弹塑性力学-03应力应变关系
弹塑性力学与有限元-弹塑性应力-应变关系
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
卸载
f ( ij ) 0
df
f
ij
d ij
0
d n 0
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
(a) 理想塑性材料
加载和卸载准则
(b) 强化材料
《弹塑性力学与有限元》
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
g f1 1 2 2k 0 (AB面)
C
g f2 1 3 2k 0 (BC面)
f2 0
B
对AB面
d1p
d1
f1
1
d1
f1 0 A
d
p 2
d1
f1
2
d1
d1p : d2p : d3p d1 : 1 : 0
d3p
因为有
f
ij
J 2
ij
J 2 sij
sij
2
J2 k 0 y
故理想塑性材料与Mises条件相关 连的流动法则为：
dipj sijd
0
1
x
3
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性应力-应变关系
加载总则和流动法则
上式表明应变增量张量与应力偏张量成比例，也可以写成 ➢ Mises屈服条件的流动法则：
d p d p d p d p d p d p
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元 —弹塑性应力-应变关系
弹塑性应力-应变关系
《弹塑性力学》第四章 应力应变关系(本构方程)共42页文档
应变能增量A 中有体积分和面积分，利用
柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。
17.04.2020
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
A V fiu id V s F iu id S U VW d V
SF i uidSS(ij ui)njdS V(jiui),j dV
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.2 具有一个弹性对称面的材料
若物体内各点都有这样一 x3 个平面，对此平面对称方
向其弹性性质相同，则称
此平面为弹性对称面，垂
直弹性对称面的方向称为
弹性主轴。
x1
弹性主轴
x2
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§4-2 线弹性体的本构关系
如取弹性对称面为x1 —x2
{}=[c]{}
T 11 22 33 23 31 12
T 11 22 33 23 31 12
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§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料
{}=[c]{}
C11 C12
C C21 C22
C61 C62
C16
C26
C66
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
外力做实功 A： A=U 物体的应变能U
U VWdV
W：应变能密度——单位体积的应变能。
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§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的 本构关系
1.2 应变能密度W与材料的i
第四章 应力应变关系（本构方程）
本章讨论弹性力学的第三个基本规律。 应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题 基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形 体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。
弹塑性力学 第3章弹性与塑性应力应变关系
3－5 塑性应力应变关系
在塑性变形阶段，应力与应变关系是非线性的，应
变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关。 如果不知道变形的历史，便不能只根据即时应力状 态唯一地确定塑性应变状态。而且如果只知道最终 的应变状态，也不能唯一地确定应力状态。
考虑应变历史，研究应力和应变增量之间的关系，
以这种关系为基础的理论称为增量理论。增量理论 是塑性力学中的基本理论。
A B
模型：
s
e E E s s e
O
线性强化弹
塑性模型：
A
B E1
s
E
O
s
e E E1 ( s ) s e
B
线性强化刚塑性
A
模型：
s
O
E s
或 其中
i s
i
3 2
0 3J 2
按照Mises条件
s
s
3
应力强度、等效应力
i
1 2
1 2 2 2 3 2 3 1 2
形变比能
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 Ws 12G
用主应力偏量与主应变偏量表示
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
用主应力差与主应变差表示
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
说明，在弹性阶段，应变莫尔圆与应力莫尔 圆成比例。 用3个主应力差与3个主应变差表示
屈服条件——屈服条件又称塑性条件，它
是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。 在应力空间中，将从弹性阶段进入塑性阶 段的各个界限点（屈服应力点）连接起来 就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面， 这个分界面即称为屈服面，而描述这个屈 服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈 服条件。
