2014高考数学(理)复习方案：第24讲 平面向量的概念及其线性运算
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第24讲
双 向 固 基 础
平面向量的概念及其线性运算
[答案] (1)×
(2)×
(3)√
[解析] (1)若 b＝0，a，c 可能不共线；(2)λ>0 时， λa 和 a 同向；(3)根据共线向量定理三点 A，B，C 共线性 → ＝tBA → ，即OC → －OB →＝ 的充要条件是，存在实数 t 使得BC → －OB → )，即OC → ＝tOA → ＋(1－t)OB →. t(OA
加法
求两个向量 ________ 的运 和 算
三角形 平行四边形 ______ 法则 ______ 法则
减法
减去一个向量 相当于加上这 个向量的 相反向量 ________ 实数λ 与向量a 的积是一个 ________ ，这 向量 种运算叫做向 量的 数乘 ________ λa ，记 作________
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
►
探究点二
平面向量的线性运算
点 面 讲 考 点
例 2 (1)[2012· 石家庄模拟] 图 4－24－1 如图 4－24－1，一直线 EF 与平行四边形 ABCD 的两边 →＝ AB，AD 分别交于 E，F 两点，且交其对角线于 K，其中AE 1→ → 1 → → → ，则 λ 的值为( AB ， AF ＝ AD ， AK ＝ λ AC 3 2 1 1 1 1 A.5 B.4 C.3 D.2 )
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
第24讲
双 向 固 基 础
平面向量的概念及其线性运算
三、向量的共线定理 向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使 b＝λa ． ________
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第24讲
双 向 固 基 础
平面向量的概念及其线性运算
—— 疑 难 辨 析 ——
1．零向量的问题 (1)0 的模为 0，没有方向．( )量垂 直．( )
点 面 讲 考 点
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
法二：特值验证排除．先取 a＝(2,0)，b＝ －1，0，满
足 a＋b＝a－b，但两向量不垂直，故 A 错；再取 a＝
点 面 讲 考 点
，b＝1，0，满足 a＝λb，但不满足a＋b＝a－b， 2，0
双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题
第24讲 平面向量的概念及其 线性运算
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考试说明
1．了解向量的实际背景． 2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含 义． 3．理解向量的几何表示． 4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意 义． 5．掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共 线的含义． 6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
考点 1.平面向量有关 的概念 考频 选择(1) 填空(1) 0 0 0 示例(难度) 2010年浙江 T16(B)， 2012年浙江T5(B)
点 面 讲 考 向
2.平面向量的线 性运算 3.向量共线定理 4.向量线性运算
说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题， 考频分析2009～2012年浙江卷情况．
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第24讲
双 向 固 基 础
平面向量的概念及其线性运算
[答案] (1)× (2)√ [解析] (1)0 是特殊的向量，大小为 0，方向是不确 定的、任意的； (2)只要根据共线向量定理、两向量垂直的充要条件 即可得出．
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第24讲
双 向 固 基 础
平面向量的概念及其线性运算
2．共线向量的判断 (1)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.( ) (2)a 和 λa 共线，方向相同．( ) (3)A、B、C 三点共线的充要条件是对不在直线 AB → ＝ tOA → ＋ (1 － 上的任意一点 O ，存在实数 t 使得 OC → .( t)OB )
第24讲
平面向量的概念及其线性运算
[答案] (1)C (2)D [解析] (1)本题主要考查平面向量的相关概念与性质 以及应用等基础知识，考查学生基本能力和素质． 法一： 对于选项 A， 若|a＋b|＝|a|－|b|可得 a· b＝－|a||b|， 则 a 与 b 为方向相反的向量，A 不正确；对于选项 B，由 a⊥b，得 a· b＝0，由|a＋b|＝|a|－|b|，得 a· b＝－|a||b|，B 不 正确；对于选项 C，若|a＋b|＝|a|－|b|可得 a· b＝－|a||b|，则 a 与 b 为方向相反的共线向量，∴b＝λa；对于选项 D，若 b＝λa，当 λ>0 时，|a＋b|＝|a|＋|b|，当 λ<0 时，可有|a＋b| ＝|a|－|b|，故不正确．
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
点 面 讲 考 点
[点评]解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的 判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注 意零向量的特殊性以及两个向量相等必须满足：(1)模相 等；(2)方向相同．
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
点 面 讲 考 点
a－b＝________
三角形 法则 ________
a＋(－b)
数乘
(1)|λ a|＝________ (2)当λ ＞0时，λ a与a的方 相同 向________ ；当λ ＜0时， 相反 λ a与a的方向 ________；当 0 λ ＝0时，λ a＝________
|λ||a|
(1)对向量加法的分配律： λa＋λb λ (a＋b)＝________ (2)对实数加法的分配律： λ1a＋λ2a (λ 1＋λ 2)a ＝________ 返回目录
归纳总结 对于向量的概念应注意以下几条： ①向量的两个特征：有大小，有方向，向量既可以用有向 线段表示，字母表示，也可以用坐标表示． ②相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量 一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量． ③向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但 向量的模是非负实数，故可以比较大小． ④向量是自由向量，所以平行向量就是共线向量，二者是 等价的．
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向量 的模
零向量
第24讲
双 向 固 基 础
平面向量的概念及其线性运算
长度等于 1 ________ 个单位 的向量
方向相同或相反 的非零向量 长度 ________ 相等且 相同 的 方向________ 向量
单位 向量 平行 向量
用e表示，|e|＝ 1 ________
a∥b
相等 向量
a＝b
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
点 面 讲 考 点
[思考流程] (1)分析：依据向量的基本概念；推理： 利用向量条件推出各自性质；结论：得出 C 命题正确． (2)分析：结合平面向量的相关概念；推理：考查共线 向量、相等向量、零向量的概念；结论：得出命题的真假， 找出不正确的个数．
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故 D 错；取 a＝ b＝ 2，0， 0，－1，满足 a⊥b，但不满足 ＝a－b，故 B 错，所以答案为 C. a＋b
(2)两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但 两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，①错；|a|＝ |b|，但 a，b 方向不确定，所以 a，b 不一定相等或相反， → ＝DC → ，A，B，C，D 可能在同一直线 故②不正确；因为AB 上，所以③错；零向量与任一非零向量都平行，当 b＝0 时，a 与 c 不一定平行，④不正确．
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
变式题 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b；
点 面 讲 考 点
→ ＝DC → 是四 ②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB 边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若 a＝b，b＝c，则 a＝c； ④a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b. 其中正确命题的序号是________．
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
[答案] ②③
[解析] ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的 方向不一定相同．
点 面 讲 考 点
