高数9-1(第一型曲线积分)
高数考研中有关曲线积分问题的求解方法
ｆｘ＝烈ｆ）
设有光滑曲线正｛：三鬣２ｔｅ［ａ．ｐ】（１），
函数ｆ（ｘ，Ｙ，ｚ）为定义在Ｌ上的连续函数，
则￡，（薯”）出＝ 侈（似ｆ），以味烈ｏ）√；万丽＿歹琢孓万丽ｄｔ
例１（０９年数１考研题）已知曲线
ｌ珧＝ｆ２ｘ雁丽＝Ｊ？５，厕 ｌ：ｙ嚣Ｘ２（ｏ≤ｘ≤√２），贝０ Ｉ，嚣幽＝——
彰＋扰＝一可阮力，
所以一，（‘ｙ）一习：：，（五ｙ）＋力：。
又署＝√“＂～《，善＝，（毛ｙ）＋彬， 幻ａＰ 所以素。一０３，，由定理３可得对Ｄ内的任
意分段光滑的有向简单闭曲线Ｌ，都有：
｝，∥ｋｙ）出一ｘｆ（ｘ，ｊ，）ａｙ＝０。
例６（０５年数ｌ考研题）设函数妒（ｙ）具有连 续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭
ＪＩ ８
、
１
Ｏ
＾
解：椭圆，的方舞可化为３ｐ＋４ｖ２＝１２，
代入积分中得ｆ．（２ｘｙ＋３ｘ２＋４ｙ２）凼＝
｝ｔ（２ｘｙ＋１２）由２六２叼施＋ｆｊｌ胁
因为ｘｙ是ｘ的奇函数，曲线ｌ关于ｙ轴对称， 由定理ｌ可知●．母凼＝０．．
且Ｉ坤＝ａ。
故ｆ，（２ｘｙ＋３ｘ２＋４ｙ２）西＝１２ａ．
２第二型曲线积分题型的求解方法 ２．Ｉ化为定积分的方法
五砂一２ｙｄｒ。ｊｒｘｄｙ一２ｙｄｘ—Ｊ删＋Ｊ∞
＝ｌ『ｃ筹一善，蛐＝ｇ姗＝挈
例４（０３年数１考研题）已知平面区域 Ｄ＝｛（墨ｙ）１０≤Ｘｓ以０ｓＹｓ万｝，Ｌ为Ｄ的正 向边界。试证：
（１）ｆ矿’妙一＂＿。ｄｘ＝扣＿７咖一ｙｃｍ‘办，
（２）豇∞＾７痧一ｙ矿·。矗≥２霄２
解：（１）根据格林公式，得：
ｆＪ矽‘７ｄｙ—ｙｏ－ｍＸｄｘ＝ｆｆ（口。７＋＃＋“。）西ｃ砂
曲线积分
曲线积分一． 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） ds y x f L ),(⎰ 引入：开始接触这个概念对大家可能都很突兀，我们从直观上看它的形式，形式和定积分⎰dx x f )(很像，Right ？那它的物理意义和几何意义按照自然界对称的法则应该和定积分也是相似的咯-----我们如果把),(y x f 看成是线密度函数的话，ds y x f L),(⎰可以理解成为曲线形构件的质量咯(*^__^*) ，这当然是它的物理意义；几何意义呢？想想定积分，几何意义是曲边梯形的面积，那么对第一型曲线积分就是曲面的面积咯，沿着一段弧函数对它的曲线积分就是曲面的面积（PS ：这个可以作为一种求曲面面积的求法，后面会有题目介绍） 想必通过上面形象的介绍，我们对第一型曲线积分有了一个初步的认识。
现在来看看它的求法：ds y x f L ),(⎰这个式子我们唯一没见过的就是ds 咯，在这里ds 实际上就是弧长，所以第一型也就是对弧长的曲线积分。
那么第一型的求法就等价于求ds ，然后解个定积分就ok 。
根据高数上学过的微分三角形，如果曲线能够表示成参数方程x =ϕ(t ), y =ψ (t ) (α≤t ≤β), 那么显然dtt t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψϕψϕ'+'=，于是就有⎰⎰'+'=βαψϕψϕdt t t t t f ds y x f L)()()]( ),([),(22，当然如果不用表示成参数方程，把x 看为参数也可以。
注意注意注意注意注意：1.这里的定积分的下限α一定要小于上限β. 原因在于弧长始终是正的，所以t ∆>0,这样定积分的下限一定小于上限。
当然曲线不仅仅是平面上的，三维空间里也可以，计算方法还是一样 的，即dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψϕωψϕβα'+'+'=⎰⎰Γ。
高等数学(下)期末复习指导(土木工程专业...
本学期《高等数学》的考试范围是：第五章定积分的应用，第六章至第十一章.内容为：空间解析几何与向量代数，多元函数的微积分，曲线积分，微积分的应用-级数理论及常微分方程的解法．我们用了90课时，讲了尽可能多的知识，保证了后继课程学习中对数学知识的需要，及将来考研同学对高数的知识点范围．对教学工作仍坚持一丝不苟、认真负责的态度，讲好每节课，对大题量的作业做到每周全收、认真批阅一次，耐心解答同学提出的问题．对同学的学习坚持从严要求，强调做好听课、记笔记、独立完成作业三个教学环节．逐步培养同学掌握学习数学课的方法：多动脑勤动手，数学书不是光靠看，还要动手演算才能理解深刻，记忆牢固．考试题型为：一.选择题（每小题3分，共15分） 二.填空题（每小题3分，共15分） 三.计算题（8小题，共40分） 四.应用题（2小题，共16分） 五.证明题（2小题，共14分）下面分章复习所学知识第五章 定积分的应用定积分在几何上的应用：求平面图形的面积（1） 直角坐标情形：由平面曲线(),()[()()]y f x y g x f x g x ==≥,()x a x b a b ==<所围图形的面积为[()()].baA f x g x dx =-⎰（2）极坐标情形：由曲线()r r θ=及射线,()θαθβαβ==<所围成的曲边扇形的面积为21().2A r d βαθθ=⎰例 （填空题）由曲线x y 1=及直线0,2,===y x x y 围成的平面图形的面积 .第六章 向量代数与空间解析几何（一）向量代数1.空间两点111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 的距离公式222121212()()()d x x y y z z =-+-+- 2.非零向量 {}123,,a a a a =的方向余弦公式 312222222222123123123cos ,cos ,cos a a a a a aa a aa a aαβγ===++++++3.向量的运算设 {}{}123123,,,,,a a a a b b b b ==，则112233123123,ijka b a b a b a b a b a aab b b ⋅=++⨯= 两非零向量垂直、平行的充要条件11223331212300//0a b a b a b a b a b a a a a b a b a b b b b λ⊥⇔⋅=⇔++=⇔=⇔⨯=⇔==4.向量{}123,,a a a a =在非零向量{}123,,b b b b =上的投影 112233222123Pr cos ,b b a b a b a ba b a j a a a b bb b b ++⋅∏==<>==++（二）平面与直线 1.平面方程（1）一般式：0;Ax By Cz D +++=（2）点法式：000()()()0;A x x B y y C z z -+-+-=（3）截距式：1;x y za b c++=（4）三点式：1112121213131310.x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 2.直线方程（1）对称式（点向式、标准式）：000;x x y y z z m n p---== （2）一般式：111122220;0A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩（3）参数式：000,;x x mt y y nt t z z pt=+⎧⎪=+-∞<<+∞⎨⎪=+⎩（4）两点式：111212121.x x y y z z x x y y z z ---==--- 3.平面()∏与直线()l 平行、垂直的充要条件及夹角（1）1212121211112222()()0()//()A A B B C C A B C A B C ∏⊥∏⇔++=∏∏⇔==;(2)12121212111122220//l l m m n n p p m n pl l m n p ⊥⇔++=⇔==；（3）1111111111111111()()//0m n p l A B C l m A n B p C ∏⊥⇔==∏⇔++=；（4）1()∏与2()∏的夹角： 121212222222111222c o s A A B B C C A B C A BC ϕ++=++⋅++(5)1l 与2l 的夹角： 121212222222111222c o s m m n n p p m n p m np ϕ++=++⋅++（6）1()∏与1l 的夹角：111111222222111111s i n m A n B p C m n p A BC ϕ++=++⋅++4.距离设点0000(,,)M x y z ，平面():0Ax By Cz D ∏+++=直线111:x x y y z z l m n p---==（1）点到平面的距离公式：000222;Ax By Cz Dd A B C+++=++(2) 点到直线的距离公式：01M M ld l⨯=，其中 {}01101010,,M M x x y y z z =---，{}1,,,l m n p M =是直线上任一点． （三）曲面与空间曲线记住一些常见的曲面的方程 （1）旋转曲面园锥面：22z x y =+，旋转抛物面：22z x y =+，旋转椭球面：22222 1.x y z a c++= （2）柱面圆柱面：222,x y R +=椭圆柱面：22221x y a b+=，抛物柱面：220x py -=，双曲柱面：2222 1.x y a b-=（3）二次曲面球面：2222()()();x a y b z c R -+-+-=椭球面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c++=>；椭球抛物面：22,(,22x y z p q p g +=同号）； 双曲抛物面：22,(,2x y z p q p q-+=同号）； 单叶双曲面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c +-=>；双叶双曲面：2222221,(,,0)x y z a b c a b c+-=->．本章的考点：仅是一些简单的填空题或选择题．例1.设三角形ABC ，已知2,2,BA i j BC i j k D =+=++为BC 的中点，则BC 上 的中线长AD =10/2例2. 1.两向量a 与b 互相垂直的充要条件是0a b ⋅=.2.向量13(2),(1)a i j b i j k λλλ=-++=-+-平行，则λ= 1 .3.求同时垂直于向量{}{}2,3,1,1,2,0a b =-=-的单位向量是 0c ±.解 {}2312,1,1120i j kc a b =⨯=-=--，单位化 {}02222,1,1211,,66621(1)c c c --⎧⎫===⎨⎬⎩⎭++-. 例3.（选择题）过点(2,3,5)且平行于平面53210x y z -++的平面是（ C ）.53211A x y z ++-=.53211B x y z -++= .53211C xy z -+-=.53211D x y z +++= 例4.（选择题）在空间直角坐标系下，方程350x y +=的图形是（ D ）.A 过原点的一条直线； .B 斜率为35-的一条直线；.C 垂直于z 轴的一平面； .D 过z 轴的一平面.例5.（选择题）方程231x y +=在空间表示的图形是（ B ） .A 平行于XOY 坐标面的平面； .B 平行于z 轴的平面； .C 过oz 轴的平面； .D 直线． 例6.（选择题）方程22x y =在空间表示的是（ B ） .A 抛物线； .B 抛物柱面； .C 母线平行于x 轴的柱面； .D 旋转抛物面. 例7. (选择题) 下列平面方程中（ C ）过y 轴：.A 1x y z ++=； .B 0x y z ++=； .C 0x z +=； .D 1.x z +=例8. 曲线 2221z x y z ⎧=+⎨=⎩在XOY 平面上的投影方程为：22210x y z ⎧+=⎨=⎩第七章 多元函数微分法及其应用（一）基本概念1.二元函数：定义域和对应规律为(,)z f x y =的两要素，其定义域为平面上的点集．例9 (填空题)二元函数ln 1xyz y=+的定义域是0,0(,)0,10x y D x y x y ⎧⎫>>⎪⎪=⎨⎬<-<<⎪⎪⎩⎭或 二元函数221ln(1)x y z x y --=--的定义域为{}22(,)1,1D x y x y x y =+≤+<2.极限：函数(,)z f x y =的极限为A ，是指点(,)x y 以任何方式沿某路径趋于点00(,)x y 时，(,)f x y A →，记为00lim (,)x x y y f x y A →→=例10. 证明：极限2222200lim ()x y x y x y x y →→--不存在．证明 如果动点(,)P x y 沿y x =趋于点(0,0)时，则2242224000lim lim 1;()x x y x y x x y x y x →→→==-- 如果动点(,)P x y 沿2y x =趋于点(0,0)时，则2242224200024lim lim 0()4x x y y xx y x x y x y x x →→→===--+ 因沿不同路径，极限值不一，故原极限不存在.3.连续：函数(,)z f x y =在点00(,)x y 连续，必须同时满足三个条件，缺一不可：（1）在00(,)U x y 内有定义；（2）0lim (,)x x y y f x y →→存在；（3）0000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=.否则间断．例11.（选择题）设221xy z x y=--，下面结论正确的是（ D ）.A 在XOY 平面上连续； .B 在XOY 平面上不连续；.C 在XOY 平面上只有(1,0),(0,1)为间断点；.D 在XOY 平面上，只有在区域221x y +<内，函数连续.例12． (选择题) 函数22222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在点(0,0)处（ C ）.A 连续； .B 有极限但不连续； .C 极限不存在； .D 无定义.（二）偏导数1.定义与计算偏导数,z zx y∂∂∂∂是整体记号，不具有商的意义，求z x ∂∂时，把(,)z f x y =中的y固定 （看作常数），利用一元函数的求导公式和法则求出．记住：偏导函数z x ∂∂与一点的偏导数000(,)x x x y y z f x y x==∂'=∂记号不同，及它们之间的关系例13.