导数压轴题中的零点问题(找点技巧和常见模型)
导数中两种零点问题解决方法
导数中两种零点问题解决方法导数中的零点问题是指函数在其中一点的导数为零。
解决导数零点问题的方法有两种：一种是解析法，一种是数值法。
一、解析法解析法是指使用数学知识和方法，通过分析函数的性质来求解导数的零点。
解析法包括以下几种常见的方法：1.1.方程法方程法是根据导数的定义，将函数的导数表达式设置为零，得到一个方程，从而求解出导数的零点。
具体步骤如下：1.将函数的导数表达式设置为零，得到一个方程。
2.解方程，求出方程的根。
3.将根带入原函数，计算出在根处的函数值。
1.2.倒数法倒数法是指使用导数的倒数来求解导数的零点。
具体步骤如下：1.对函数进行求导，并求出导数的表达式。
2.求导数的倒数，得到一个新的函数。
3.使用方程法求解导数的倒数的零点。
4.将零点带入原函数，计算出在零点处的函数值。
1.3.函数性质法函数性质法是指通过分析函数的图像和性质来求解导数的零点。
具体步骤如下：1.根据函数的图像和性质，确定导数的零点的位置。
2.使用方程法求解导数的零点，得到具体的数值。
3.将零点带入原函数，计算出在零点处的函数值。
二、数值法数值法是指使用数值计算的方法来求解导数的零点。
数值法包括以下几种常见的方法：2.1.二分法二分法是一种迭代求根的方法，通过函数在区间内取值的正负性来确定区间，并通过不断缩小区间的范围来求解导数的零点。
具体步骤如下：1.根据函数的图像和性质，选择一个初值区间，并确定函数在区间内的正负性。
2.通过计算区间的中点，并确定中点的函数值的正负性，来缩小区间。
3.不断迭代上述步骤，直到区间的宽度满足要求，得到导数的零点的近似值。
2.2.切线法切线法是使用切线近似原曲线的方法，通过迭代求解切线与横轴交点的坐标，来求解导数的零点。
1.根据函数的图像和性质，选取一个初始点，并求出该点处的导数值。
2.过初始点作函数图像的切线，并求出切线方程。
3.求出切线与横轴的交点的坐标，并将该点作为新的初始点。
4.重复上述步骤，直到满足迭代终止条件，得到导数的零点的近似值。
导数与函数的零点知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数与函数的零点一、知识梳理1.利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．二、例题精讲 + 随堂练习考点一判断零点的个数【例1】(2019·青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x)x－4ln x的零点个数．解(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0. ∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a ＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)由(1)知g(x)＝x2－2x－3x－4ln x＝x－3x－4ln x－2，∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋3x2－4x＝(x－1)(x－3)x2，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0，当x>3时，g(e5)＝e5－3e5－20－2>25－1－22＝9>0.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点．【训练1】已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝x＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.718 28….(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．(1)证明由题意可得h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x，所以h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－3－2>0，所以h(1)h(2)<0，所以函数h(x)在区间(1，2)上有零点．(2)解由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝e x－1－x－x.由g(x)＝x＋x知x∈[0，＋∞)，而h(0)＝0，则x＝0为h(x)的一个零点．又h(x)在(1，2)内有零点，因此h(x)在[0，＋∞)上至少有两个零点．h′(x)＝e x－12x－12－1，记φ(x)＝e x－12x－12－1，则φ′(x)＝e x＋14x－32.当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点，即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点，则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点，所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2.考点二已知函数零点个数求参数的取值范围【例2】函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．解(1)函数f(x)＝ax＋x ln x的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝a＋ln x＋1，因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝－x＋x ln x，即f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋1图象有两个不同的交点．由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，由题意得，m＋1>－1，即m>－2，①当0<x<e时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当x>e时，f(x)>0.当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②由①②可得－2<m<－1.所以m的取值范围是(－2，－1)．【训练2】 已知函数f (x )＝e x ＋ax －a (a ∈R 且a ≠0)．(1)若f (0)＝2，求实数a 的值，并求此时f (x )在[－2，1]上的最小值； (2)若函数f (x )不存在零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意知，函数f (x )的定义域为R ， 又f (0)＝1－a ＝2，得a ＝－1，所以f (x )＝e x －x ＋1，求导得f ′(x )＝e x －1.易知f (x )在[－2，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增， 所以当x ＝0时，f (x )在[－2，1]上取得最小值2. (2)由(1)知f ′(x )＝e x ＋a ，由于e x >0， ①当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在R 上是增函数， 当x >1时，f (x )＝e x ＋a (x －1)>0； 当x <0时，取x ＝－1a ， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a <1＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a －1＝－a <0. 所以函数f (x )存在零点，不满足题意． ②当a <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝ln(－a )． 在(－∞，ln(－a ))上，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 在(ln (－a )，＋∞)上，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 所以当x ＝ln(－a )时，f (x )取最小值．函数f (x )不存在零点，等价于f (ln(－a ))＝e ln(－a )＋a ln(－a )－a ＝－2a ＋a ln(－a )>0，解得－e 2<a <0.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2，0)．考点三 函数零点的综合问题 【例3】 设函数f (x )＝e 2x －a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2e 2x －ax (x >0)． 当a ≤0时，f ′(x )>0，f ′(x )没有零点；当a >0时，因为y ＝e 2x 单调递增，y ＝－ax 单调递增， 所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(a )>0，假设存在b 满足0<b <a 4时，且b <14，f ′(b )<0， 故当a >0时，f ′(x )存在唯一零点．(2)证明 由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 所以当x ＝x 0时，f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)． 由于2e2x 0－ax 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a .故当a >0时，f (x )≥2a ＋a ln 2a .【训练3】 (2019·天津和平区调研)已知函数f (x )＝ln x －x －m (m <－2，m 为常数)． (1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的最小值；(2)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，且x 1<x 2，证明：x 1·x 2<1.(1)解 f (x )＝ln x －x －m (m <－2)的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝1－xx ＝0， ∴x ＝1.