【弹塑性力学】5塑性应力应变关系a【课件】
合集下载
塑性理论课件-塑性变形时的应力应变关系
下一頁 返回
3、如果從初始狀態先加純剪應力通過 屈服點B到達D點，這時的應力和應變見表 5.1的第3行。
4、如同樣經後繼屈服軌跡裏面的任意 路線變載到F點，則應力應變見表5.1第4行。
5、如果從初始狀態沿真線OF`F到達F 點，則應力和應變見表5.1第5行，這時主軸 重合。
下一頁 返回
上述的第1、3、5種加載路線就是簡單加載。 由表中可看出，同樣的一種應力狀態σf、τf，由於 加載路線不同，就有好幾種應變狀態（如C、D點 應變）；同樣，一種應變狀態（如εc），也可有 幾種應力狀態（如C、F點應力），而且應力應變 主軸不一定重合。從上述簡單的例子中，我們可 以看到，離開加載路線來建立應力與全量塑性應 變之間的普遍關係是不可能的。因此，一般情況 下只能建立起應力和應變增量之間的關係爭然後 根據具體的加載路線，具休分析。另一方面，我 們從上述例子中也看到，在簡單加載的條件下， 應力和應變的主軸重合，而且它們之間有對應關 係，因此可以建立全量理論。
下一頁 返回
另一方面，從工程角度來看，對於一 些繁雜的問題，那怕是能給出定性結果也 很可貴，具體的定量問題可以從實驗中進 一步探索（由於如摩擦條件等數學模型還 未給出，要精確計算也很難辦到）。鑒於 壓力加工理論中關於成形規律闡述上存在 的一些問題，吸取了增量理論及全量理論 的共同點，提出了應力應變順序對應規律， 並使該規律的闡述逐漸簡明和便於應用。 現簡述如下：
返回
5.2增量理論（流動理論） 一、列維-密席斯方程 二、普朗特-勞斯方程
返回
一、列維-密席斯方程
列維-密席斯方程適用條件：
（1)材料是理想剛塑性材料，即彈性應變增 量為零，塑性應變增量就是總應變增量；
（2）材料符合密席斯屈服準則，即 s
3、如果從初始狀態先加純剪應力通過 屈服點B到達D點，這時的應力和應變見表 5.1的第3行。
4、如同樣經後繼屈服軌跡裏面的任意 路線變載到F點，則應力應變見表5.1第4行。
5、如果從初始狀態沿真線OF`F到達F 點，則應力和應變見表5.1第5行，這時主軸 重合。
下一頁 返回
上述的第1、3、5種加載路線就是簡單加載。 由表中可看出，同樣的一種應力狀態σf、τf，由於 加載路線不同，就有好幾種應變狀態（如C、D點 應變）；同樣，一種應變狀態（如εc），也可有 幾種應力狀態（如C、F點應力），而且應力應變 主軸不一定重合。從上述簡單的例子中，我們可 以看到，離開加載路線來建立應力與全量塑性應 變之間的普遍關係是不可能的。因此，一般情況 下只能建立起應力和應變增量之間的關係爭然後 根據具體的加載路線，具休分析。另一方面，我 們從上述例子中也看到，在簡單加載的條件下， 應力和應變的主軸重合，而且它們之間有對應關 係，因此可以建立全量理論。
下一頁 返回
另一方面，從工程角度來看，對於一 些繁雜的問題，那怕是能給出定性結果也 很可貴，具體的定量問題可以從實驗中進 一步探索（由於如摩擦條件等數學模型還 未給出，要精確計算也很難辦到）。鑒於 壓力加工理論中關於成形規律闡述上存在 的一些問題，吸取了增量理論及全量理論 的共同點，提出了應力應變順序對應規律， 並使該規律的闡述逐漸簡明和便於應用。 現簡述如下：
返回
5.2增量理論（流動理論） 一、列維-密席斯方程 二、普朗特-勞斯方程
返回
一、列維-密席斯方程
列維-密席斯方程適用條件：
（1)材料是理想剛塑性材料，即彈性應變增 量為零，塑性應變增量就是總應變增量；
（2）材料符合密席斯屈服準則，即 s
工程弹塑性力学-第三章_应力-应变关系
11 C1 C2 11 C2 22 C1 C2 22 C2 33 C1 C2 33 C2 23 2C3 23 31 2C3 31 12 2C312
JUST
C33 C44 C55
弹性矩阵
C11 C 22 D
则广义胡克定律又可写为：
C33 C44 C55
D
由于弹性举证为对称矩阵， 即使各向异性材料其常数 也为21个。
JUST
3.2 广义胡克定律 Jiangsu University of Science and Technology 江苏科技大学
C11 C11 C33 C1 C12 C23 C31 C2 C C C C 55 66 3 44