（填空题）设22(,)f x y x y x y =+-+，则(3,4)x f '=252.高阶偏导数（以二阶为主）：22(,)();xx z z f x y x x x ∂∂∂''==∂∂∂ 22(,)();yy z zf x y y y y∂∂∂''==∂∂∂ 2(,)();xy z z f x y x y y x ∂∂∂''==∂∂∂∂ 2(,)().yx z zf x y y x x y ∂∂∂''==∂∂∂∂（注意：二阶混合偏导数在定义域D 内连续时，相等）（三）全微分1.定义与计算：若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的全改变量（全增量）可表为()z A x B y ρ∆=∆+∆+，其中,A B 不依赖于,x y ∆∆，仅与00(,)x y 有关， 22()()x y ρ=∆+∆，则全增量的线性主要部分为为函数的全微分，记作 .z z dz A x B y dx dy x y∂∂=∆+∆=+∂∂ 例14.（选择题）函数(,)z z x y =由方程ln()0z xy +=所确定，则dz =（ A ）.;dx dy A x y -- .;dx dy B x y+ .;dx dy C z x + ..dx dy D xy xy+ 例15. 函数22ln()u x y z =++在点(1,0,1)处的全微分为： . 例16. 求22x y z e +=的全微分及二阶偏导数.解22222,2x y x y zz xe ye x y++∂∂==∂∂ 222222;x y x y d z x e d xy ed y++∴=+ 2222222222(12),4x y x y z z z ex x y e x x y y x++∂∂∂=+==∂∂∂∂∂22222,2(12).x y z e y y +∂=+∂2.二元函数在一点连续、可导（两个偏导数存在）与可微的关系．偏导数连续⇒可微⎧⎨⎩⇒⇒可导极限存在，反之不一定成立.例17.（选择题）二元函数22z x y =+在点(0,0)处（ C ）.A 不连续，两个偏导数不存在； .B 不连续，两个偏导数存在； .C 连续，两个偏导数不存在；.D 连续，两个偏导数存在．例18.（填空题）(,),(,)x y f x y f x y 连续是(,)z f x y =可微的充分条件.例19. 证明题：证明函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0,0)点处两个偏导数存在，但不连续.（用定义求偏导数，取两条路径如极限不一则不连续）3.方向导数与梯度（不做考试要求）（1）方向导数—函数在特定方向（指定方向）上的变化率：cos cos cos f f f fxy z l αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂，其中,,αβγ为射线l 与,,x y z 轴正向夹角（2）梯度—不同点的方向导数不同，它在哪个方向上最大呢？函数(,,)u f x y z =在点(,,)x y z 处的梯度为：(,,).f f f gradf x y z i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂ 例20.（填空题）函数22u xy z xyz =+-在点(1,1,2)处沿方向{}1,2,1l =的方向导数是 .（四）多元复合函数的导数1.锁链法则—先画出链式图，写出公式，然后计算.(,),(,),(,)z f u v u x y v x y ϕψ===，则有锁链公式：z z u z v x u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂z z u z v y u y v y∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ 2.几种推广情形（1）若(,,)z f u v w =，而(,),(,),(,)u x y v x y w x y ϕψω===，则有锁链公式：z z u z v z w x u x v x w x∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂z z u z v z w y u y v y w y∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂ （2）若(,,),z f u x y =而(,)u u x y =，则有锁链公式： z f f u x x u x∂∂∂∂=+∂∂∂∂z f f u y y u y∂∂∂∂=+∂∂∂∂注意：这里z x ∂∂与f x ∂∂不同，zx∂∂是把复合后的函数，将y 看作常数，对x 求偏导；而fx∂∂是把复合前的函数，将,u y 看作常数对x 求偏导． （3）设(,,,)u f x y z t =，而(),(),()x x t y y t z z t ===，则复合函数只有一个自变量， t 求导dzdt ，称为全导数.d z u d x u d y u d z u d td t x d t y d x t d t t d t∂∂∂∂=+++∂∂∂∂何时用锁链法则：①函数关系不具体； ②中间变量多于一个.例21.（选择题）设22(,)()()f x y x y x y x y x y +-=-=+-，则()()f x y f x yxy∂⋅∂⋅+=∂∂（ C ）..22A x y - .22B x y+.;C x y + ..D x y --例22.22sin()1,yz x e xy =++求 2,.z zx x y∂∂∂∂∂例23.设arctan()z u x y =-，求,,.u u u x y z∂∂∂∂∂∂ 解 由锁链法则121();1()z z u z x y x x y -∂=⋅-∂+- 121();1()z zu z x y y x y -∂-=⋅-∂+-21()l n .1()z z u x y x y z x y ∂=-⋅-∂+- 例24.设二元函数(,)xz xy f xy y=+，其中f 是二阶可微函数，求,,.x y yy z z z ''''解 设1,2xxy u v y====，则 121;x z y yf f y'=++122;y xz x xf f y '=+- 11122212223222()()yy x x x x z x f x f f f x f y y y y ⎡⎤⎡⎤''=+-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 222111222224322.x x xx f f f f y y y=-++例25.设(5,)u f x y xyz =+，求22.ux∂∂解 12x u f yzf '=+； 2211122122.xx u f yzf yzf y z f ''=+++ （五）隐函数微分法：（只讨论一个方程的情形）1. 方程两边对自变量求导（复合函数的锁链法则）， 解出所求的偏导数（是,x y 的函数）.2.公式法：x z F z x F '∂=-'∂， .y z F zy F '∂=-'∂ 3.微分法：利用一阶全微分形式的＂不变性＂，对方程两边求全微分，即可求出所需的偏导数或导数．例26.（填空题）由方程2221x xyz z ++=确定(,)z z x y =，则z x ∂=∂124xy z-+. 例27.设ln ,x z z y =求,.z z x y∂∂∂∂ 解 由隐函数微分法 设 (,,)ln ln ln x z xF x y z z y z y z=-=-+ 因为 22111,,x y z x x zF F F z y z z z+'''===--=-所以 21x z F z z z x z x F x z z -'∂=-==+'∂+- 221.()y z F z z y x z y F y x z z -'∂=-==+'∂+-例28. 设(,)z z x y =是由方程2224x x y e z z ++=所确定的隐函数，求.dz例29.设2sin(23)23x y z x y z +-=+-，证明：1x z x y∂∂+=∂∂ 证明设(,,)2sin(23)23F x y z x y z x y z =+---+，则 2c o s (23)x F x y z '=+--,2c o s (23)2y F x y z '=+-⋅-2x F '= 2c o s (23)(3)3z x F x y z F ''=+--+=-133x x z x F F z x F F ''∂=-=-=''∂-, 2233y x z x F F zy F F ''∂=-=-=''∂-故12 1.33y x z z F F z zx y F F ''∂∂+=--=+=''∂∂ （六）微分法在几何上的应用（不做考试要求）1.空间曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程 (),(),()x t y t z t ϕψω===，则Γ在点000(,,)x y z 处的切线方程为：000000()()()x x y y z zt t t ϕψω---==''' 法平面方程为： 000()()()()()()0t x x t y y t z zϕψω'''-+-+-= 2.空间曲线的切平面与法线隐函数的曲面方程：(,,)0F x y z =， 显函数的曲面方程：(,)z f x y =，（七）多元函数的极值及其求法1.极值的必要条件：见教材.264P 定理1（极值发生在可疑点，即驻点或偏导数不存在的点上.2.极值的充分条件：设00(,)x y 为为函数(,)z f x y =的驻点，000022222,,x x x x x xy y y y y yzz zA B C xx yy ======∂∂∂===∂∂∂∂,则下结论（1）20,0B AC A -<>有极小值，0A <有极大值； （2）20B AC ->，无极值；（3）20B AC -=,不定，另作讨论.例30.（选择题）下列说法中，正确的是（ ）.A 可微函数(,)f x y 在00(,)x y 达到极值，则必有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''==.B 二元函数(,)f x y 在00(,)x y 达到极值，则必有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''== .C 可微函数(,)f x y 在00(,)x y 有0000(,)(,)0;x y f x y f x y ''== .D 二元函数(,)f x y 在00(,)x y 的偏导数不存在，则必不存在极值. 例31求函数224(23)z x y =-+的极值.解 804(23)0x y z x z y ⎧'==⎪⎨'=-+=⎪⎩，得驻点3(0,)2-又22333(0,)(0,)(0,)222()xyxxyyB AC z z z ----=-⋅08(8)640-⋅-=>，故函数在3(0,)2-处无极值.3.用Lagrange 乘子法求条件极值的应用题解题步骤：（1）将实际问题化为二元或三元函数的条件极值问题； （2）作辅助函数(,,,)F x y z λ＝原函数+λ乘条件函数； （3）将辅助函数对,,,x y z λ分别求偏导数，得方程组； （4）解方程组，得唯一驻点（5）答：根据实际问题的意义，知此唯一驻点即极值点，也是最值点，并求出最值．例32 应用题：造一个容积为V 的长方体盒子，如何设计，才能使所用材料最少？解 设盒长为x ，宽为y 则高为V xy ，故表面积为：2()V V S xy x y=++， 于是，将问题化为求二元函数的最大值问题，222(02()0SV y x x S V x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解得唯一驻点33(,)V V ，根据实际问题的意义，此唯一驻点即为极大值点，也是最大值点， 答：当盒子的长宽高都是3V ，即正方体时，所用材料最少.例33. 应用题：利用Lagrange 乘子法求椭圆抛物面222z x y =+到平面232x y z +-=的最短距离.第八章 重 积 分（一）重积分的概念1.定义：二重积分表示一种类型的和式极限； 三重积分表示另一种类型的和式极限.2.几何与物理意义二重积分表示曲顶柱体的体积，平面薄板的质量； 三重积分表示空间物体的质量（无几何意义）． 3.性质与定积分类似性质3：如果在定义域D 上，函数(,)1f x y =，σ为D 的面积，则 1DDd d σσσ=⋅=⎰⎰⎰⎰（二）二重积分的计算1.直角坐标系下二重积分的计算步骤：面积元素 d dxdy σ= ①先通过解方程组曲线交点的坐标，然后画出积分域的草图； ②如是x -形积分域，将其化为先对y 后对x 的积分次序积出来 y -形积分域，将其化为先对x 后对y 的积分次序积出来. 注 利用“穿口法”的定限口诀是： 后积先定限，限内画条线； 先交下限写，后交上限见.2.极坐标系下二重积分的计算①何时采用极坐标：（ⅰ）积分域是园形或环形；（ⅱ）被积函数包含22x y +.②记住极坐标变换：cos x r θ= 面积元素：d rdrd σθ=， s i n y r θ=然后将积分化为先对r ，后对θ的次序积出来； ③积分限如下定：（ⅰ）若极点O 在域D 内，则2()(,)(cos ,sin );r Df x y d d f r r rdr πθσθθθ=⎰⎰⎰⎰（ⅱ）若极点O 在域D 的边界上，则()(,)(cos ,sin );r Df x y d d f r r rdr βθασθθθ=⎰⎰⎰⎰（ⅲ）若极点O 在域D 的外部，则21()()(,)(cos ,sin ).r r Df x y d d f r r rdr βθαθσθθθ=⎰⎰⎰⎰例34.（选择题）设(,)f x y 是连续函数，交换二重积分112203ydy x y dx -⎰⎰的的积分次序后的结果为（ C ） 11220.3;xA dx x y dy -⎰⎰11220.3;y B dx x y dy -⎰⎰21122.3;x C dx x y dy -⎰⎰ 211220.3.x D dx x y dy +⎰⎰例35.