→ ＝DC → ，∴|AB → |＝|DC → |且AB → ∥DC →， ②正确．∵AB 又∵A，B，C，D 是不共线的四点， ∴四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCD 为平行四边形， → ∥DC → 且|AB → |＝|DC → |，因此AB → ＝DC →. 则AB ③正确．∵a＝b，∴|a|＝|b|且方向相同． 又 b＝c，∴|b|＝|c|且方向相同， ∴|a|＝|c|且方向相同，故 a＝c. ④不正确．当 a∥b 且方向相反时，不能得到 a＝b， 故|a|＝|b|且 a∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分 条件．
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第24讲
平面向量的概念及其线性运算
►
(
探究点一
平面向量有关的概念问题
点 面 讲 考 点
例 1 (1)[2012· 浙江卷 ] 设 a， b 是两个非零向量 ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则 a⊥b B．若 a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数 λ，使得 b＝λa D．若存在实数 λ，使得 b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b| (2)给出下列四个命题： ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； → ＝DC → ，则 ABCD 为平行四边形； ③若AB ④若 a∥b，b∥c，则 a∥c. 其中不正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
2014届高三数学总复习教案：4.1平面向量的概念与线性运算
第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算(对应学生用书(文)、(理)60～62页)考情分析考点新知①了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.②掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理.③了解向量的线性运算性质及其几何意义．掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件.1. (必修4P63练习第1题改编)如图在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB→＝a，AD→＝b，则BE→＝________．答案：b－12a解析：BE→＝BA→＋AD→＋12DC→＝－a＋b＋12a＝b－12a.2. (必修4P65例4改编)在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b.若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝________．(用b、c表示)答案：23b＋13c解析：因为BD→＝2DC→，所以AD→－AB→＝2(AC→－AD→)，即3AD→＝AB→＋2AC→＝c＋2b，故AD→＝23b ＋13c . 3. (必修4P 63练习第6题改编)设四边形ABCD 中，有12DC →＝AB →且|AD →|＝||BC →，则这个四边形是________．答案：等腰梯形解析：AB →＝12DC →AB →∥DC →，且|AB →|＝12|DC →|，∴ ABCD 为梯形．又|AD →|＝|BC →|，∴ 四边形ABCD 的形状为等腰梯形．4. (必修4P 66练习第2题改编)设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b .若A 、B 、D 三点共线，则实数p ＝________．答案：－1解析：∵ BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A 、B 、D 三点共线，∴ 存在实数λ，使AB →＝λBD →.即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴ p ＝－1.1. 向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB →的大小叫做向量的长度(或模)，记作|AB →|.(2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2. 向量加法与减法运算 (1) 向量的加法① 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． ② 法则：三角形法则；平行四边形法则．③ 运算律：a ＋b ＝b ＋a ；(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． (2) 向量的减法① 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法． ② 法则：三角形法则．3. 向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： ① |λa |＝|λ||a|；② 当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0.(2) 运算律：设λ、μ∈R ，则：① λ(μa )＝(λμ)a ；② (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③ λ(a ＋b )＝λa ＋λb ．4. 向量共线定理向量b 与a (a ≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa ．[备课札记]题型1 平面向量的基本概念例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．备选变式（教师专享）设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |·a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题个数是________．答案：3解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②、③也是假命题，填3.题型2 向量的线性表示例2 平行四边形OADB 的对角线交点为C ，BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，OA →＝a ，OB →＝b ，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.解：BA →＝a －b ，BM →＝16BA →＝16a －16b ，OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .OD →＝a ＋b ，ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝12a －16b .变式训练在△ABC 中，E 、F 分别为AC 、AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.解：AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b . 又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m)AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m)b ，∴ ⎩⎨⎧1－λ＝m2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴ AG →＝13a ＋13b .题型3 共线向量例3 设两个非零向量a 与b 不共线．(1) 若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1) 证明：∵ AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴ BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴ AB →，BD →共线．又它们有公共点B ，∴ A 、B 、D 三点共线． (2) 解：∵ k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴ 存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a 、b 是两不共线的非零向量， ∴ k －λ＝λk －1＝0. ∴ k 2－1＝0.∴ k ＝±1. 备选变式（教师专享）已知a 、b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )，当A 、B 、C 三点共线时λ、μ满足的条件为________．答案：λμ＝1解析：由AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得AB →＝tAC →，所以λa＋b ＝t(a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝t ，1＝tμ，所以λμ＝1.题型4 向量共线的应用例4 如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．答案：12解析：如图所示，设M 是AC 的中点，则 OA →＋OC →＝2OM →. 又OA →＋OC →＝－2OB →， ∴ OM →＝－OB →， 即O 是BM 的中点， ∴ S △AOB ＝S △AOM ＝12S △AOC ，即S △AOB S △AOC ＝12. 备选变式（教师专享）如图，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使AN ＝13AC ；在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ；在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ；在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值．