应力与应变关系
C1 C2 C 1 D
C2 C2 C1
0 0 0 C3
0 0 0 0 0 0 0 C3 0 C3 0
dA dK ij dV ij V dt dt
绝热过程
du dA dK dQ ij ij dV , 0 V dt dt dt dt
对于单位体积的内能： 存在势函数：
dui* ij ij dt
dW ij d ij
dW
W d ij ij
得： ij 由
ij 1i j , ij 0i j
1 ij 11 22 33 ij E 1
1 1 11 22 33 11 11 11 22 33 E 1 E 1 22 22 11 33 12 1 12 , 13 1 13 , 23 1 23 E 2G 2G 2G 1 33 33 11 22 E
弹性与塑性力学基础-第五章屈服准则与塑性应力应变关系
0
m
0 0 m
Uv
1 3 ( m m m m m m ) m m 2 2 1 m ( 1 2 3 ) 3
1 m ( 1 2 3 ) 3
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
积之和的一半(主坐标系中)
U
1 ( 1 1 2 2 3 3 ) 2
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
1 0 ij T 0 2 0 0
0 0 3
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义 米塞斯屈服准则 5.2.2
由广义虎克定律
1
1 2 [ 2 ( 1 3 )] E 1 3 [ 3 ( 1 2 )] E
式中， 为波桑系数，于是可得
弹性与塑性 力 学 基 础
第五章 屈服准则与塑性应力应变关系
§5-2 米塞斯屈服准则
5.2.1 米塞斯屈服准的物理意义 米塞斯屈服准则 5.2.2
单位体积变化位能Uv确定
取应力球张量及应变球张量
m T0
由此得
0
m
0 0 m
m T0
§5-10 全量理论
5.10.1 问题的背景及引出 5.10.2 亨盖理论(1924年) 5.10.3 那达依理论(1937年) 5.10.4 伊留申理论(1943年) 5.10.5 全量理论的问题与发展
弹性与塑性 力 学 基 础
弹塑性力学第5章—塑性本构关系
3 2
sij
−
Cdε
p ij
sij −
Cdε
p ij
−σs = 0
C表征材料强化的大小，来自单向拉伸
5.3 后继屈服条件
1、等向强化模型
单向拉伸实验曲线中三个方向的塑性主应变为
ε1p
= ε p,
ε
p 2
=
ε
p 3
= − 1ε p
2
其中ε p为单向拉伸方向的塑性应变，由此得到等效塑性应变
( ) ( ) ( ) ε p =
4 3
J
′
2
=
2 9
⎡ ⎢⎣
ε1p
−
ε
p 2
2+
ε
p 2
−
ε
p 3
2+
ε
p 3
最大畸变能是材料屈服的原因
J2 = k2
J 2反映了材料的畸变能（ U0d
=
J2 2G
）
( ) J2
=
1 2
sij sij
=
1 6
(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1)2
k 由实验确定，根据简单拉伸实验，在材料屈服时
[ ] J2
=1 6
(σ 0 − 0)2 + 0 + (0 −σ 0 )2
−0.8
屈服条件类似，主要区别是
−1.0
混凝土的抗压强度比抗拉强
−1.2
度高得多。
5.2 常用的屈服条件
5.2.3 混凝土的莫尔－库仑屈服条件
在实验基础上，提出线性化的莫尔－库仑屈服条件，σ
′
0
,
σ
弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解
➢ 各向同性材料的胡克(Hooke)定律(一维问题，
1678)
单向拉压
E——拉压弹性模量；
纯剪切
G——剪切弹性模量；
——泊松比
横向与纵向变形关系
➢ 广义胡克定律——对复杂应力状态，在弹性力学 假设条件下，应用叠加原理：
考虑x方向的正应变：
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加后得
产生的x方向应变：
屈服下限
