第一型线积分和面积分-1
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数学分析课件第一型曲线积分
保守力场与势函数是描述物体在力场中运动的数学工具。
详细描述
保守力场是指一种特殊的力场，其中存在一个势函数，使得力场沿任意路径的积分等于势函数在该路径起点和终 点的差值。这种力场的特点是，物体在其中运动时，其路径与起点无关，只与势函数有关。因此，保守力场与势 函数是描述物体在力场中运动的数学工具。
流量与流速场
速度场与线积分
总ห้องสมุดไป่ตู้词
速度场与线积分在物理中有着密切的联系，它们描述了物体 在空间中移动的规律。
详细描述
在物理中，速度场指的是物体在空间中移动的速度分布。线 积分则用于计算在给定路径上的速度场中，物体所经过的位 移量。因此，速度场与线积分共同描述了物体在空间中的运 动轨迹和规律。
保守力场与势函数
总结词
积分路径的无关性
曲线积分与路径无关的条 件
如果对于某个函数f(x,y)，有 ∮L[Pdx+Qdy]=0，则称曲线积分 ∫[a,b]Pdx+Qdy与路径无关。
证明方法
通过构造一个新的函数F(x,y)，并证明F(x,y) 满足偏微分方程组{∂F/∂y=Q, ∂F/∂x=-P}，
从而证明曲线积分与路径无关。
总结词
流量与流速场是描述流体运动的数学工具。
详细描述
流量是指单位时间内流过某一截面的流体量，而流速场则描述了流体在空间中的流动速度分布。在流 体力学中，流速场和流量是描述流体运动的两个重要参数，它们之间存在密切的联系和相互影响。通 过对流速场和流量的研究，可以深入了解流体运动的规律和特性。
05
第一型曲线积分的性质 与定理
如果曲线由参数方程$x=x(t), y=y(t)$表示，其中$t$是参数，则该 曲线称为参数曲线。
参数的选择
详细描述
保守力场是指一种特殊的力场，其中存在一个势函数，使得力场沿任意路径的积分等于势函数在该路径起点和终 点的差值。这种力场的特点是，物体在其中运动时，其路径与起点无关，只与势函数有关。因此，保守力场与势 函数是描述物体在力场中运动的数学工具。
流量与流速场
速度场与线积分
总ห้องสมุดไป่ตู้词
速度场与线积分在物理中有着密切的联系，它们描述了物体 在空间中移动的规律。
详细描述
在物理中，速度场指的是物体在空间中移动的速度分布。线 积分则用于计算在给定路径上的速度场中，物体所经过的位 移量。因此，速度场与线积分共同描述了物体在空间中的运 动轨迹和规律。
保守力场与势函数
总结词
积分路径的无关性
曲线积分与路径无关的条 件
如果对于某个函数f(x,y)，有 ∮L[Pdx+Qdy]=0，则称曲线积分 ∫[a,b]Pdx+Qdy与路径无关。
证明方法
通过构造一个新的函数F(x,y)，并证明F(x,y) 满足偏微分方程组{∂F/∂y=Q, ∂F/∂x=-P}，
从而证明曲线积分与路径无关。
总结词
流量与流速场是描述流体运动的数学工具。
详细描述
流量是指单位时间内流过某一截面的流体量，而流速场则描述了流体在空间中的流动速度分布。在流 体力学中，流速场和流量是描述流体运动的两个重要参数，它们之间存在密切的联系和相互影响。通 过对流速场和流量的研究，可以深入了解流体运动的规律和特性。
05
第一型曲线积分的性质 与定理
如果曲线由参数方程$x=x(t), y=y(t)$表示，其中$t$是参数，则该 曲线称为参数曲线。
参数的选择
第一型线面积分
D yz
若的方程为 y y( x, z), Dxz : 在xz 平面上的投影,则
f ( x, y, z)dA f ( x, y( x, z), z)
1
y
2 x
yz2 dxdz.
Dxz
曲面的面积A 1dA
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
Dxy
1
x
2 y
xz2 dydz
D yz
1
y
2 x
y
b
f ( x, y( x))
1 ( y( x))2 dx
L
a
(3) L : x x( y), c y d
f ( x, y)ds
d
f ( x( y), y)
1 ( x( y))2 dy
L
c
(4) L : ( ),
f ( x, y)ds
L
f (( )cos , ( )sin )
2( ) (( ))2d
x x(t),
(5)
L
:
y
y(t ),
t
z z(t),
f ( x, y, z)ds
L
f ( x(t), y(t), z(t))
( x(t))2 ( y(t))2 (z(t))2dt.