解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →－CN →)＝12(BN →＋CN →)＝12BC →， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →，又∵AP →＝QA →，∴12BM →＋λMC →＝12BC →，即λMC →＝12MC →，∴λ＝12.1. 如图，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________．(用向量a 和b 表示)答案：23a ＋13b解析：因为AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋12AB →＝a ＋12b ，又AB →＝2DC →，所以AO →＝23AC →＝23⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝23a ＋13b . 2. (2013·四川)如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．答案：2解析：AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，则λ＝2.3. (2013·江苏)设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23DC ，若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．答案：12解析：DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →＝λ1AB →＋λ2AC →，故λ1＝－16，λ2＝23，则λ1＋λ2＝12.4. 已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，则△PAB 与△PBC 的面积的比值为__________．答案：45解析：由2PA →＋3PB →＋4PC →＝3AB →，得2PA →＋4PC →＝3AB →＋3BP →，∴ 2PA →＋4PC →＝3AP →，即4PC →＝5AP →.∴ |AP →||PC →|＝45，S △PAB S △PBC ＝|AP →||PC →|＝45.1. 在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．答案：2解析：因为四边形ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，所以AB →＋AD →＝AC →，又O 为AC 的中点，所以AC →＝2AO →，所以AB →＋AD →＝2AO →，因为AB →＋AD →＝λAO →，所以λ＝2.2. 已知平面内O ，A ，B ，C 四点，其中A ，B ，C 三点共线，且OC →＝xOA →＋yOB →，则x ＋y ＝________．答案：1解析：∵ A ，B ，C 三点共线，∴ AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λOB →－λOA →，∴ OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即x ＝1－λ，y ＝λ，∴ x ＋y ＝1.3. 设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．答案：12解析：易知DE ＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，所以λ1＋λ2＝12.4. 已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点． (1) 求GA →＋GB →＋GO →；(2) 若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n ＝3.(1) 解：因为GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，所以GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0. (2) 证明：因为OM →＝12(a ＋b )，且G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b )．由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.又PG →＝OG →－OP →＝13(a＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ，GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b )＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ，所以⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎡⎦⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b . 又a 、b 不共线，所以⎩⎨⎧13－m ＝－13λ，13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13，消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ，故1m ＋1n＝3.1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．请使用课时训练（A ）第1课时（见活页）.[备课札记]。
高考数学复习考点知识专题讲解课件26---平面向量的概念及线性运算
新高考 大一轮复习 · 数学
2．判断下列四个命题：
①若 a∥b，则 a＝b；②若|a|＝|b|，则 a＝b；③若|a|＝|b|，则 a∥b；④若 a＝b，
则|a|＝|b|.其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3 解析：只有④正确． 答案：A
D．4
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【思维升华】 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度． (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度． (5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任何向量共线．
解析：B→F＝23B→E＝23(B→C＋C→E)
＝23b－12a＝－13a＋23b， 故选 C. 答案：C
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(2)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则E→B等于( )
A.34A→B－14A→C C.34A→B＋14A→C
B．14A→B－34A→C D．14A→B＋34A→C
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新高考 大一轮复习 · 数学
④错误，当 a∥b 且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到 a＝b，所以|a|＝|b|且 a ∥b 不是 a＝b 的充要条件，而是必要不充分条件； ⑤错误，当 λ＝μ＝0 时，a 与 b 可以为任意向量，满足 λa＝μb，但 a 与 b 不一定 共线． 故填③. 答案：③
答案：A
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新高考 大一轮复习 · 数学
5．设向量 a，b 不平行，向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则实数 λ＝________. 解析：∵向量 a，b 不平行，∴a＋2b≠0，又向量 λa＋b 与 a＋2b 平行，则存在唯 一的实数 μ，使 λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即 λa＋b＝μa＋2μb，则λ1＝＝μ2，μ， 解得 λ ＝μ＝12. 答案：12
高三数学总复习课件第5篇第1节平面向量的概念及线性运算
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备考指南
基础梳理
典例研习
考点演练
热点预测题
(2)解：AC―→ ＝AB―→＋BC―→ ＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2) ＝3e1－2e2. AD―→＝AC―→＋CD―→ ＝(3e1－2e2)＋(2e1－ke2) ＝5e1－(k＋2)e2， ∵A、C、D三点共线， ∴AC―→∥AD―→， ∴存在唯一实数μ，使得AD―→＝μAC―→，即 5e1－(k＋2)e2＝μ(3e1－2e2)，
(D)4
解析：①、③正确，②、④不正确，故选 B.
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基础梳理
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考点演练
热点预测题
2．(教材改编题)如图，设D为△ABC中边AC的中点，那 么向量BD―→等于( C ) (A)－BC―→－CA―→ (B)BC―→－CA―→ (C)BC―→＋CA―→ (D)－BC―→＋CA―→
解析：在△BCD中，由三角形法那么知BD―→＝ BC―→＋CD―→，又D为AC的中点，∴CD―→＝ CA―→，∴BD―→＝BC―→＋CA―→，应选C.
解：∵DB―→＝AB―→－AD―→＝m－n. DM―→＝14DO―→＝18DB―→＝18m－18n， ∴AM―→＝AD―→＋DM―→＝78n＋18m， 又∵AC―→＝m＋n，ON―→＝13OC―→， ∴AN―→＝23AC―→＝23m＋23n， ∴MN―→＝AN―→－AM―→＝1234m－254n.