强化阶段 软化阶段 卸载
低碳钢在单向拉伸时的典型应力应变曲线
包辛格（Bauschinger）效应
➢ 具当有应强力化超性 质 着过 后 （的 塑或屈，材 性压服拉料变缩点伸随形） 的应增力加的，硬屈 服化极将限引在起一 个反方向向加上载提
高时，压而在缩相
反（方或向拉降伸低） 屈服应力 的弱化
2 2 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3
说明， =，=
3－4 特雷斯卡和米泽斯屈服条件
➢ 塑性变形——当作用在物体上的外力卸去 后，物体中没有完全恢复的那部分永久变 形称为塑性变形。
➢ 塑性力学——研究塑性变形和作用力之间 的关系以及在塑性变形后物体内部应力分 布规律的学科称为塑性力学。
如果s+s =2s，则称为理想包辛格效应
名义应力与真实应力
➢ 在体积不可压缩的假设前提下
荷载
➢ 拉伸（压缩）时的名义应力 P
A0
初始截面积
➢ 拉伸时的真实应力
➢ 压缩时的真实应力
T
P A
(1 )
变形后截面积
T
P A
(1 )
3－2 弹塑性力学中常用的简化力学 模型
➢理想弹塑性
模型：
➢ 屈服条件——屈服条件又称塑性条件，它 是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。
第五章：屈服准则与塑性应力应变关系
2
OP (1, 2 , 3 )
P点向OE投影，投影点N，则OP：。
O
OP ON NP
1
ON ( m , m , m )
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
所以：
3
P
N
E
NP ( 1 , 2 , 3 ) ( m , m , m ) ( 1 m , 2 m , 3 m ) ( '1 , '2 , '3 )
f ( J 2 , J3 ) C
对拉压性能相同时，以f()是J3的偶函数。 注意：屈服准则方程也是进入塑性后应力需要准则。 因为塑性行为的复杂性，对材料的单向应力状态下，应力应变关系作以 下几种模型的假定，本教材主要用前两种：
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系
5.1 屈服准则概念
屈服准则、屈服条件，描述材料从弹性进入塑性并使塑性变形继续的条 件。对于单向应力采用：
s
作为屈服准则。但是对于复合应力状态，屈服准则与应力状态有关，屈服准 则为：
f ( x , y , z , xy , yz , zx ) C
第五章：屈服准则和塑性应力应变关系 5.4 两屈服准则的几何图形
屈服函数表现出几何图形，对了解其性质和两种屈服准 则的比较有积极作用。 屈服函数是一曲面，首先看二维应力，即： 3 0
Mises屈服函数：
2 12 1 2 2 s2
为一椭圆。 Treasca屈服函数：
1 2 s 2 3 s 3 1 s
代表应力偏量。如果P应力状态代表塑 性变形，对于Mises屈服准则：
塑性应力应变关系
z
z
ϕLeabharlann ij m(7.2—13) (7.2—14)
ε = ϕ ⋅τ ,
xy
xy
ε = ϕ ⋅τ ,
yz
yz
ε zx = ϕ ⋅τ zx
如果认为在整个变形过程中材料不可压缩，泊松比ν = 0.5 ，则 K 0 = 0 ，式(7.2—13) 简化为：
ε ij = ϕ (σ ij − δ σij m ) = ϕ ⋅ sij
（7.1—10）
可见，服从广义胡克定律的各向同性线弹性材料，其应力莫尔圆与应变莫尔圆在几何
上是相似的，应力罗代参数 µ σ 等于应变罗代参数 µ ε 。等效应力与等效应变之间也有简 单关系。由等效应力定义式得：
σ= 1 2
(σ 1
−σ
)2
2
+ (σ
2
−σ 3)2
+ (σ
3
−σ1)2
= 2G 2
(ε 1 − ε 2 ) 2 + (ε 2 − ε 3 ) 2 + (ε 3 − ε 1 ) 2
+
eP ij
+ δ ij ε m
=
1 2G
s ij
+
φ 2G
s ij
+ 1− 2ν E
δσ ij m
=
1+φ 2G
s ij
+ 1− 2ν E
δ ijσ m
(7.2—12)
令 1+φ 2G
=ϕ
， 1− 2ν E
=