交换积分次序：22121(1)01(,)(,)x x odx f x y dy dx f x y dy --+=⎰⎰⎰⎰.例36.(选择题)设域22:1D x y +≤，且0,0x y ≥≥，则2Dxy dxdy =⎰⎰（ B ）112.;A dx xy dy ⎰⎰ 211200.;x B dx xy dy -⎰⎰2112.;y C dx xy dy -⎰⎰221120..y x D dx xy dy --⎰⎰例37.计算二重积分Ⅰ＝22y Dx e dxdy -⎰⎰，其中D 是由直线,1y x y ==及y轴所围的平面区域．解 画出积分区域草图，这是y -型积分域，故选取先对x 后对y 的积分次序，得Ⅰ＝221220yy y Dx edxdy edy x dx --=⎰⎰⎰⎰＝221113000111()366y t y t t y e dy te dt td e =---==-⎰⎰⎰令110112(1).66t t tee dt e--⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦⎰分部法例38.求二重积分 cos()Dx x y d σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0),(,0)π和(,)ππ的三角形区域.例39.计算Dydxdy ⎰⎰，其中D 由2,2y x y x x ==-围成．解 将22y x x =-改写为：11x y =+±-，则 {}(,)11,01D x y y x y y =--≤≤≤≤，所以原式＝11110(11)yyydy dx y y y dy --⋅=-+-⎰⎰⎰＝101514y ydy -+⋅-⎰ ＝2sin 2220442(1sin )sin .15815y tt tdt ππ==-+-=-⎰令例40.计算222DR x y d σ--⎰⎰，其中D 是由圆周22x y Rx +=所围成的闭区域 解 根据积分域和被积函数的特点，选用极坐标计算c o s22222202R DR x y d d R r rdrπθσθ--=-⋅⎰⎰⎰⎰＝33332024(sin )().333R R R d πθθπ--=-⎰例41.求二重积分22()xy De dxdy -+⎰⎰，其中222:0,0,.D x y x y a ≥≥+≤解 选用极坐标计算22222()221()(1).224aax yrraDedxdy d erdr e d r e πππθ-+----=⋅=⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰例42.应用题：求在XOY 平面上由2y x =与24y x x =-所围成区域的面积.例43.D 是由曲线24()y x y =+以及4x y +=所围成的图形，试求D 的面积.（以上两题，利用二重积分的几何意义，取被积函数(,)1f x y ≡，计算二重积分即得所谓区域的面积）例44.（填空题）设空间一光滑曲面S ：(,),z f x y D =是S 在坐标面XOY 上的投影，则D 的面积＝1Dd σ⋅⎰⎰例45.利用极坐标计算二重积分22ln(1)Dx y dxdy ++⎰⎰，其中 22:1,0,0.D x y x y +≤≥≥ 解 由于极点在D 的边界上，故原式＝1222ln(1)ln(1)Dr r drd d r r dr πθθ⋅+=+⎰⎰⎰⎰＝12201ln(1)(1)22r d r π⋅++⎰=分部法122100(1)l n (1)2(2l n 21).44r r rdr ππ⎡⎤++-=-⎢⎥⎣⎦⎰ 解 2244444464(4).43yy Dy S dxdy dy dx dy ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰（三）三重积分的计算（只做简单的计算）1.直角坐标系下的计算 体积元素：dv dxdydz =1212(,)(,):()()z x y z z x y y x y y x a x b ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，（这是上下张着的曲面，x -型的投影域）则2211()(,)()(,)(,,)(,,);by x z x y ay x z x y f x y z dv dx dy f x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.柱坐标系（＝极坐标z +轴）下的计算体积元素：dv rdrd dz θ=1212(,)(,):()()z r z z r r r r θθθθαθβ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，(这是上下张着的曲面，极点在投影域外部)则2211()(,)()(,)(,,)(cos ,sin );r z r r z r f x y z dv d rdr f r r dz βθθαθθθθθΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰3.球坐标系下的计算体积元素：2sin dv r drd d ϕϕθ=s i n c o s i n s i n c o s x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩， 1212(,)(,):()()r r r ϕθϕθϕθϕϕθαθβ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2211()(,)2()(,)(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin r r f x y z dv d d f r r r r dr βϕθϕθαϕθϕθθϕϕθϕθθϕΩ=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰例46.在柱坐标中，a θ=（常数）表示的曲面是：z 过轴的半平面. 例47.(填空题)设一立体由上半球面224z x y =--及锥面223()z x y =+所围成，则其在XOY 平面上的投影为：21y x y +≤.例48.（选择题）Ⅰ＝22()x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由锥面22z x y =+，平面(0)z a a =>所围成的闭区域，则它在柱坐标系下的三次积分是（ D ）2.;a arA d rdr r dz πθ⎰⎰⎰ 2220.;a arB d rdr r dz πθ⎰⎰⎰20.;a a C d rdr r dz πθ⎰⎰⎰ 220..a arD d rdr r dz πθ⎰⎰⎰例49（选择题）设区域{}222(,,)(1)1x y z x y z Ω=++-≤，且()f t 是连续函数，则222()f x y z dv Ω++=⎰⎰⎰（ A ） 22c o s220.()sin A d d f r r dr ππϕθϕϕ⎰⎰⎰；22c o s220.(2cos 1)sin B d d f r r r dr ππϕθϕϕϕ++⎰⎰⎰； 22c o s 200.(2c o s)s i n C d d f r r d rππϕθϕϕϕ⎰⎰⎰； 22c o s 220.(2c o s )s i n .D d d f r r d r ππϕθϕϕϕ⎰⎰⎰例50. 求曲面22y x z +=与22y x z +=所围成立体的体积体积. 解 在柱坐标系下，将被积函数(,,)1f x y z ≡，则所围立体的体积为：2211.6rr V dv rdrd dz d rdr dz ππθθΩΩ=⋅===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第九章 曲线积分与曲面积分（曲面积分不做考试要求） （一）曲线积分1.第Ⅰ型曲线积分（对弧长的积分）2.第Ⅱ型曲线积分（对坐标的积分）3.两类积分之间的联系.4.计算方法（1）设曲线L 由它的的参数方程：(),()x t t y t ϕαβψ=⎧≤≤⎨=⎩给出(特例) ,()x xa xb y y x =⎧≤≤⎨=⎩)，则[]22(,)(),()()(),();Lf x y ds f t t t t dt εαϕψϕψαβ''=+<⎰⎰（2）若弧AB 由()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩给出，起点A 对应t α=，终点B 对应,t β=则[][]{}(),()()(),()()ABPdx Qdy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ''+=+⎰⎰. 5.Green （格林）公式：()DLQ Pdxdy Pdx Qdy x y∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰ 应用：,P y Q x =-=，得D 得面积 12A xdy ydx =-⎰.6.平面曲线积分与路径无关的条件 （1）0;Pdx Qdy +=⎰（2）设G 是单连通域，,P Q 在G 内有一阶连续偏导数，则曲线积分LPdx Qdy +⎰在G 内与路径无关的充分必要条件是：P Q y x∂∂=∂∂在G 内恒成立. 例51.（选择题）设AB 为由点A (0,)π到点(,0)B π的直线段，则si n s i n ABydx xdy +=⎰（ C ）.2;A .1;B - .0;C .1.D例52.计算曲线积分22()()Lx y dx x y dyx y -+++⎰，其中L 是沿着园： 22(1)(1)1x y -+-=从点(2,1)到点(0,1)的上半圆弧. 解 2222(,),(,)x y x yP x y Q x y x y x y-+==++ 因为 222222,(0,0)()P y xy x Qx y y x y x∂--∂==≠≠∂+∂ 所以，在不含原点的任何闭曲线L 上0L=⎰，即在不含原点的任一闭区域内积分与路径无关.故选择路径为线段:,1,02,AB x x y x ==≤≤，在AB 上有：1,0y d y ==，故 原式＝02222()()11ABx y dx x y dyx dx x y x -++-=++⎰⎰ ＝22222011ln(1)arctan 12x dx x x x -+⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦⎰ln 5arctan 2.2=-例53.计算曲线积分22()Lx y ds +⎰，其中L 是园的渐开线：(c o s s i n ),02.(s i n c o s )x at t t t y at t t π=+⎧≤≤⎨=-⎩ 解 [][]222222(cos sin )(sin )(1)x y a t t t a t t a t +=++-=+(s i n s i n c o s 0x at t tt a tt'=-++= (cos cos sin )sin y a t t t t at t '=-+= 22ds x y dt atdt ''=+=原式＝2222330(1)()a t atdt a t t dt ππ+=+⎰⎰＝24322320()2(12).24t t a a πππ+=+例54.（填空题）L 为园：224x y +=，计算弧长的曲线积分22Lx y ds +=⎰8π例55. 计算 222(sin ).Lx yx dx xy dy -+⎰L 为正向圆周：22 1.x y +=（应用Green 公式化为二重积分计算）第十章 无 穷 级 数（一）数项级数敛散性的判别 一.级数的概念12121,nn nnn uu u u Su uu∞==++++=+++∑ 若lim n n S S →∞=，则称级数收敛到和S级数收敛的必要条件：1n n u ∞=∑收敛，则lim 0.n n u →∞=二.逆否命题：若lim 0,n n u →∞≠则级数1n n u ∞=∑发散．三.收敛判别法1.正项级数的两个判别法：比较判别法，比值判别法；2.任意项级数的两个定理； （1）绝对收敛定理1nn u∞=∑与1n n u ∞=∑有如下关系：1nn u∞=∑收敛 ⇒1nn u∞=∑也收敛；1nn u∞=∑发散 ⇒1nn u∞=∑收敛或发散；1nn u∞=∑收敛 ⇒1nn u∞=∑收敛或发散；1nn u∞=∑发散 ⇒1nn u∞=∑必定发散.（2）比值判别法23.交错级数的Leibniz （莱布尼兹）判别法；4.从定义、性质判别.四.两个重要的参照级数：1.等比（几何）级数1211n n n aqa aq aq aq ∞--==+++++∑当1q <时，级数收敛；当1q ≥时，级数发散. 2.p 级数11111123pp p pn nn ∞==+++++∑当1p >时，级数收敛；当1p ≤时，级数发散；特例：1p =时，11n n∞=∑称为调和级数，发散.五.判别级数收敛的一般步骤： 1.先看通项n u 是否趋于零？若lim 0n n u →∞≠，则级数1n n u ∞=∑发散；若lim 0n n u →=，则需进一步判断.2.选用合适的判别法；3.实在不行，再用定义试试，即看极限lim n n S →∞是否存在？例56.（选择题）若级数1n n u ∞=∑收敛，则级数（ D ）收敛1.;n n A u ∞=∑ 21.;n n B u ∞=∑1.();n n C u c ∞=+∑ 1..n n D c u ∞=⋅∑例57.若级数1nn u∞=∑收敛，则级数1(100)nn u∞=+∑收敛还是发散？ .例58.判定级数12sin3n nn π∞=∑的收敛性解 这是正项级数法一.用比较判别法 因 22sin()33n nn n u ππ=≤⋅，而12()3n n π∞=∑是公比213q =<的等比级数，收敛，由比较判别法，知原级数收敛.法二.用比值判别法 因111112si n3l i m l i m 2si n 3223l i m 1.323n n n n n n n n n n n n nu u ππππ+++→∞→∞++→∞=⋅==<⋅无穷小替换，由比值判别法，知原级数收敛. 例59判断级数111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑的收敛性.