第5章 数组和广义表

一般地，可以借助线性表的概念递归地定 义n维数组： 一个n维数组是一个元素可直接寻址的线性 表 A = ( A1,A2, … ,An) 若Ai 是简单元素(不是数组), 则A是一维数组, 若Ai 是k-1维数组, 则A是k维数组, 其中 i=1,2,…,n, k是大于0的整数。
数组的性质： (1)数组中的数据元素数量固定。一旦定义 了一个数组，它的维数和维界就不能再改 变，只能对数组进行存取元素和修改元素 值的操作； (2)数组中的数据元素具有相同的数据类型； (3)数组中的每个数据元素都和一组唯一的 下标对应； (4)数组是一种随机存储结构，可随机存取 数组中的任意数据元素。
(2)下三角矩阵。 与上面推导类似,下三角矩阵中s[k]和aij之间 的对应关系为 3．对角矩阵的压缩存储(了解) 总而言之，对特殊矩阵如对称矩阵、三角矩 阵、对角矩阵等的压缩方法是：找出这些特 殊矩阵中元素的分布规律，把那些有一定分 布规律的、值相同的元素(包括零元素)压缩存 储到一个存储空间中。这样的压缩存储只需 要在算法中按公式作一个映射，即可实现矩 阵元素的随机存取。
1. 按照列序进行转置 按照表b.data的三元组的次序，依次在表 a.data中找到相应的三元组，然后进行转置， 即按照矩阵M的列序来进行转置。由于M的 列即为N的行，在表a.data中，按列扫描，所 以得到的b.data必按行主序存放。为了找到M 的每一列中所有的非零的元素，每次都必须 从头到尾扫描M的三元组表，算法的C++代码 如下：
(4)对角矩阵：对角矩阵是所有的非零元均 集中在以对角线为中心的带状区域中的n阶 方阵。即除了主对角线上和直接在对角线 上、下方若干条线上的元素之外，所有其 他的元素皆为0。
5．3．2 特殊矩阵的压缩存储 ． ．
1．对称矩阵的压缩存储 设矩阵An×n是对称的，对称的两个元素可以共用 一个存储单元，这样，原来n阶方阵需n2个存储单 元，如采用压缩存储，仅需n(n+1)/2个存储单元， 节约将近一半存储空间。 将n阶对称方阵存放到一个向量空间s[0]到 s[n(n+1)/2一1]中，并找到s[k]与a[i][j]的一一对应关 系从而使在s[k]中直接访问a[i][j]的方法。
当一个数组的每一个数组元素都含有两个 下标时，该数组称为二维数组。 可以把一个二维数组看成是每个数据元素 都是相同类型的一维数组的一维数组，这 样，也可以把二维数组看作为一个线性表。 依此类推，一个三维数组可以看作是一个 每个数据元素都是相同类型的二维数组的 一维数组。 如图5-l
在C++语言中，一个二维数组可以定义为其 分量类型为一维数组的一维数组类型，即 typedef ElemType Array2 [m][n]； 这个定义等价于 typedef ElemType Arrayl [n]； typedef Arrayl Array2[m]； 即定义了一个长度为m的线性表,表中的每 个元素是一个长度为n的线性表。
2.十字链表的概念和C++类定义 当稀疏矩阵中非零元的位置或个数经常变动 时，三元组就不适合作稀疏矩阵的存储结构 了，此时采用十字链表作为存储结构是一种 较好的方法。在该方法中，每一个非零元用 一个结点表示，结点中除了表示非零元所在 的行、列和值的三元组(i，j，v)外，还需增加 两个链域：行指针域，用来指向本行中下一 个非零元素；列指针域，用来指向本列中下 一个非零元素。
第5章 数组和广义表
数组和广义表可以看成是线性表的推广， 它们与前面讨论的线性结构不同，前面的线 性结构是原子类型的，而数组和广义表的数 据结构是结构化类型的，即元素的值是可以 再分解的。
5．1数组的定义及抽象数据类型表示
5．1．1 数组的定义 ． ． 数组(Array)是由一组类型相同的数据元素构成的有 数组 限序列，且该有限序列存储在一块地址连续的内存 单元中。数据元素可以是整数、实数等简单类型， 也可以是数组、结构等构造类型。数组元素在数组 中的相对位置由其下标来确定。 若数组只有一个下标，这样的数组称为一维数组， 把数据元素的下标变成线性表中的位序，则一维数 组就是一个线性表。
5．4．2基于三元组表的稀疏矩阵的转置 矩阵转置是一种最简单的矩阵运算。对于一 个m×n的矩阵M，它的转置矩阵N是一个 n×m的矩阵，且N(i，j)=M(j，i)，1≤i≤n， 1≤j≤m。很明显，一个稀疏矩阵的转置矩阵 仍然是一个稀疏矩阵。
要实现三元组顺序表示矩阵的转置，只 需实现以下三点： (1)将矩阵的行列值相互交换； (2)将每个三元组中的i和j相互调换； (3)重新排列三元组之间的顺序便可实现矩 阵的转置。 有两种实现稀疏矩阵的转置的方法。 设a和b分别是转置前和转置后的三元组。