K 0 ，式(7.2—12)可改写成汉基理论的常用表达式：
ε ij = ϕs ij + K 0 δ ij σ m
求解小弹塑性变形问题，等同于求解某一非线性弹性力学问题，因此获得了广泛的应用。
《弹塑性力学》课件
结构弹塑性分析的方法包括有限元法、有限差分法、边界元法等数值计算 方法。
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在 不同应力状态下表现出的弹塑性性质 ，对于理解材料的力学行为和优化材 料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子 动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法， 可以研究材料的微观结构和宏观性能 之间的关系，预测材料的弹塑性行为 。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结 构的复杂性，弹塑性力学应 用面临诸多挑战，如非线性 行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采 用先进的数值计算方法和实 验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将 弹塑性力学与计算机科学、 物理学等学科相结合，可以 推动工程实践中的弹塑性力 学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是一门研究材料在弹性和 塑性范围内行为的学科。它主要关注 材料在外力作用下发生的变形行为， 以及这种行为与材料内部应力、应变 的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。
材料的弹塑性行为模拟
材料的弹塑性行为模拟是研究材料在 不同应力状态下表现出的弹塑性性质 ，对于理解材料的力学行为和优化材 料设计具有重要意义。
材料弹塑性行为模拟的方法包括分子 动力学模拟、有限元分析等。
通过实验和数值模拟相结合的方法， 可以研究材料的微观结构和宏观性能 之间的关系，预测材料的弹塑性行为 。
THANKS
感谢观看
弹塑性力学在工程实践中的挑战与解决方案
工程实践中，由于材料和结 构的复杂性，弹塑性力学应 用面临诸多挑战，如非线性 行为、边界条件和初始条件
的确定等。
为了解决这些挑战，需要采 用先进的数值计算方法和实 验技术，提高模拟精度和可
靠性。
此外，加强跨学科合作，将 弹塑性力学与计算机科学、 物理学等学科相结合，可以 推动工程实践中的弹塑性力 学应用不断发展。
《弹塑性力学》课件
目录
• 弹塑性力学概述 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 材料弹塑性性质 • 弹塑性力学在工程中的应用
01
弹塑性力学概述
弹塑性力学的定义
弹塑性力学是一门研究材料在弹性和 塑性范围内行为的学科。它主要关注 材料在外力作用下发生的变形行为， 以及这种行为与材料内部应力、应变 的关系。
塑性
材料在应力超过屈服极限后发生的不可逆变形。
屈服准则
描述材料开始进入塑性状态的应力条件。
塑性力学的基本方程
应力平衡方程
01
描述受力物体内部应力分布的平衡关系。
几何方程
02
描述材料在塑性变形过程中应变与位移的关系。
屈服准则
03
确定材料进入塑性状态的条件。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
d 1 p : d 2 p : d 3 p d 2 : d 1 : d 1 d 2 ( 1 ) : : 1
0 d1 1 d1d2
可在f1=0的法线n1与f2=0的法线n2之间变化，
这个变化区域称之为尖点应变锥
f
n n
f
• 一般地，在几个光滑势能面相交的奇异
点处，塑性应变增量表示成在该点相交
f5 = 3 1 s=0 f6 = 1 + 2 s=0
当应力点位于f1=0上
dipj
d1
f1 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (0 d1 d1)
当应力点位于f2=0上
dipj
d2
