【必考题】高考数学试卷含答案

【必考题】高考数学试卷含答案

一、选择题

1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆

的实

线部分上运动，且

总是平行于轴，则

周长的取值范围是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

2．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ．

110

B ．

310

C ．

35

D ．

2

5

3．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31

44

AB AC - B ．13

44

AB AC - C ．

31

44+AB AC D ．

13

44

+AB AC 4．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆

229x y +=内的概率为（ ）

A ．

5

36

B ．

29

C ．

16

D ．

19

5．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(?q )；④(?p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

6．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝

AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )

A ．60?

B ．30

C ．45?

D ．15?

7．下列各组函数是同一函数的是（ ）

①()32f x x =

-与()2f x x x =-()3f x 2x y x 2x 与=-=-()f x x =与

()2g x x =；

③()0

f x x =与()01

g x x

=

；④()221f x x x =--与()2

21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③

C ．③ ④

D ．① ④

8．函数

()sin(2)2

f x x π

=-的图象与函数()g x 的图象关于直线8x π

=对称，则关于函数

()y g x =以下说法正确的是（ ）

A ．最大值为1，图象关于直线2

x π=对称

B ．在0,

4π??

???

上单调递减，为奇函数 C ．在3,88ππ??

-

??

?上单调递增，为偶函数 D ．周期为π，图象关于点3,08π??

???

对称 9．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ） A ．1

B ．﹣2

C ．6

D ．2

10．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）

A ．158

B ．162

C ．182

D ．324

11．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32

B ．0.2

C ．40

D ．0.25

12．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，

()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3

2

BQ CP ?=-，则λ=（ ）

A ．

12

B 12

± C 110

± D 322

± 二、填空题

13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()2

21y ax a x =+++相切,则

a= ．

14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2

2

EF =

，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；

③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，

其中正确结论的序号是______．

15．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1

()tan 2

g x x =

的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________．

16．设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,

12sin x y θθ

=+??=+?（θ为参数）相切，则a 的值为

____.

17．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________． 18．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线2

2(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两

次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．

19．若45100a b ==，则122()a b

+=_____________． 20．锐角△ABC 中，若B ＝2A ，则

b

a

的取值范围是__________． 三、解答题

21．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t α

α=??=?

（t 为参数，0≤α<π）．以坐

标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为

244cos 2sin ρρθρθ-=-．

(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程；

(Ⅱ)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且AB 的长度为25，求直线l 的普通方程． 22．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.

23．如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，

90BAF ∠=?，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.

（1）求证：AF ⊥平面ABCD ； （2）若二面角D AP C --的余弦值为

6

，求PF 的长度. 24．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知

,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.

求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .

25．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示

（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；

（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表： 使用寿命/材料类型 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B

10

30

40

20

100

如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？ 参考数据：

6

1

96i

i y

==∑ 6

1

371i i i x y ==∑

参考公式：回归直线方程???y

bx a =+，其中()()()

()1

1

2

22

1

1

?=

n n

i

i

i i

i i n

n

i

i

i i x x y y x y nxy

b x x x

nx ====---=--∑∑∑∑

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】

【分析】

圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1），半径r ＝2，与抛物线的焦点重合，可得|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ，即可得出三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3，利用1＜y B ＜3，即可得出． 【详解】

抛物线x 2＝4y 的焦点为（0，1），准线方程为y ＝﹣1， 圆（y ﹣1）2+x 2＝4的圆心为（0，1）， 与抛物线的焦点重合，且半径r ＝2， ∴|FB |＝2，|AF |＝y A +1，|AB |＝y B ﹣y A ， ∴三角形ABF 的周长＝2+y A +1+y B ﹣y A ＝y B +3， ∵1＜y B ＜3，

∴三角形ABF 的周长的取值范围是（4，6）．

故选：B ． 【点睛】

本题考查了抛物线的定义与圆的标准方程及其性质、三角形的周长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2．C

解析：C 【解析】 【分析】

设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】

设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525?=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：

x

y

个数 1 1，2，3，4，5 5 2

2，3，4，5

4

3 3，4，5 3

4 4，

5 2 5

5

1

()255

P x y ≤=

=，故本题选C .