解 因 111ln(1)ln(2)n n u u n n +=>=++(1,2,)n =1l i m 0l n (1)n n →∞=+ ，故由leibniz 判别法，知原交错级数收敛.例60（填空题 ）极限2!lim n n n n n→∞的值为0解 以2!n n n n u n=为通项的正项级数，根据比值判别法知其收敛，又据收敛级数的必要条件，知其通项的极限为零.例61证明：若0,lim 0n n n u nu a →∞>=≠，则级数1n n u ∞=∑发散.证明 因为 lim lim01nn n n u n u a n→∞→∞⋅==≠，由0n u >，根据正项级数比值判别法的极限形式，由于11n n ∞=∑为调和级数，发散，所以级数1n n u ∞=∑也发散.（二）求幂级数的收敛半径及收敛区间 1. 用比值判别法2 1()lim()n n n u x u x +→∞=（一般与x 有关），再讨论，求出收敛半径.2. 1l i m n n n aa ρ→∞+=， 则收敛半径为：1R ρ=3.对端点单独讨论后，确定收敛区间. 例62.求幂级数221212n nn n x ∞-=-∑的收敛域. 解 这是缺少奇数次项的幂级数，由比值判别法2，1()lim ()n n nu x u x +→∞=2221221)12(22)12(lim x x n x n n n n n n =-⋅+-+∞→ ⇒ 当2211,2,22x x x <<<时，原级数收敛，收敛半径2R =讨论端点的情况：当2±=x 时，原级数为∑∞=-1212n n 发散，故收敛域)2,2(-例63.将函数21()52x f x x x -=-+展为1x -的幂级数.例64.求幂级数2ln (1)nnn n x n∞=-∑的收敛域；当1x =时，是绝对收敛， 还是条件收敛？并给出证明.（三）利用幂级数和函数的分析性质，求和函数.设幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛半径为(0)R >，则在(,)R R -内，和函数具有下列性质：（1）和函数是连续的；（2）()S x 逐项可导，且10()()nn n n n n S x a x na x ∞∞-==''==∑∑；（3）()S x 逐项可积，且10()1xx xnnn n n n n n n a S t dt a t dt a t dt x n ∞∞∞+======+∑∑∑⎰⎰⎰. 注意：求导和积分后的和函数收敛半径不变，但在收敛区间端点可能不同．例65.求幂级数41141n n x n +∞=+∑的和函数.解 设和函数411()41n n x S x n +∞==+∑，易得收敛区间为(1,1)-，利用逐项微分和积分，414442411()()()()41n n n n n x S x x x x x n +∞∞==''===+++++∑∑这是41q x =<的等比级数，由因(0)0S =，故 44440001(1)()()11xxx x x S x S x dx dx dx x x--'===--⎰⎰⎰ ＝4220011111(1)(1)12121x x dx dx x x x-=-+⋅+⋅-+-⎰⎰ ＝111arctan ln .241xx x x+-+- (11)x -<< 例66. 求幂级数21121n n x n +∞=+∑的收敛区间，并求其和函数.（四）傅立叶级数(不做考试要求)第十一章 微 分 方 程（一）一阶微分方程的求解1.可分离变量的方程：()()dyf xg y dx=的解法 分离变量后，两边同时积分得通解；2.齐次方程：()dy yF dx x =的解法： 令 y u x =，则()duxu F u dx+=，分离变量并积分，得通解； 3.一阶线性非齐次方程：()()dyp x y q x dx+=的解法解法-常数变易法通解公式为：()()()p x dx p x dx y e q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=⋅+⎢⎥⎣⎦⎰ 注：解方程一般直接用常数变易法，当然，也可代通解公式，但公式复杂，且计算和化简时较繁，易出错．（二）二阶线性微分方程的通解结构1.齐次方程：()()0y p x y q x '''++=的通解：是两个线性无关特解12(),()y x y x 的线性组合，即1122()()y c y x c y x =+；2.非齐次方程：()()()y p x y q x y f x '''++=的通解 非齐通（y ）＝齐通（y ）+非齐特（y *）（三）二阶常系数线性齐次方程：0y py q '''++=通解的特征根解法； 二阶常系数线性非齐次方程的两种特殊右端特解的解法. 例67.（单选题）下列微分方程中，通解为212(cos sin )x y e c x c x =+的方程是（ B ）.450A y y y '''--= .450B y y y '''-+= .250C y y y '''-+= 2.45.x D y y y e '''++=解 B .的特征方程为：2450λλ-+= 4162042222i i λ±-±===±， 2,1αβ== 故通解为： 212(cos sin )x y e c x c x =+.例68.求微分方程0340,,5x x y y y yy ==''''--==-的特解.例69.（填空题）微分方程ln 0xy y y '-=的通解为cx y e =. 这是可分离变量的方程 ln dyx y y dx= 分离变量ln dy dxy y x = 两边积分(l n )ln d y dx y x =⎰⎰得 1l n l n l nl ny x c =+ 111ln ,ln ,.c x cx y c x y c x y e e ±==±== 例70. 求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解。
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高数曲线积分习题讲解
第二类（对坐标的）曲线积分
变力做功问题 W = F d r
F (P,Q, R) r (dx,dy,dz)
n
定义
f ( x , y , z )ds lim 0 i1
f ( i , i , i ) si
n
Pdx
Qdy
Rdz
lim
0
i1
[ P ( i ,i ,
i )xi
Q ( i ,i , i )yi R( i ,i , i )zi ]
证：由对坐标的曲线积分的物理意义知，力F 沿右半平面任意有向
路径
L
所作的功为
W
LF dr
L
k
3
( xdx
ydy)
令
P
kx
3 ,
ky
Q 3 , 则
P y
kx
3
2
y
3kxy
3 ,
Q x
3kxy
3
,
P = Q . y x
所以此力场中场力所作的功与所取得路径无关.
例8.设曲线积分L xy2dx y(x)dy与路径无关，其中(x)具有连续的导数，
弧微分：ds x2(t) y2(t) z2(t) dt
f ( x, y, z)ds
f [ x(t ), y(t ), z(t )]
x2 (t ) y2 (t ) z2 (t )dt
2 间接计算: 化为第二类曲线积分.
注：利用对称性，质心公式等简化计算。
（ii）第二类曲线积分 1 直接计算 写出参数方程 x x(t), y y(t), z z(t)；
2. 习题
例1. 计算 x2 y2ds,其中L 为圆周 x2+ y2 ax(a 0). L y
高数曲线积分典型例题
高数曲线积分典型例题例1 计算LI xds =⎰，其中L 是圆222x y a +=中(0,)A a 到(,)22a a B -之间的一段劣弧0)a >（．解法1 将积分弧段分为AC 和CB 两段弧来计算（如图9－1所示）：ABACCBxds xds xds =+⎰⎰⎰而 2022aACax xds dx a a x ==-⎰⎰，22222aaCBax a xds dx a x ==-⎰⎰．图9－1故21(1)2LI xds a ==+⎰．解法2 L AB =的参数方程为：cos ,sin x a y a θθ==()42ππθ-≤≤，于是2422cos (sin )(cos )I a a a d ππθθθθ-=-+⎰24221cos (1)2a d a ππθθ-==+⎰．错误解答 设(,0)C a ，因为22:AC y a x =-，22:CB y a x =--，则沿此两段弧均有22adx ds a x=-，故有 220221(1)2a ABax xds dx a a x==--⎰⎰．错解分析 错误原因在于选x 作为参数时，y 表示为x 的单值函数时有两个表达式，故必须分为两段计算．注 在求对弧长的曲线积分时，若已知积分曲线的参数方程为L ：()x t ϕ=，()y t ψ=且t α=和t β=分别对应点A 与点B 处的参数值，在将曲线积分转化为定积分时，除了要求积分的下限小于上限，还要注意：当t 从α连续变化到β时，相应的点((),())t t ϕψ应在积分曲线上．同时，若将非参数的积分曲线转化为参数形式时，参数方程不同，积分限也不同，计算的难易程度也不同，所以，一般要选取计算较为简单的参数方程形式．例2 计算(1)L x y ds -+⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界．xyoABC解 L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)L x y ds -+⎰(1)OA x y ds =-+⎰(1)AB x y ds +-+⎰ (1)BO x y ds +-+⎰，由于OA :0y =，01x ≤≤，于是ds dx ==，图9－2故 103(1)(01)2x y ds x dx -+=-+=⎰⎰OA ，而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是ds ===． 故10(1)[(1)ABx y ds x x -+=--+=⎰⎰同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），ds dy =，则 11(1)[01]2BOx y ds y dy -+=-+=⎰⎰． 综上所述 31(1)222Lx y ds -+==⎰ 注 当L 是分段光滑的闭曲线时，应该分成光滑曲线逐段计算． 例3 计算22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y ax +=，0a >．分析 积分曲线L 关于x 轴对称（如图9－3所示），被积函数为关于y 的偶函数，由对称性得222LL x y ds +=⎰⎰,其中221:(0)L x y ax y +=≥．解法1 直接化为定积分．1L 的参数方程为cos 22a a x θ=+,sin 2ay θ=（0θπ≤≤）, 且2ads d θθ=．图9－3于是22202cos 222LLax y ds axds a d a πθθ+==⋅=⎰⎰⎰．解法2 1L 的极坐标方程为()cos (0)2r aπθθθ=≤≤，则()sin y r θθ=，()cos xr θθ=，()cos r a θθ=，ds ad θθ==， 2222202cos 2Lx y ds a d a πθθ+==⎰⎰．注1在解法1中，参数θ表示圆心角，而在解法2中，参数θ表示极坐标系下的极角，参数的意义不同，一般取值范围也不相同．注2 若曲线在极坐标系下的方程为()r r θ=，则ds θ，可直接用此式． 注3 当积分曲线L 关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来计算第一类曲线分．一般地，有以下的结论:（1）若曲线L 关于x 轴对称，记1L 是L 的0y ≥的部分，(,)f x y 在L 上连续，则 a ．(,)Lf x y ds ⎰=12(,)L f x y ds ⎰（若(,)f x y 是关于y 的偶函数）．b ．(,)Lf x y ds ⎰=0（若(,)f x y 是关于y 的奇函数）．（2）若曲线L 关于y 轴对称，记1L 是L 的0x ≥的部分，(,)f x y 在L 上连续，则 a ．(,)Lf x y ds ⎰=12(,)L f x y ds ⎰（若(,)f x y 是关于x 的偶函数）．b ．(,)Lf x y ds ⎰=0（若(,)f x y 是关于x 的奇函数）．例4 计算2 x yzds Γ⎰其中Γ为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C (1,2,3)D ．分析 求本题曲线积分的关键是求三条线段CD BC AB ,,的参数方程．在空间中过点111(,,)x y z ，222(,,)x y z 的直线的对称式方程为111212121x x y y z z x x y y z z ---==---， 令该比例式等于t ，可得直线的参数方程．解 如图9－4所示，2222 AB BC CD x yzds x yzds x yzds x yzds Γ=++⎰⎰⎰⎰． 线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则222()()()dx dy dz ds dt dt dt=++ 2220022dt dt =++=，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则222100,ds dt dt =++=故122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则2220215ds dt dt =++=，故11220812(2)525)53CDx yzds t t dt t t dt =⋅⋅+⋅=+=⎰⎰⎰ 2 (2，所以2222 853ABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds Γ=++=⎰⎰⎰⎰． 例5 计算2x ds Γ⎰，Γ为球面2222(0)x y z a a ++=>与平面0x y z ++=的交线． 分析 此题为对空间曲线弧的曲线积分，一般地，若Γ的参数方程为()x t ϕ=，()y t ψ=，()z t ω=（t αβ≤≤）且在t αβ≤≤上具有连续导数，则有222(,,)[(),(),()][()][()][()]f x y z ds f t t t t t t dt βαϕψωϕψωΓ'''=++⎰⎰．