注 : 第一型曲线积分无方向性,化成定积分时积分 限应上限大于下限。
例1
计算 e x2 y2 ds, L是由圆周x2 y2 a2(a 0),直线 L
第一型曲面积分
概念：
n
f
( x,
y, z)dA
lim
d 0 k 1
f
(ξk ,ηk ,
k
)Ak
第一型线积分与面积分
4. 若空间光滑曲线 L的 参数方程为
x x( t ) ， y y( t ) ， z z(t ) ( t ) ，则
ds
x 2 ( t ) y 2 ( t ) z 2 ( t )dt ，
L
f ( x , y , z )ds
f [ x( t ), y( t ), z( t )] x 2 ( t ) y 2 ( t ) z 2 ( t )dt
业
习 题 6.6 (P58-59)
1（1）（3）（5）； 2 （2 ）； 3 .
从而
Mx
(C )
yd s ，
（C）以极角 为参数的参数方程为 x R cos , y R sin (0 ) ， 于是
M x R2 sin d 2 R2
0
半圆的质量显然为 m R ，质心的纵坐标为
M x 2 R 2 2 R ， y m R
n
2．第一型曲线积分的定义
设 L 为oxy 面上的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，
f ( x , y ) 在 L 上有界.任取点列 M 1 , M 2 , , M n 1 ，把 L
分为 n 小 段 l i ( i 1, 2, , n ) ，并以 s i 表示 l i 的弧 长. 任取 ( i , i ) s i ，作和式 f ( i , i )s i ，设
i 1 n
第一型曲线积分的性质
, 则有 性质1 (线性性质) 设 f , g 可积, 又 , 为常数
L[ f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds .
6 第一型线积分和面积分-1
L的
参
数
方
程
为
x y
(t), (t),
( t ),其 中
'(t), '(t) C[ , ] ,
当t由变 到时 ， 对 应点M ( x, y)从A变 到点B描 出L,
f ( x, y)ds f [ (t), (t)] 2(t) 2(t)dt
L
( )
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
2007年8月
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4
注 (1)若L为闭曲线时,记为L f ( x, y)ds
(2)ds 0 弧长元素
3.推广 函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧上对弧长的 曲线积分为
n
f ( x, y, z)ds
lim 0
i 1
f (i ,i , i ) si .
第一型线积分和面积分
对弧长的曲线积分 对面积的曲面积分
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1
一、问题的提出
实例:曲线形构件的质量
y
设 构 件 占 有xoy平 面 上 一 条 曲 线
⌒
弧 AB(L),线密度为( x, y),质量 分布不均匀，求该构件的质量. A 解 分割 M1, M2 ,, Mn1 si , o
L
L1
L2
特别在L分段光滑的情形有用! (L L1 L2 ).
(4) Lds s
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6
平面曲线的弧长 (p.106)
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
第一型曲线积分的定义
第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，是微积分中的一种重要概念与计算方法，它涉及曲线和向量场之间的积分。
本文将介绍第一型曲线积分的定义、性质和计算方法。
一、第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，也称为曲线的线积分，是指在曲线上某个有向长度元素$\mathrm{d}s$上的函数值与该长度元素的乘积$d\boldsymbol{s}$在整个曲线上的积分。
设$C$是曲线，其参数方程为$\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)), t\in[a,b]$，则$C$的长度由公式：$$ L(C)=\int_{C}\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}\left[\ left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\r ight)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\f rac{1}{2}} \mathrm{d}t $$计算曲线$C$上的一个标量函数$f(x,y,z)$在曲线上的第一型曲线积分，即为：$$ \int_{C} f(x, y, z) \mathrm{d}s=\int_{a}^{b}f\left(\boldsymbol{r}(t)\right)\left[\left(x^{\prim e}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}t $$若积分路径可以看成向量值函数$\boldsymbol{r}(t)$的积分，第一型曲线积分就可以写作：$$ \int_{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{r}(t)\right) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime}(t) \mathrm{d}t=\int_{a}^{b} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} $$其中$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$是向量场，$\mathrm{d}\boldsymbol{r}$表示一个有向长度元素，$\cdot$表示向量内积运算，$\mathrm{d}\boldsymbol{s}=\boldsymbol{r}^{\prime}(t ) \mathrm{d} t$表示线元素。
第一型线积分和面积分
为平面曲线,给极坐标方程 当 C 为平面曲线 给极坐标方程
ds
r = r(θ ) , α ≤ θ ≤ β
b
r
rdθ
dr
Q ds = (rdθ )2 + (dr)2 = r 2 + (r′ )2 dθ θ
∫
C
f ( x, y)ds= ∫ f (r(θ )cosθ , r(θ )sinθ ) r 2+ rθ′ 2 dθ
两柱面的方程分别为
-. 05
0
05 .