(2)只存放上三角部分。对于对称矩阵，除了 可以用下三角形式存放外，还可以用上三角 形式存放，这时a[0][0]存入s[0]，a[0][1]存入 s[1]，a[0][2]存入s[2]，…，如图5-7所示。 这时s[k]与a[i][j] 的对应关系可以按下面方法 推出： 当i≤j时， aij在上三角部分中，前面共有i行， 共有n+(n-1)+…+(n- (i-1)) = i×n-i×(i-1)／2 个元素，而aij是本行第j-i个元素，故k=i×ni×(i-1)／2+j-i，当i>j时，交换i与j即可。故s[k] 与a[i][j]的对应parMatrix a，SparMatrix b) {// a和b分别是转置前和转置后的三元组表 b.rows=a.cols； b.cols=a.rows； b.terms=a.terms； if(b.terms>0) { int bno=0；
for(int col=0；col<a.cols；col++) //按列扫描 for(int ano=0；ano<a.terms；ano++) //对三 元组表扫描 if(a.data[ano].j= =co1) //进行转置 { b.data[bno].j=a.data[ano].i； b.data[bno].i=a.data[ano].j； b.data[bno].v=a.data[ano].v； bno++； }
只要给出一组下标便可求得相应数组元素 的存储位置。下面以行序为主序的存储结 构为例，说明如何由下标计算相应数组元 素的存储地址。 假定每个数据元素占L个存储单元，则二 维数组A中任意元素aij的存储地址由下式确 定 LOC[i，j]=LOC[0，0]+( b2×i+j)×L
其中，LOC[i，j]是aij的存储地址；LOC[0， 0]是a00的存储地址，即二维数组A的起始存 储地址，也称为基址, b2是数组第二维的长 度。 推广到一般情况，就可得到n维数组的数据 元素存储地址的计算公式(知道即可)
5．4．1稀疏矩阵的存储方法 ． ． 稀疏矩阵的存储方法
1．三元组顺序表 在压缩存放稀疏矩阵非零元的同时，若还 存放此非零元所在的行号和列号，则称为三 元组表法，即称稀疏矩阵可用三元组表进行 压缩存储，然而，它是一种顺序存储(按行优 先顺序存放)。由一个非零元的行号、列号、 值组成一个三元组，整个稀疏矩阵中非零元 的三元组合起来称作三元组表。
5．3．1 特殊矩阵 ． ． 特殊矩阵通常有以下几种： (1)对称矩阵：矩阵A是一个对称矩阵，当且 仅当对于所有的i和j有A(i，j)= A(j，i)。 (2)上三角矩阵：矩阵A是一个上三角矩阵， 当且仅当i>j时，有A(i，j)=0, 即主对角线的 左下方元素均为零元素的矩阵。 (3)下三角矩阵：矩阵A是一个下三角矩阵， 当且仅当i<j时，有A(i，j)=0,即主对角线的 右上方元素均为零元素的矩阵。
转置矩阵
0 14 0 0 − 5 0 −7 0 0 0 36 0 0 28 0
0 0 14 − 7 0 0 0 0 − 5 0 36 0 0 28 0
用“三元组”表示 0 0 1 2 2 1 4 1 0 3 14 -5 -7 36 28 0 1 1 3 4 2 0 1 2 0 36 14 -7 28 -5
仅以行主序存放分两种方式讨论。 （1）只存放下三角部分。由于对称矩阵关于 对角线对称，故只需存放主对角线及主对角 线以下的元素。这时，a[0][0]存入s[0]， a[1][0]存入s[1]，a[1][1]存入s[2]，…， 如图5-6所示。
从上面的对应关系容易推出：当i≥j时，aij在 下三角部分中，aij前面有i行，共有 1+2+3+…+i个元素，而aij是第i行的第j个元素， 即有k=1+2+3+…+i+j=i(i+1)/2+j；当i<j时，aij 在上三角部分中，但与a对称，故只需在下三 角部分中找aij即可，故只需将i与j交换即可， 即k=j(j+1)/2+i。
十字链表(不采用循环链表 十字链表 不采用循环链表) 不采用循环链表
M.chead
^
M.rhead
0 03
0 35
^^
1 1 -1
^^
2 02
^^
3 0 0 5 0 -1 0 0 2 0 0 0
稀疏矩阵中同一行的非零元通过向右的行指 针链接成一个带表头结点的循环链表。同一 列的非零元也通过列指针链接成一个带表头 结点的循环链表。 为了运算方便，我们规定行、列循环链表的 表头结点和表示非零元的结点一样，也定为 五个域，且规定行、列、域值为0，并且将所 有的行、列链表和头结点一起链成一个循环 链表。 书上图5-9
5．2数组的顺序存储与寻址
数组具有有序性，即数组中每个元素是有序 的，并且元素之间的次序是不能改变的。对 数组的操作除创建和销毁外,只有取数组中某 一元素和修改某一元素的值的操作,没有插入 和删除操作,因此，采用顺序存储结构表示数 组是最好的方式。