当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，所以y ＝f (x )在(0，1)递增； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以y ＝f (x )在(1，＋∞)上递减．且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1－1e －m ，f (e)＝1－e －m ， 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －f (e)＝－2－1e ＋e>0， 函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 的最小值为1－e －m .(2)证明 由(1)知x 1，x 2满足ln x －x －m ＝0，且0<x 1<1，x 2>1， ln x 1－x 1－m ＝ln x 2－x 2－m ＝0， 由题意可知ln x 2－x 2＝m <－2<ln 2－2. 又由(1)可知f (x )＝ln x －x 在(1，＋∞)递减，故x 2>2， 所以0<x 1，1x 2<1.则f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝ln x 1－x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2－1x 2 ＝ln x 2－x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2－1x 2 ＝－x 2＋1x 2＋2ln x 2.令g (x )＝－x ＋1x ＋2ln x (x >2)，则g ′(x )＝－1－1x 2＋2x ＝－x 2＋2x －1x 2＝－（x －1）2x 2≤0，当x >2时，g (x )是减函数，所以g (x )<g (2)＝－32＋ln 4.因32－ln 4＝ln e 324>ln 2.56324＝ln （1.62）324＝ln 1.634＝ln4.0964>ln 1＝0，∴g (x )<0，所以当x >2时，f (x 1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2<0， 即f (x 1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2.因为0<x 1，1x 2<1，f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 所以x 1<1x 2，故x 1x 2<1.三、课后练习1.直线x ＝t 分别与函数f (x )＝e x ＋1的图象及g (x )＝2x －1的图象相交于点A 和点B ，则|AB |的最小值为________. 解析 由题意得，|AB |＝|e t ＋1－(2t －1)| ＝|e t －2t ＋2|，令h (t )＝e t －2t ＋2，则h ′(t )＝e t －2，所以h (t )在(－∞，ln 2)上单调递减， 在(ln 2，＋∞)上单调递增， 所以h (t )min ＝h (ln 2)＝4－2ln 2>0， 即|AB |的最小值是4－2ln 2. 答案 4－2ln 22.若函数f (x )＝ax －ae x ＋1(a <0)没有零点，则实数a 的取值范围为________.解析 f ′(x )＝a e x －（ax －a ）e x e 2x ＝－a （x －2）e x (a <0).当x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0， ∴当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝ae 2＋1.若使函数f (x )没有零点，当且仅当f (2)＝ae 2＋1>0， 解之得a >－e 2，因此－e 2<a <0. 答案 (－e 2，0)3.(2019·保定调研)已知函数f (x )＝a 6x 3－a 4x 2－ax －2的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，103.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有3个零点，求m 的取值范围. 解 (1)因为函数f (x )＝a 6x 3－a 4x 2－ax －2的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，103， 所以32a 3－4a －4a －2＝103，解得a ＝2，即f (x )＝13x 3－12x 2－2x －2， 所以f ′(x )＝x 2－x －2. 由f ′(x )>0，得x <－1或x >2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞). (2)由(1)知f (x )极大值＝f (－1)＝－13－12＋2－2＝－56， f (x )极小值＝f (2)＝83－2－4－2＝－163，由数形结合，可知要使函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有三个零点， 则－163<2m －3<－56，解得－76<m <1312.所以m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，1312.4.已知函数f (x )的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示.当1<a <2时，函数y ＝f (x )－a 的零点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y ＝f (x )的大致图象如图所示.由于f (0)＝f (3)＝2，1<a <2，所以y ＝f (x )－a 的零点个数为4. 答案 D5.设函数f (x )＝ln x ＋m x (m >0)，讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3零点的个数. 解 函数g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)， 令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0). 设h (x )＝－13x 3＋x (x >0)，所以h ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1).当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0，此时h (x )在(0，1)内单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0，此时h (x )在(1，＋∞)内单调递减.所以当x ＝1时，h (x )取得极大值h (1)＝－13＋1＝23. 令h (x )＝0，即－13x 3＋x ＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝ 3. 作出函数h (x )的大致图象(如图)，结合图象知：①当m >23时，函数y ＝m 和函数y ＝h (x )的图象无交点.②当m ＝23时，函数y ＝m 和函数y ＝h (x )的图象有且仅有一个交点. ③当0<m <23时，函数y ＝m 和函数y ＝h (x )的图象有两个交点.综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23时，函数g (x )有且仅有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点.6.(2018·江苏卷改编)若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点，求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和. 解 f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(a ∈R )， 当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立， 则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1， 所以此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意. 当a >0时，由f ′(x )>0得x >a 3，由f ′(x )<0得0<x <a3，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞上单调递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－a 327＋1＝0，得a ＝3，所以f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)， 当x ∈(－1，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减. 则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，所以f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.7.已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的单调递增区间；(2)当0<－1a <e 时，若f (x )在区间(0，e)上的最大值为－3，求a 的值； (3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数根. 解 (1)由已知可知函数f (x )的定义域为{x |x >0}， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x (x >0)，f ′(x )＝1－xx (x >0)； 当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0. 所以f (x )的单调递增区间为(0，1).(2)因为f ′(x )＝a ＋1x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1a ； 由f ′(x )>0，解得0<x <－1a ；由f ′(x )<0，解得－1a <x <e.从而f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e ，所以，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－3.解得a ＝－e 2.(3)由(1)知当a ＝－1时，f (x )max ＝f (1)＝－1， 所以|f (x )|≥1.令g (x )＝ln x x ＋12，则g ′(x )＝1－ln x x 2. 当0<x <e 时，g ′(x )>0； 当x >e 时，g ′(x )<0.从而g (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减. 所以g (x )max ＝g (e)＝1e ＋12<1， 所以，|f (x )|>g (x )，即|f (x )|>ln x x ＋12，所以，方程|f (x )|＝ln x x ＋12没有实数根.。
