§96第一型曲线积分的计算

例 1．计算 L yds ，其中 L 为抛物线 y x2 ，直线x1 及
x 轴所围成的曲边三角形的整个边界。
解：
L
OA
AB
⌒
OB
OA ：0yx01 ， y 0 ，dsdx ，
AB
：
x1 0 y1
，
y
y ，dsdy ，
y B
y x2 x1
o y0 A x
⌒
BO
：
y x2
，
y x ，ds
14 x2 dx ，
L f ( x, y)ds f [()cos ,()sin]
2() 2()d 。
4. 若空间光滑曲线L的 参数方程为 x x(t) ， y y(t) ， z z(t) ( t ) ，则
ds x2(t) y2(t) z2(t)dt ，
f ( x, y, z)ds f [ x(t ), y(t ), z(t )]
(x2 y2z2)2
x
4
M
dV
o 23 y
而 dF {dFx ,dFy ,dFz } ， ∴ dFx
km x dV ，
3
(x2 y2z2)2
dFy
km y dV ，
3
(x2 y2z2)2
dFz
km z dV ，
3
(x2 y2z2)2
Fx dFx ， Fy dFy ， Fz dFz ，
由对称性知， Fx Fy 0 ，
Fz kmz 3 dV (x2 y2z2)2
2 3 4 z
km
0
d
d
2
0
(2
z
2
)
3 2
dz
2km(2 5 4).
故 F {0, 0, 2km(2 5 4)} .
§9.6 第一型曲线积分的计算
一、第一型曲线积分的概念和性质
1．曲线形物体的质量
设曲线形物体在xoy 平面上占有可求长曲线 L，
L
x2 y2 dse
2
cosd(1
4
2 )e 。 2
B
答问：：若选能x否为选参数x ，为则参有数L？： y 1 x2 ，因为 y 不是
x 的单值函数，所以必须把L 分
成
⌒ AC
和
⌒ CB
两段计算。
例 3．计算 ( x2 y2 z2 )ds ，其中 L 为球面
L
x2 y2 z2 9 与平面x z1 的交线。 2
（3）求和
n
m f (i ,i )si 。
i 1
（4）取极限
n
令 d max {si } ，则 m lim f (i ,i )si 。
1in
d 0i1
2．第一型曲线积分的定义
设 L 为xoy 面内的一条光滑（或分段光滑）曲线弧，
f ( x, y) 在 L 上有界。任取点列 M1, M2 ,Mn1 ，把 L 分 为 n 小 段 si (i 1, 2, , n) ， 同时也以si表示第 i 小
例 3．求空间立体的 形心：
{( x, y,z) x2 y2 z2 3, x2 y2 2z } 。
解：
两曲面的交线为
x2 y2z2 x2 y2 2z
3
x
2
y2
2
，
z1
1
：
x2 y22z 0 z 1
，
2
：
x2 y2 1 z
z 3
2
3
，
z
3 x2 y2z23
1 x2 y2 2z
2 ) 处的一段劣弧。 y
22
A
解法 1 L ： x 1 y2 ， 2 y1 ，
2
被积函数 xe x2 y2 e 1 y2 ，
o
x
B
xy
y ，ds 1 y2
1
x
2 y
dy
dy ， 1 y2
xe x2 y2 dse 1 1 y2 dy (1 2 )e.
L
2
1 y2
2
2
解法 2 L ： xcost ，ysint ， t ，
同理可得 J y (z2 x2 ) f ( x, y,z)dV ，
J z ( x2 y2 ) f ( x, y,z)dV 。
若 是平面区域 D，面密度函数为 f ( x, y) ，则平面 薄片对 x 轴 、 y 轴 的转动惯量为
J x y2 f ( x, y)d ， J y x2 f ( x, y)2
9 2
(x 1)2 2
2 z1 x.
y2 4
1,
其参数方程为：
x 1 2cos, 2
y 2s in,
z
1 2
2cos.