解法1 先将曲线Γ用参数方程表示，由于Γ是球面2222x y z a ++=与经过球心的平面0x y z ++=的交线，如图9－5所示，因此是空间一个半径为a 的圆周，它在xOy 平面上的投影为椭圆，其方程可以从两个曲面方程中消去z 而得到，即以()z x y =-+代入2222x y z a ++=有2222a x xy y ++=，将其化为参图9－5数方程，令3cos 22a x t =，即 2cos 3x a t =， sin 22x a y t +=，即有 sin cos 26a ay t t =-，代入2222x y z a ++=（或0x y z ++=中） xzoy得z t t =，从而Γ的参数方程为cosx t =，y t t =，z t t =-(02)t π≤≤．则 dsadt ==, 所以 2222232300222cos cos 333x ds a tadt a tdt a πππΓ===⎰⎰⎰． 解法2 利用对称性由于积分曲线方程中的变量,,x y z 具有轮换对称性，即三个变量轮换位置， 方程不变，故有2x ds Γ⎰2y ds Γ==⎰2z ds Γ⎰，因此2222211()33x ds x y z ds a ds ΓΓΓ=++=⎰⎰⎰232233a a a ππ=⋅=． 注 这里通过巧妙地利用轮换对称性，使计算大大简化，一般来讲，对于曲线的方程， 若其坐标的位置完全平等（即将,,x y z 轮换位置，曲线方程的形式不变），则可以考虑轮换对称性．另外，对曲线积分，若被积函数出现积分曲线方程的形式，则将积分曲线方程代入被积函数中通常可以将积分化简．例6 设一段曲线12ln (0)y x x x x =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．分析 首先求出线密度(,)x y ρ，然后再利用公式(,)L M x y ds ρ=⎰即可．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2L M x ds =⎰，其中 12:ln (0)L y x x x x =<≤≤．则L 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩12(0)x x x <≤≤， 故ds ==，所以3221121[(1)]3x x x x M x ==+⎰332222211[(1)(1)]3x x =+-+． 例 7 求八分之一球面2222(0,0,0)x y z R x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=．解 设曲线在,,xOy yOz zOx 坐标平面内的弧段分别为1L 、2L 、3L ，曲线的重心坐标为(),,x y z ，则曲线的质量为1123233342L L L L R RM ds ds ππ++===⨯=⎰⎰．由对称性可得重心坐标 ()12312311L L L L L L x y z xds xds xds xds MM++====++⎰⎰⎰⎰()131120L L L xds xds xds MM=++=⎰⎰⎰202243RR R MM π===⎰． 故所求重心坐标为444,,333R R R πππ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 例8 计算⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧．分析 由于曲线L 是分段光滑的，所以先分别计算在每段光滑曲线的对坐标的曲线积分．如图9－6，将积分分成两部分：⎰-++Ldy y x dx y x )()(2222⎰-++=1)()(2222L dy y x dx y x dy y x dx y x L )()(22222-+++⎰．解法1 1L 的方程为y x =(01)x ≤≤，则有322)()(1222221==-++⎰⎰dx x dy y x dx y x L ． 2L 的方程为2y x =-(12)x ≤≤，则dy y x dx y x L )()(22 222-++⎰222 1[(2)]x x dx =+-⎰ 222 1[(2)](1)x x dx +--⋅-⎰22 12 2(2)3x dx =-=⎰． 所以34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ． 图9－6解法2 以y 为自变量，1L 的方程为x y =(01)y ≤≤，则10 1222222 12()()(2)23L x y dx x y dy y dy y dy ++-=-==⎰⎰⎰． 2L 的方程为,2y x -=起始点对应的自变量值为1，终点对应的自变量值为0．由于0,2 2=+-=⎰dy x dx x dy dx L ，故有322)()(01222 222=-=-++⎰⎰dy y dy y x dx y x L ，所以34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ． 注 将对坐标的曲线积分直接化为对参数变量的定积分时应当注意：（1）当被积函数,P Q 的形式较为简单，将积分曲线L 的方程代入积分式计算定积分比较容易时，可直接计算．（2）参变量的选取视积分曲线具体形式而定，积分下限与上限分别为积分路径的起点与终点所对应的参数值，这与对弧长的曲线积分不同；当积分曲线分段光滑时，应分段积分，并注意各自选择适宜的参数变量作为积分变量．例9 计算,L ydx xdy +⎰ 如图9－7所示，L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧．分析 关于对坐标的曲线积分的计算，与对弧长的曲线积分相似，也分三种，不同之处在于: 对坐标的曲线积分中的曲线为图9－7 有向的，因此化为定积分时，积分上、下限只与曲线的起点和终点有关，而与其大小无关．解法1 利用直角坐标计算．记1L 为222x y a +=上从点(0,)C a 到点(,0)B a 的一段劣弧．则2222aLaydx a x dx a π-=-=⎰⎰（定积分的几何意义）． 而1222222LL axdy xdy a y dy a π==-=-⎰⎰⎰，所以 0L ydx xdy +=⎰．解法2 利用曲线的参数方程计算．L 的参数方程为:cos ,sin x a y a θθ==，在起点(,0)A a -处参数值取π，在终点(,0)B a 处参数值相应取0，故θ从π到0．则0sin (cos )cos (sin )Lydx xdy a d a a d a πθθθθ+=+⎰⎰=02cos 20a d πθθ=⎰．yo(,0)A a -(,0)B a x解法3 设,P y Q x ==，故1P Q y x∂∂==∂∂，由曲线积分与积分路径无关得 0LABydx xdy ydx xdy +=+=⎰⎰，其中:0AB y =．解法4 利用格林公式．设,P y Q x ==，则有1P Q y x∂∂==∂∂，由于积分路径不封闭，需要作辅助线:0y =BA ，记BA 与L 所围成的闭区域为D ，得LL BABAydx xdy ydx xdy ydx xdy ++=+-+⎰⎰⎰00ABDd ydx xdy σ=++=⎰⎰⎰．注1 当积分曲线L 关于某个坐标轴对称时，可以考虑采用对称性来计算第二类曲线分．一般地，有以下的结论:若曲线L 关于x 轴对称，记1L 是L 的0y ≥的部分，(,)f x y 在L 上连续，则 a ．(,)Lf x y dx ⎰=12(,)L f x y dx ⎰（若(,)f x y 是关于y 的奇函数）．b ．(,)Lf x y dx ⎰=0（若(,)f x y 是关于y 的偶函数）．若曲线L 关于y 轴对称，记1L 是L 的0x ≥的部分，(,)f x y 在L 上连续，则 a ．(,)Lf x y dy ⎰=12(,)L f x y dy ⎰（若(,)f x y 是关于x 的奇函数）．b ．(,)Lf x y dy ⎰=0（若(,)f x y 是关于x 的偶函数）．注2 利用格林公式计算对坐标的曲线积分L Pdx Qdy +⎰时，应注意以下几点: （1）,P Qy x∂∂∂∂在区域G 内连续，闭区域D 的边界曲线L 应取正向． （2）若L 为非封闭曲线，直接计算又较困难，可添加辅助线C 使L C +为封闭曲线，然后使用格林公式，若L C +的方向为负向，格林公式中二重积分前要加负号，并注意LL CC+=-⎰⎰⎰，同时注意补上的曲线要便于积分的计算．（3）若,P Q y x∂∂∂∂在D 中某点00(,)x y 不连续，要通过添加辅助曲线C 挖去00(,)x y 后再使用格林公式，并要注意C 的方向的选取．（4）在曲线积分中，可将L 的表达式代入被积表达式，但是使用格林公式将曲线积分化为二重积分后，在D 内的点(,)x y 已不再满足L 的方程，不应再将L 的表达式代入二重积分的被积表达式．例10 计算)L ydx x dy +⎰，如图9－8所示，L 是依次连接(1,0),A -(2,1),B(1,0)C 的折线段．分析 若将直线AB 和BC 的方程写出，代入积分式直接计算则比较麻烦，所以考虑用格林公式计算，但是L 不是封闭曲线，须添加辅助线段CA 使曲线封闭，并注意到封闭折线ABCA 的方向为负向，应用格林公式时在二重积分前要添加负号．解 令(,)P x y y =，(,)Q x y x ，则112Q Px y∂∂-=--=-∂∂，且线段:0CA y =，x 由1变化到-1，故有)Lydx x dy +⎰3(sin )ABCAydxx dy =+⎰)CAydx x dy -+⎰11(2)022DDdxdy dx dxdy -=---⋅==⎰⎰⎰⎰⎰．图9－8其中D 为ABCA 所围成的闭区域．例11 计算22L xdy ydxx y-+⎰，其中L 为椭圆周2241x y +=，取逆时针方向． 分析 此题可以直接计算，也可应用格林公式，但是应注意奇点．解法1 直接计算，L 的参数方程为:1cos 2x θ=，sin y θ=，θ从0到2π，则22Lxdy ydx x y -+⎰22202211cos sin 221cos sin 4d πθθθθθ+=+⎰ 222012cos 4sin d πθθθ=+⎰220(2tan )14tan d πθθ=+⎰．注意到3,22ππθθ==为被积函数的无穷间断点，故220(2tan )14tan d πθθ+⎰为反常积分，因此 22L xdy ydx x y -+⎰22220(2tan )(2tan )14tan 14tan d d πππθθθθ=+++⎰⎰3232222(2tan )(2tan )14tan 14tan d d ππππθθθθ++++⎰⎰，其中22220()(2tan )[arctan(2tan )]lim arctan(2tan )arctan(2tan 0)14tan 2d πππθθπθθθ-→==-=+⎰；同理可得 22(2tan )14tan 2d ππθπθ=+⎰，322(2tan )14tan 2d ππθπθ=+⎰，3222(2tan )14tan 2d ππθπθ=+⎰． 所以22L xdy ydx x y -+⎰22222πππππ=+++=．解法2 用格林公式．令(,)P x y =22y x y -+，22(,)x Q x y x y =+，则当(,)(0,0)x y ≠时，22222()P Q y x y x x y ∂∂-==∂∂+，但积分曲线L 所围区域包含点(0,0)，(,),(,)P x y Q x y 在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点(0,0)去掉，为此作半径足够小的圆C :222x y δ+=，使C 位于L 的内部，如图9－9所示．C 的参数方程为cos x δθ=，sin y δθ=，[0,2]θπ∈，C 取逆时针方向．于是图9－922L xdy ydxx y -+⎰22L C xdy ydxx y -+-=-+⎰22C xdy ydxx y --+⎰，其中C -表示C 的负方向．由格林公式则有2200L C D xdy ydxdxdy x y -+-=⋅=+⎰⎰⎰， 其中D 为L 与C 所围成的闭区域．故22L xdy ydx x y -+⎰22C xdy ydx x y --=-+⎰22C xdy ydxx y -=+⎰ 222220cos (sin )sin (cos )cos sin d d πδθδθδθδθδθδθ-=+⎰202d πθπ==⎰．例12 利用格林公式计算L uds n∂∂⎰，其中22(,)u x y x y =+，L 为圆周226x y x +=取逆时针方向，un∂∂是u 沿L 的外法线方向导数． 解 由于cos(,)cos(,)u u u x y n x y ∂∂∂=+∂∂∂n n 2cos 2cos x y βα=-，其中,αβ是在曲线L 上点(,)x y 处的切线的方向角，故(2cos 2cos )L uds x y ds n βα∂=-∂⎰⎰．根据两类曲线积分之间的联系及格林公式，有(2cos 2cos )L Luds y x ds n αβ∂=-+∂⎰⎰(2)24LDy dx xdy dxdy =-+=⎰⎰⎰．因为L 为圆周226x y x +=，所以L 所围成的圆的面积9σπ=，因此 4436L Duds dxdy nσπ∂===∂⎰⎰⎰． 例13 验证在全平面上，(1sin )(2sin )cos x x e y dx e y ydy +++是全微分，并求出它的一个原函数．解 令(,)(1sin )x P x y e y =+，(,)(2sin )cos x Q x y e y y =+，则在全平面上有cos x Q Pe y x y∂∂==∂∂，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上， (1sin )(2sin )cos x x e y dx e y ydy +++是全微分．下面用三种方法来求原函数：解法1 运用曲线积分公式，为了计算简单，如图9－10所示，可取定点(0,0)O ，动点(,0)A x 与(,)M x y ，于是原函数为(,)(0,0)(,)(1sin )(2sin )cos x y x x u x y e y dx e y ydy =+++⎰．