第3章弹性与塑性应力应变关系(修改)解读
四、名义应力与真实应力
在一般的拉伸实验中，设 A0 为初始截面积，P为外载，
则有：
名义应力： P / A0
若试件标距长度为 l0，伸长为 l，则有：
2020/3/12周书敬
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
名义应变： l / l0
这里的 并不是试件截面上的真实应力，这是因为在
3-1中的 DO、HO ，可以看出当逐渐卸除拉力，应力和应变
关系将沿着与OB平行的斜线 DH 和 HO回到O 点和O点。
如果由点 O"开始再加载，则加载过程仍沿 O"H线' 进行， 直到H点后材料才开始屈服，因此材料的比例极限得到了提 高。
5、局部变形阶段： b点以后
在b点之前，试件处于均匀的应变 状态，到达b点之后，试件出现颈缩现
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第三章 弹性与塑性应力应变关系
一般认为“包辛格效应”是由多晶材料晶界间的残余应 力引起的。 “包辛格效应”使材料具有各向异性性质。
理想包辛格效应：若一个方向屈服极限提高的数值和相 反方向屈服极限降低的数值相等，则称为理想包辛格效应。
包辛格效应的数学描述比较复杂，因而在塑性力学中， 对这一效应的数学描述经常要进行相应的简化。
E
（3－1）
式中：E—弹性模量（moculus of elastics） ；
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3
第三章 弹性与塑性应力应变关系
A点对应的应力称为比例极限（Propotional limit）
2、弹性变形阶段 ： AB段
这时， 与 之间的关系不再
是线性，但变形仍然是弹性的； B点 对 应 的 应 力 称 为 弹 性 极 限 (elastic limit)。
应力应变关系
我所认识的应力应变关系一 在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。
在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即εσX XE =在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律本式应该是91个应变分量 单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。
(1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下(3)各向同性弹性体的本构方程各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。
在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足：111213x x y zC C C σεεε=++ 212223y x y z C C C σεεε=++313233z x y zC C C σεεε=++ （2-3）x ε对x σ的影响与y ε对y σ以及z ε对z σ的影响是相同的，即有112233==C C C ；y ε和z ε对x σ的影响相同，即1213=C C ，同理有2123=C C 和3132=C C 等 ，则可统一写为：112233==C C C a =122113312332=====C C C C C C b = （2-4）所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。
在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。
广义胡可定律如下式1[()]1[()]1[()]x x y z y y x z z z x y E E E εσνσσεσνσσεσνσσ⎧=-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=-+⎪⎩ 222xy xy yz yz zx zx G G G τγτγτγ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩v 泊松比 2(1)EG ν=+剪切模量 E ：弹性模量/杨氏模量 虎克定律E G σετγ==对于应变能函数理解有点浅在此就不多做介绍了。
我所认识的应力与应变的关系
我所认识的应力与应变的关系机械与动力工程学院我所认识的本构关系可以从三个不同的受力条件下进行分析，第一是在弹性变形下的应力与应变的关系，第二是在屈服条件下的应力与应变的关系，第三是在塑性条件下的应力与应变的关系，而对应力与应变的关系的研究也可以归结为对本构关系的研究。
首先，弹塑性力学分别从静力学和几何学的角度出发，导出了平衡方程的和几何方程，这些方程均与物体的材料性质（物理性质）无关，因而适用于任何连续介质。
但仅仅依靠平衡方程和几何方程来解决实际中的工程问题是不够的。
由于平衡方程仅建立了力学参数（应力分量与外力分量）之间的联系，而几何方程也仅建立了运动学参数（位移分量与应变分量）之间的关系，所以平衡方程与几何方程式两类完全相互独立的方程，他们之间还缺乏必要的联系。
对于所求解的问题来讲，因为您未知量的数目多于任何一类方程的个数，所以无法利用这两类方程求的全部未知量。
平衡方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂222222000t w Z z y x t v Y z y x t u X z y x z zy zx yz y yx xz xy x ρσττρτστρττσ （1） 几何方程：⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=x w z u z w z v y w y v y u x v x u zx z yz y xy x γεγεγε （2） 为了求解具体的力学问题，还必须引进一些关系式，这些关系式即所谓的本构关系。