导数隐零点问题处理的8大技巧(附30道经典题目)
导数隐零点问题处理的8大技巧(附30道经典题目)导数隐零点问题处理的8大技巧如下：1.分类讨论：对于含参数的零点问题，常常需要根据参数的不同取值范围进行分类讨论。
2.构造函数：利用导数研究函数的单调性，进而研究不等式恒成立问题。
3.分离参数：通过分离参数将参数与变量分开，转化为求最值问题。
4.数形结合：利用数形结合思想，将函数图像与x轴的交点问题转化为求函数的最值问题。
5.转化与化归：将复杂问题转化为简单问题，将陌生问题转化为熟悉问题。
6.构造法：通过构造新的函数或方程，将问题转化为已知的问题进行求解。
7.放缩法：通过对不等式进行放缩，将问题转化为易于处理的形式。
8.判别式法：通过引入判别式，将方程问题转化为二次方程的判别式问题。
以下是30道经典题目，以供练习：1.已知函数f(x)=x3−3x2+5，则f(x)的单调递增区间为( )A.(−∞,1)和(2,+∞)B.(−∞,−1)和(1,+∞)C.(−∞,−1)和(2,+∞)D.(−∞,2)和(1,+∞)2.已知函数f(x)=x3−3x2+5，则f(x)在区间[−2,3]上的最大值是____．3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=−21时取极值．(1)求a，b的值；(2)求函数极值．4. 已知函数f(x)=x3−3ax2+4，若x∈[0,2]时，f(x)的最大值为417，求实数a的取值范围．5. 已知函数f(x)=ln x−mx+m有唯一的零点，则实数m的取值范围是____．6. 已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3x + 1，若 x ∈ [0,1] 时，f(x) ≤ f(0) 恒成立，则 m 的取值范围是 _______．7. 已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 - 3x (a、b ∈ Z) 在 x = ±1 和x = ±2 时取极值．(1) 求 f(x) 的解析式；(2) 求 f(x) 的单调区间和极值；8. 已知函数 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c 在 x = ±1 和 x = ±3时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 求 f(x) 的单调区间和极值．1.已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 在 [0,3] 上的最大值和最小值分别为 M, N，则 M + N = _______．2.设f(x)=x3−3x2+4，则f(−x)+f(x)的值等于____3.已知函数f(x)=x3−3x2+4，则f(x)在(−3,2)上的最大值是____．4.已知函数f(x)=x3−3x2+4，则f(x)在区间[−1,3]上的最大值是____．5.已知函数f(x)=x3−3ax2+bx+c在x=±1时取极值，且函数y=f(x)图象过原点．(1) 求函数y=f(x)的表达式；(2) 求函数的单调区间和极值；14. 已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + bx 在 x = -1 和 x = 3 时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 求 f(x) 在区间 [-2,4] 上的最大值和最小值．15. 已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + c 在 x = ±1 和 x = ±2 时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 若 f(x) 的最大值为 8，求 c 的值．16. 已知函数 f(x) = ax^3 + bx^2 + c 在 x = ±1 和 x = ±√2 时取极值，且 f(-2) = -4．(1) 求 a，b，c 的值；(2) 求 f(x) 在区间 [-3,3] 上的最大值和最小值．17. 已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + b (a > 0)，若 f(x) 在区间[-1,0] 上是减函数，则 a 的取值范围是 _______．18. 若关于 x 的方程 x^3 - 3ax + a^3 = 0 有实根，则实数 a 的取值范围是 _______．19. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．20. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则 b应满足的条件是 _______．1.函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 在区间 [-1,3] 上的最大值和最小值分别为 _______．2.已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，若实数 x，y 满足 f(x) +3x^2 ≤ f(y) + 3y^2，则 x + y 的取值范围是 _______．3.已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，若实数 x，y 满足 f(x) ≤f(y) + 3，则 x + y 的取值范围是 _______．4.若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则a，b 应满足的条件是 _______．5.已知函数 f(x) = x^3 - 3ax^2 + b 在 x = -1 和 x = 3 时取极值．(1) 求 a，b 的值；(2) 求 f(x) 在区间 [-3,3] 上的最大值和最小值．26. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个不同的实根，则 b 应满足的条件是 _______．27. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有两个不同的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．28. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有两个不同的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．29. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有两个相等的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．30. 若关于 x 的方程 x^3 - ax^2 + b = 0 有三个相等的实根，则 a，b 应满足的条件是 _______．。
(完整版)导数问题中虚设零点的三大策略
导数问题中虚设零点的三大策略导数在高中数学中可谓“神通广大”，是解决函数单调性、极值、最值、不等式证明等问题的“利器”。
因而近几年来与导数有关的数学问题往往成为高考函数压轴题.在面对这些压轴题时，我们经常会碰到导函数具有零点但求解相对比较繁杂甚至无法求解的问题。
此时，我们不必正面强求，可以采用将这个零点只设出来而不必求出来，然后谋求一种整体的转换和过渡,再结合其他条件，从而最终获得问题的解决。
我们称这种解题方法为“虚设零点”法.下面笔者就一些高考题，来说明导数问题中“虚设零点”法的具体解题方法和策略。
策略1整体代换将超越式化简为普通式如果f′(x）是超越形式(对字母进行了有限次初等超越运算包括无理数次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算的解析式，称为初等超越式，简称超越式）,并且f′（x）的零点是存在的，但我们无法求出其零点,这时采用虚设零点法，逐步分析出“零点”所在的范围和满足的关系式,然后分析出相应函数的单调性，最后通过恰当运用函数的极值与零点所满足的“关系”推演出所要求的结果。
通过这种形式化的合理代换或推理，谋求一种整体的转换和过渡，从而将超越式化简为普通式，有效破解求解或推理证明中的难点.例1（2015年全国高考新课标Ⅰ卷文21）设函数f（x）=e2x-alnx.（1)讨论f（x）的导函数f′（x）的零点的个数;(2）证明：当a>0时，f（x)≥2a+aln2a。
解（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x)=2e2x—ax（x>0)。
由f′（x）=0，得2xe2x=a。
令g（x）=2xe2x，g′(x）=（4x+2）e2x〉0（x>0）,从而g（x）在（0,+∞）单调递增，所以g （x）>g（0）=0.当a〉0时，方程g（x）=a有一个根，即f′（x）存在唯一零点;当a≤0时,方程g(x)=a没有根，即f′（x）没有零点。
（2）由(1）,可设f′（x)在（0，+∞）的唯一零点为x0，当x∈（0，x0)时，f′(x）〈0；当x∈（x0，+∞）时，f′（x）>0。
专题05 挖掘“隐零点”,破解导数压轴题-2121年高考数学压轴题之函数零点问题(解析版)
【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）见解析.