取路径: OA AM +，得图9－10(,)(10)(2sin )cos x yx x u x y e dx e y ydy =+++⎰⎰21sin sin x x e e y y =-++．解法2 从定义出发，设原函数为(,)u x y ，则有(,)(1sin )x uP x y e y x∂==+∂，两边对x 积分（y 此时看作参数），得(,)(1sin )()x u x y e y g y =++ （*）待定函数()g y 作为对x 积分时的任意常数，上式两边对y 求偏导，又(,)uQ x y y∂=∂，于是 cos ()(2sin )cos x x e y g y e y y '+=+，即 ()2sin cos g y y y '=，从而 2()sin g y y C =+（C 为任意常数），代入（*）式，得原函数2(,)sin sin x x u x y e e y y C =+++．解法3 凑微分．(1sin )(2sin )cos x x e y dx e y ydy +++(sin cos )2sin cos x x x e dx e ydx e ydy y ydy =+++ 2(sin )(sin )x x de d e y d y =++2(sin sin )x x d e e y y =++， 故原函数为2(,)sin sin x x u x y e e y y =++．注1 当积分与路径无关时，在选取路径时应使得计算简便．注2 (,)u x y 不唯一，但它们之间相差一个常数． 例14（98研） 确定常数λ，使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()x y xy x y x x y λλ=+-+A i jo(,0)A x xy(,)M x y为某二元函数(,)u x y 的梯度，并求(,)u x y ．分析 平面单连通区域内向量场(,)(,)(,)x y P x y Q x y =+A i j 为某二元函数的梯度的充要条件是Q Px y ∂∂=∂∂，由此可确定.λ然后，由曲线积分00(,)(,)(,)(,)x y x y P x y dx Q x y dy +⎰与路径无关即可求出 (,)u x y ．解 由梯度定义 (,)(,)(,)(,)u uu x y x y P x y Q x y x y∂∂=+==+∂∂grad i j A i j ，其中 422422(),()u u P xy x y Q x x y x yλλ∂∂==+==-+∂∂， 而42242132()()4Qx x y x x y x x λλλ-∂=-+-+⋅∂， 424212()2()2Px x y xy x y y yλλλ-∂=+++⋅∂． (,)x y A 为(,)u x y 的梯度．即Pdx Qdy +在0x >时存在原函数(,)u x y ，故Q Px y∂∂=∂∂，由此可 得424()(1)0x x y λ++=，可见当且仅当1λ=-时，所给向量(,)x y A 为u 的梯度．又由于 Pdx Qdy du +=，于是曲线积分00(,)(,)(,)(,)x y x y P x y dx Q x y dy +⎰与路径无关，故(,)u x y =00(,)(,)(,)(,)x y x y P x y dx Q x y dy +⎰C +(,)(1,0)x y Pdx Qdy =+⎰C +(,)2421(1,0)(2)()x y xydx x dy x y C -=-++⎰2424221020arctan 0xy x x dy y dx C C x x y x ⋅=-+=-+++⎰⎰． 注 本题实质上是平面单连通区域内曲线积分与路径无关的题目，不过以梯度的形式考察．例15 试求由星形线33cos ,sin x a t y a t ==所围成图形的面积．分析 这是一道求平面图形的面积的题目，可用定积分计算，也可用二重积分计算， 也可用曲线积分计算，下面用二重积分来计算，进一步利用格林公式，将重积分转化为曲线积分来计算．解 由格林公式可知 12L D A dxdy xdy ydx ==-⎰⎰⎰2323201[cos 3sin cos sin 3cos (sin )]2a t a t t a t a t t dt π=⋅-⋅⋅-⎰ 22222220033sin cos sin 228a a t tdt tdt ππ==⎰⎰2220313[sin 4]8288a t t a ππ=-=． 注 由格林公式可知，要使()C DQ Pdxdy Pdx Qdy x y ∂∂-=+∂∂⎰⎰⎰表示曲线C 所围区域D 的面积时，只要选取适当的P 和Q ，使Q Px y∂∂-∂∂为非零常数即可． 例16 设有一力场，场力的大小与作用点P 到z 轴的距离成反比，方向垂直指向z 轴，如图9－11所示，试求一质点沿圆周cos ,1,sin x t y z t ===从点(1,1,0)A 沿t 增长的方向移动到点(0,1,1)B 所做的功．分析 变力沿曲线做功，可通过对坐标的曲线积分求得，将变力F 表示为向量的形式:{,,}x y z F F F =F ，确定曲线L 的方向，则功x y z L W F dx F dy F dz =++⎰．若为平面曲线，计算方法类似．解 依题意可知，点P 所受的力F 的大小为: ||=F ，其中k 为常数，F 的方向为{,,0}x y --，将此向量单位化，得{=F ，{}022||,,0.kx y x y ==-+F F F 22220cos sin ()1cos Lk t tW xdx ydy k dt x yt π-=-+=-++⎰⎰ 2222200cos ln(1cos )ln 221cos 22k d t k k t t ππ⎡⎤=-=-+=⎣⎦+⎰．图9－11例17 求曲面积分3()22y z I x dS ∑=++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z++=在第一卦限的部分，如图9－12所示．分析 这是一道计算第一类曲面积分的基本题．要把第一类曲面积分化为二重积分， 首先要求出曲面∑在xOy 平面（或yOz 平面，zOx 平面）上的投影区域D ，再根据∑的方程确定面积元素dS ．最后由区域D 定出二重积分化为二次积分的上、下限．一般地，若光滑曲面∑的方程为(,)z z x y =，∑在平面xOy 上的投影为xy D ，且(,,)f x y z 在∑上连续， 则(,,)[,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰． 解 将曲面的方程改写为:4(1)23x yz ∑=--，则 2zx∂=-∂,43z y ∂=-∂，从而dS ==，图9－12∑在xOy 上的投影区域为3{(,)|02,03}2xy D x y x y x =≤≤≤≤-,故3361()[2(1)]222233xyD y z x y I x dS x y dxdy T=++=++--⎰⎰⎰⎰ 322300615761(2)366x dx y dy -=-=⎰⎰． 例18 计算曲面积分2221dS x y z ∑++⎰⎰，其中∑是介于平面0z =及z H =之间的圆柱面222x y R +=．分析 由于柱面∑在xOy 坐标面上的投影为一条曲线，不能构成区域，即投影区域的面积等于零，所以∑不能投影到xOy 平面上，故考虑投影到yOz 平面上或投影到zOx 平面上，如图9－13所示．解法1 由于曲面∑的方程可以写成22(0)x R y z H =+-≤≤,因此考虑将曲面∑向yOz 平面投影，则∑是由两片曲面图9－13221:(0)x R y z H ∑=-≤≤和222:(0)x R y z H ∑=--≤≤组成， 曲面1∑和2∑在yOz 面上的投影区域均为:,0xz D R y R z H -≤≤≤≤．在1∑上:0xz∂=∂， 22x y y R y ∂-=∂-；在2∑上:0xz∂=∂，22x y y R y∂=∂-．因此 22222221()()1x x y Ry z R y R y ∂∂++=+=∂∂--， 又因为在1∑和2∑上，均有22222x y z R z ++=+，故 2222211dS dS x y z R z ∑∑=+++⎰⎰⎰⎰12222211dS dS R z R z ∑∑=+++⎰⎰⎰⎰ 2222222211yzyzD D R Rdydz dydz R z R z R y R y =⋅+⋅++--⎰⎰⎰⎰ 222212yzD R dydz R z R y =⋅+-⎰⎰220222H R R dz dy R R z R y-=⋅+-⎰⎰ xyzoH004[arctan ]R H z R =⋅⎰004arctan lim R H R εε+-→=⋅⎰ 004arctanlim[arcsin ]2arctan R H y HR R Rεεπ+-→=⋅=．解法2 由于曲面∑的方程可以写成)y z H ≤≤．因此考虑将曲面∑向xOz 平面投影，则∑是由两部分曲面1:)y z H ∑=≤≤和2:)y z H ∑=≤≤组成．曲面1∑和2∑在xOz 面上的投影区域均为:,0xz D R x R z H -≤≤≤≤．在1∑上:0yz ∂=∂， y x ∂=∂； 在2∑上:0yz ∂=∂，y x ∂=∂．因此=1∑和2∑上，均有22222x y z R z ++=+，故 2222211dS dS x y z R z ∑∑=+++⎰⎰⎰⎰12222211dS dS R z R z ∑∑=+++⎰⎰⎰⎰2arctan HR π=． 解法3 利用奇偶对称性，因为曲面∑关于xOz 坐标平面对称，且被积函数 2221(,,)f x y z x y z =++是关于y 的偶函数，故有12222221122arctan HdS dS x y z x y z R π∑∑==++++⎰⎰⎰⎰（计算过程请参考解法1） 其中1∑是∑的0y ≥的部分，即1∑是∑的右半部分．错误解答 柱面∑在xOy 坐标面上的投影为一条曲线，不能构成区域，即投影区域的面积等于零，所以积分22210dS x y z ∑=++⎰⎰． 错解分析 这个结论是错误的，事实上，对于这类曲面积分的计算，首先要看曲面在哪个坐标面的投影区域的面积不为零，然后再用相应的公式进行计算，就可以得出正确的结果． 注 （1）计算对面积的曲面积分时，积分曲面投影到哪个坐标面，要根据积分曲面方程的表达式来确定．一般地，∑投影到坐标面xOy 时，∑的方程应写为),(y x f z =的形式；∑投影到yOz （或xOz ）坐标面时，∑的方程应写为),(y x g x =（或),(z x h y =）的形式．如果曲面∑可以同时表示成(,)x x y z =，(,)y y x z =，(,)z z x y =，可以将曲面∑向任何一个坐标平面投影，那么对面积的曲面积分都可化为二重积分计算．但到底选择哪个坐标平面，首先，选择∑在坐标面上的投影区域越简单越好，其次要使∑的方程代入被积函数后所得函数较简便，使二重积分易于计算．（2）当∑是母线平行于坐标轴的柱面时，不能将∑向垂直于母线的坐标面投影，例如本例中就不能向xOy 面投影，因为∑的方程不能写成(,)z z x y =的形式，从几何上看，∑在xOy 面上的投影是曲线（圆周），不能形成区域．（3）当∑的方程不是单值函数时，要将曲面分成两个单值函数表示的曲面分别进行计算，然后再相加．例19 计算()xy yx zx dS ∑++⎰⎰，其中∑是圆锥面z 222x y ax +=所截得的部分．分析 本题可以将∑投影在坐标面xOy ，然后直接计算；又由于积分曲面∑关于zOx 面对称，也可考虑利用对称性来计算．解法1 直接计算．如图9－14所示，∑在坐标面xOy 上的投影区域xy D 为: ax y x 222≤+．因为,,2222yx y z yx x z y x +=+=所以dS zx yz xy ⎰⎰∑++)(dxdy y x x y x y xy xyD 22222⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=，221yxz z ++21222222=++++=y x y y x x ，在极坐标系下xy D 为:22,cos 20πθπθ≤≤-≤≤a r ，故dxdyy x y x xy dS zx yz xy xyD )(2)(22⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++∑2cos 2222cos sin (cos sin )[] a d r r rdr πθπθθθθθ-=++⎰图9－14⎰-⋅++=2244)cos 2()sin cos sin (cos 2ππθθθθθθd a4544242cos 53d πθθ==⋅⋅=⎰解法2 利用奇偶对称性．因为曲面∑关于zOx 面对称，且被积函数xy 和yz 关于y 是奇函数，故0xydS yzdS ∑∑==⎰⎰⎰⎰，因此()xy yx zx dS xzdS ∑∑++=⎰⎰⎰⎰，为了计算xzdS ∑⎰⎰，将∑向xOy 面投影，投影区域为xy D ，在极坐标系下可以表示为:02cos ()22r a ππθθ≤≤-≤≤，于是xyD xzdS ∑=⎰⎰⎰⎰222cos 30cos a d r dr ππθθθ-⎰2245cos d ππθθ-=⎰2454cos d πθθ==⎰．所以()xy yx zx dS ∑++⎰⎰4xydS yzdS xzdS ∑∑∑=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 注（1） 若曲面∑关于xOy 对称，记1∑是∑的0z ≥的部分，即1∑是∑的上半部分， (,,)f x y z 在∑上连续，则a ．(,,)f x y z dS ∑⎰⎰=12(,,)f x y z dS ∑⎰⎰（若(,,)f x y z 是关于z 的偶函数）．b ．(,,)f x y z dS ∑⎰⎰=0（若(,,)f x y z 是关于z 的奇函数）．（2）若曲面∑关于zOx 对称，记1∑是∑的0y ≥的部分，即1∑是∑的右半部分， (,,)f x y z 在∑上连续，则a ．(,,)f x y z dS ∑⎰⎰=12(,,)f x y z dS ∑⎰⎰（若(,,)f x y z 是关于y 的偶函数）．b ．(,,)f x y z dS ∑⎰⎰=0（若(,,)f x y z 是关于y 的奇函数）．