本构关系反映可变形体材料的固有特此那个，故也称为物理关系，它实际上是一组联系力学参数和运动学参数的方程式，即所谓的本构方程。
本构方程实际上就是一组反映可变形体材料应力和应变之间关系的方程。
在单向应力状态下，理想弹性材料的应力和应变之间的关系极其简单。
弹塑性力学应力应变关系
我所认识的应力和应变关系在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。
但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。
而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。
变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。
在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。
此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。
而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。
相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。
我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。
本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。
在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。
即，),,(T t f εσ=。
另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。
简单情况的本构关系：应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。
我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。
在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。
而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。
另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。
在后继弹性阶段，也就是卸载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。
初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。
初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。
最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。
弹塑性力学-03应力应变关系
x
1 E
x
y
z
y
1 E
y
z
x
z
1 E
z
x
y
xy
xy
G
2(1 E
) xy
yz
yz
G
2(1 E
)
yz
zx
zx
G
2(1 E
)
zx
School of Engineering and Technology,China University of Geosciences
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❖ 屈服曲线的性质：
1. 屈服曲线是一条封闭曲线，并且坐标原点被包围在内。
2. 由原点O向外作的射线与屈服曲线必相交，且只相交一次（材料的初 始屈服强度是唯一的）。
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§3–1 拉伸应力 -- 应变曲线
二、真应力--应变曲线
T
P A
A'
TA
B A
A
o'
o
1
A
材料不可压缩： Al A0l0
T
P A0
l l0
T (1 )
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x
z
1 E
z
x
y
xy
xy
G
2(1 E
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Lode应力参数
Tresca屈服条件：
1 3 1 s
1 3 2 2 s 3
1 3 s 1.15 Mises
1.0 -1.0
Mises屈服条件：
2 2 1 3 1 3
平面应力状态
2 12 1 2 2 s2
两种屈服条件的实验验证(1) 1925年Lode曾在软钢、铜和镍的薄壁筒上做过试验， 使薄壁筒受轴向力和内压的作用。
p
F F
z
pD F , z , r 0 t — 壁厚， D — 平均直径 2t Dt 若 z , 则 1 , 2 z , 3 r
s
E
E
② ①
E
④
s
o
③
o s
⑤幂强化力学模型
A n
n—幂强化系数， 介于0与1之间
n=1 n=0.5 n=0
s
o 1
A (n 1) A (n 0)
以上五种模型中，理想弹塑性力学模型、理想刚 塑性力学模型、幂强化力学模型应用最为广泛。 ★ 其它力学模型
等向强化模型，随动强化模型
3-2 广义胡克定律
1678年，R. Hooke发表了固体受力后应力和应变关 系的定律—胡克定律。“有多大伸长，就有多大力” 对于各向同性材料，根据实验结果可知，在小变形 的情况下，正应力只与线应变有关；剪应力只与剪 x , y , z x , y , z xy , yz , zx xy , yz , zx 应变有关。 y z 1 x [ x ( y z )] x
平面
2
3 0平面 2
o
3
o
1
1
Mises 屈服条件的几何表示： 空间应力状态
平面上的屈服曲线为圆
主应力空间中的屈服曲面为圆柱面 平面应力状态
3 0 平面上的屈服曲线为椭圆
2 j 3 cos30 0 3 cos30 0 ( 1 3 ) x 1
zx
G
G