f2 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (d2 0 d2)
当应力点在f1=0和f2=0的交点上 dipd1 f1i d2 f2i
f
(
ij
d
ij
,
d
• 一致性条件：
f ij
dij
f
d
0
f (ij ,
• 随加载过程，内变量不断地增加 • 中性变载或者卸载时，则内变量保持不变
总之：内变量只会增加，不会减少。 且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。 这是由塑性变形的不可逆性所决定的。
常用的强化模型
1. 等向强化 • 几何特点（在应力空间）：
• 其物理含义是：由本构方程，大小可以任意。 但变形必须始终保持协调而受到相互限制。 应变大小的确定需结合变形协调条件。
• 反过来若给定dij，则可以确定sij。
J21 2sijsijd2idjd2ij1 32 s
d 23dijdij s
sij 3 2sdij dijdij
dp 2dd2p1pd1dp3pd3p
的各面的法线方向所确定的增量的线性
组合：
dipj
n
dk
k1
gk
ij
5.3.3 强化法则
1）强化法则的概念 在加载过程中，屈服面不断改变它的形状以 使应力点总是位于它上面，从某一个屈服面 如何进入后继屈服面的准则就是强化法则， 也就是控制加载面发展的规则。
单轴拉伸下的强化
C
*
B
s
A'
p
A
O
E
p
经过塑性变形变化后的屈服条件就称加
载条件。
加载条件在应力空间内形成的曲面称为 加载面。 对理想塑性材料，加载条件和加载面不 发生变化，都是最初的屈服面。
加卸载准则
在应力空间上的屈服面确定了当前 弹性区的边界。
若应力状态改变时材料中有新的塑 性变形产生，这种应力变化称加载 （loading）；而当应力变化时材料回 到弹性状态，不产生新的塑性变形， 这种应力变化称卸载（unloading）。
当应力状态ij处在加载面上， f (ij，) = 0
施加增量dij： （1）加载：dij指向加载面 外 （2）中性变载：dij沿着加 载面 （3）卸载：dij指向加载面 内
中 性 变 载 ?d
n d 加 载
卸 载 ?d
ij 加载面
由于任何一种应力状态都不能位于加载面之外
• 增量前 f (ij，) = 0， • 增量后 f (ij+dij，+d) = 0
上述情况下应力应变关系是不同的。因 此，要确定应力应变关系还需建立一个 加载准则。对单轴受力的情况，加卸载 准则可表为：
d 0 d 0
加载 卸载
对于理想弹塑性材料，加卸载条件为
f 0
f
ij
dij
0
f 0
f
ij
dij
0
加载 卸载
中 性 变 载 ?d
n d 加 载
卸 载 ?d
ij 加载面
对于硬化材料在强化阶段，加卸载条件为：
dp
Tresca形式的塑性势能函数
• 在应力状态位于塑性势能面顶点或奇异 点，塑性应变增量必须位于六边形两相 邻边的法线方向之间。
不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
f1 = 2 3 s=0 f2 = 3 + 1 s=0
f3 = 1 2 s=0 f4= 2 + 3 s=0
5.3 塑性应力应变关系
• 5.3.1 加载条件 • 5.3.2 流动法则 • 5.3.3 强化法则 • 5.3.4 增量理论 • 5.3.5 全量理论 • 5.3.6 稳定公设 • 5.3.7 典型例题
5.3.1 加载条件
• 在塑性变形阶段，应力和应变关系是非 线性的。
• 应变不仅和应力状态有关，而且还和变 形历史有关。
•几何特点： 加载面大小、位置和中心都改变，它是前
面两种情况的综合， • 数学表达：
f (ijij) k()= 0 与随动强化不同的是，这里k随加载的历史 而变化。
• 说明： 以上关于屈服条件和加载条件的讨论都是在
应力空间中进行的。 对应变软化材料来说，应变空间中讨论会更
方便些。
谢谢欣赏
THANK YOU FOR WATCHING
背应力（back stress） 提供了考虑Bauschinger效应的简单方法。
Prager随动强化模型
背应力增量应平行于塑性应变增量
dij=c
d
p ij
式中c是材料常数，由试验确定。
