ramberg-osgood 应力应变关系

弹性力学：04 应力和应变的关系

广义胡克定律
杨氏模量
单向应力状态时的胡克定律是
x E x
式中 E 称为弹性模量。对于一种材料在一定温度下，E 是常数。
Chapter 5.1
广义胡克定律
泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 x 和纵向相对伸长 y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
ν
x y
Chapter 5.1
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy
xy
G
同理
yz
yz
G
zx
zx
G
Chapter 5.1
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应y
1 E
y
ν x
z
z
ij
1 2
ui, j u j.i
协调条件：
ij,kl kl,ij ik , jl jl,ik 0
对于一个假定位移场ui ，其相应的协调应变分量ij 可直接由应
变－位移关系得到。显然，这组协调的应变和位移，仅仅是许多其他可能的应变和位移场中的一组。
几何可能的位移未必是真实的，真实位移在弹性体内部须满足以位移表示的平衡微分方程。
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题
应力和应变的关系
1. 本构关系的概念 2. 广义胡克定律各向同性体 3. 各向异性弹性体 4. 热力学定律与应变能函数 5. 应变能和应变余能(自学) 6. 热弹耦合本构关系(自学) 7. 例题

2024-O铝合金型材Ramberg-Osgood本构模型构建与方法研究

随着铝合金加工技术不断提升ꎬ材料数据库建立
性或者多线段方式ꎬ对线性和非线性段拉伸过程进行
和数字化分析方法ꎬ在产品项目研发中的地位逐步凸
近似替代ꎬ使得在数字化分析弹性变形阶段过程具有
显ꎬ也体现工业化技术底蕴与实力基础ꎮ 常规的典型
较大失真ꎮ 因此ꎬ材料数据处理是否科学及准确ꎬ则
铝合金拉伸数据在计算机实际记录中具有一定波动
本文采用反向挤压２０２４铝合金型材ꎬ 依照ＧＪＢ
理炉ꎮ
试样制备及试验过程依照国标要求 [４] 执行ꎮ 试
收稿日期:２０１９－０８－２６
基金项目:辽宁省科技重大专项资助(２０１９ＪＨ１ / １０１０００１２)
作者简介:窦志家(１９８９－) ꎬ男ꎬ工程师ꎬ主要从事铝合金航空型材产品开发工作ꎮ
表征ꎮ
两点法建模是Ｒａｍｂｅｒｇ－Ｏｓｇｏｏｄ方程模型的一种
传统方法ꎬ通过选取曲线上两个点的坐标值ꎬ带入式
(１) 中ꎬ通过联立方程求解即可完成模型建立ꎮ 由于
Ｒａｍｂｅｒｇ－Ｏｓｇｏｏｄ方程模型ꎬ在非线弹性低应力区域与
原始数据ꎮ 由于曲线必通过屈服点ꎬ因此随着应变量
增加强度差异逐渐缩小ꎮ 过屈服之后模型数据值与
式(１) 变为式(２) ꎮ
ｅｔｏｔａｌ＝
ｆ
æ ｆ ö
＋０.００２ × ç
÷
Ｅ
è ｆ０.２ｙｓ ø
ｎ
(２)
通过学者研究发现 [５] ꎬ 采用两点法建模形式简
单ꎬ两个参考点选取多样ꎮ 但由于参考点取值产品的
２Ｒａｍｂｅｒｇ－Ｏｓｇｏｏｄ方程建立与分析
微小波动ꎬ会对ｎ取值范围和曲线形状具有一定的影
图１拉伸曲线示意图

第三章应力应变关系复习PPT课件

(d z dx )2 (zx )2 d2
6dxy2 6xy2d2
6dyz2 6yz2d2
6dzx26zx2d2
∵ d e 3 2 ( d x d y ) 2 ( d y d z ) 2 ( d z d x ) 2 6 ( d x y 2 d y z 2 d z x 2 ) 2
3
塑性变形时应力应变关系特点
体积不变，泊松比v=0.5
应力、应变为非线性关系
全量应变与应力主轴不一定重合塑性变化不可逆——无单值一一对应
关系——与加载路径有关对于应变硬化材料，卸载后的屈服应
力比初始屈服应力高
4
增量理论
又称为流动理论，是描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之间关系的理论。全量应变：前面我们讨论过的应变，都是反映微元体在某一变形过程或
d 3 de 2 e
8
d x
x 'd
(
x
m )d
2 [ 3
x
1 2
(
y
z )]d
de e
[
x
1 2
(
y
z )]
d
y
de e
[
y
1 2
(
z
x )]
d z
de e
[
z
1 2
(
x
y )]
d
x
y
3de 2 e
xy
d yz
3de 2 e
yz
d zx
3de 2 e
zx
9
2、Prandtl-Reuss理论-塑性增量方程
材料符合Mises屈服准则 e = s
每一加载瞬时，应力主轴与应变主轴重合

我所认识的应力应变关系讲解

我所认识的应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。

物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。

则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。

一应力-应变关系影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零，六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。

图1-1 应力应变关系图图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=，初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。

如果在进入塑性阶段卸载后再加载，例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。

此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。

若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。

从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。

应力与应变概念及实验应变片原理

应力与应变概念及实验应变片原理区分应力与应变的概念应力所谓“应力”，是在施加的外力的影响下物体内部产生的力。

如图 1 所示：在圆柱体的项部向其垂直施加外力P 的时候，物体为了保持原形在内部产生抵抗外力的力——内力。

该内力被物体（这里是单位圆柱体）的截面积所除后得到的值即是“应力”，或者简单地可概括为单位截面积上的内力，单位为 Pa（帕斯卡）或 N/m2 。

例如，圆柱体截面积为 A(m2), 所受外力为 P(N 牛图 1 顿)，由外力 =内力可得，应力：（Pa 或者 N/m2 ）这里的截面积 A 与外力的方向垂直，所以得到的应力叫做垂直应力。