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第1节 平面向量的概念及线性运算
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考纲展示
1.了解向量的实际背景． 2．理解平面向量的概念、理解两个向量 相等的含义． 3．理解向量的几何表示． 4．掌握向量加法、减法的运算，并理解 其几何意义． 5．掌握向量数乘的运算及其几何意义， 理解两个向量共线的含义． 6．了解向量线性运算的性质及其几何意 义．
第1节 平面向量的概念及线性运算--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第一节平面向量的概念及线性运算课标解读考向预测1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.预计2025年高考对本节内容的考查会以线性运算、共线向量定理为主，主要以选择题、填空题的形式出现，难度属中、低档.必备知识——强基础1．向量的有关概念名称定义表示向量在平面中，既有大小又有方向的量用a ，b ，c ，…或AB →，BC →，…表示向量的模向量a 的大小，也就是表示向量a 的有向线段AB →的长度(或称模)|a |或|AB →|零向量长度为0的向量用0表示单位向量长度等于1个单位的向量用e 表示，|e |＝1平行向量方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)a ∥b 相等向量长度相等且方向相同的向量a ＝b相反向量长度相等，方向相反的向量向量a 的相反向量是－a说明：零向量的方向是不确定的、任意的．规定：零向量与任一向量平行．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a ＋b ＝01b ＋a ；结合律：(a ＋b)＋c ＝02a＋(b ＋c )减法a －b ＝03a ＋(－b )数乘|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa 的方向与a 的方向04相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向05相反；当λ＝0时，λa ＝060λ(μa )＝07(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝08λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝09λa ＋λb3.向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .提醒：当a ≠0时，定理中的实数λ才唯一．1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB→＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．()(2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .()(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．()(4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则下列结论错误的是()A ．EF →＝CD →B ．AB →与DE →共线C ．BD →与CD →是相反向量D ．AE →＝12|AC →|答案D解析AE →＝12AC →，故D 错误．故选D.(2)(人教B 必修第二册6.2.1例3改编)设向量a ，b 不共线，向量λa ＋b 与a ＋2b 共线，则实数λ＝________．答案12解析∵λa ＋b 与a ＋2b 共线，∴存在实数μ使得λa ＋b ＝μ(a ＋2b )＝μ，＝2μ，＝12，＝12.(3)(人教A 必修第二册6.2例6改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________．(用a ，b 表示)答案b －a －a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .(4)(人教A 必修第二册习题6.2T10改编)若a ，b 满足|a |＝3，|b |＝5，则|a ＋b |的最大值为________，最小值为________．答案82解析|a ＋b |≤|a |＋|b |＝3＋5＝8，当且仅当a ，b 同向时取等号，所以|a ＋b |max ＝8.又|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|3－5|＝2，当且仅当a ，b 反向时取等号，所以|a ＋b |min ＝2.考点探究——提素养考点一平面向量的有关概念例1(多选)下列命题中的真命题是()A ．若|a |＝|b |，则a ＝bB ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件C ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝cD ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b 答案BC解析A 是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B 是真命题，∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →|，AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →；C 是真命题，∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c ；D 是假命题，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．故选BC.【通性通法】平面向量有关概念的四个关注点关注点一非零向量的平行具有传递性关注点二共线向量即为平行向量，它们均与起点无关关注点三向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量关注点四a|a |是与a 同方向的单位向量【巩固迁移】1．(多选)下列命题正确的是()A ．零向量是唯一没有方向的向量B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 答案BC解析零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 反向共线时才成立，故C 正确；若b ＝0，则不共线的a ，c 也有a ∥0，c ∥0，故D 错误．考点二平面向量的线性运算(多考向探究)考向1平面向量加、减运算的几何意义例2设P 为▱ABCD 对角线的交点，O 为平面ABCD 内的任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝()A ．OP →B ．2OP →C ．3OP →D ．4OP→答案D解析由题意知，P 为AC ，BD 的中点，所以在△OAC 中，OP →＝12(OA →＋OC →)，即OA →＋OC →＝2OP →，在△OBD 中，OP →＝12(OB →＋OD →)，即OB →＋OD →＝2OP →，所以OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝4OP →.故选D.【通性通法】1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来．2．三种运算法则的要点(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”．(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”．(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．【巩固迁移】2．(2024·山东青岛二中月考)若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________．答案23解析因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝23.考向2平面向量的线性运算例3(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA ，记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB →＝()A ．3m －2nB ．－2m ＋3nC ．3m ＋2nD ．2m ＋3n答案B解析CD →＝23CA →＋13CB →，即CB →＝－2CA →＋3CD →＝－2m ＋3n .故选B.【通性通法】平面向量的线性运算的求解策略【巩固迁移】3．(2023·江苏南通二模)在平行四边形ABCD 中，BE →＝12BC →，AF →＝13AE →.若AB →＝mDF →＋nAE →，则m ＋n ＝()A ．12B ．34C ．56D ．43答案D解析由题意可得AB →＝AE →＋EB →＝AE →＋12DA →＝AE →＋12(DF →＋FA →)＝AE→＋12(DF →－13AE →)＝12DF →＋56AE →，所以m ＝12，n ＝56，所以m ＋n ＝43.故选D.考点三向量共线定理的应用(多考向探究)考向1判定向量共线、三点共线例4设两个非零向量a 与b 不共线．若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线．证明∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．【通性通法】共线向量定理的三个应用【巩固迁移】4．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在()A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案B解析由CB →＝λPA →＋PB →，得CB →－PB →＝λPA →，CP →＝λPA →，则CP →，PA →为共线向量，又CP →，PA →有一个公共点P ，所以C ，P ，A 三点共线，即点P 在AC 边所在直线上．故选B.考向2利用向量共线定理求参数例5若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k ＝()A ．－1B ．1C ．32D ．2答案B解析由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，所以存在实数λ，使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.【通性通法】一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程(组)即可求得相关参数的值．【巩固迁移】5．如图，在△ABC 中，AD →＝λDC →，E 是BD 上一点，若AE →＝1116→＋14AC →，则实数λ的值为()A ．3B ．4C ．5D ．6答案B解析由AD →＝λDC →，得AC →＝λ＋1λAD →，因为AE →＝1116AB →＋14AC →，所以AE →＝1116AB →＋14·λ＋1λAD →，因为E ，B ，D 三点共线，所以1116＋λ＋14λ＝1，解得λ＝4.故选B.课时作业一、单项选择题1．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b|b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a |a |，b |b |是相等向量或相反向量，所以“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．故选B.2．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是()A ．