【解析】（Ⅰ）解：因为 f (x) ex+m x3 ， 所以 f (x) ex+m 3x2 .……………………………………………………………1 分
因为曲线 y f x 在点 0，f 0 处的切线斜率为1， 所以 f 0 em 1，解得 m 0 .…………………………………………………2 分
（Ⅱ）证法一：因为 f (x) ex+m x3 , g x ln x 1 2 ，
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所以 f x g (x) x3 等价于 ex+m ln x 1 2 0 ．
当 m 1时， ex+m ln x 1 2 ex1 ln x 1 2 ．
要证 ex+m ln x 1 2 0 ，只需证明 ex1 ln(x 1) 2 0 .………………4 分
，解得： ，
由
，解得：
，
故 在 递减，在
递增；
2 由 1 知要使 存在最小值，
则且
，
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令
，
，
则
在
递减，
又
，
，
故存在
使得
故在
递增，在
，
故
，
故
， 递减， ，
，
又
，
，
故
．
2．【广东省汕头市 2019 届高三上学期期末】已知函数
．
讨论 的单调性；
若 ， 是 的两个极值点，证明：
．
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）见解析 【解析】
解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；
第二步：以零点为分界点，说明导函数 f′(x)的正负，进而得到 f(x)的最值表达式；这里应注意，进行代
高考函数与导数类压轴题的6大模型与23种考法总结！压轴题不只学霸才能解~
高考函数与导数类压轴题的6大模型与23种考法总结！压轴
题不只学霸才能解~
只有学霸才会解'压轴题'嘛？
在高考数学里，这个问题的答案一定是否定的，数学压轴题十之有九是对函数与导数问题的考查，此类题型确实不简单，但极具规律性，属于难，但是容易备考的题型。
今天车车帮你整理好了压轴题的所有题型和命题角度，无论你的数学成绩如何，请务必试试攻克它。
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本文目录
题型一切线型
1.求在某处的切线方程
2.求过某点的切线方程
3.已知切线方程求参数
题型二单调型
1.主导函数需“二次求导”型
2.主导函数为“一次函数”型
3.主导函数为“二次函数”型
4.已知函数单调性，求参数范围
题型三极值最值型
1.求函数的极值
2.求函数的最值
3.已知极值求参数
4.已知最值求参数
题型四零点型
1.零点(交点，根)的个数问题
2.零点存在性定理的应用
3.极值点偏移问题
题型五恒成立与存在性问题
1.单变量型恒成立问题
2.单变量型存在性问题
3.双变量型的恒成立与存在性问题
4.等式型恒成立与存在性问题
题型六与不等式有关的证明问题
1.单变量型不等式证明
2.含有e x与lnx的不等式证明技巧
3.多元函数不等式的证明
4.数列型不等式证明的构造方法。
导数中的零点问题
导数中的零点问题1．已知函数 .（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的取值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）记 . 当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.2．已知函数（Ⅰ）若的图像与直线相切，求（Ⅱ）若且函数的零点为,设函数试讨论函数的零点个数. （为自然常数）3．已知函数 .（1）若时，讨论函数的单调性；（2）若函数在区间上恰有 2 个零点，求实数的取值范围 .4．已知函数（为自然对数的底数，），在处的切线为.（1）求函数的解析式；（2）在轴上是否存在一点，使得过点可以作的三条切钱若存在，请求出横坐标为整数的点坐标；若不存在，请说明理由.5．已知函数f x x22lnx a R, a 0 . a（ 1）讨论函数 f x 的单调性；（ 2）若函数f x 有最小值，记为g a ，关于a的方程g a a21 m 有三9a个不同的实数根，求实数m 的取值范围.6．已知函数（Ⅰ）求函数f x x 2aa R ， e 为自然对数的底数).x(ef x 的极值；（Ⅱ）当 a 1 时，若直线l : y kx 2 与曲线y f x 没有公共点，求k 的最大值.7．已知函数（为自然对数的底数）.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时 , 不等式恒成立 , 求实数的取值范围；（3）设，当函数有且只有一个零点时, 求实数的取值范围 .8．已知函数 .（1）若函数有两个零点，求实数的取值范围；（2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数.9．已知函数 .（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）是否存在实数，使得有三个相异零点若存在，求出的值；若不存在，说明理由.10．已知函数 .（ 1）求函数的单调区间；（ 2）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.11．已知函数 .（1）讨论的导函数零点的个数；（2）若函数的最小值为，求的取值范围.12．．（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；（2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．13 ．已知函数 f x ax3bx23x a,b R在点1, f 1处的切线方程为y 20 ．（ 1）求函数 f x 的解析式；（ 2）若经过点M 2,m 可以作出曲线y f x 的三条切线，求实数m 的取值范围．14．已知函数f xx22aln x, a R ．x（ 1）若f x 在 x 2 处取极值，求 f x 在点1, f 1 处的切线方程；（ 2）当a 0 时，若 f x 有唯一的零点x0，求x0.注 x 表示不超过x的最大整数，如0.6 0, 2.1 2, 1.52. 参考数据：ln2 0.693,ln3 1.099,ln5 1.609,ln7 1.946.15 ．已知函数 f x e x m xln x m 1 x ；（1）若m 1 f x在0,上单调递增；，求证：（2）若g x =f ' x ，试讨论 g x 零点的个数.16．已知函数 f x e ax ?sinx 1 ，，其中 a 0 ．(I) 当a 1时，求曲线y f x 在点0，f 0 处的切线方程；( Ⅱ) 证明： f x 在区间0，上恰有 2 个零点．参考答案1．（Ⅰ）；（Ⅱ）当时 , 减区间为；当时，增区间为，减区间为； （Ⅲ）．【解析】【分析】（ 1）先求出函数f （ x ）的定义域和导函数 f ′（ x ），再由两直线垂直的条件可得 f ′（ 1）＝﹣ 3，求出 a 的值；（ 2）求出 f ′（ x ），对 a 讨论，由 f ′（ x ）＞ 0 和 f ′（ x ）＜ 0 进行求解，即判断出函数的单调区间；（ 3）由（ 1）和题意求出g （ ）的解析式，求出′（ x ），由 g ′（ x ）＞0 和 g ′（ x ）＜ 0x g进行求解， 即判断出函数的单调区间， 再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出b 的范围．