对于Mises屈服条件，该模型可写成
ijcipj 2 3sijcipj sijcipj s
3 混合强化
1．塑性功 w p wp ijdipj 是目前岩土弹
塑性理论中用得较多的。
2．塑性应变
p ij
3．等效塑性剪应变
p S 23dipjdipj
4．塑性体应变
p v
xp
yp
zp
• 使用一组内变量（=1，2，…，n）描述塑性变形 历史，
• 后继屈服条件 f (ij，)=0
随塑性变形的发展，不断变化，后继屈服面或加载 面也随之改变。
• 在大塑性流动中，忽略弹性变形，得到LevyMises方程：
dijdipj sijd
•相对弹性力学问题，增加了d未知数，也增
加了一个方程（屈服条件）
•理想弹塑性问题，考虑平衡方程＋几何方程 ＋物理方程＋屈服条件
讨论：
• 当给定应力sij，由本构方程可确定应变增量 dij各分量的比例关系，由于d未知，不能确 定应变增量dij的大小。
dipj
d
g
ij
关联流动法则
g f
dipj
d
f
ij
非关联流动法则
g f
• 展开为
dx pdy pdzpdx pydy pzdzpxd sx sy sz 2xy 2yz 2zx
• 考虑弹性应变，得到：
deij deiejdeipj
deij d2Gsij sijd
• 这就是Prandtl-Reuss方程。
e
• 随加载，屈服极限会不断提高，称为强化或硬化
• 新的屈服极限：
(s)new = Max() • 后继屈服条件（也称加载条件）
＝(s)new <(s)new
处于屈服状态 处于卸载状态
• Max()随塑性变形历史单调增长， Max()＝(p)
• 后继屈服条件即加载条件也可表示为 (p)＝0
复杂应力状态
为了描述强化性质，需要： （1）记录塑性加载的历史； （2）描述强化与塑性加载历史的关系。
表达加载历史的参量为硬化参量，它又 称为内变量（internal- variable），它不 能由观测仪器直接观测求出，而应力变 形一类可由仪器直接测出的量称外变量。
硬化参量记为
目前常用的硬化参量有如下几种：
2 s
3
0
加载（后继屈服）条件
3J2 s 0
3J20
23sijsij 0
( dp)0
函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定
2. 随动强化
• 几何特点（在应力空间）： 形状和大小、方向保持不变，只是中心位置 发生改变，加载面作刚体移动。
• 物理意义： 材料在强化后为各向异性。
• 数学表示：
f (ijij) k = 0 ij是一个表征加载面中心移动的应力值，称为
加载面形状和中心位置都不变，大小变化， 形状相似的扩大。 • 物理意义： 假定材料在强化后仍保持各向同性的性质。
• 数学表示： f (ij) k() = 0
等向强化可理解为材料某一方向上因加载屈 服极限得到提高，所有其它方向的屈服极限 都将因此而得到同等程度的提高。
Mises初始屈服条件
J2
f 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
ij
dij
0
f 0
f
ij
dij
0
f 0
f
ij
dij
0
加载
中性变载
卸载
对于硬化材料在软化阶段，加卸载条件 在应力空间无法体现。
可以在应变空间进行描述为：
0
ij
dij
0
0
ij
dij
0
0
ij
dij
0
加载 中性变载
卸载
5.3.2 流动法则
塑性位势理论：Mises将弹性位势理论 推广到塑性理论，提出塑性流动方向 （塑性应变增量矢量的方向）与塑性势 函数的梯度方向一致：
• 需要判断应变往塑性变形发展还是弹性 变化，即需要加卸载条件判断。
• 塑性变形时，应变和应力的关系如何， 需要流动法则来解决。
• 塑性变形后，材料屈服极限是否提高， 屈服曲面如何变化，由强化法则来判断。
加载条件和加载面
在单轴试验中，当应力超过初始屈服应 力后发生塑性变形，卸载后重新加载其 屈服应力将提高（强化）或减小（软 化）。推广到三维情况下，在空间应力 条件下这就相当于是加载面的移动、扩 大或缩小，
0 d1 1 d1d2
可在f1=0的法线n1与f2=0的法线n2之间变化，
这个变化区域称之为尖点应变锥
f
n n
f