a ∥bB ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案B解析由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b成立，所以A 正确；因为a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；因为|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |，所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．故选B.3．已知AB →＝a ＋5b ，BC →＝－3a ＋6b ，CD →＝4a －b ，则()A ．A ，B ，D 三点共线B ．A ，B ，C 三点共线C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线答案A解析由题意得BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ＝AB →，又BD →，AB →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．故选A.4．(2024·安徽铜陵三模)在平行四边形ABCD 中，M 是CD 边上的中点，则2AM →＝()A ．AC →－2AB →B ．AC →＋2AB →C ．2AC →－AB →D ．2AC →＋AB→答案C解析因为M 是平行四边形ABCD 的CD 边上的中点，所以CM →＝－12AB →，所以AM →＝AC →＋CM→＝AC →－12AB →，所以2AM →＝2AC →－AB →.故选C.5．已知向量a 和b 不共线，向量AB →＝a ＋m b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，若A ，B ，D 三点共线，则m ＝()A ．3B ．2C ．1D ．－2答案A解析因为A ，B ，D 三点共线，所以存在实数λ，使得BD →＝λAB →，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ，所以2a ＋6b ＝λa ＋mλb ，＝λ，＝mλ，解得m ＝3.故选A.6．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝()A ．58B ．14C ．1D ．516答案A解析DE →＝AE →－AD →＝14AC →－AD →＝14(AB →＋AD →)－AD →＝14AB →－34AD →，∴λ＝14，μ＝－34.∴λ2＋μ2＝116＋916＝58.故选A.7．正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，则AF →＝()A ．13AB →＋23AD→B ．34AB →＋14AD→C ．14AB →＋34AD→D ．13AD →＋AB→答案C解析如图，∵在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有CE →＝2ED →，AE 与对角线BD 交于F ，∴DE ＝13AB ，且DE ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ，可得EF AF ＝13，可得AF ＝34AE ，∴AF →＝34AE →＝34(AD→＋DE →)＋13AB ＝14AB →＋34AD →.故选C.8．(2023·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为()A ．3B ．23C ．33D ．43答案B解析设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →.由AB →＋PB →＋PC →＝0，得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点，又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形．又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4，且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°，则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.故选B.二、多项选择题9．下列式子中，结果为零向量的是()A ．AB →＋BC →＋CA →B ．AB →＋MB →＋BO →＋OM →C ．OA →＋OB →＋BO →＋CO →D ．AB →－AC →＋BD →－CD →答案AD解析利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量．故选AD.10．点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是()A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形答案AD解析因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，所以|CB →|－|(PB→－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0，即|CB →|＝|AB →＋AC →|，所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|，等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．故选AD.11．(2023·安徽合肥期末)在△ABC 中，D ，E ，F 分别是边BC ，CA ，AB 的中点，点G 为△ABC 的重心，则下列结论中正确的是()A ．AB →－BC →＝CA →B ．AG →＝13(AB →＋AC →)C ．AF →＋BD →＋CE →＝0D ．GA →＋GB →＋GC →＝0答案BCD解析如图，对于A ，AB →－BC →＝AB →＋CB →＝2EB →≠CA →，故A 错误；对于B ，点G 为△ABC 的重心，则AG →＝23→＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，故B 正确；对于C ，AF →＋BD →＋CE →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0，故C 正确；对于D ，GA →＝－2GD →＝－2×12(GB →＋GC →)，故GA →＋GB →＋GC →＝0，故D 正确．故选BCD.三、填空题12．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________．答案12解析∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，＝μ，＝2μ，解得λ＝μ＝12.13．已知D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，给出下列命题：①AD →＝12a －b ；②BE →＝a ＋12b ；③CF →＝－12a ＋12b ；④AD →＋BE →＋CF →＝0.其中正确的命题是________．答案②③④解析BC →＝a ，CA →＝b ，AD →＝12AB →＋12AC →＝12(AC →＋CB →)＋12AC →＝12CB →＋AC →＝－12a －b ，故①错误；BE →＝BC →＋12CA →＝a ＋12b ，故②正确；CF →＝12(CB →＋CA →)＝12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ，故③正确；AD→＋BE →＋CF →＝－b －12a ＋a ＋12b ＋12b －12a ＝0，故④正确．14．(2024·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD →|＝13|AC →|，点Q 为线段BD上任意一点，若实数x ，y 满足AQ →＝xAB →＋yAC →，则1x ＋1y 的最小值为________．答案4＋23解析由题意知，点D 满足AD →＝13AC →，故AQ →＝xAB →＋yAC →＝xAB →＋3yAD →，由Q ，B ，D 三点共线，可得x ＋3y ＝1，x >0，y >0，则1x ＋1y＝x ＋3y )＝4＋3y x ＋x y ≥4＋23，当且仅当3yx ＝x y ，即x ＝3－12，y ＝3－36时等号成立．所以1x ＋1y 的最小值为4＋2 3.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AB →＝2AE →，AF →＝FD →，点G 为CE 与BF 的交点，则AG →＝()A ．25AB →＋15AC→B ．15AB →＋25AC→C ．15AB →＋415AC→D ．310AB →＋25AC→答案A解析由AB →＝2AE →，AF →＝FD →，知E ，F 分别为AB ，AD 的中点．如图，设AC 与BF 的交点为P ，易得△APF ∽△CPB ，所以AP CP ＝AF CB ＝AF AD ＝12，所以AP →＝13AC →.因为E 是AB 的中点，所以AE →＝12AB →.由P ，G ，B 三点共线知，存在m ∈R ，满足AG →＝mAP →＋(1－m )AB →＝13mAC →＋(1－m )AB →.由C ，G ，E 三点共线知，存在n ∈R ，满足AG →＝nAE →＋(1－n )AC →＝12nAB →＋(1－n )AC →，所以13mAC →＋(1－m )AB →＝12nAB →＋(1－n )AC →.又因为AC →，AB →为不共线的非零向量，所以m ＝12n ，＝1－n ，＝35，＝45，所以AG →＝25AB →＋15AC →.16．(多选)(2024·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC 中，点O ，H ，G 分别是其外心、垂心、重心，BC 边的中点为D ，则下列结论中正确的是()A ．GH →＝2OG →B ．OD ∥AHC ．AH →＝3OD →D ．OA →＝OB →＝OC→答案AB解析由题意作图，如图所示，易知BC 的中点D 与A ，G 共线．对于A ，由题意，得AG →＝2GD →，OD ⊥BC ，AH ⊥BC ，所以OD ∥AH ，所以GH →＝2OG →，所以A ，B 正确；对于C ，由题意，知AG ＝2GD ，又GH ＝2OG ，∠AGH ＝∠DGO ，所以△AGH ∽△DGO ，所以AH →＝2OD →，所以C 错误；对于D ，向量OA →，OB →，OC →的模相等，方向不同，所以D 错误．故选AB.17.如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC ＝CNCE＝r ，则B ，M ，N 三点共线时，r 的值为________．答案33解析连接AD ，交EC 于点G ，设正六边形的边长为a ，由正六边形的性质知，AD ⊥CE ，AD ∥CB ，G 为EC 的中点，且AG ＝32a ，则CA →＝CG →＋GA →＝12CE →＋32CB →，又AM AC ＝CNCE ＝r (r >0)，则CA →＝CM →1－r ，CE →＝CN →r ，故CM →1－r ＝CN →2r ＋32CB →，即CM →＝1－r 2r CN →＋3（1－r ）2CB →，若B ，M ，N三点共线，则1－r 2r ＋3（1－r ）2＝1，解得r ＝33或r ＝－33(舍去)．18．经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m >0，n >0，则m ＋n 的最小值为________．答案43解析设OA →＝a ，OB →＝b .由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG→＝OG →－OP →＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝＋13λb ，m ＝＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.于是m ＋nm ＋n )＋n m ＋≥13×(2＋2)＝43，当且仅当m ＝n ＝23时，m ＋n 取得最小值，为43.。