【详解】（Ⅰ）定义域， ，，∴．（Ⅱ）当，，单减区间为当时令，单增区间为；令，单减区间为当时，单减区间∴当时 , 减区间为；当时，增区间为，减区间为；（Ⅲ）令，，令，；令，∴是在上唯一的极小值点，也是唯一的最小值点∴∵在上有两个零点∴只须∴．【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及几何意义、函数零点等基础知识，注意求出函数的定义域，考查计算能力和分析问题的能力．2．（ 1）（ 2）有两个不同的零点【解析】分析：（Ⅰ）设切点坐标为，故可以关于的方程组，从该方程组解得．（Ⅱ）因，故为减函数，结合可得的零点．又是分段函数，故分别讨论在上的单调性，结合利用零点存在定理得到有两个不同的零点．详解：（Ⅰ）设切点，所以，故，从而又切点在函数上，所以即，故，解得，．（Ⅱ）若且函数的零点为，因为，，为上的减函数，故．当时，，因为，当时，；当时，，则在上单调递增，上单调递减，则,所以在上单调递减．当时，，所以在区间上单调递增．又，且；又，所以函数在区间上存在一个零点，在区间上存在一个零点．综上，有两个不同的零点．点睛：处理切线问题的核心是设出切点坐标，因为它的横坐标沟通了切线的斜率和函数在该值处的导数．零点问题需要利用导数明确函数的单调性，再结合零点存在定理才能判断函数零点的个数．3．（ 1）见解析；（ 2）【解析】分析：（ 1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（ 2）分三种情况讨论的范围，分别利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理与函数图象，可筛选出函数在区间上恰有 2 个零点的实数的取值范围.详解：（ 1）当时，，此时在单调递增；当时，①当时，，恒成立，，此时在单调递增；②当时，令在和上单调递增；在上单调递减；综上：当时，在单调递增；当时，在和上单调递增；在上单调递减；（ 2）当时，由（1）知，在单调递增，，此时在区间上有一个零点，不符；当时，，在单调递增；，此时在区间上有一个零点，不符；当时，要使在内恰有两个零点，必须满足在区间上恰有两个零点时，点睛：导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值 ( 最值 ) 展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，；第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力．4．（ 1）（ 2）不存在横坐标为整数的点，过该点可以作的三条切线.【解析】分析：(1) 求出 f （ x）的导数，由切线方程可得切线斜率和切点坐标，可得a=2，即可得到 f （ x）的解析式；(2) 令，设图象上一点，，该处的切线, 又过点则过作 3 条详解：（ 1），由题意可知，，即（ 2），令，设图象上一点，，该处的切线又过点则①过作 3 条不同的切线，则方程①关于有令，图象与轴有 3 个不同交点3 个不同实根（ 1）当，，是单调函数，不可能有 3 个零点（2）当，或时，当时，所以在单调递减，单调递增，单调递减曲线与轴有个交点，应该满足，，当，又，所以无解（3）当，或时，，当时，在单调递减，单调递增，单调递减，应满足，，当，又，无解，综上，不存在横坐标为整数的点，过该点可以作的三条切线.点睛：（ 1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．（ 2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决.5．（ 1）当a 0 时， f x 在 0, 上递减，当 a 0 时， f x 在 0, a 上递减，在a , 上递增；（2）1 1ln3 .ln2 ln 3 m33【解析】试题分析：（ 1）函数求导得 f ' x 2x 2，分 a 0 和 a 0 两种情况讨论即可；a x2（ 2）结合（ 1 ）中的单调性可得最值g a 1 lna ，即m a ln a ( a 0) ，令2(a 9aF a a ln a 0) ，求导得单调性得值域即可.试题解析：（ 1） f ' x2x 2， (x0) ，a x当 a 0 时， f ' x 0 ，知 f x 在 0,上是递减的；当 a时， f ' x 2 xa x ax 在 0, a 上是递减的， 在 a ,ax，知 f上递增的 .（ 2）由（ 1）知， a 0 ， f xmin fa1 ln a ，即 g a1 lna ，方程 g a a2 1 m ，即 m a ln a29a( a 0) ，9a令 Faa lna 2(a0) ，则 F ' a1 1 23a 13a 2a9a 29a 2，9a知 Fa 在0, 1 和 2 ,是递增的，1 , 2是递减的，333 3F a 极大F 11 ln3 ，Fa极小F 21 ln2 ln 3，3 33 3依题意得1ln2ln 3 m1 ln3 .33点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（ 1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（ 2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（ 3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解 .6．（ 1）见解析（ 2） k 的最大值为 1.【解析】试题分析： （1）先求导数，再根据 a 的正负讨论导函数符号变化规律，最后根据导函数符号确定极值， （ 2）先将无交点转化为方程1 在 R 上没有实数解，转化为k 1 x1e xxe x 在 R 上 没 有 实 数 解 ， 再 利 用 导 数 研 究 g xxe x 的 取 值 范 围 ， 即得k 11 , 1 ，即得 k 的取值范围是 1 e,1 ，从中确定 k 的最大值 . k 1ea①当 a 0 时， f x 0 ， f x 为, 上的增函数，所以函数 f x 无极值 .②当 a 0 时，令 f x 0 ，得 e x a ，x lna .x ,ln a ， f x 0 ； x lna ， f x 0.所以 f x 在,ln a 上单调递减，在lna, 上单调递增，故 f x 在x lna 处取得极小值，且极小值为 f lna lna 1 ，无极大值.综上，当 a 0 时，函数 f x 无极小值；当 a 0 ， f x 在 x lna 处取得极小值 lna ，无极大值.（Ⅱ）当 a 1 时， f x x 2 1 x. e直线 l : y kx 2 与曲线y f x 没有公共点，等价于关于 x 的方程 kx 2 x 2 1在 R 上没有实数解，即关于x 的方程：e xk 1 x 1x * 在 R 上没有实数解.e可化为1①当 k 1 时，方程* 0 ，在 R 上没有实数解.e x②当 k 1 时，方程* 化为 1 xe x.k 1令 g x xe x，则有 g x 1 x e x令 g x 0 ，得 x 1 ，当 x 变化时，g x 的变化情况如下表：x , 1 -1 1, g x - 0 +g x ↘ 1 ↗e当 x 1 时，g x min 1，同时当 x 趋于+ 时，g x 趋于 + ，e从而 g x 的取值范围为1. [ , ）e所以当 11 , 1 时，方程 * 无实数解，k e解得 k 的取值范围是 1 e,1 .综上，得 k 的最大值为 1.7．（ 1）；（2）；（ 3）或【解析】分析：（ 1）先求切点的坐标，再利用导数求切线的斜率，最后写出切线的方程.