• 一般地，在几个光滑势能面相交的奇异
点处，塑性应变增量表示成在该点相交
f5 = 3 1 s=0 f6 = 1 + 2 s=0
当应力点位于f1=0上
dipj
d1
f1 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (0 d1 d1)
当应力点位于f2=0上
dipj
d2
f2 ij
(d1p:d2 p:d3 p)= (d2 0 d2)
当应力点在f1=0和f2=0的交点上 dipd1 f1i d2 f2i
f
(
ij
d
ij
,
d
• 一致性条件：
f ij
dij
f
d
0
f (ij ,
• 随加载过程，内变量不断地增加 • 中性变载或者卸载时，则内变量保持不变
总之：内变量只会增加，不会减少。 且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。 这是由塑性变形的不可逆性所决定的。
常用的强化模型
1. 等向强化 • 几何特点（在应力空间）：
• 其物理含义是：由本构方程，大小可以任意。 但变形必须始终保持协调而受到相互限制。 应变大小的确定需结合变形协调条件。
• 反过来若给定dij，则可以确定sij。
J21 2sijsijd2idjd2ij1 32 s
d 23dijdij s
sij 3 2sdij dijdij
dp 2dd2p1pd1dp3pd3p
的各面的法线方向所确定的增量的线性
组合：
dipj
n
dk
k1
gk
ij
5.3.3 强化法则
1）强化法则的概念 在加载过程中，屈服面不断改变它的形状以 使应力点总是位于它上面，从某一个屈服面 如何进入后继屈服面的准则就是强化法则， 也就是控制加载面发展的规则。
单轴拉伸下的强化
C
*
B
s
A'
p
A
O
E
p
经过塑性变形变化后的屈服条件就称加
载条件。
加载条件在应力空间内形成的曲面称为 加载面。 对理想塑性材料，加载条件和加载面不 发生变化，都是最初的屈服面。
加卸载准则
在应力空间上的屈服面确定了当前 弹性区的边界。
若应力状态改变时材料中有新的塑 性变形产生，这种应力变化称加载 （loading）；而当应力变化时材料回 到弹性状态，不产生新的塑性变形， 这种应力变化称卸载（unloading）。
当应力状态ij处在加载面上， f (ij，) = 0
施加增量dij： （1）加载：dij指向加载面 外 （2）中性变载：dij沿着加 载面 （3）卸载：dij指向加载面 内
中 性 变 载 ?d
n d 加 载
卸 载 ?d
ij 加载面
由于任何一种应力状态都不能位于加载面之外
• 增量前 f (ij，) = 0， • 增量后 f (ij+dij，+d) = 0
上述情况下应力应变关系是不同的。因 此，要确定应力应变关系还需建立一个 加载准则。对单轴受力的情况，加卸载 准则可表为：
d 0 d 0
加载 卸载
对于理想弹塑性材料，加卸载条件为
f 0
f
ij
dij
0
f 0
f
ij
dij
0
加载 卸载
中 性 变 载 ?d
n d 加 载
卸 载 ?d
ij 加载面
对于硬化材料在强化阶段，加卸载条件为：
dp
Tresca形式的塑性势能函数
• 在应力状态位于塑性势能面顶点或奇异 点，塑性应变增量必须位于六边形两相 邻边的法线方向之间。
不规定主应力大小顺序，Tresca屈服条件可写成
f1 = 2 3 s=0 f2 = 3 + 1 s=0
f3 = 1 2 s=0 f4= 2 + 3 s=0
5.3 塑性应力应变关系
• 5.3.1 加载条件 • 5.3.2 流动法则 • 5.3.3 强化法则 • 5.3.4 增量理论 • 5.3.5 全量理论 • 5.3.6 稳定公设 • 5.3.7 典型例题
5.3.1 加载条件
• 在塑性变形阶段，应力和应变关系是非 线性的。
• 应变不仅和应力状态有关，而且还和变 形历史有关。
•几何特点： 加载面大小、位置和中心都改变，它是前
面两种情况的综合， • 数学表达：
f (ijij) k()= 0 与随动强化不同的是，这里k随加载的历史 而变化。
• 说明： 以上关于屈服条件和加载条件的讨论都是在
应力空间中进行的。 对应变软化材料来说，应变空间中讨论会更
方便些。
谢谢欣赏
THANK YOU FOR WATCHING
