双曲线的定义
如右图，在方格纸中有两组同心圆，圆心分别 为 F1 与 F2，若 P 点在以 F1，F2 为焦点的双曲 在线，试问 A，B，C，D，E 五点中，哪些点 亦在此双曲线上？
解■ ∵ PF1＝2， PF2 ＝3 ∴︱PF1－PF2︱＝1 而︱AF1－AF2︱＝2 ，︱BF1－BF2︱＝3 ，︱CF1－CF2︱＝1 ︱DF1－DF2︱＝1 ，︱EF1－EF2︱＝0 ∴︱PF1－PF2︱＝︱CF1－CF2︱＝︱DF1－DF2︱＝1 故 P，C，D 三点位于同一双曲线上
而 b2＝c2－a2＝22－12＝3 得双曲线方程式为 x2 － y2 ＝1
13
例题 3 双曲线的标准式（中心在原点）
(2) 已知一双曲线的两焦点为（0 , 2）与（0 , －2），贯轴长为 2，试求
此双曲线的标准式。
解■ (2) 如右图所示
因为焦点为（0 , 2），（0 , －2）
所以中心为原点，贯轴在 y 轴上
＝1上任一点
可得 b2x02－a2y02＝a2b2
又
P（x0
,
y0）到
L1
的距离为∣bx0－ay∣0 b2＋a2
P（x0
,
y0）到
L2
的距离为∣bx0＋ay∣0 b2＋a2
例题 7 双曲线与渐近线
试证：双曲线 Γ：
x2 a2
－ y2 b2
＝1上任一点
P
到两直线
L1：bx－ay＝0
与
L2：bx＋ay＝0
且方程式形如 － x2 b2
＋
y2 a2
＝1
又 c＝2，贯轴长 2a＝2，所以 a＝1
而 b2＝c2－a2 ＝ 22 －12＝3
得双曲线方程式为－x2 ＋ y2 ＝1 31
上一题 下一题
例题 4 双曲线的各要素
(1) 已知一双曲线的方程式为 4x2－16y2＝64，试求其贯轴长、共轭轴
长、中心、焦点及顶点坐标。
的截面图，颈部 AB ＝4 是双曲线的贯轴长。出风口直径
EF ＝8，入风口直径 CD ＝28，已知 AB，CD ，EF 互相
平行，且 AB 与 CD 的距离为 24，试求AB 与 EF 的距离。
解■
代入
x2 4
－
y b
2
2
＝1
可得
b2＝12，而
F
点的
x
坐标为
4，
y 坐标即为 AB 与 EF 的距离，
焦点为（0 , 5）与（0 , －5） 顶点为（0 , 4）与（0 , －4）
上一题 下一题
例题 5 双曲线的应用
核电厂的冷却塔很多都是双曲面型的。右图是某冷却塔
的截面图，颈部 AB ＝4 是双曲线的贯轴长。出风口直径 EF ＝8，入风口直径 CD ＝28，已知 AB，CD ，EF 互相 平行，且 AB 与 CD 的距离为 24，试求AB 与 EF 的距离。
例题 4 双曲线的各要素
(2) 已知一双曲线的方程式为 16x2－9y2＝－144，试求其贯轴长、共轭 轴长、中心、焦点及顶点坐标。
解■ (2) 将方程式 16x2－9y2＝－144 改写成－x2 ＋ y2 ＝1 9 16
与标准式比较，得知此双曲线的中心在原点 O（0 , 0） 如右图所示，两焦点在 y 轴上， 且 a＝4，b＝3，c＝ a2＋b2 ＝ 42＋32 ＝5 所以贯轴长 2a＝8，共轭轴长 2b＝6
的距离乘积为定值
a2b2 a2＋b2
。
■證 故 P 到 L1 与 L2 的距离乘积为
∣bx0－ay∣0 ∣bx0＋ay∣0 ＝∣b2
b2＋a2
b2＋a2
x0 2－a 2 a2＋b2
y0∣2 ＝ a2b2 a2＋b2
上一题 下一题
主题 4 共轭双曲线与等轴双曲线
例题 8 共轭双曲线
试求双曲线 x2 － y2 ＝1 的共轭双曲线。 9 16
解■
(1)
将方程式
4x2－16y2＝64
改写成
x2 42
－ y2 22
＝1
与标准式比较，得知此双曲线的中心在原点 O（0 , 0）
如右图所示，两焦点在 x 轴上
且 a＝4，b＝2 c＝ a2＋b2 ＝ 16＋4＝2 5
所以贯轴长 2a＝8，共轭轴长 2b＝4
焦点为（2 5 , 0）与（－2 5 , 0） 顶点为（4 , 0）与（－4 , 0）
解■ x2 － y2 ＝1 的共轭双曲线为 x2 － y2 ＝－1
9 16
9 16
上一题 下一题
例题 9 等轴双曲线
一等轴双曲线的两焦点为 F1（0 , 2 2 ），F2（0 ,－2 2 ），求此双曲 线方程式。 解■ 此等轴双曲线的中心为 F1F2 的中点，即（0 , 0），
下一题
例题 2 （焦点到中心距离)2＝（半贯轴长)2＋（半共轭轴长)2
已知一双曲线的贯轴长为 6，两焦点的距离为 10，试求此双曲线的共 轭轴长。 解■ 由题意知 2a＝6，2c＝10，所以 a＝3，c＝5
因此 b＝ c2－a2 ＝ 52－32 ＝4 故共轭轴长 2b＝8
上一题 下一题
主题 2 双曲线的标准式
代入双曲线 x2 － y2 ＝1 4 12
可得 42 － y2 ＝1 y＝±6（负不合） 4 12
∴ AB 与 EF 的距离为6
上一题 下一题
主题 3 双曲线的渐近线
例题 6 求渐近线
试求双曲线 x2 － y2 ＝1 的两条渐近线方程式。 9 16
解■ x2 － y2 ＝1 的两条渐近线为 x－ y＝0 与 x＋ y＝0
解■ 将此冷却塔的截面图坐标化 设双曲线的中心为 O（0 , 0），贯轴在 x 轴上
∴ 2a＝4 a＝2
可假设此双曲线的方程式为
x2 a2
－ y2 b2
＝1，即
x2 4
－ y2 b2
＝1
又CD＝28， AB 与 CD 的距离为 24
故此双曲线通过 D（14 , －24）
例题 5 双曲线的应用
核电厂的冷却塔很多都是双曲面型的。右图是某冷却塔
9 16
34
34
即 4x－3y＝0 与 4x＋3y＝0
上一题 下一题
例题 7 双曲线与渐近线
试证：双曲线 Γ：
x2 a2
－ y2 b2
＝1上任一点
P
到两直线
L1：bx－ay＝0
与
L2：bx＋ay＝0
的距离乘积为定值
a y0）为双曲线 Γ：
x a
2 2
－
y2 b2
例题 3 双曲线的标准式（中心在原点）
(1) 已知一双曲线的两焦点为（2 , 0）与（－2 , 0），贯轴长为 2，试求
此双曲线的标准式。
解■ (1) 如右图所示
因为焦点为（2 , 0），（－2 , 0）
所以中心为原点，贯轴在 x 轴上
且方程式形如
x2 a2
－
y2 b2
＝1
又 c＝2，贯轴长 2a＝2，所以 a＝1