(2)先分离参数得到，再求函数的最小值，即得实数a 的取值范围 .(3) 先令，再转化为方程有且只有一个实根，再转化为有且只有一个交点，利用导数和函数的图像分析得到 a 的取值范围. 详解：（ 1），所以切线的斜率.又因为，所以切线方程为，所以切线方程为.（ 2）由得 .当 x=0 时，上述不等式显然成立，故只需考虑的情况.将变形得令，所以令，解得x＞ 1；令，解得x＜ 1.从而在（ 0,1 ）内单调递减，在（1， 2）内单调递增.所以 , 当 x=1 时，取得最小值e-1 ，从而所求实数的取值范围是.（3）令当时，，函数无零点；当时，，即令，令，则由题可知，当，或时，函数有一个函数零点点睛：第（ 3）问的转化是一个关键，由于直接研究函数有且只有一个零点比较困难，所以本题把函数的零点转化为方程有且只有一个实根，再转化为有且只有一个交点，这样问题经过一次又一次的转化，大大提高了解题效率，优化了解题. 所以在解答数学难题时，注意数学转化思想的灵活运用.8．（ 1）（ 2） 3【解析】试题分析：（ 1）第（ 1）问，先把问题转化成的图象与的图象有两个交点，再利用导数求出的单调性，通过图像分析得到 a 的取值范围 .(2)第（2）问，先通过函数有两个极值点分析出函数g(x) 的单调性，再通过图像研究得到它的零点个数.试题解析：（ 1）令，由题意知的图象与的图象有两个交点..当时，，∴在上单调递增；当时，，∴在上单调递减.∴.又∵时，，∴时， .又∵时， .综上可知，当且仅当时，与的图象有两个交点，即函数有两个零点.（ 2）因为函数有两个极值点，由，得有两个不同的根，（设）.由（ 1）知，，，且，且函数在，上单调递减，在上单调递增，则 .令，则，所以函数在上单调递增，故， . 又，；，，所以函数恰有三个零点.点睛：对于零点问题的处理，一般利用图像法分析解答. 先求出函数的单调性、奇偶性、周期性、端点的取值等情况，再画出函数的图像分析函数的零点的个数. 本题第（ 2）问，就是利用这种方法处理的.9．（Ⅰ）见解析 . （Ⅱ）见解析 .【解析】试题分析：（ I ）求出，分三种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区一定有且的极大值大于0，极小值小于0，则取得极大值和极小值时或，注意到此时恒有，则必有为极小值，此时极值点满足，即，还需满足，换元后只需证明即可.试题解析：（Ⅰ）由题可知.当，即时，令得，易知在上单调递减，在上单调递增.当时，令得或.当，即时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，，在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减.（Ⅱ）不存在.理由如下：假设有三个相异零点.由（Ⅰ）的讨论，一定有且的极大值大于0，极小值小于已知取得极大值和极小值时或，注意到此时恒有，则必有为极小值，此时极值点满足，即，还需满足，又，，故存在使得，即存在使得.令，即存在满足.令，，从而在上单调递增，所以，故不存在满足，与假设矛盾，从而不存在使得有三个相异零点10． (1) 见解析 ;(2) . 0..【解析】试题分析：（1）先求出函数 f （x）的定义域和导函数 f ′（ x），对字母 a 分类讨论，由 f ′（x）＞0 和 f ′（x）＜0 进行求解，即判断出函数的单调区间；（2）由（1）和题意求出 g（x）的解析式，求出 g′（x），由 g′（x）＞0 和 g′（x）＜ 0 进行求解，即判断出函数的单调区间，再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组，求出 b 的范围．试题解析：（1）定义域为，，当时，，当时，由得，∴当时，的单调增区间为，无减区间，当时，的减区间为，增区间为.（ 2）当时，，.令，得，，在区间上，令，得递增区间为，令，得递减区间为，所以是在上唯一的极小值点，也是最小值点，所以，又因为在上有两个零点，所以只需，，所以，即 .11． (1) 见解析 ;(2) .【解析】试题分析：（ 1）先求出，则至少存在一个零点，讨论的范围，利用导数研究函数的单调性，结合单调性与函数图象可得结果；（ 2）求出，分五种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，利用函数的单调性，结合函数图象可排除不合题意的的范围，筛选出符合题意的的范围.试题解析：（ 1），令，故在上单调递增，则，因此，当或时，只有一个零点；当或时，有两个零点；（2）当时，，则函数在处取得最小值，当时，则函数在上单调递增，则必存在正数，使得，若，则，函数在与上单调递增，在上单调递减，又，故不符合题意.若，则，函数在上单调递增，又，故不符合题意.若，则，设正数，则，与函数的最小值为矛盾，12．（ 1）详见解析；（ 2） .【解析】试题分析：(1) 先设切点坐标，根据导数几何意义得切线斜率，根据切点既在切线上也在曲线上，联立方程组可得．再利用导数研究单调性，并根据零点存在定理确定零点唯一性，即得证结论，(2) 先化简不等式为，再分析函数单调性及其值域，结合图形确定讨论 a 的取法，根据整数解个数确定 a 满足条件，解得的范围．试题解析：（1）设切点为，则①，和相切，则②，所以，即．令，所以单增．又因为，所以，存在唯一实数，使得，且．所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切．（2）令，即，所以，令，则，由（ 1）可知，在上单减，在单增，且，故当时，，当时，，当时，因为要求整数解，所以在时，，所以有无穷多整数解，舍去；当时，，又，所以两个整数解为 0， 1，即，所以，即，当时，，因为在内大于或等于1，所以无整数解，舍去，综上，．13．（ 1）f x x33x ；（2） 6 m 2【解析】试题分析：（ 1）求出函数的导函数，然后根据导数的几何意义得到关于a,b 的方程组，解方程组求得a, b 后可得函数的解析式．（2）设出切点x0 , y0 ，求导数后可得 f x0 3x02 3 ，即为切线的斜率，然后根据斜率公式可得 3x02 3 x03 3x0 m，即2x03 6x02 6 m 0．若x0 2函数有三条切线，则函数g x 2x3 6 x2 6 m有三个不同的零点，根据函数的极值可得所求范围．试题解析；（ 1）∵f xax3 bx2 3x ，∴ fx 3ax 22bx 3 ，根据题意得 {f 1 a b 3 2a 1f 13a2b 3 ，解得 {b 0，∴函数的解析式为fx x 3 3x .（ 2）由（ 1）得 f x3x 2 3 ．设切点为x 0 , y 0 ，则 y 0 x 03 3x 0 ， f x 03x 02 3 ，故切线的斜率为 3x 02 3 ，由题意得 3x 023 x 03 3x 0 m ，x 0 2即 2x 03 6x 02 6 m 0 ，∵过点M2,m m 2 可作曲线 yf x 的三条切线∴方程 2 x 03 6 x 026m 0 有三个不同的实数解，∴函数 g x 2x 3 6x 2 6 m 有三个不同的零点．由于 g x 6x 2 12x 6x x2 ，∴当 x 0 时， g x 0, g x 单调递增，当 0 x 2时， g x 0, g x 单调递减，当 x2 时， g x0, g x 单调递增 .∴当 x 0 时， g x 有极大值，且极大值为 g 0 m 6 ；当 x 2 时， g x 有极小值，且极小值为 g 2 m 2 ．∵函数 g x 有 3 个零点，6 m 0 ∴ {m，2 0解得 6m 2 ．∴实数 m 的取值范围是6,2 ．