（3）若曲面∑关于yOz 对称，记1∑是∑的0x ≥的部分，即1∑是∑的前半部分， (,,)f x y z 在∑上连续，则a ．(,,)f x y z dS ∑⎰⎰=12(,,)f x y z dS ∑⎰⎰（若(,,)f x y z 是关于x 的偶函数）．b ．(,,)f x y z dS ∑⎰⎰=0（若(,,)f x y z 是关于x 的奇函数）．（4）设有界分片光滑曲面:(,,)0f x y z ∑=具有轮换对称，即对任意(,,)x y z ∈∑，(,,)z x y ∈∑，(,,)z y x ∈∑，且(,,)f x y z 在∑上连续，则(,,)(,,)(,,)f x y z dS f z x y dS f z y x dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰．例20 计算22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑是0z y x =⎧⎨=⎩ (01)z ≤≤绕z 轴旋转一周所得到的旋转曲面．分析 先写出∑的方程，将∑投影到三个坐标面上，积分的计算对应有三种解法，这里仅给出了其中一种解法，其它的解法请读者自行完成．解 旋转曲面为1)z z ≤≤，故dS ==，所以2222())xyD x y dS x y dxdy ∑+=+⎰⎰，其中{}22(,)|1xy D x y x y =+≤是∑在xOy 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是212220()x y dS d r rdr πθ∑+=⋅=⎰⎰⎰． 例21 若球面上每一点的密度等于该点到球的某一定直径的距离的平方，求球面的质量．分析 此题考察曲面积分的物理意义，应先将所求的物理量用数学式子表达出来，然后再计算．解法1 设球面方程为2222x y z a ++=，定直径选在z 轴，依题意，球面上点(,,)P x y z 的密度为22(,,)x y z x y ρ=+，从而球面的质量为22()M x y dS ∑=+⎰⎰．由对称性可知12222()2()M x y dS x y dS ∑∑=+=+⎰⎰⎰⎰，其中1∑为上半球面z =z x ∂=∂z y ∂=∂dS ==，其中222{(,)|}xy D x y x y a =+≤是1∑在xOy 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是得2222()2aM x y dS a d rdr πθ∑=+=⎰⎰⎰⎰=304aa π⎰=2334cos a a tdt ππ⎰244384sin 3a atdt πππ==⎰． 解法2 设球面方程为2222x y z a ++=，定直径在z 轴上，依题意得球面上点(,,)P x y z 的密度为22(,,)x y z x y ρ=+，从而得球面的质量为22()M x y dS ∑=+⎰⎰，由轮换对称性可知：222x dS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，故有 42222222228()43333a M x y z dS a dS a a ππ∑∑=++=⋅=⋅=⎰⎰⎰⎰．例22 面密度1ρ=的均匀半球面2222(0)x y z a z ++=≥对z 轴的转动惯量． 分析 先求出转动惯量的数学表达式．解法1 所求转动惯量22()z I x y dS ∑=+⎰⎰，考虑将半球面向xOy 坐标面投影，则投影区域为222{(,)|}xy D x y x y a =+≤．因为z dS ==，所以2222()xyz D I x y dS a ∑=+=⎰⎰⎰⎰220aa d πθ=⎰⎰（利用极坐标变换）24302sin a tdt ππ=⎰443a π=．（令sin r a t =）解法2 所求转动惯量是整个球面绕z 轴的转动惯量的一半，而22222222222222()()3x y z a x y z a x y dS x y z dS ++≤++≤+=++⎰⎰⎰⎰2222242833x y z aa dS a π++≤==⎰⎰ 所以 44184233z I a a ππ=⨯=．例23 计算2()z x dydz zdxdy ∑+-⎰⎰，其中221:()2z x y ∑=+为介于0,2z z ==之间部分的下侧，如图9－15所示．分析 此题可以直接计算，也可应用两类曲面积分之间的关系或应用高斯公式． 解法1 将曲面∑分为1∑和2∑，其中1:x ∑yOz 坐标面上的投影区域21:{(,)|22,2}2yz D y z y y z -≤≤≤≤，取∑的前侧；2:x ∑=，其在yOz 坐标面上的投影区域21:{(,)|22,2}2yz D y z y y z -≤≤≤≤，取∑的后侧．则12222()()()zx dydz z x dydz z x dydz∑∑∑+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222(2)(2)yzyzD D zz y dydz z z y dydz =+----⎰⎰⎰⎰21222222222yzy D z y dydz dy z y dz -=-=-⎰⎰⎰⎰（令22z y u -=）图9－152324222220222(4)43y dy u du y dy π---==-=⎰⎰⎰，而对于zdxdy ∑-⎰⎰，考虑221:()2z x y ∑=+的下侧，其在xOy 坐标面上的投影为22{(,)|4}xy D x y x y =+≤，则有222220011()422xyD zdxdy x y dxdy d r rdr πθπ∑-=+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．故2()8zx dydz zdxdy π∑+-=⎰⎰．解法2 由两类曲面积分之间的联系可知:cos dydz dS α=，cos dxdy dS γ=，于是cos cos dydz dxdy αγ=，将曲面221()2z x y =+取下侧，法向量为(,,1)(,,1)z z x y x y ∂∂=-=-∂∂n ，所以22cos 1x x y α=++，221cos 1x y γ-=++，dydz xdxdy =-，则有22()()()z x dydz z x x dxdy ∑∑+=+-⎰⎰⎰⎰2221[()]4xy D x x y x dxdy =++⎰⎰ 224001cos (cos )44d r r r rdr πθθθπ=+=⎰⎰，222220011()[()]422xyD z dxdy x y dxdy d r rdr πθπ∑-=--+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰， 所以 2()8z x dydz zdxdy π∑+-=⎰⎰．解法3 增补221:2(4)z x y ∑=+≤，取上侧，由高斯公式得12()0zx dydz zdxdy ∑+∑+-=⎰⎰，所以 122()[()]z x dydz zdxdy z x dydz zdxdy ∑∑+-=-+-⎰⎰⎰⎰yzo2z =x112()z x dydz zdxdy ∑∑-++⎰⎰⎰⎰＝028xyD dxdy π=+=⎰⎰．注 上述三种解法中，应用高斯公式最简单，因此在解题时，选择什么样的方法比较重要．对坐标的曲面积分的计算问题，其主要方法有:（1）直接计算:这种方法是将有向曲面分别投影到相应坐标面．此方法往往计算量大，但是方法易于掌握；（2）利用两类曲面积分之间的联系，将对不同坐标的计算转化为对相同坐标的计算，例如解法2，再直接计算；（3）应用高斯公式，将曲面积分化为三重积分．例24 计算()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰，其中∑为曲面22z x y =+及平面(0)z h h =>所围成的空间区域的整个边界的外侧，如图9－16所示．解法1 用高斯公式来计算． 令P y z =-，Q z x =-，R x y =-，则()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑=++⎰⎰()(000)P Q Rdv dv x y z ΩΩ∂∂∂=++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰0=， 图9－16其中Ω是曲面22z x y =+及平面(0)z h h =>所围成的空间闭区域．解法2 用奇偶对称性 设∑在平面z h =及锥面22z x y =+所围成的圆锥体的上侧为1∑，侧面为2∑．为计算()y z dydz ∑-⎰⎰，须将2∑分成3∑和3'∑，前半锥面3∑:22(0)x z y z =-≥，后半锥面3'∑:22(0)x z y z =--≥，且它们的法向量相反．由于y z -为x 的偶函数，而积分曲面关于坐标面yOz 对称，则有2()0y z dydz ∑-=⎰⎰．又因为1∑垂直yOz 平面，故1()0y z dydz ∑-=⎰⎰， 因而()0y z dydz ∑-=⎰⎰．同理可得()0z x dzdx ∑-=⎰⎰，又因为12()()()x y dxdy x y dxdy x y dxdy ∑∑∑-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，yzoz h=x而1∑和2∑的法向量分别与z 轴正向成锐角、钝角，且二者在xOy 面内的投影区域相同， 均为xy D ，故()()()0xyxyD D x y dxdy x y dxdy x y dxdy ∑-=---=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．所以()()()0y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-=⎰⎰．注 关于第二类曲面积分的奇偶对称性有以下结果会经常用到:（1）设曲面∑关于xOy 面对称，记∑的上方部分为1∑，(,,)f x y z 在∑连续，则 a ．(,,)f x y z dxdy ∑⎰⎰=12(,,)f x y z dxdy ∑⎰⎰（若(,,)f x y z 是关于z 的奇函数）．b ．(,,)f x y z dxdy ∑⎰⎰=0（若(,,)f x y z 是关于z 的偶函数）．（2）设曲面∑关于xOz 面对称，记∑的右方部分为1∑，(,,)f x y z 在∑连续，则 a ．(,,)f x y z dxdy ∑⎰⎰=12(,,)f x y z dxdy ∑⎰⎰（若(,,)f x y z 是关于y 的奇函数）．b ．(,,)f x y z dxdy ∑⎰⎰=0（若(,,)f x y z 是关于y 的偶函数）．（3）设曲面∑关于yOz 面对称，记∑的前方部分为1∑，(,,)f x y z 在∑连续，则 a ．(,,)f x y z dxdy ∑⎰⎰=12(,,)f x y z dxdy ∑⎰⎰（若(,,)f x y z 是关于x 的奇函数）．b ．(,,)f x y z dxdy ∑⎰⎰=0（若(,,)f x y z 是关于x 的偶函数）．（4） 第二类曲面积分Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰也有轮换对称性．这里轮换对称性是指:a ．被积表达式满足轮换对称性；b ．积分曲面及其指定侧也具有轮换对称性，这里指∑在各坐标面上的投影区域相同， 且相应的符号也相同．例25 计算22y zdxdy xzdydz xydzdx ∑++⎰⎰，其中∑是由旋转抛物面22z x y =+，圆柱面221x y +=和坐标平面在第一卦限中所围成曲面的外侧，如图9－17所示． 分析 对于对坐标的曲面积分问题，可以考虑采用直接的方法计算；也可以考虑用高斯公式来计算，但是，图9－17在应用高斯公式时要注意前提条件：曲面封闭且方向指向外侧，被积函数在积分曲面所围的xyoz闭区域Ω上具有一阶连续偏导数．解法1 设∑在三个坐标面0,0,0x y z ===及曲面22z x y =+，221x y +=上的部分分别为1234,,,∑∑∑∑及5∑，则122y zdxdy xzdydz x ydzdx ∑++⎰⎰12y zdxdy ∑⎰⎰＝1xzdydz ∑+⎰⎰12x ydzdx ∑+⎰⎰，因为1∑在平面xOy 上的投影没有形成区域，所以有120y zdxdy ∑=⎰⎰．而当 0x =时，被积函数0xz =，20x y =，所以有10xzdydz ∑=⎰⎰及120x ydydz ∑=⎰⎰．故1220y zdxdy xzdydz x ydzdx ∑++=⎰⎰． 同理可得 2220y zdxdy xzdydz x ydzdx ∑++=⎰⎰，3220y zdxdy xzdydz x ydzdx ∑++=⎰⎰．设4∑在三个坐标面上的投影区域分别为,,xy yz zx D D D ．并注意到4∑分别取上侧、后侧及左侧，则有44442222y zdxdy xzdydz xydzdx y zdxdy xzdydz x ydzdx ∑∑∑∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，2412222240()sin 24xyD y zdxdy y x y dxdy d r rdr ππθθ∑=+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，241112yzyD xzdydz dy π∑=-==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，241122048xzxD x ydzdx x x dx π∑=-==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以 42224124816y zdxdy xzdydz x ydzdx ππππ∑++=--=-⎰⎰．由于5∑是母线平行于z 轴的柱面，它在坐标平面xOy 上的投影是一条曲线（四分之一圆弧），于是由定义可知520y zdxdy ∑=⎰⎰．5∑在坐标平面yOz 和zOx 上的投影是边长为1的正方形，分别取前侧和右侧，则有522y zdxdy xzdydz xydzdx ∑++⎰⎰5520xzdydz x ydzdx ∑∑=++⎰⎰⎰⎰111zdz dz x =+⎰⎰⎰⎰381616πππ=+=．