1 1 1 2 [ x 0 ] x 0 [(1 ) x ] 0 E E E ex sx 1 2G
1 1 1 ex sx ey s y ez sz 2G 2G 2G xy yz ex e y ez zx 1 s x s y s z 2 xy 2 yz 2 zx 2G
2
如果不知道主应力的大小和次序
1 2 2k , 2 3 2k , 3 1 2k
只要有一个式子成立，材料便已进入屈服状态
Tresca 屈服条件的几何表示： 通过坐标原点 o 的等倾面— 平面 平面上的屈服曲线为正六边形 主应力空间中的屈服曲面为正六边形柱面
E E E E 1 y [ y ( x z )] E 1 z [ z ( x y )] E
xy yz
xy yz
G G
zx
zx
G
1 2 x y z ( x y z ) E 3 0 3 0
2
2
平面
2
v
3
o
o’
1
o
1
3
3
1
平面应力状态： 3 0
1 2k 2 2k 1 2 2k
3 0平面 2
2k
o
2k 1
k值的确定： 单向拉伸实验 1 s , 2 3 0
k
s
Bauschinger效应 材料按弹性规律进行卸载
s s s
s
s
J.Bauschinger(德国) 发现具有强化性质 的材料随着塑性变 形的增加，屈服极 限在一个方向上提 高，而在相反方向 上降低。
一般认为是由多晶材料晶界间的残余应力引起的。 Bauschinger效应使材料具有各向异性性质。
A—瞬时截面积
σ—名义应力
真实应变 对数应变
~
l dl li l ln ln(1 ) l0 l l0 i 1 li
n
l—瞬时杆长
ε—名义应变
材料不可压缩
A0l0 Al
弹塑性力学中常用的简化力学模型
对于不同的材料，不同的应用领域，应该采用 不同的变形体模型。 选取力学模型的原则 符合材料的实际情况； 数学表达时足够简单。
j j cos
2 6
x 2 y 2 ( 2 R) 2
( 1 3 ) cos 60 0 (2 2 1 3 ) y 2
2
A
A
2
平面
2
2
v
3
3
y
o
o’
1
o 1 o’
1
3
o
x
1
3
1 1 2 x y ( 1 3 ) (2 2 1 3 ) 2 2 6 1 [( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ] ( 2 R) 2 3
真实应力和真实应变
塑性变形较大时， σ-ε曲线不能真正 反映加载和变形的 状态。 例如颈缩阶段， σε曲线上试件的应变 增加而应力反而减 小，与实际情况不 符。
颈缩后，由于局部的实际横截面积的减小，局部 拉应力仍在增加。
Pl P ~ ~ 真实应力 e (1 ) A A0l0
纯剪切实验 1 s , 2 0, 3 s
s 2 s
2 k s
多数材料，近似成立
Tresca 屈服条件的局限性：
需要知道主应力的大小和次序，否则其形式
非常复杂，没有实用价值； 没有考虑中间主应力对屈服条件的影响。
Mises屈服条件
1913年，R. Von Mises (德国) 指出，在等倾面上， Tresca六边形的六个顶点是由实验(拉伸实验)得来的， 但连接这六个点直线却具有假设的性质。
2 2
R值的确定：
s 3 s 多数材料，符合较好
R s 3
单向拉伸实验 1 s , 2 3 0 纯剪切实验 1 s , 2 0, 3 s Mises屈服条件：
R s
2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 空间应力状态 1 2 2 3 3 1 s ( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 6 s2
T T
z
F
F
z
F 2T z , z , r 0 t — 壁厚， D — 平均直径 2 Dt D t
在应力空间中，屈服条件将表示一个曲面。
（弹性区和塑性区的分界面）
应力点位于曲面内 f<0 应力点位于曲面上 f=0
弹性状态 塑性状态
应力空间：以应力为坐标轴的空间。在应力空间中的每一 点都代表一个应力状态。
Tresca屈服条件
1864年，H. Tresca (法国) 在做了一系列金属挤压实 验的基础上，发现了在变形的金属表面有很细的痕 纹，而这些痕纹的方向很接近最大剪应力的方向。 金属的塑性变形是由剪应力引起晶体滑移而形成的 1 3 k 当 1 2 3 时 max
(1 2 )(1 ) x y z q E (1 )
ij 0 橡皮和铁盒之间无摩擦力 (1 2 ) 1 2 q, 3 q max 1 3 q 1 2 2(1 )
3-3 Tresca和Mises屈服条件
q z q
解： 铁盒视为刚体
x
x 0, y 0
y
z q
代入空间问题的胡克定律 1 0 [ x ( y q)] E x y q 1 1 0 [ y ( x q)] E 1 (1 2 )(1 ) z [q ( x y )] q E E (1 )
体应变
体应力
1 x [(1 ) x ] E 1 y [(1 ) y ] E 1 z [(1 ) z ] E
xy yz
xy
G
1 2 E 1 2 0 0 E
yz
zx
①理想弹塑性模型
E s
②线性强化弹塑性模型
( s ) 韧性 ( s ) E ( s ) 材料 s E ( s ) ( s )
③理想刚塑性模型
s
④线性强化刚塑性模型
塑性成形阶段， s E 忽略弹性应变
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G e1 e2 e2 e3 e3 e1 1 s1 s2 s2 s3 s3 s1 2G
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G
第3章 弹性与塑性应力应变关系
概述 广义胡克定律 Tresca和Mises屈服条件 塑性应力应变关系 Drucker公设
3-1 概述
拉伸和压缩时的应力应变曲线（低碳钢）
P 名义应力： A0 l 名义应变： l0
p 线弹性范围 E 轴向拉伸（压缩）
时的胡克定律
需要区分是加载过程还是卸载过程，在塑性区， 加载过程中要使用塑性的应力应变关系，而卸 载过程中则应使用广义胡克定律。 由此可见，塑性力学要比弹性力学更为复杂，问题 求解更为困难，因而更需要和实验相联系。