【点睛】

本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.

3．A

解析：A 【解析】

分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得11

22

BE BA BC =

+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到

3144BE BA AC =

+，下一步应用相反向量，求得31

44EB AB AC =-，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得

()

111111

222424BE BA BD BA BC BA BA AC =

+=+=++ 11131

24444BA BA AC BA AC =++=+， 所以31

44

EB AB AC =

-，故选A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

4．D

解析：D

【解析】

掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,

∴P=

41369=. 故选D

5．C

解析：C 【解析】

试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时2

2

x y

>不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.

考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.

6．C

解析：C 【解析】

由条件得：PA ⊥BC ，AC ⊥BC 又PA ∩AC ＝C ，

∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ．

点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】 ①中()32f x x =

-的定义域为(),0∞-，()2f x x x =-(),0∞-，但

()322f x x x x =-=--与()2f x x x =-

②中()f x x =与()2g x x =

R ，但()2g x x x ==与()f x x =对应关系不

一致，所以②不是同一函数； ③中()0

f x x =与()01

g x x =

定义域都是{}|0x x ≠，且()0

1f x x ==，()0

11g x x

==对应关系一致，所以③是同一函数；

④中()2

21f x x x =--与()2

21g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.

故选C 【点睛】

本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.

解析：B 【解析】 【分析】

先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断. 【详解】

设点P(x,y)是函数()y g x =图像上的任意一点，则点Q (x ,)4

y π

-+在函数y=f(x)的图像

上，

sin[2(-x+)]sin 2()42

y x g x ππ

=-=-=，

对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是()012

g π

=≠±，所以图象不关于直线2

x π=

对

称，所以该选项是错误的；

对于选项B,()()g x g x -=-，所以函数g(x)是奇函数，解222+22

k x k π

π

ππ-

≤≤得

+

4

4

k x k π

π

ππ-

≤≤，

)k Z ∈（,所以函数在0,4π??

???

上单调递减，所以该选项是正确的； 对于选项C,由前面分析得函数y=g(x)的增区间为3[+,]()4

4

k k k Z π

π

ππ+

∈,且函数y=g(x)不是偶函数，故该选项是错误；

对于选项D,函数的周期为π，解2,,2

k x k x π

π=∴=

所以函数图像的对称中心为,0)(k Z)2k π

∈（

,所以该选项是错误的. 故选：B 【点睛】

本题主要三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9．C

解析：C 【解析】

试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可． 解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素， 当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素， 当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 故选C ．

点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．

解析：B 【解析】 【分析】

先由三视图还原出原几何体，再进行计算 【详解】

由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为

264633616222++???+??= ???

. 故选B. . 【点睛】

本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算

11．A

解析：A 【解析】

试题分析：据已知求出频率分布直方图的总面积；求出中间一组的频率；利用频率公式求出中间一组的频数．

解：设间一个长方形的面积S 则其他十个小长方形面积的和为4S ，所以频率分布直方图的总面积为5S 所以中间一组的频率为

所以中间一组的频数为160×0.2=32 故选A

点评：本题考查频率分布直方图中各组的面积除以总面积等于各组的频率．注意频率分布直方图的纵坐标是

．

12．A

解析：A 【解析】 【分析】

运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，再根据向量的数量积运算，建立关于λ的方程，可得选项. 【详解】

∵BQ BA AQ =+，CP CA AP =+，

∴()()

BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ?=+?+=?-?-?+?

()()22

11AB AC AB AC AB AC λλλλ=?---+-?

()()232441212222

λλλλλλ=---+-=-+-=-，∴1

2λ=.