高考数学一轮复习 专题24 平面向量的概念及其线性运算教学案 理-人教版高三全册数学教学案
专题24 平面向量的概念及其线性运算1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a 与b 的 相反向量－b 的和的 运算叫做a 与b 的差a －b ＝a ＋(－b )数乘某某数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |； (2)当λ＞0时，λa的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ．高频考点一 平面向量的概念例1、下列命题中，不正确的是________(填序号). ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .【方法规律】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量.【变式探究】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小. 答案 ③高频考点二 平面向量的线性运算例2、(1)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A.13a ＋13b B.－13a ＋13bC.13a －13bD.－13a －13b(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.解析 (1)PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，故选A. (2)由题中条件得，MN →＝MC →＋→＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.答案 (1)A (2)12 －16【方法规律】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.【变式探究】 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → (2)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( )A.1B.12C.13D.23解析 (1)在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个靠近B 点的三等分点， 所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. (2)∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.答案 (1)D (2)D【感悟提升】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．【变式探究】如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27C.25D.23 答案 A高频考点三 共线定理的应用 例3、设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.【方法规律】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立. 【变式探究】 (1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A.A ，B ，C 三点共线 B.A ，B ，D 三点共线 C.A ，C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线(2)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( )A.{0}B.∅C.{－1}D.{0，－1}解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →、AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.故选B.高频考点四、方程思想在平面向量线性运算中的应用例4、如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.① [7分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线． ∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .【感悟提升】(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．【方法技巧】1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.【易错提醒】1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．1.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.2.【2016高考某某卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A 【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A.1．（2014·某某卷）设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨ (綈q ) 【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．2．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．【答案】90°【解析】由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC 与AB 的夹角为90°.3．（2014·某某卷）平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 【答案】2【解析】c ＝ma ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.4．（2013·某某卷）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】125．（2013·某某卷）设a ，b 为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a 与b 同向或反向，所以a∥b .又因为由a∥b ，可得|cos 〈a ，b 〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a|·|b |，故|a ·b |＝|a |·|b |是a ∥b 的充分必要条件．6．（2013·某某卷） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2A －B2cos B －sin (A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 【解析】(1)由2cos2A －B 2cos B －sin(A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35，得 [cos(A －B)＋1]cosB －sin(A －B)sinB －cosB ＝－35，即cos(A －B)cosB －sin(A －B)sinB ＝－35，则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35， 0<A<π，得sinA ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sinB ，所以sinB ＝bsinA a ＝22.由题意知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB ＝22.7．（2013·某某卷）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．【答案】2【解析】根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.8．（2013·某某卷）在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|＜12，则|OA →|的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2【答案】D【解析】根据条件知A ，B 1，P ，B 2构成一个矩形AB 1PB 2，以AB 1，AB 2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图．设|AB 1|＝a ，|AB 2|＝b ，点O 的坐标为(x ，y)，则点P 的坐标为(a ，b)，由|OB 1→|＝|OB 2→|＝1得⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＋y 2＝1，x 2＋（y －b ）2＝1， 则⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＝1－y 2，（y －b ）2＝1－x 2. 又由|OP →|＜12，得(x －a)2＋(y －b)2＜14，则1－x 2＋1－y 2＜14，即x 2＋y 2＞74①.又(x －a)2＋y 2＝1，得x 2＋y 2＋a 2＝1＋2ax≤1＋a 2＋x 2，则y 2≤1； 同理由x 2＋(y －b)2＝1，得x 2≤1，即有x 2＋y 2≤2②. 由①②知74＜x 2＋y 2≤2，所以72＜x 2＋y 2≤ 2.而|OA →|＝x 2＋y 2，所以72＜|OA →|≤2，故选D.1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →.其中结果为零向量的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B. 答案 B2.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a3.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →解析 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 答案 D4.设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A.0B.1C.2D.35.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D. 答案 D6.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13cD.13b ＋23c 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .答案 A7.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A.－2B.－1C.1D.2解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线. 设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1. 答案 B8.如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －b C.a ＋12b D.12a ＋b解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .答案 D9.设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A.－94B.－49C.－38D.不存在10.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( ) A.点P 在线段AB 上 B.点P 在线段AB 的反向延长线上 C.点P 在线段AB 的延长线上 D.点P 不在直线AB 上解析 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 答案 B11.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫avs4alco 1(f (o (AB,sup 6(→)),|AB →|)＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心解析 作∠BAC 的平分线AD .∵OP →＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫avs4alco 1(f (o (AB,sup 6(→)),|AB →|)＋AC →|AC →|)，∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫avs4alco 1(f (o (AB,sup 6(→)),|AB →|)＋AC →|AC →|)＝λ′·AD sup 6(→)|AD →|(λ′∈[0，＋∞))，∴AP →＝错误!·错误!，∴错误!∥错误!. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 答案 B12.若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________.13.向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线.其中所有正确结论的序号为________.解析 由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上.答案 ④14.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E ，F 分别为AC ，AB 的中点，即M 为△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.答案 3。
高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)第四章 平面向量与复数第1课时 平面向量的概念与线性运算.pdf
《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第四章 平面向量与复数第1课时 平面向量的概念与线性运算 考情分析考点新知① 了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义. 掌握向量加、减法和数乘运算理解其几何意义；理解向量共线定理. 了解向量的线性运算性质及其几何意义． 掌握向量加、减法、数乘的运算以及两个向. 1. (必修4练习第1题改编)ABCD中为DC边的中点且＝a＝b则＝________． 答案：b－解析：＝＋＋＝－a＋b＋＝b－(必修4例4改编)在△ABC中＝c＝b.若点D满足＝2则＝________．(用b、c表示)答案：＋解析：因为＝2所以－＝2(－)即3＝＋2＝c＋2b故＝＋(必修4练习第6题改编设四边形ABCD中有＝且|＝则这个四边形是________．答案：等腰梯形解析：＝∥，且|＝|，∴ ABCD为梯形．又|＝|，∴ 四边形ABCD的形状为等腰梯形．(必修4练习第2题改编)a、b是两个不共线向量＝2a＋pb＝a＋b＝a－2b.若A、B、D三点共线则实数p＝________．答案：－1解析：∵ ＝＋＝2a－b又A、B、D三点共线存在实数λ使＝λ即＝－1. 1. 向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度(或模)记作|. (2) 零向量：长度为0的向量叫做零向量其方向是任意的．(3) 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(6) 相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．向量加法与减法运算(1) 向量的加法定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．法则：三角形法则；平行四边形法则．运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋b＋c)．(2) 向量的减法定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法．法则：三角形法则．向量的数乘运算及其几何意义(1) 实数λ与向量a的积是一个向量记作λa它的长度与方向规定如下：＝|λ||a|；当λ>0时与a的方向相同；当λ<0时与a的方向相反；当λ＝0时＝0.(2) 运算律：设λ、μ∈R则：①λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；③ λ(a＋b)＝λa＋λb．向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得b＝λa．[备课札记] 题型1 平面向量的基本概念 给出下列六个命题：两个向量相等则它们的起点相同终点相同；若|a|＝|b|则a＝b；若＝则A、B、C、D四点构成平行四边形；在中一定有＝；若m＝n＝p则m＝p；若a∥bb∥c，则a∥c.其中错误的命题有________(填序号)答案：①②③⑥解析：两向量起点相同终点相同则两向量相等；但两相等向量不一定有相同的起点和终点故①不正确；|a|＝|b|由于a与b方a、b不一定相等故②不正确；＝可能有A、B、C、D在一条直线上的情况所以③不正确；零向量与任一向量平行故a∥b时若b＝0则a与c不一定平行故⑥不正确． 设a为单位向量若a为平面内的某个向量则a＝|a|·a；②若a与a平行则a＝|a|·a；③若a与a平行且|a|＝1则a＝a上述命题中假命题个数是________．答案：3解析：向量是既有大小又有方向的量与|a|a模相同但方向不一定相同故①是假命题；若a与a平行则a与a方向有两种情况：一是同向二是反向反向时a＝－|a|a故②、③也是假命题填3.题型2 向量的线性表示例2 平行四边形OADB的对角线交点为C＝＝＝a＝b用a、b表示、、 解：＝a－b＝＝－＝＋＝＋＝a＋b＝＋＝＋＝＝＋＝－＝－ 在△ABC中、F分别为AC、AB的中点与CF相交于G点设＝a＝b试用a表示 解：＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－)＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋又＝＋＝＋m＝＋(＋)＝(1－m)＋＝＋(1－m)b解得λ＝m＝＝＋. 题型3 共线向量例3 设两个非零向量a与b不共线．(1) 若＝a＋b＝2a＋8b＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；(2) 试确定实数k使ka＋b和a＋kb共线．(1) 证明：∵＝a＋b＝2a＋8b＝3(a－b)＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，共线．又它们有公共点B、B、D三点共线．(2) 解：∵ ka＋b与a＋kb共线存在实数ka＋b＝λ(a＋kb)即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a、b是两不共线的非零向量－λ＝λk－1＝0.－1＝0.∴ k＝±1. 已知a、b是不共线的向量＝λa＋b＝a＋μb(λ、μ∈R)当A、B、C三点共线时λ、μ满足的条件为________答案：λμ＝1解析：由＝λa＋b＝a＋μb(λ、μ∈R)及A、B、C三点共线得＝t所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb即可得所以λμ＝1.题型4 向量共线的应用例4 如图所示设O是△ABC内部一点且＋＝－2则△AOB与△AOC的面积之比为________． 答案： 解析：如图所示设M是AC的中点则＋＝2又＋＝－2＝－即O是BM的中点＝S＝＝. 如图中在AC上取一点N使AN＝；在AB上取一点M使得AM＝；在BN的延长线上取点P使得NP＝；在CM的延长线上取点Q使得＝时＝试确定λ的值． 解：∵＝－＝(－)＝(＋)＝＝－＝＋λ又∵＝＋λ＝即λ＝＝ 1. 如图在四边形ABCD中和BD相交于点O设＝a＝b若＝2则＝________．(用向量a和b表示) 答案：＋解析：因为＝＋＝＋＝a＋又＝2所以＝＝＝＋(2013·四川)如图在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O＋＝λ则λ＝________． 答案：2解析：＋＝＝2则λ＝2.(2013·江苏)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点AB，BE＝若＝λ＋λ(λ1、λ为实数)则λ＋λ＝________．答案：解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋＝λ＋λ，故λ＝－＝则λ＋λ＝已知点P在△ABC所在的平面内若2＋3＋＝3则△PAB与△PBC的面积的比值为__________．答案：解析：由2＋3＋4＝3得＋4＝3＋，∴ 2＋4＝，即4＝5＝＝＝1. 在平行四边形ABCD中对角线AC与BD交于点O＋＝λ则λ＝________答案：2 解析：ABCD为平行四边形对角线AC与BD交于点O所以＋＝又O为AC的中点所以＝2所以＋＝2因为＋＝λ所以λ＝2. 已知平面内O四点其中A三点共线且＝x＋y则x＋y＝________答案：1解析：∵ A三点共线＝λ即－＝λ－λ＝(1－λ)＋λ即x＝1－λ＝λ＋y＝1.设D分别是△ABC的边AB上的点＝＝若＝λ＋λ(λ1，λ2为实数)则＋＝________答案：解析：易知DE＝＋＝＋(－)＝－＋所以λ＋λ＝已知点G是△ABO的重心是AB边的中点．(1) 求＋＋；(2) 若PQ过△ABO的重心G且＝a＝b＝ma＝nb求证：＋＝3.(1) 解：因为＋＝2又2＝－所以＋＋＝－＋＝(2) 证明：因为＝(a＋b)且G是△ABO的重心所以＝＝(a＋b由P、G、Q三点共线得，所以有且只有一个实数λ使＝λ又＝－＝(a＋b)－ma＝＋＝－＝nb－(a＋b)＝－＋所以＋＝. 又a、b不共线所以消去λ整理得3mn＝m＋n故＋＝3. 1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题其关键在于透彻理解平面向量的概念还应注意零向量的特殊性以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同．在进行向量线性运算时要尽可平行向量定理的条件和结论是充要条件关系既可以证明向量共线也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点． [备课札记]。
高考数学一轮复习 第24讲 平面向量的概念及其线性运算
___|_a__|__或__|_A→_B__|__
零向 量
长度为____0____的向量
用_____0___表示
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第24讲 平面向量的概念及其线性运算
双
向
固
基
名称
定义
础
单位向量 长度等于____1____个单位的向量
平行向量 方向__相__同____或相反的非零向量
表示 用e表示，|e|＝___1_____
b，c 为已知向量，则 x＝________．
[答案] 241a＋17b＋17c [解析] 由 2x－13a－12(b＋c－3x)＋b＝0，得 2＋32x －23a－12b－12c＝0，即72x＝23a＋12b＋12c， 所以 x＝241a＋17b＋17c.