应变当单位圆柱体被拉伸的时候会产生伸长变形ΔL，那么圆柱体的长度则变为 L+ΔL。

这里，由伸长量ΔL和原长 L 的比值所表示的伸长率（或压缩率）就叫做“应变”，记为ε。

与外力同方向的伸长 (或压缩 )方向上的应变称为“轴向应变”。

应变表示的是伸长率（或压缩率），属于无量纲数，没有单位。

由于量值很小(1 ×10-6 百万分之一 )，通常单位用“微应变”表示，或简单地用μE表示。

而单位圆柱体在被拉伸的状态下，变长的同时也会变细。

直径为 d0 的棒产生Δd的变形时，直径方向的应变如下式所示：这种与外力成直角方向上的应变称为“横向应变”。

轴向应变与横向应变的比称为泊松比，记为υ。

每种材料都有其固定的泊松比，且大部分材料的泊松比都在 0.3 左右。

应力与应变的关系各种材料的应变与应力的关系已经通过实验进行了测定。

图 2 所示为一种普通钢材（软铁）的应力与应变关系图。

根据胡克定律，在一定的比例极限范围内应力与应变成线性比例关系。

对应的最大应力称为比例极限。

或者图 2应力与应变的比例常数E被称为弹性系数或扬氏模量，不同的材料有其固定的扬氏模量。

综上所述，虽然无法对应力进行直接的测量，但是通过测量由外力影响产生的应变可以计算出应力的大小。

应变片的构造及原理应变片的构造应变片有很多种类。

我所认识的应力应变关系

我所认识的应力应变关系应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。

物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。

则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。

一应力-应变关系影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零，六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。

图1-1 应力应变关系图图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=，初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。

如果在进入塑性阶段卸载后再加载，例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。

此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。

若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。

从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。

（整理）弹性力学第四章应力和应变关系

（整理）弹性⼒学第四章应⼒和应变关系第四章应⼒和应变关系知识点应变能原理应⼒应变关系的⼀般表达式完全各向异性弹性体正交各向异性弹性体本构关系弹性常数各向同性弹性体应变能格林公式⼴义胡克定理⼀个弹性对称⾯的弹性体本构关系各向同性弹性体的应⼒和应变关系应变表⽰的各向同性本构关系⼀、内容介绍前两章分别从静⼒学和运动学的⾓度推导了静⼒平衡⽅程，⼏何⽅程和变形协调⽅程。

由于弹性体的静⼒平衡和⼏何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建⽴了材料的应⼒和应变的内在联系。

应⼒和应变是相辅相成的，有应⼒就有应变；反之，有应变则必有应⼒。

对于每⼀种材料，在⼀定的温度下，应⼒和应变之间有着完全确定的关系。

这是材料的固有特性，因此称为物理⽅程或者本构关系。

对于复杂应⼒状态，应⼒应变关系的实验测试是有困难的，因此本章⾸先通过能量法讨论本构关系的⼀般形式。

分别讨论⼴义胡克定理；具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系⼀般表达式；各向同性材料的本构关系等。

本章的任务就是建⽴弹性变形阶段的应⼒应变关系。

⼆、重点1、应变能函数和格林公式；2、⼴义胡克定律的⼀般表达式；3、具有⼀个和两个弹性对称⾯的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；5、材料的弹性常数。

§4.1 弹性体的应变能原理学习思路:弹性体在外⼒作⽤下产⽣变形，因此外⼒在变形过程中作功。

同时，弹性体内部的能量也要相应的发⽣变化。

借助于能量关系，可以使得弹性⼒学问题的求解⽅法和思路简化，因此能量原理是⼀个有效的分析⼯具。

本节根据热⼒学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建⽴应变能函数表达的材料本构⽅程。

根据能量关系，容易得到由于变形⽽存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。

探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。

如果材料的应⼒应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐⼆次函数。

因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到⽤应变或者应⼒表⽰的应变能函数。

《弹塑性力学》第四章应力应变关系(本构方程)

第四章应力应变关系（本构方程）
§4-1 应变能、应变能密度与弹性
材料的本构关系
§4-2 线弹性体的本构关系
§4-3 各向同性材料弹性常数
2019/2/4
1
第四章应力应变关系（本构方程）
本章讨论弹性力学的第三个基本规律。应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。
ji,j+ fi = 0
2019/2/4
ij =( ui,j+ uj,i)/2
2
第四章应力应变关系（本构方程）
共9个方程，但需确定的未知函数共15个：
ui，ij=ji， ij=ji，
还需要根据材料的物理性质来建立应力与应变间的关系：
ij = ji = fij ( kl )
2019/2/4 3
本构关系
时刻达到 t +t：位移有增量
应变增量外力功增量：
ij ei e j
A
V
u ui ei
f udV F udS
S
8
2019/2/4
§4-1 应变能、应变能密度与弹性材料的
本构关系
A

V
V
f udV F udS
C11 C12 C 22 C 对称 C13 C 23 C33 0 0 0 C 44 0 0 0 0 C55 0 0 0 0 0 C66
特点：正应变仅引起正应力，剪应变仅产生剪应力。
2019/2/4 27
§4-2 线弹性体的本构关系
30
§4-2 线弹性体的本构关系