故选：A. 二、填空题

13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】

解析：8 【解析】

试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111

|1|2x x y x

===+

='，所以切线方程为；曲线2

(2)1y ax a x =+++的导函数的为

，因与该曲线

相切，可令

，当

时，曲线为直线，与直线

平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点

，代入切线方程即

可求得

.

考点：导函数的运用.

【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．

14．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对 解析：①②③

【解析】 【分析】

对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值． 【详解】

对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；

对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；

对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是

1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误．

综上知①②③正确，故答案为①②③ 【点睛】

本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.

15．【解析】【分析】画出两个函数图像求出三个交点的坐标由此计算出三角形的面积【详解】画出两个函数图像如下图所示由图可知对于点由解得所以【点睛】本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像考查三角函数图像交点坐

【解析】 【分析】

画出两个函数图像，求出三个交点的坐标，由此计算出三角形的面积. 【详解】

画出两个函数图像如下图所示，由图可知()()0,0,π,0A C ，对于B 点，由sin 1

tan 2y x y x =??

?=??

，

解得π3B ? ??

，所以1π2ABC

S ?=?=.

【点睛】

本小题主要考查正弦函数和正切函数的图像，考查三角函数图像交点坐标的求法，考查三角函数面积公式，属于中档题.

16．【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标再根据直线与圆相切的条件得出满足的方程解之解得【详解】圆化为普通方程为圆心坐标为圆的半径为由直线与圆相切则有解得【点睛】直线与圆的位置关系可以使

解析：3

4

【解析】 【分析】

根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。 【详解】

圆22cos ,12sin x y θθ

=+??=+?化为普通方程为22(2)(1)2x y -+-=， 圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，

22121

a a +=+，解得34

a =

。 【点睛】

直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。

17．【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使

解析：.

【解析】

()()()2ln 0,'ln 12f x x x ax x f x x ax =->=+-，令()ln 12,g x x ax =+-函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则()0g x =在区间()0,∞+上有两个实数根，

()112'2ax g x a x x

-=

-=，当0a ≤时，()'0g x >，则函数()g x 在区间()0,∞+单调递增，因此()0g x =在区间()0,∞+上不可能有两个实数根，应舍去，当0a >时，令

()'0g x =，解得12x a =，令()'0g x >，解得1

02x a <<，此时函数()g x 单调递增，令()'0g x <，解得12x a >

，此时函数()g x 单调递减，∴当12x a

=时，函数()g x 取得极大值，当x 近于0与x 近于+∞时，()g x →-∞，要使()0g x =在区间()0,∞+有两个实数根，则11ln 022g a a ??

=> ???，解得10,2

a <<∴实数a 的取值范围是102a <<，故答案为1

02

a <<

. 18．【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时 解析：24y x =

【解析】 【分析】

先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果. 【详解】

由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2

p

F ， 当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2

p

y k x =-

，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由2()22p y k x y px ?

=-???=?得：222()24p k x px px -+=，整理得

2222244)0(8k x k p p x k p -++=，

所以2122

2k p p x x k ++=，2

124p x x =，

所以2122

22

2k PQ x x p p p k

+=++=>； 当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，

又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小；

因此min 24PQ p ==，所求方程为2

4y x =.

故答案为24y x = 【点睛】

本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.

19．【解析】【分析】根据所给的指数式化为对数式根据对数的换地公式写出倒数的值再根据对数式的性质得到结果【详解】则故答案为【点睛】本题是一道有关代数式求值的问题解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质属于基 解析：2

【解析】 【分析】

根据所给的指数式，化为对数式，根据对数的换地公式写出倒数的值，再根据对数式的性质，得到结果． 【详解】

45100a b ==，

4log 100a ∴=，5log 100b =，

10010010012

log 42log 5log 1001a b

∴+=+==， 则1222a b ??

+=

??