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第24讲 平面向量的概念及其线性运算
双
向
固
基
础
点
面
讲 考
第24讲 平面向量的概念
向
多
及其线性运算
元
提
能
力
教
师
备
用
题
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考试说明
1．了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向 量相等的含义．
2．理解向量的几何表示． 3．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 4．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共 线的含义． 5．了解向量线性运算的性质及其几何意义.
a_＋__(_b_＋__c_)
个向量相当
减法
于加上这个
a－b＝_a_＋__(_－__b_)
向 量 的 _三__角__形___法则
__相__反__向__量
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第24讲 平面向量的概念及其线性运算
2014高考一轮复习课件4.1平面向量的基本概念及线性运算
•2．下列给出的命题正确的是( ) •A．零向量是唯一没有方向的向量 •B．平面内的单位向量有且仅有一个 •C．a与b是共线向量，b与c是平行向量，则 a与c是方向相同的向量 •D．相等的向量必是共线向量
•【解析】 零向量方向任意，而不是没有方 向，故A错；平面内单位向量有无数个，故B 错；若b＝0，b与a、c都平行，但a、c不一 定共线，故C错；相等的向量方向相同，必是 共线向量，故D正确． •【答案】 D
a b 【解析】 表示与a同向的单位向量， 表示与b同向 |a| |b| a b 的单位向量，只要a与b同向，就有 ＝ ，观察选择项易知 |a| |b| C满足题意．
•【答案】 C
给出下列四个命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； → → ②若AB＝DC，则四边形ABCD为平行四边形； ③若a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b； ④λ ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中假命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4
→ → → → 1．(人教A版教材习题改编)化简OP －QP ＋MS ＋QM 的 结果为( ) → A.OM → B.SM → C.PS → D.OS
【解析】
→ → → → → → → OP －QP ＋MS ＋QM ＝(OP ＋PQ )＋(QM ＋
→ → → → MS)＝OQ＋QS＝OS.
•【答案】 D
•从近两年高考试题来看，平面向量的概念， 线性运算及向量共线是高考命题的重点，常 与平面向量基本定理、平面向量的数量积交 汇命题，多以客观题形式呈现．在求解过程 中，不要忽视零向量的特殊性．
易错辨析之八 忽视零向量的特殊性致误 (2013· 杭州模拟)下列命题正确的是( ) A．向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ ， 使b＝λa → → → B．在△ABC中，AB＋BC＋CA＝0 C．不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能 同时成立 D．向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线
2014版高考数学知识点讲座：考点18平面向量的概念及线性运算(解析版)
【命题探究】2014版高考数学知识点讲座:考点18平面向量的概念及线性运算（解析版)加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一。
考纲目标 向量及其表示，共线向量定理；两个向量共线的充要条件，向量的线性表示。
二。
知识梳理1。
向量：既有大小又有方向的量。
向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+= 向量的大小即向量的模（长度)，记作｜AB |即向量的大小，记作|a ｜向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小2。
零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a |＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量"这个条件．(注意与0的区别)3。
单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a ｜＝1 4。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上.方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线"与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的5。
相等向量：长度相等且方向相同的向量.相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x 6.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC（1)a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量(2) 三角形法则的特点是“首尾相接",由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。
高考数学总复习考点知识专题讲解20---平面向量的概念及线性运算
A→M＝A→B＋B→M＝A→B＋12A→D，B→D＝A→D－A→B.
∴
→ AC
＝
λ
→ AM
＋
μ
→ BD
＝
λ
A→B＋12A→D
＋
μ(
→ AD
－
→ AB
)
＝
(λ
－
μ)A→B＋2λ＋μA→D，
λ－μ＝1， ∴2λ＋μ＝1，
解得 λ＝43，μ＝13.
∴λ＋μ＝53，故选 B.
向量的线性运算规律 (1)在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三 角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角 形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质，把未 知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． (2)结合图形的几何性质，利用向量加、减法的运算法则 进行向量的分解与合成运算，且要有目标意识，逐步向已知 向量转化，最终达到目标．
2.(2020·南宁三中月考)如图所示，在△ABC 中，A→N＝13
A→C，P
是 5
BN
上的一点，若A→P＝mA→B＋121A→C，则实数
m
的
值为____1_1___．
[解析] ∵A→N＝13A→C ∴A→P＝mA→B＋121A→C＝mA→B＋161A→N ∵B、P、N 三点共线，∴m＋161＝1.m＝151.
(1)向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是存在唯一实数 λ，使 b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其 他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意 向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共 点时，才能得出三点共线．
考点一 平面向量的基本概念