苏州大学2004年数学分析解答

1.(20’)

22

4022

2

43

02223225002222500(arctan )1lim

(arcsin )1

22(arctan )

(arctan )

1lim

lim 41

2622(1)2(arctan )1lim lim

4(1)1220(26)(1)28lim lim (1)(1220)x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→→→---+=+-+-+==++++-==++（）求极限解：原式=242

2322306(1)(1220)8682lim (1)(1220)123

x x x x x x x x →++++===++

1112(2)1[01],lim ()1(0)10,(1)10,[01]()[01]

()(1)210,[01]()[01]

[01]n n n n n n n n x x x f x x x x f f n x f x f x nx n x x x f x -→∞

---+++==+++-=-<=-≥∈'=+-++>∈n n

证明对任意自然数，方程……在区间，上总有唯一实根x 并求x 证明：令……则，因此在，上有零点又……，所以在，上单调从而f(x)在，上存在唯一的零点，111[01]11

,lim

1lim 12n n n n n n n n n n n

x x x x x x x n x --→∞→∞+++=+++=→+∞=⇒=

-n

n 也即方程……在区间，上总有唯一实根x 因此……两边令则有x

2.(20')

1212

121211

sin 00[,)1

1111

,,lim sin 1lim sin 0

2221

sin 0111

0,,2422

111

,4441sin n n a x

a x x n x x n x

x x n n x x N n n n x ππππεδπππππππδ→∞→∞+∞>+∞===≠=+++∞=∃>==

++-=<>

+-0证明函数在区间（，）上不一致连续，但是对于任意，在

上一致连续。

证明：（）法一：取则从而在区间（，）上不一致连续

法二：取，则取取21212122121212212

1sin 11

sin 0[,)0,0,111111sin

sin 11

sin

sin 1

sin [,)x x

a x x x x x x x x x x x x a

a x x a x

εεδδδεε=>+∞∈+∞∀>∃>-<-<-=-≤-=-<+∞0

从而在区间（，）上不一致连续

(2)当x 时

当时，有取时，有即在上一致连续。

222222222tan 3.,(0,)sin 2

(0,),sin ,cos ,tan 2

sin 0sin 0

cos sin cos 0()sin cos ()2sin cos sin 2cos ()2cos 2sin cos 2sin 2cos x x x x x x x x x

x x x

x x x f x x x x

f x x x x x x x

f x x x x x x x x π

π

>∈∈>⇒->->=-'=+-''=-++-2证明不等式

证明：由于x 均大于0不等式变为tanxsinx-x 即要证明令2222222222sin 2cos 2sin cos 2cos 4sin sin ,(0,)

2

()2cos 2sin cos 2cos 4sin 22cos cos cos x x x x x x x x x x x x

f x x x x x x x x x x x x π

+=-+-+>∈'''≥-+-+=-+≥>2由于x 事实上，令g(x)=x-sinx,g (x)=1-cosx>0g(x)单调递增，g(0)=0,从而g(x)>0,即x>sinx 因此4xsinx>4sin 即0()(0)0()0()(0)0()0f x f f x f x f f x '''=⇒>=⇒>从而单调递增，从而单调递增,即证所要结论

1

1

1

1

1

1

4.(20')(1)()[1()0(1)

111

(2)ln ln ,2,32ln 23ln 3ln {}1()()()n

n n n

n n n

k n k

k f x f x dx L f a n n n n

a a f x dx

a f x dx f x dx -+=∞→∞-≤≤=

+++-==-=-=-∑⎰

∑⎰∑∑⎰⎰

n

k=1

n

k=1

n

n k=1

k=1

设在，+）上非负递减，证明n +时

f(k)有极限L ，且设…………证明数列收敛。证明：（）令f(k)则f(k)f(k)112

(1)()0

(1)()(1)(),()[1(1)()0

{}(1)0,,0(1)1

2ln ()n n n n n

n n n n k k k f n a a a f n f x dx f n f f x f n f a a f a n L f x x

a f k ξξξ++=≥-+-=>-=+-=+-∈∞+-≤=≥>→∞≤≤=∑∑∑⎰n n-1

k=1

k=1

1f(k)f(k)所以有下界又其中（n,n+1)

由于在，+）上非负递减，所以从而单调递减

因此收敛且a 两边令有（）.令f(x)=

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1111

1

00()(1)(1)(1)(1)(1)1(1)(1)1

(1)(1)ln(1)

11

0(1)ln(1)(1)

1(1)n

n n

n k n n k n n k f x dx f k f x dx

f k f x dx f x dx

f k f x dx f x dx dx

x x x x x x x x --=--=--=-=+-+=+-+-++-++=++→++++∑∑⎰⎰

∑⎰

⎰∑⎰

⎰⎰

有（）知道收敛

又令g(x)=可以知道是g(x)的瑕点，x 0时，而101(1)ln(1){}n dx dx x x a ++⎰⎰10收敛，所以收敛因此收敛