(02) ，
ds ( 2sin)2 (2cos)2 ( 2sin)2d2d ，
∴
L(
x
2
y
2
z
2
)ds
L
9 2
ds
2
oy
x
形心在 z 轴上 ，x y0 。
z
3 x2 y2z23
V dvdvdv
1 2
1
o
x
x2 y2 2z
y
1
3
0dz dxdy1 dz dxdy
x2 y22z
x2 y23z2
1
0(2z)dz 1
3(3 z2 )dz (6
3 5), 3
zdv zdv zdv
1
2
1
3
0 zdz dxdy1 zdz dxdy
3． L f ( x, y)ds L1 f ( x, y)ds L2 f ( x, y)ds, (L L1 L2 ) 。
简记为 L f ( x, y)ds L1
L2
.
4. 当f ( x, y) 1时, Lds 等于L的长度.
5. 设在 L 上 f ( x, y) g( x, y), 则
L f ( x, y)ds L g( x, y)ds. 特殊地 L f (x, y)ds L f (x, y)ds.
若 L 是闭曲线，则 f ( x, y) 在 L 上的第一型曲线
积分记为 L f ( x, y)ds 。
三、第一型曲线积分的计算法
1．设 f ( x, y) 在曲线 L 上连续，L 的参数方程为x x(t) ， y y(t) ( t ) ，其中 x(t) ， y(t) 在[,] 上有 连续的一阶导数，且 x2(t) y2(t) 0 ，则
4
L
的
参数方程为
x
acos
cos2 ，
yasin cos2
ds 2()2()d a2cos2( asin2 )2d a d,
cos2
cos2
把 L 在第一象限 的部分 记为L1 ，则
a
m L
y
ds4L1
yds4 4asin 0
cos 2
d cos2
4 4a2sind4a2(1
2 ).
0
2
例 5．设 L 为椭圆 x2 y2 1 ，其周长为 a， 43
z
4
o 23 y
x
解：设 M( x, y,z) 为空心柱体 内 任一点，dV 为包含点
M 的体积微元，dF 是 dV 对质量为 m 的质点的引力，
由万有引力定律得
dF
kmdV x2 y2z2
（k
为引力常数）z
∵ d F //OM ，OM x, y,z ，
dFdF
OM OM
km dV 3 x, y,z
J x ( y2 z2 )dV ，J y (z2 x2 )dV ，
由对称性可知J x J y J z ，于是
J
z
1 3
(J
x
J
y
J
z
)
2 3
(
x
2
y
2
z
2
)dV
2
2
d
sind
R4d 8 R5.
30 0
0
15
三．物体对质点的引力
例 5．一空心柱体 由柱面x2 y2 4 ，x2 y2 9 及 平面 z0 ，z4 为界面组成，密度为 ，有一质量为 m 的质点位于坐标原点，求空心柱体对质点的引力。
D
D
例 4．求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量 （设密度为 1）。
解：取球心为坐标原点，球半径为 R，轴 l 与 z 轴重合，
则球体所占有的空间闭区域为
{( x, y,z) x2 y2 z2 R2 },
所求转动惯量就是球体对于 z 轴的转动惯量
J z ( x2 y2 )dV 。
为了简化计算，同时考虑球体 对x 轴 、 y 轴 的转动惯量
L
x2(t ) y2(t ) z2(t)dt 。
注：
（1）第一型曲线积分与曲线的方向无关，化为关 于参数的定积分计算时，上限必须大于下限。
（2）对 L f ( x, y)ds 来说， f ( x, y) 是定义在 L 上的，
被积函数中的 x，y 应满足 L 的方程，故可利 用 L 的方程化简被积函数。
ds x2(t) y2(t)dt ，
L f ( x, y)ds f [ x(t ), y(t )]
x2(t ) y2(t)dt 。
2．若L由 方程 y y( x) (a x b) 给出，则
取 x 为 参数， ds 1 y2( x)dx
b
L f ( x, y)ds a f [ x, y( x)]
1 y2( x)dx 。
若 L由 方程 x x( y) (c y d ) 给出，则
取 y 为参数 ， ds 1 x2( y)dy
d
L f ( x, y)ds c f [ x( y), y]