所以22y zdxdy xzdydz x ydzdx ∑++⎰⎰316168πππ=-=． 解法 2 上面的解法显然很繁琐，由于∑为封闭曲面，故考虑用高斯公式化为三重积分计算．令(,,)P x y z xz =，2(,,)Q x y z x y =，2(,,)R x y z y z =，则P z x ∂=∂，2Q x y ∂=∂，2R y z ∂=∂． 由高斯公式得2222()y zdxdy xzdydz x ydzdx z x y dxdydz ∑Ω++=++⎰⎰⎰⎰⎰，其中Ω是由∑所围成的空间闭区域． 在柱面坐标系下，Ω可以表示为2:0,01,02r z r πθ≤≤≤≤≤≤，因此22y zdxdy xzdydz xydzdx ∑++⎰⎰22120()r d rdr z r dz πθ=+⎰⎰⎰4140[]22r r r dr π=+⎰150348r dr ππ==⎰．注 在计算对坐标的曲面积分时，应该注意：（1）由于被积函数定义在积分曲面上，所以首先观察是否可以利用曲面方程化简被积函数，同时要观察对哪两个坐标积分，例如，对坐标x 和y 积分时，则只能将曲面向xOy 坐标面投影，而不能向其它坐标面投影，在将对坐标的曲面积分转化为二重积分时，要注意二重积分前的正负号与积分曲面的侧的关系．（2）若积分曲面表示为显函数后不是单值函数，则应将曲面分片，使每片曲面的显函数表示为单值函数．然后再计算．（3）与对面积的曲面积分不同，若积分曲面在某个坐标面上的投影区域的面积为零，则对这两个坐标的曲面积分的值为零．（4）应用高斯公式计算对坐标的曲面积分时，一定要满足高斯公式的条件，如果不满足，例如曲面不为封闭曲面时，采取添加有向曲面的方法使之封闭，当然在应用高斯公式计算曲面积分时，也要注意积分曲面的侧．（5）在对坐标的曲面积分中，可将∑的表达式代入被积表达式，但是使用高斯公式将曲面积分化为三重积分后，在Ω内的点(,,)x y z 已不再满足∑的方程，不应再将∑的表达式代入三重积分的被积表达式．例26 计算曲面积分333I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰，其中∑为球面2222xy z a ++=的内侧．分析 由题知∑为封闭曲面，但∑的侧是球面的内侧，因此，不能直接应用高斯公式计算．解 由对坐标的曲面积分的性质可知(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑++⎰⎰(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy -∑=-++⎰⎰，于是有333I x dydz y dzdx z dxdy -∑=-++⎰⎰，其中-∑为球面2222x y z a ++=且取外侧．记∑围成的立体为Ω，由高斯公式得222 3()I x y z dxdydz Ω=-++⎰⎰⎰22203sin ad d r r dr ππθϕϕ=-⋅⎰⎰⎰5512(3)2255a a ππ=-⨯⨯⨯=-．例27 计算曲面积分(2)I x z dydz zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑为曲面22z x y =+(01)z ≤≤法向量指向与z 轴正向夹角为锐角的一侧，如图9－18所示．分析 由于是法向量指向与z 轴正向夹角为锐角的一侧，且不封闭，不能直接应用高斯公式，应添加辅助曲面并改变曲面的侧，然后再应用高斯公式．图9－18解 首先作辅助曲面221:1(1)z x y ∑=+≤，取下侧，和∑围成立体为Ω，根据对坐标的曲面积分的性质1(2)(2)x z dydz zdxdy x z dydz zdxdy ∑∑+++++⎰⎰⎰⎰1()(2)x z dydz zdxdy -∑+∑=-++⎰⎰,其中1()-∑+∑表示Ω的整个边界曲面，且取外侧．由高斯公式可知1()(2)(21)x z dydz zdxdy dxdydz -Ω∑+∑++=+⎰⎰⎰⎰⎰,利用柱面坐标计算得 22113332rdxdydz d rdr dz ππθΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰， (2)I x z dydz zdxdy ∑=++⎰⎰11()(2)(2)x z dydz zdxdy x z dydz zdxdy -∑∑+∑=-++-++⎰⎰⎰⎰13(2)2x z dydz zdxdy π∑=--++⎰⎰， 注意到1∑在坐标平面yOz 上的投影是曲线，不能构成区域，故有1(2)0x z dydz ∑+=⎰⎰，而11(1)xyD zdxdy dxdy ππ∑=-=-⨯=-⎰⎰⎰⎰，于是有 3(2)()22I x z dydz zdxdy πππ∑=++=---=-⎰⎰．。
大学经典课件之高等数学——10-1第一类曲线积分
∫L f ( x , y, z )ds = ∫L f ( y, x , z )ds
同理，如果空间曲线 L 关于平面 y= z 及 z= x 对称，有类似的性质。
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三、对弧长曲线积分的计算
定理1（平面曲线的情况）
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续 ，L的 ⎧ x = ϕ ( t ), (α ≤ t ≤ β )，其中 ϕ ( t ),ψ ( t ) 参数方程为 ⎨ ⎩ y = ψ ( t ), 在[α , β ]上具有一阶连续导数 , 则
它们对应于一列单调的参数值
α = t 0 < t1 < t 2 < L < t n − 1 < t n = β
记： Δsi = M i −1 M i 的弧长， Δt i = t i − t i −1 ，则由弧 长公式知：
Δ si = ∫
ti
t i −1
[ϕ ′( t )]2 + [ψ ′( t )]2 dt
L1 L2
2、如果两条空间曲线 L1、 L2 关于平面 x = y 对 称，则
∫L
2
f ( x , y , z )ds = ∫ f ( y , x , z )ds
L1
同理，如果L1、 L2 关于平面 y= z 及 z= x 对 称，也有类似的性质。
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3、如果空间曲线 L 关于平面 x = y 对称，那么交 换被积函数 f ( x, y, z) 中的变量 x, y 的位置， z 的位置不动，积分值不会改变。即
∫L
f ( x , y )ds = ∫ f [ϕ ( t ),ψ ( t )] ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t )dt
高等数学9-1第一类曲线积分
2 2
z
h
Dz
(0 z h)
o x
y
而不是：
பைடு நூலகம்z x y
2 2
(0 z h)
解法1: 截面法
利用对称性知引力分量 Fx Fy 0
z
h
Fz
G [ x
V
z
2
Dz
y z ]
2
2 32
dV
o x
2 3 2
y
G z d z
z
h
Dz
Fz
G [ x
V
z
2
y z ]
2
2 32
dV
o x
y
G
2 0
d d
0
h sec
0
r 3 cos sin d r 3 r
2 G h 1 cos
重申：
轮换对称性： 积分区域
利用轮换对称性 , 有
x
2
ds y ds z ds
(3).如果方程为极坐标形式 L : ( ) ( ), 则
L
f ( x, y) dl
f ( ( ) cos , ( )sin ) 2 ( ) 2 ( ) d
推广: : x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t )
f ( x, y, z )dv [
D
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz ]dxdy
2）截面法（先二后一）
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(3) L : r r( ),
L f ( x, y)ds
f [r ) cos, r( )sin ]
r2 ( ) r2 ( )d
推广 : x (t), y (t), z (t) ( t )
f ( x, y, z)ds
f [(t), (t),(t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt ( )
2 f ( x, y)ds,当f ( x, y) 是L上关于x (或y)的偶函数 L1
L1是曲线L落在y (或x)轴一侧的部分.
运用对称性简化对弧长的曲线积分 计算时, 应同时考虑被积函数 f ( x, y)与积 分曲线L的对称性.
6/19
例 计算 ( x y3 )ds. 其中L是圆周 x2 y2 R2. L
(对路径具有可加性)
4/19
5．性质
(1) [ f ( x, y, z) g( x, y, z)]ds
f ( x, y, z)ds g( x, y, z)ds
(2) kf ( x, y, z)ds k f ( x, y, z)ds (k为常数)
(3) 与积分路径的方向无关, 即
(
⌒ f
f ( x, y)ds
b
f [ x, ( x)]
1 2( x)dx (a b)
L
a
ds 1 2( x)dx
(2) L : x ( y), c y d
f ( x, y)ds
d
f [( y), y]
1 2( y)dy (c d )
L
c
ds 1 2( y)dy
10/19
解 对称性,得
y x2 y2 R2
( x y3 )ds xds y3ds 0
L
L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于y轴对称, L
被积函数x是L上 关于x的奇函数 xds 0 L
对 y3ds, 因积分曲线L关于x轴对称, L
被积函数 y3是L上关于y的奇函数 y3ds 0 L
z k 的一段. (0 2 )
解 I 2 a2 cos sin k a2 k2d 0 1ka2 a2 k 2 2 12/19
例 计算 e x2 y2ds, L :由圆周x2 y2 a2, L
直线y x及x轴在第一象限中所围图形的边界.
提示
e x2 y2 ds
L
2/19
2．第一型曲线积分的物理意义
f ( x, y, z)ds的物理意义表示以f ( x, y, z)为线密度
的非均匀有质曲线的质量.
3．第一型曲线积分的几何意义
(1) 当 f ( x, y) 1时, L弧长 ds L
(2) 当 f ( x, y)表示立于L上的 柱面在点( x, y)处的高时,
➢第一型曲线积分的概念及性质 ➢第一型曲线积分的计算 ➢小结
1/19
一、第一型曲线积分的概念及性质
1．第一型曲线积分的概念
若几何形体是空间曲线时，三元函数f ( x, y, z) 在曲线上的积分称为第一型曲线积分，记为：
f ( x, y, z)ds
如果是封闭曲线，常记为 L f ( x, y, z)ds
7/19
二、第一型曲线积分的计算
定理 设 f ( x, y)在曲线弧 L上有定义且连续,
L的 参 数
方
程
为
x y
(t) (t)
( t ),其中
(t), (t)在[ , ]上 具有一阶连续导数, 且
f ( x, y)ds f [ (t), (t)] 2(t) 2(t)dt
z f (x, y)
s
S柱面面积 f ( x, y)ds L
L
3/19
4．存在条件
当 f ( x, y, z)在光滑曲线弧上连续,
对弧长的曲线积分 L f ( x, y, z)ds 存在.
注意
若是分段光滑的, ( 1 2 )
12 f ( x, y, z)ds 1 f ( x, y, z)ds 2 f ( x, y, z)ds
OA
A⌒B
BO
y
B
解 OA : y 0, 0 x a,ds 1 02dx O
Ax
e x2 y2ds a e xdx ea 1
OA
0
⌒
AB
A⌒B
: e
x a cos
x2 y2 ds
, y a sin ,
4 eaad
0
4
0 aea
4
13/19
BO : y x, 0 x 2 a.
y
2
ds 1 12dx
e x2 y2ds
2a
2e
2x
O
2dx ea 1
BO
0
故 e x2 y2ds 2(ea 1) aea
L
4
B
Ax
14/19
设L为椭圆 x2 y2 1,其周长为a,则 43
(2xy 3x2 4 y2 )ds 12a L
解 (2xy 3x2 4 y2 )ds L
AB)
(
x,
y,
z)ds
f
(⌒BA)
(
x,
y,
z)ds
为简单起见，以平面曲线积分为例
5/19
补充 在分析问题和算题时常用的 对称性质
设函数f ( x, y) 在一条光滑(或分段光滑)的 曲线L上连续, L关于y轴(或x轴)对称, 则
L f ( x, y)ds
0,
当 f ( x, y)是L上关于x (或y)的奇函数
L
( )
8/19
f ( x, y)ds f [ (t), (t)] 2(t) 2(t)dt
L
( )
注：
（1）对弧长的曲线积分要求ds 0 ，定积分的
下限 一定要小于上限
（2） f ( x, y)中的x, y要满足L的方程
9/19
特殊情形
(1) L : y ( x), a x b
对 称 性
2xyds (3x2 4 y2 )ds
L
0 L
0 12 1 (3x2 4 y2 )ds L 12
12
x2 (
y2 )ds
12
1ds 12a
L4 3
L
15/19
三、小结
第一型曲线积分的概念及性质 (物理意义，几何意义，线性性质，与积分路 径的方向无关，对积分路径的可加性等） 第一型曲线积分的计算公式 (弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式)
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例 求I yds,其中L为y2 2x上自原点到 L
(2,2)的一段.
对x积分? y
解 y2 2x x y2 (0 y 2)
y2 2x
• (2,2)
2
2
1
I
y
0
1 y2dy 3 (5
5 1)
O
x
例 求I xyzds,其中 : x a cos , y a sin ,