点睛：利用导数研究方程根的方法（ 1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求， 画出函数图象的大体形状， 标明函数极 ( 最 ) 值的位置， 通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有直观的整体展现．（ 2）研究方程根的情况，也可通过分离参数的方法，转化为两函数图象公共点个数的问题处理，解题时仍要利用数形结合求解．14．（ 1） 7x y 10 0 ；（ 2） 2【解析】试题分析： （ 1）求导，利用对应导函数为 0 求出 a 值，再利用导数的几何意义进行求解；（ 2）求导，讨论导函数的符号变化确定函数的单调性和极值，通过极值的符号确定零点的位置，再利用零点存在定理进行求解.试题解析：（1）因为 fx2x 3 ax 2216 2a 2 a 7 ，则x 2，所以 f4 0 ，解得f 1 7 ，即 fx 在点 1, f 1 处的切线方程为 y 37 x 1 ，即 7 x y10 0 ；（ 2） f x x22 aln x ，f x2x 3 ax2x 0xx2令g x2x 3 ax 2 ，则 g x 6x 2 a由 a0, gx 0 ，可得 xa6g x 在 0, a上单调递减，在a , 上单调递增66由于 g 02 0 ，故 x0,a时， g x 06又 g 1a 0 ，故 g x 在 1,上有唯一零点，设为x 1 ，从而可知 f x在0, x 1 上单调递减，在 x 1,上单调递增由于 fx 有唯一零点 x 0 ，故 x 1 x 0 , 且 x 0 1又 2lnx 031 0 ......*x 0 3 1令h x 2ln x 031 ，可知h x 在 1, 上单调递增x 0 3 1由于 h 22ln2 10 2 0.7 10 0 ， h 32ln3290 ，7 726故方程* 的唯一零点 x 02,3 ，故 x 0215．（ 1）见解析（ 2）当 m 1时， g x 没有零点； m 1时， g x 有一个零点； m1时， gx 有两个零点 .【解析】试题分析：（ 1）m 1时， f x e x 1 xlnx ， f ' xe x 1lnx 1 ，要证 f x在 0，+ 上单调递增，只要证：f ' x0 对 x 0 恒成立，只需证明e x 1x （当且仅当 x1 时取等号） ． x lnx 1 （当且仅当 x 1时取等号），即可证明 f ' x0 ；（ 2）求函数的导数，根据函数极值和导数的关系，分 m 1 m ＞1， m1讨论，即可判断函数 g x 零点的个数．试题解析：（ 1） m 1时， f xe x 1xlnx ， f ' x e x 1 lnx 1 ，要证 f x 在 0，+上单调递增，只要证：f ' x0 对 x 0 恒成立，令i x e x 1 x ，则 i ' x e x 1 1 ，当 x 1 时， i ' x 0 ，当 x 1 i ' x 0 ，故 i x 在 ，1 上单调递减，在 1，+上单调递增，时，所以 i x i 10 ，即 e x 1x （当且仅当 x 1 时等号成立），令 j xx 1 lnx x 0 ，则 j ' xx 1x ，当 0x 1时， j ' x 0 ，当 x 1时，j ' x 0 ，故 j x 在（ 0， 1）上单调递减，在 1，+上单调递增，所以j xj 1 0 ，即 x lnx 1（当且仅当 x 1 时取等号）， f xe x 1lnx 1 x lnx 10 （当且仅当 x 1 时等号成立）f x 在 0，+ 上单调递增 .（ 2）由 g xe xmlnx m 有 g ' xe x m1 x0 ，显然 g ' x 是增函数，x令g ' x 00 ，得 e x 0 m1 ， e m x 0 e x 0 ， mx 0 ln x 0 ，x 0则 x0, x 0 时， g ' x 0 ， x x 0 ,时， g ' x0 ，∴ gx 在 0，x 0 上是减函数，在 x 0 ,上是增函数，∴ gx 有极小值，g x 0e xmln x 0 m12ln x 0 x 0 ，x 0①当 m 1时， x 0 1， g x 极小值 =g 10 ， g x 有一个零点1；② m1时， 0 x 0 1， g x 0g 1 1 0 1 0，g x 没有零点；③当 m 1时， x 0 1， g x 010 1 0 ，又 g e me emmm m e e mm0 ，又对于函数 y e x x 1 ， y ' e x 10 时 x 0 ，∴当 x 0 时， y1 0 1 0 ，即 e xx 1 ，∴g 3m e 2mln3m m2m 1 ln3m mm 1 lnmln3 ，令 tmm 1 lnm ln3 ，则 t ' m11 m 1mm ，∵ m 1，∴ t ' m 0 ，∴ t mt 12 ln3 0 ，∴ g 3m0 ，又 e m1 x 0 ， 3m 3x 0 3lnx 0x 0 ，∴ g x 有两个零点，综上， 当 m 1时， g x 没有零点；m 1时， g x 有一个零点； m 1时， g x 有两个零点 .【点睛】 本题题考查导数的综合应用， 利用函数单调性极值和导数之间的关系是解决本题的关键．，对于参数要进行分类讨论，综合性较强，难度较大．16．( Ⅰ) y x 1 ( Ⅱ) 见解析．【解析】试题分析：（ Ⅰ）求出 f x 在 x0 的导数即可得切线的斜率， 也就得到在 0, f处切线方程． （Ⅱ）先研究函数 fx 的单调性，其导数为 f ' x e axa sin x cosx ，当x 0,时，利用三角函数的符号可以判断出 f ' x 0 ，当 x, 时，导数有唯 22一的零点 x 0 且为函数的极大值点．结合f0 ， f 0 f 0 可以判断 f x 在20,x 0 存在一个零点，在 x 0 , 上存在一个零点，故在 0,上存在两个不同的零点．解析：（Ⅰ）当 a 1 时， f xe x sinx 1，所以f x e x sinx cosx ，故 f ' 01 ，又 f 01 ，故曲线在 0, f 0 的切线方程为 y x 1 ．（Ⅱ） f 'xe ax asinx cosx ．当 x0, 时，因为 a 0,sin x 0,cosx 0 ，故 f ' x 0 ，所以 f x 在 0,是单22调增函数；当 x, 时， f ' xae ax cosx 1 tanx ，令 tanx1 0, x, ，此方程2aa2有唯一解 x x 0 ．当 x, x 0 时， f ' x 0 ， f x 在, x 0 上是单调增函数； 22当 xx 0 ,时，f ' x 0 ， f x 在 x 0 ,上是单调减函数；因为 fx 的图像是不间断的， 所以 f x 在0,x 0上是单调增函数， 在 x 0 ,上是单调减a，f 0f1 0 ， 而 x 0函 数 ．又 f2e 21 02 ， 故f x 0f0 ，根据零点存在定理和 f x 的单调性可知 f x 在 0,x 0存在一个零2点，在x 0 ,上存在一个零点，故f x 在 0,上存在两个不同的零点．点睛：导数背景下函数的零点个数的讨论不仅要考虑函数的极值的符号， 还要结合零点存在定理去判断．一般地，我们在一个单调区间中要找到这样的a, b ，使得 f a f b0 ．。
2025年高考数学一轮复习-4.4.2-导数的函数零点问题【课件】
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R,且f'(x)=(x+2)ex,
令f'(x)=0得x=-2,则f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,+∞)
f'(x)
-
0
+
f(x)
单调递减
1
- 2
单调递增
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,-2),单调递增区间是(-2,+∞).