背应力（back stress） 提供了考虑Bauschinger效应的简单方法。
Prager随动强化模型
背应力增量应平行于塑性应变增量
dij=c
d
p ij
式中c是材料常数，由试验确定。
对于Mises屈服条件，该模型可写成
ijcipj 2 3sijcipj sijcipj s
3 混合强化
1．塑性功 w p wp ijdipj 是目前岩土弹
塑性理论中用得较多的。
2．塑性应变
p ij
3．等效塑性剪应变
p S 23dipjdipj
4．塑性体应变
p v
xp
yp
zp
• 使用一组内变量（=1，2，…，n）描述塑性变形 历史，
• 后继屈服条件 f (ij，)=0
随塑性变形的发展，不断变化，后继屈服面或加载 面也随之改变。
• 在大塑性流动中，忽略弹性变形，得到LevyMises方程：
dijdipj sijd
•相对弹性力学问题，增加了d未知数，也增
加了一个方程（屈服条件）
•理想弹塑性问题，考虑平衡方程＋几何方程 ＋物理方程＋屈服条件
讨论：
• 当给定应力sij，由本构方程可确定应变增量 dij各分量的比例关系，由于d未知，不能确 定应变增量dij的大小。
dipj
d
g
ij
关联流动法则
g f
dipj
d
f
ij
非关联流动法则
g f
• 展开为
dx pdy pdzpdx pydy pzdzpxd sx sy sz 2xy 2yz 2zx
• 考虑弹性应变，得到：
deij deiejdeipj
deij d2Gsij sijd
• 这就是Prandtl-Reuss方程。
e
• 随加载，屈服极限会不断提高，称为强化或硬化
• 新的屈服极限：
(s)new = Max() • 后继屈服条件（也称加载条件）
＝(s)new <(s)new
处于屈服状态 处于卸载状态
• Max()随塑性变形历史单调增长， Max()＝(p)
• 后继屈服条件即加载条件也可表示为 (p)＝0
复杂应力状态
为了描述强化性质，需要： （1）记录塑性加载的历史； （2）描述强化与塑性加载历史的关系。
表达加载历史的参量为硬化参量，它又 称为内变量（internal- variable），它不 能由观测仪器直接观测求出，而应力变 形一类可由仪器直接测出的量称外变量。
硬化参量记为
目前常用的硬化参量有如下几种：
2 s
3
0
加载（后继屈服）条件
3J2 s 0
3J20
23sijsij 0
( dp)0
函数可通过单轴拉伸下实验曲线确定
2. 随动强化
• 几何特点（在应力空间）： 形状和大小、方向保持不变，只是中心位置 发生改变，加载面作刚体移动。
• 物理意义： 材料在强化后为各向异性。
• 数学表示：
f (ijij) k = 0 ij是一个表征加载面中心移动的应力值，称为
加载面形状和中心位置都不变，大小变化， 形状相似的扩大。 • 物理意义： 假定材料在强化后仍保持各向同性的性质。
• 数学表示： f (ij) k() = 0
等向强化可理解为材料某一方向上因加载屈 服极限得到提高，所有其它方向的屈服极限 都将因此而得到同等程度的提高。
Mises初始屈服条件
J2
f 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f
ij
dij
0
f 0
f
ij
dij
0
f 0
f
ij
dij
0
加载
中性变载
卸载
对于硬化材料在软化阶段，加卸载条件 在应力空间无法体现。
可以在应变空间进行描述为：
0
ij
dij
0
0
ij
dij
0
0
ij
dij
0
加载 中性变载
卸载
5.3.2 流动法则
塑性位势理论：Mises将弹性位势理论 推广到塑性理论，提出塑性流动方向 （塑性应变增量矢量的方向）与塑性势 函数的梯度方向一致：
• 需要判断应变往塑性变形发展还是弹性 变化，即需要加卸载条件判断。
• 塑性变形时，应变和应力的关系如何， 需要流动法则来解决。
• 塑性变形后，材料屈服极限是否提高， 屈服曲面如何变化，由强化法则来判断。
加载条件和加载面
在单轴试验中，当应力超过初始屈服应 力后发生塑性变形，卸载后重新加载其 屈服应力将提高（强化）或减小（软 化）。推广到三维情况下，在空间应力 条件下这就相当于是加载面的移动、扩 大或缩小，