和 y = R2 x2 . z= R x
2 2
充分利用图形的对称性, 充分利用图形的对称性 只
z = R2 x2
需对定义在
Dxy : x + y ≤ R , x ≥ 0, y ≥ 0
2 2 2
上的一片柱面 z = R2 Байду номын сангаасx2
y = R2 x2
作计算， 作计算， Q z′ = x
9
= 2∫
π /2
0
sintdt = 2
用极坐标) 解3 (用极坐标 C: r = 1, ≤ θ ≤ 用极坐标
2
π
π
2
I = ∫ y ds = ∫ sinθ ds
C
C
= 2∫
π /2
0
sinθ 12 + 02 dθ = 2
例4
x2 y2 + =1 (求柱面的侧面积 设椭圆柱面 求柱面的侧面积) 求柱面的侧面积 5 9
∫∫
σ uv
S
f ( x, y, z)dS
2 2 2
= ∫∫ f ( x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A + B + C dudv
线积分和面积分的转换
线积分和面积分的转换
进行第一类曲线积分和第二类曲线积分的转化，只需将第一类曲线积分中ds利用弧微分公式
转化为坐标表示即可。
第一类曲线积分是对弧长积分，即定义在弧长上,没有方向.如求非密度均匀的线状物体质量。
第二类是对坐标（有向弧长在坐标轴的投影）积分,有方向.如解决做功类问题。
假设曲线正向，两者可互换，弧长元dscosθ=dx,dssinθ=dy。
扩展资料
两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。
对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。
但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。
高数 第一型线积分与面积分
m f M k k m lim f M k k
d 0 k 1
如果不论上述Ω 如何划分, 点M k 如何选取, 上述极限 多元函数f在 上的积分.
， 2， , n 其中， d maxk 直径, k 1
均为同一值, 则称函数f在Ω 上可积, 且称此极限值为
o
x
2.匀 取 ( i ,i ) si , 3.和 4.精
4
n i 1
M i i , i si .
M i , i si .
M lim i , i si .
0 i 1
n
近似值 精确值
弧长微元
如果 曲线弧段C R 或R
lim
d 0
1 f k , k , z k , k k cos
2 2 lim f k ,k , z k ,k 1 z x zy k k 1
xy
f x, y, z x, y 1 z x 2 z y 2 dxdy;
绕x轴旋转所得旋转曲面的 面积为 S 2f x ds
C
P 158第9题
第二部分 第一型面积分
如果 空间曲面 S R3
S
f M d f x , y , z dS lim f k ,k , z k ,k Sk d 0 k 1
设平面曲线C的方程为y g x a x b
f M d
f x , y ds lim f
n
C
d 0
k 1
k
,k sk
2
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z
z f ( x, y)
( 3) 当 f ( x , y )表示立于L上的 柱面在点( x , y )处的高时,
S柱面面积
b
L( A, B )
f ( x , y )ds.
a
b
o
A
s
y
B
L : y y ( x)
L
f ( x , y ) 1 y 2 dx
a
x
17
(4) 曲线弧对x轴及y轴的转动惯量 ,
l
12a ( 2 xy 3 x 2 4 y 2 )ds ______ .
l l
解 ( 2 xy 3 x 2 4 y 2 )ds ( 3 x 2 4 y 2 )ds
x2 y2 又 1 3 x 2 4 y 2 12 4 3
I ( 3 x 2 4 y 2 )ds 12ds
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推广: : x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t )
f ( x , y , z )ds
2 2 2 f [ ( t ), ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) ( t )dt
l l
12 ds 12a .
l
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7
特殊情形
(1) L : y ( x )
a x b.
b 2 a
L
f ( x, y )ds f [ x, ( x )] 1 ' ( x )dx. ( a b )
( 2) L : x ( y )
第6节第一型线积分和面积分
( Line integrals and Surface integrals of the first type
(or Line integrals with respect to arc length and surface integrals with respect to area )
它在第一象限部分为
4
)
2 a 2 cos 2
利用对称性 ,
得
4 4d
4 4 a 2 cos d
0
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例5 求I x 2ds,
x2 y2 z2 a2 , 其中为圆周 x y z 0.
y' 0
2
L
( x y )ds x 1 y ' dx xdx 2 0 0
2
3
2
( ii ) L : x 2,(0 y 3), x ' 0
21 (2 y )dy ( x y ) ds (2 y ) 1 x ' dy 0 L 0 2
I y x ( x , y )ds , I x y ( x , y )ds .