e
1 1
当0< < 3,即a>e3时,f(x)有两个零点;
e
1
当 <0,即a<0时,f(x)有一个零点.
综上所述,当a∈(0,e3)时,f(x)无零点;当a∈(-∞,0)∪{e3}时,f(x)有一个零点;
当a∈(e3,+∞)时,f(x)有两个零点.
【加练备选】
已知函数f(x)=xex+ex.
[例2]已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
2 ( 2 +2+3)
3
设g(x)= 2
-3a,则g'(x)= 2
≥0,当且仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)在(-∞,+∞)
2
++1
( ++1)
上单调递增.
故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.
3
又f(x)=
−1+1−3(
) (−1−3)(=Biblioteka 2 ++1
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a 2 ex x .
1 1 , x ln . a a
1 1 时， f ' x 0 ，所以 f x 在 , ln 上递减； a a
1 1 时， f ' x 0 ，所以 f x 在 ln , 上递增. a a
1 2
1 2
y ln x ， y e x 1 1 ， y x 2 x ， y 1
1 ， y x ln x . x
常用的找点技巧
第二组：指数放缩
x x x （放缩成一次函数） e x 1 ， e x ， e ex ，
1 1 x 0 ， ex x 0 ， 1 x x 1 x 2 （放缩成二次函数） e x ， e x 1 x x 2 x 0 ， 2
（放缩成类反比例函数） e x 第三组：指对放缩
当 x ln
综上，当 a 0 时， f x 在 R 上递减；当 a 0 时， f x 在 , ln
1 1 上递减，在 ln , 上递增. a a 1 1 1 1 ln 0 . a a a
（2） f x 有两个零点，必须满足 f x min 0 ，即 a 0 ，且 f x min f ln 构造函数 g x 1 x ln x ， x 0 . 易得 g ' x 1 又因为 g 1 0 ，所以 1
（放缩成类反比例函数） ln x 1
2 x 1 2x 1 ， ln x x 0 0 x 1 ， ln x 1 x2 x x 1
ln 1 x
2 x 1 x 2x ， ln x x 0 x 1 ， ln 1 x 1 x 2 x x 1
导数大题的常用找点技巧和常见模型
湖南邵阳杨歆琪
【引子】 （2017 年全国新课标 1·理·21）已知 f x ae （1）讨论 f x 的单调性； （2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围. 解析： （1） f ' x 2ae2 x a 2 e x 1 2e x 1 ae x 1 若 a 0 ，则 f ' x 0 恒成立，所以 f x 在 R 上递减； 若 a 0 ，令 f ' x 0 ，得 e x 当 x ln
1 ，∴ h x min h 1 1 ，所以 h x 0 ，即 x ln x . x
a ea e2 2 a a2 1 0， 当 0 a 1 时， f 1 2 e e e2
3 a 3 3 3 3 3 f ln a 1 a 2 1 ln 1 1 ln 1 0 ， a a a a a a
其中 1 ln
2
1 1 3 a 1 3 a 1 ， ln ln ，所以 f x 在 1, ln 和 ln , ln 上各有一个零点. a a a a a a
故 a 的取值范围是 0,1 .
注意：取点过程用到了常用放缩技巧。
一方面： ae
ln x x
1 1 x 1 ， ln x x 0 x 1 ， x x
1 2 1 x 1 x 0 ， ln 1 x x x 2 x 0 2 2
2 （放缩成二次函数） ln x x x ， ln 1 x x
e x ln x x 1 x 1 2
第四组：三角函数放缩
sin x x tan x x 0 ， sin x x x 2 ， 1 x 2 cos x 1 sin 2 x .
第五组：以直线 y x 1 为切线的函数
1 2
1 0 ，所以 g x 1 x ln x 单调递减. x
1 1 1 1 ln 0 g g 1 1 0 a 1 . a a a a
下面只要证明当 0 a 1 时， f x 有两个零点即可，为此我们先证明当 x 0 时， x ln x . 事实上，构造函数 h x x ln x ，易得 h ' x 1
常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）
第一组：对数放缩 （放缩成一次函数） ln x x 1 ， ln x x ， ln 1 x x ， ln x （放缩成双撇函数） ln x
x . e
1 1 1 1 x x 1 ， ln x x 0 x 1 ， 2 x 2 x
2x
a 2 e x x ae x a 3 0 e x
2x
3 a 3 x ln 1 ； a a
另一方面： x 0 时， ae
a 2 e x x 0 a 2 e x x 0 x 1 （目测的）