? 故答案为2 【点睛】

本题是一道有关代数式求值的问题，解答本题的关键是熟练应用对数的运算性质，属于基础题．

20．【解析】【分析】【详解】因为为锐角三角形所以所以所以所以所以

解析：

【解析】 【分析】 【详解】

因为ABC ?为锐角三角形，所以022

02B A A B πππ?

<=

3A A πππ?<

??，

所以(

,)64A ππ

∈，所以sin 2cos sin b B A a A

==

，所以b

a ∈. 三、解答题

21．(Ⅰ) ()()2

2

219x y -++=；（Ⅱ）3

4

y x =和x=0. 【解析】 【分析】

（I ）将x cos y sin ρθρθ=??=?

代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II ）

将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程. 【详解】

解：（Ⅰ）将x cos y sin ρθ

ρθ=??=?

代入曲线C 极坐标方程得：

曲线C 的直角坐标方程为：2

2

442x y x y +-=- 即()()2

2

219x y -++=

（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：

()()

22

cos 2sin 19t t αα-++=

整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-= 设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ， 解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ?=- 则

12AB t t =-=

=

=23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<

得3tan 2

4π

αα=

=

或，直线l 的普通方程为3

4

y x =和x=0 【点睛】

本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.

22．(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数

n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.

【解析】

【详解】

（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列， 故有()()2

2224d d +=+， ∴240d d -=，解得4d =或0d =. ∴()21442n a n n =+-?=-或2n a =.

（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ； 当42n a n =-，∴()224222

n n n S n ??+-??

=

=.

令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去）， ∴最小正整数41n =. 23．（1）见解析；（2

）3

【解析】 【分析】

（1）先证明AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，即得AF ⊥平面ABCD ；（2）

以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题

得

cos ,31m AB m AB m AB

?=

=

=

?，解方程即得解.

【详解】

（1）证明：∵90BAF ∠=?，∴AB AF ⊥， 又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF 平面ABCD AB =，AF ?平面ABEF ，

∴AF ⊥平面ABCD .

（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AF 为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,2,0D

，()0,0,1F ，

∴()0,2,1FD =-，()1,2,0AC =，()1,0,0AB = 由题知，AB ⊥平面ADF ，

∴()1,0,0AB =为平面ADF 的一个法向量，

设()01FP FD λλ=≤<，则()0,2,1P λλ-，∴()0,2,1AP λλ=-，

设平面APC 的一个法向量为(),,x y z =m ，则0

0m AP m AC ??=?

?=?

， ∴()21020y z x y λλ?+-=?+=?

，令1y =，可得22,1,1m λλ?

?=- ?-??，

∴

2

6

cos ,

321411m AB m AB m AB

λλ?=

=

=

??

?++ ?

-??

，得1

3

λ=或1λ=-（舍去），

∴5PF =

.

【点睛】

本题主要考查空间垂直关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

24．(1)证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】

（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直. 【详解】

（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ?平面DEF ，DE ?平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．

（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以

1

32DE PA =

=，142

EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ?平

面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ． 【考点】

线面平行与面面垂直．

25．(1) ?29y

x =+ , 31百万元；(2) B 型新材料. 【解析】 【分析】

(1)根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回

归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将11x =代入所求线性回归方程，求出对应的y 的值即可得结果； (2)求出A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数与B 型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果. 【详解】

（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，

即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)， 计算可得123456

3.56

x +++++=

=，

6111

91666

i

i y ==?=∑ 所以()

12

2

1

?n

i i i n i i x y nxy

b

x n x ==-==-∑

∑

37163.516

217.5

-??=，

1??62 3.59?a

y bx =-=-?=， 所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为?29y x =+. 当11x =时，211931?y

=?+=. 故预计甲公司2019年3月份的利润为31百万元.

（2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为1 2.35x =，B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为2 2.7x =，12x x < ∴，

应该采购B 型新材料. 【点睛】

本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样

本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算,x y 的值；③计算回归系数??,a

b ；④写出回归直线方程为???y

bx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.