2 2 L L
I o ( x 2 y 2 ) ( x , y )ds ,
L
(5) 曲线弧的重心坐标
x ( x , y )ds x , ( x , y )ds
L L
y ( x , y )ds y . ( x , y )ds
L1 L2
2. 函数f ( x , y )在闭曲线 L上对弧长的 曲线积分记为L f ( x , y )ds.
3.
（c）
1ds s
(
(c )的弧长！）
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1. 对弧长曲线积分的计算
基本思路:
求曲线积分
转化
计算定积分
定理 设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续,
因此上述计算公式相当于“换元法”. o
ds d y dx x x
(3) f ( x, y )中 x, y 彼此不独立, 而是相互有关的.
(4) 对称性
平面曲线积分参照二重积分情况， 空间曲线积分参照三重积分情况 .
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x2 y2 例1 设l为椭圆 1, 其周长记为a , 则 4 3
a
e adt
a 0
e
2dx 2(e 1)
a
4
ea
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12
例4 求 x ds , 其中c为双纽线( x 2 y 2 )2 a 2 ( x 2 y 2 ).
c
解
在极坐标系下 L : 2 a 2 cos2 ,
L1 : a cos 2 (0
( )
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证: 设 t0 t1 tn 为[ , ]上的一个分割.
相应曲线有一分割，记[t i 1 , t i ]上的弧长为s i
由积分中值定理
i [ti 1 , ti ]
n
2 2 t si t i 2 ( t ) 2 ( t )dt ( i ) ( i )ti i 1
x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
第一型（对弧长的）曲线积分的计算 第一型（对面积的）曲面积分的计算
2014年5月8日
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1
由第1节， 1. 第一型曲线积分的定义：
d max{s1 , s2 ,, sn } 其中 ds 叫做弧长元素 . 2. 性质： 与定积分类似 3. 可积性： 定理 当f ( x , y )( f ( x , y , z ))在光滑曲线弧(c )或( )
L
x ds
2
2
0
2 2 2 3 2 a cos tadt a 3 3
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2. 几何与物理意义
(1) 当 ( x, y )表示 L的线密度时,
m ( x , y )ds ;
L
( 2) 当 f ( x , y ) 1时, L弧长 Lds ;
i 1 n
n
( )
（c）
f ( x , y )ds 存在.
（ ）
f ( x , y , z )ds )
2
注意：
1. 若 L (或 )是分段光滑的 , ( L L1 L2 )
L1 L2
f ( x , y )ds f ( x , y )ds f ( x , y )ds.
0
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例３
e
L
x2 y2
ds
L : x 2 y 2 a 2 , y x及x轴在
解 L1 : y 0 (0 x a ), y ' 0, ds dx L2 : x a cos t , y a sin t y
4 L3 : y x (0 x a
例5 求I x 2ds,
x2 y2 z2 a2 , 其中为圆周 x y z 0. 2 x a cos t , 解法一 化 3 为 参 x a a 1 z sin t z (sin t cos t ), 数 2 2 2 3 方 a 1 程 y ( x z ) (sin t cos t ) 2 3
2 2 2 2 将 y ( x z ) 代入 x y z a 得 解法一 2 2 2 2 3 x 2 2( z x ) 2 a 2 , 则 x （x z） z a 2 2 x 2 3 2 x 2( z ) a 2 L: 2 2 2 x y z 0 x a cos t , 3 x a a 1 化为参数方程： z sin t z (sin t cos t ) 2 2 2 3 a 1 y ( x z ) (sin t cos t ) 14
a2 k 2
L
(2) L的质量 m 而
d s 2 a 2 k 2
2 2
a a k
2 0
cos t d t 0
21
a a k
2
2
2 0 2 0
sin t d t 0 t d t 2 2 k a 2 k 2
k a k
o
A1
Ai 1
x
xi ( i )，yi ( i )
注
(1)定积分的下限一定要小于上限 .
si 表示弧长，总是正的， 从而要求t i 0, .
2 2
(2) 注意到
ds (d x) (d y ) 2 2
y
(t ) (t ) d t
( )
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例1
计算I ( x y )ds
L
( i ) L是(0,0)与( 2,0)之间的直线段 ; ( ii ) L是A( 2,0)与B( 2,3)之间的直线段 ; ( iii ) L是x 2 y 2 R 2的上半圆周 .
解 ( i ) L : y 0,(0 x 2),
上连续时, 对弧长的曲线积分
(
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(c )
f ( x , y )ds lim f ( x i , y i ) si d 0